Theorem elrgspn 33277

Description: Membership in the subring generated by the subset 𝐴. An element 𝑋 lies in that subring if and only if 𝑋 is a linear combination with integer coefficients of products of elements of 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrgspn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elrgspn.x	⊢ · = (.g‘𝑅)
elrgspn.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspn.f	⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
elrgspn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
elrgspn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrgspn	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))

Distinct variable groups:   · ,𝑓,𝑔,𝑤   𝐴,𝑓,𝑔,𝑤   𝐵,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝐹,𝑔,𝑤   𝑓,𝑀,𝑔,𝑤   𝑅,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝑋,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑤,𝑓,𝑔)   𝑋(𝑤)

Proof of Theorem elrgspn

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrgspn.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		elrgspn.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		elrgspn.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
5		elrgspn.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
7		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) = (𝑁‘𝐴))
8	1, 3, 4, 6, 7	rgspncl 20544	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ (SubRing‘𝑅))
9	2	subrgss 20503	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐴) ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑁‘𝐴) ⊆ 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ⊆ 𝐵)
11	10	sselda 3931	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
13		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14	1	ringcmnd 20217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑅 ∈ CMnd)
16	2	fvexi 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
18	17, 4	ssexd 5267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝐴 ∈ V)
20		wrdexg 14445	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → Word 𝐴 ∈ V)
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → Word 𝐴 ∈ V)
22		elrgspn.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑅)
23	1	ringgrpd 20175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑅 ∈ Grp)
25		zex 12495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ℤ ∈ V)
27		breq1 5099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑔 finSupp 0))
28		elrgspn.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
29	27, 28	elrab2 3647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑔 finSupp 0))
30	29	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑔 finSupp 0))
31	30	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
33	21, 26, 32	elmaprd 32708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔:Word 𝐴⟶ℤ)
34	33	ffvelcdmda 7027	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑔‘𝑤) ∈ ℤ)
35		elrgspn.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
36	35	ringmgp 20172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
37	1, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
38	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑀 ∈ Mnd)
39		sswrd 14443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
40	4, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
42	41	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
43	35, 2	mgpbas 20078	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
44	43	gsumwcl 18762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
45	38, 42, 44	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
46	2, 22, 24, 34, 45	mulgcld 19024	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) ∈ 𝐵)
47	46	fmpttd 7058	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))):Word 𝐴⟶𝐵)
48	33	feqmptd 6900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔 = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑤)))
49	30	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → 𝑔 finSupp 0)
50	49	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔 finSupp 0)
51	48, 50	eqbrtrrd 5120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑤)) finSupp 0)
52	2, 13, 22	mulg0 19002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑦) = (0g‘𝑅))
53	52	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑦) = (0g‘𝑅))
54		fvexd 6847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (0g‘𝑅) ∈ V)
55	51, 53, 34, 45, 54	fsuppssov1 9285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g‘𝑅))
56	2, 13, 15, 21, 47, 55	gsumcl 19842	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵)
57	56	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵)
58	12, 57	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
59	58	r19.29an 3138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
60	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
61	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
62		fveq1 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (ℎ‘𝑤) = (𝑖‘𝑤))
63	62	oveq1d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
64	63	mpteq2dv 5190	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
65		fveq2 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑖‘𝑤) = (𝑖‘𝑣))
66		oveq2 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑀 Σg 𝑤) = (𝑀 Σg 𝑣))
67	65, 66	oveq12d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))
68	67	cbvmptv 5200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))
69	64, 68	eqtrdi 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣))))
70	69	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))))
71	70	cbvmptv 5200	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑖 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))))
72	71	rneqi 5884	. . . . 5 ⊢ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = ran (𝑖 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))))
73	2, 35, 22, 5, 28, 60, 61, 72	elrgspnlem4 33276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝐴) = ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
74	73	eleq2d 2820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ 𝑋 ∈ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))))
75		fveq1 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑤) = (𝑔‘𝑤))
76	75	oveq1d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
77	76	mpteq2dv 5190	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
78	77	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
79	78	cbvmptv 5200	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
80	79	elrnmpt 5905	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
81	80	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
82	74, 81	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
83	11, 59, 82	bibiad 839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058  {crab 3397  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761   finSupp cfsupp 9262  0cc0 11024  ℤcz 12486  Word cword 14434  Basecbs 17134  0_gc0g 17357   Σ_g cgsu 17358  Mndcmnd 18657  Grpcgrp 18861  ._gcmg 18995  CMndccmn 19707  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20166  SubRingcsubrg 20500  RingSpancrgspn 20541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-word 14435  df-concat 14492  df-s1 14518  df-substr 14563  df-pfx 14593  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-rgspn 20542  df-cnfld 21308  df-zring 21400

This theorem is referenced by:  elrgspnsubrunlem1  33278  elrgspnsubrun  33280