Theorem elrgspn 33671

Description: Membership in the subring generated by the subset 𝐴. An element 𝑋 lies in that subring if and only if 𝑋 is a linear combination with integer coefficients of products of elements of 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrgspn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elrgspn.x	⊢ · = (.g‘𝑅)
elrgspn.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspn.f	⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
elrgspn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
elrgspn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrgspn	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))

Distinct variable groups:   · ,𝑓,𝑔,𝑤   𝐴,𝑓,𝑔,𝑤   𝐵,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝐹,𝑔,𝑤   𝑓,𝑀,𝑔,𝑤   𝑅,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝑋,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑤, 𝑓, 𝑔)   𝑋(𝑤)

Proof of Theorem elrgspn

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrgspn.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		elrgspn.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		elrgspn.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
5		elrgspn.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
7		eqidd 2763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) = (𝑁‘𝐴))
8	1, 3, 4, 6, 7	rgspncl 20774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ (SubRing‘𝑅))
9	2	subrgss 20733	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐴) ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑁‘𝐴) ⊆ 𝐵)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ⊆ 𝐵)
11	10	sselda 3934	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
13		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14	1	ringcmnd 20424	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑅 ∈ CMnd)
16	2	fvexi 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
18	17, 4	ssexd 5293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝐴 ∈ V)
20		wrdexg 14589	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → Word 𝐴 ∈ V)
21	19, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → Word 𝐴 ∈ V)
22		elrgspn.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑅)
23	1	ringgrpd 20380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑅 ∈ Grp)
25		breq1 5110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑔 finSupp 0))
26		elrgspn.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
27	25, 26	elrab2 3652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑔 finSupp 0))
28	27	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑔 finSupp 0))
29	28	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
30	29	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
31	30	elmaprd 8852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔:Word 𝐴⟶ℤ)
32	31	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑔‘𝑤) ∈ ℤ)
33		elrgspn.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
34	33	ringmgp 20377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
35	1, 34	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
36	35	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑀 ∈ Mnd)
37		sswrd 14587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
38	4, 37	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
40	39	sselda 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
41	33, 2	mgpbas 20277	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
42	41	gsumwcl 18947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
43	36, 40, 42	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
44	2, 22, 24, 32, 43	mulgcld 19218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) ∈ 𝐵)
45	44	fmpttd 7111	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))):Word 𝐴⟶𝐵)
46	31	feqmptd 6950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔 = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑤)))
47	28	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → 𝑔 finSupp 0)
48	47	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔 finSupp 0)
49	46, 48	eqbrtrrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑤)) finSupp 0)
50	2, 13, 22	mulg0 19196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑦) = (0g‘𝑅))
51	50	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑦) = (0g‘𝑅))
52		fvexd 6897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (0g‘𝑅) ∈ V)
53	49, 51, 32, 43, 52	fsuppssov1 9357	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g‘𝑅))
54	2, 13, 15, 21, 45, 53	gsumcl 20041	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵)
55	54	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵)
56	12, 55	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
57	56	r19.29an 3168	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
58	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
59	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
60		fveq1 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (ℎ‘𝑤) = (𝑖‘𝑤))
61	60	oveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
62	61	mpteq2dv 5203	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
63		fveq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑖‘𝑤) = (𝑖‘𝑣))
64		oveq2 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑀 Σg 𝑤) = (𝑀 Σg 𝑣))
65	63, 64	oveq12d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))
66	65	cbvmptv 5213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))
67	62, 66	eqtrdi 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣))))
68	67	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))))
69	68	cbvmptv 5213	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑖 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))))
70	69	rneqi 5925	. . . . 5 ⊢ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = ran (𝑖 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))))
71	2, 33, 22, 5, 26, 58, 59, 70	elrgspnlem4 33670	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝐴) = ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
72	71	eleq2d 2848	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ 𝑋 ∈ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))))
73		fveq1 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑤) = (𝑔‘𝑤))
74	73	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
75	74	mpteq2dv 5203	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
76	75	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
77	76	cbvmptv 5213	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
78	77	elrnmpt 5946	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
79	78	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
80	72, 79	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
81	11, 57, 80	bibiad 853	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829   finSupp cfsupp 9334  0cc0 11125  ℤcz 12616  Word cword 14578  Basecbs 17303  0_gc0g 17526   Σ_g cgsu 17527  Mndcmnd 18836  Grpcgrp 19056  ._gcmg 19189  CMndccmn 19906  mulGrpcmgp 20272  Ringcrg 20371  SubRingcsubrg 20730  RingSpancrgspn 20771

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-substr 14709  df-pfx 14741  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-ghm 19340  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-cring 20374  df-oppr 20477  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-rgspn 20772  df-cnfld 21585  df-zring 21659

This theorem is used by:  elrgspnsubrunlem1  33672  elrgspnsubrun  33674