Theorem elrgspn 33187

Description: Membership in the subring generated by the subset 𝐴. An element 𝑋 lies in that subring if and only if 𝑋 is a linear combination with integer coefficients of products of elements of 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrgspn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elrgspn.x	⊢ · = (.g‘𝑅)
elrgspn.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspn.f	⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
elrgspn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
elrgspn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrgspn	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))

Distinct variable groups:   · ,𝑓,𝑔,𝑤   𝐴,𝑓,𝑔,𝑤   𝐵,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝐹,𝑔,𝑤   𝑓,𝑀,𝑔,𝑤   𝑅,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝑋,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑤,𝑓,𝑔)   𝑋(𝑤)

Proof of Theorem elrgspn

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrgspn.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		elrgspn.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		elrgspn.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
5		elrgspn.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
7		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) = (𝑁‘𝐴))
8	1, 3, 4, 6, 7	rgspncl 20571	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ (SubRing‘𝑅))
9	2	subrgss 20530	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐴) ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑁‘𝐴) ⊆ 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ⊆ 𝐵)
11	10	sselda 3958	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
13		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14	1	ringcmnd 20242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑅 ∈ CMnd)
16	2	fvexi 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
18	17, 4	ssexd 5294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝐴 ∈ V)
20		wrdexg 14540	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → Word 𝐴 ∈ V)
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → Word 𝐴 ∈ V)
22		elrgspn.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑅)
23	1	ringgrpd 20200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑅 ∈ Grp)
25		zex 12595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ℤ ∈ V)
27		breq1 5122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑔 finSupp 0))
28		elrgspn.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
29	27, 28	elrab2 3674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑔 finSupp 0))
30	29	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑔 finSupp 0))
31	30	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
33	21, 26, 32	elmaprd 32603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔:Word 𝐴⟶ℤ)
34	33	ffvelcdmda 7073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑔‘𝑤) ∈ ℤ)
35		elrgspn.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
36	35	ringmgp 20197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
37	1, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
38	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑀 ∈ Mnd)
39		sswrd 14538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
40	4, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
42	41	sselda 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
43	35, 2	mgpbas 20103	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
44	43	gsumwcl 18815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
45	38, 42, 44	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
46	2, 22, 24, 34, 45	mulgcld 19077	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) ∈ 𝐵)
47	46	fmpttd 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))):Word 𝐴⟶𝐵)
48	33	feqmptd 6946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔 = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑤)))
49	30	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → 𝑔 finSupp 0)
50	49	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔 finSupp 0)
51	48, 50	eqbrtrrd 5143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑤)) finSupp 0)
52	2, 13, 22	mulg0 19055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑦) = (0g‘𝑅))
53	52	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑦) = (0g‘𝑅))
54		fvexd 6890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (0g‘𝑅) ∈ V)
55	51, 53, 34, 45, 54	fsuppssov1 9394	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g‘𝑅))
56	2, 13, 15, 21, 47, 55	gsumcl 19894	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵)
57	56	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵)
58	12, 57	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
59	58	r19.29an 3144	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
60	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
61	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
62		fveq1 6874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (ℎ‘𝑤) = (𝑖‘𝑤))
63	62	oveq1d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
64	63	mpteq2dv 5215	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
65		fveq2 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑖‘𝑤) = (𝑖‘𝑣))
66		oveq2 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑀 Σg 𝑤) = (𝑀 Σg 𝑣))
67	65, 66	oveq12d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))
68	67	cbvmptv 5225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))
69	64, 68	eqtrdi 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣))))
70	69	oveq2d 7419	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))))
71	70	cbvmptv 5225	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑖 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))))
72	71	rneqi 5917	. . . . 5 ⊢ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = ran (𝑖 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))))
73	2, 35, 22, 5, 28, 60, 61, 72	elrgspnlem4 33186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝐴) = ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
74	73	eleq2d 2820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ 𝑋 ∈ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))))
75		fveq1 6874	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑤) = (𝑔‘𝑤))
76	75	oveq1d 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
77	76	mpteq2dv 5215	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
78	77	oveq2d 7419	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
79	78	cbvmptv 5225	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
80	79	elrnmpt 5938	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
81	80	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
82	74, 81	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
83	11, 59, 82	bibiad 839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  {crab 3415  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ↑_m cmap 8838   finSupp cfsupp 9371  0cc0 11127  ℤcz 12586  Word cword 14529  Basecbs 17226  0_gc0g 17451   Σ_g cgsu 17452  Mndcmnd 18710  Grpcgrp 18914  ._gcmg 19048  CMndccmn 19759  mulGrpcmgp 20098  Ringcrg 20191  SubRingcsubrg 20527  RingSpancrgspn 20568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-sup 9452  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-rp 13007  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-word 14530  df-concat 14587  df-s1 14612  df-substr 14657  df-pfx 14687  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15502  df-sum 15701  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mhm 18759  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-mulg 19049  df-subg 19104  df-ghm 19194  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-cring 20194  df-oppr 20295  df-subrng 20504  df-subrg 20528  df-rgspn 20569  df-cnfld 21314  df-zring 21406

This theorem is referenced by:  elrgspnsubrunlem1  33188  elrgspnsubrun  33190