Theorem elrgspn 33187

Description: Membership in the subring generated by the subset 𝐴. An element 𝑋 lies in that subring if and only if 𝑋 is a linear combination with integer coefficients of products of elements of 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrgspn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elrgspn.x	⊢ · = (.g‘𝑅)
elrgspn.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspn.f	⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
elrgspn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
elrgspn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrgspn	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))

Distinct variable groups:   · ,𝑓,𝑔,𝑤   𝐴,𝑓,𝑔,𝑤   𝐵,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝐹,𝑔,𝑤   𝑓,𝑀,𝑔,𝑤   𝑅,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝑋,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑤,𝑓,𝑔)   𝑋(𝑤)

Proof of Theorem elrgspn

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrgspn.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		elrgspn.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		elrgspn.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
5		elrgspn.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
7		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) = (𝑁‘𝐴))
8	1, 3, 4, 6, 7	rgspncl 20498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ (SubRing‘𝑅))
9	2	subrgss 20457	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐴) ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑁‘𝐴) ⊆ 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ⊆ 𝐵)
11	10	sselda 3935	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
13		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14	1	ringcmnd 20169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑅 ∈ CMnd)
16	2	fvexi 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
18	17, 4	ssexd 5263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝐴 ∈ V)
20		wrdexg 14431	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → Word 𝐴 ∈ V)
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → Word 𝐴 ∈ V)
22		elrgspn.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑅)
23	1	ringgrpd 20127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑅 ∈ Grp)
25		zex 12480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ℤ ∈ V)
27		breq1 5095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑔 finSupp 0))
28		elrgspn.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
29	27, 28	elrab2 3651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑔 finSupp 0))
30	29	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑔 finSupp 0))
31	30	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
33	21, 26, 32	elmaprd 32623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔:Word 𝐴⟶ℤ)
34	33	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑔‘𝑤) ∈ ℤ)
35		elrgspn.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
36	35	ringmgp 20124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
37	1, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
38	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑀 ∈ Mnd)
39		sswrd 14429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
40	4, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
42	41	sselda 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
43	35, 2	mgpbas 20030	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
44	43	gsumwcl 18713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
45	38, 42, 44	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
46	2, 22, 24, 34, 45	mulgcld 18975	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) ∈ 𝐵)
47	46	fmpttd 7049	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))):Word 𝐴⟶𝐵)
48	33	feqmptd 6891	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔 = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑤)))
49	30	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → 𝑔 finSupp 0)
50	49	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔 finSupp 0)
51	48, 50	eqbrtrrd 5116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑤)) finSupp 0)
52	2, 13, 22	mulg0 18953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑦) = (0g‘𝑅))
53	52	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑦) = (0g‘𝑅))
54		fvexd 6837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (0g‘𝑅) ∈ V)
55	51, 53, 34, 45, 54	fsuppssov1 9274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g‘𝑅))
56	2, 13, 15, 21, 47, 55	gsumcl 19794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵)
57	56	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵)
58	12, 57	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
59	58	r19.29an 3133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
60	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
61	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
62		fveq1 6821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (ℎ‘𝑤) = (𝑖‘𝑤))
63	62	oveq1d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
64	63	mpteq2dv 5186	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
65		fveq2 6822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑖‘𝑤) = (𝑖‘𝑣))
66		oveq2 7357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑀 Σg 𝑤) = (𝑀 Σg 𝑣))
67	65, 66	oveq12d 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))
68	67	cbvmptv 5196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))
69	64, 68	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣))))
70	69	oveq2d 7365	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))))
71	70	cbvmptv 5196	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑖 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))))
72	71	rneqi 5879	. . . . 5 ⊢ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = ran (𝑖 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))))
73	2, 35, 22, 5, 28, 60, 61, 72	elrgspnlem4 33186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝐴) = ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
74	73	eleq2d 2814	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ 𝑋 ∈ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))))
75		fveq1 6821	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑤) = (𝑔‘𝑤))
76	75	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
77	76	mpteq2dv 5186	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
78	77	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
79	78	cbvmptv 5196	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
80	79	elrnmpt 5900	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
81	80	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
82	74, 81	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
83	11, 59, 82	bibiad 839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3394  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ran crn 5620  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753   finSupp cfsupp 9251  0cc0 11009  ℤcz 12471  Word cword 14420  Basecbs 17120  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  Mndcmnd 18608  Grpcgrp 18812  ._gcmg 18946  CMndccmn 19659  mulGrpcmgp 20025  Ringcrg 20118  SubRingcsubrg 20454  RingSpancrgspn 20495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503  df-substr 14548  df-pfx 14578  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-rgspn 20496  df-cnfld 21262  df-zring 21354

This theorem is referenced by:  elrgspnsubrunlem1  33188  elrgspnsubrun  33190