Theorem elrgspn 33331

Description: Membership in the subring generated by the subset 𝐴. An element 𝑋 lies in that subring if and only if 𝑋 is a linear combination with integer coefficients of products of elements of 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrgspn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrgspn.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
elrgspn.x	⊢ · = (.g‘𝑅)
elrgspn.n	⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
elrgspn.f	⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
elrgspn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
elrgspn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrgspn	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))

Distinct variable groups:   · ,𝑓,𝑔,𝑤   𝐴,𝑓,𝑔,𝑤   𝐵,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝐹,𝑔,𝑤   𝑓,𝑀,𝑔,𝑤   𝑅,𝑓,𝑔,𝑤   𝑓,𝑋,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑤,𝑓,𝑔)   𝑋(𝑤)

Proof of Theorem elrgspn

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑣 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrgspn.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		elrgspn.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
4		elrgspn.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
5		elrgspn.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (RingSpan‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
7		eqidd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) = (𝑁‘𝐴))
8	1, 3, 4, 6, 7	rgspncl 20589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ (SubRing‘𝑅))
9	2	subrgss 20548	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐴) ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑁‘𝐴) ⊆ 𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ⊆ 𝐵)
11	10	sselda 3917	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		simpr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
13		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14	1	ringcmnd 20260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
15	14	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑅 ∈ CMnd)
16	2	fvexi 6845	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
18	17, 4	ssexd 5255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
19	18	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝐴 ∈ V)
20		wrdexg 14481	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → Word 𝐴 ∈ V)
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → Word 𝐴 ∈ V)
22		elrgspn.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝑅)
23	1	ringgrpd 20218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
24	23	ad2antrr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑅 ∈ Grp)
25		zex 12528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ℤ ∈ V)
27		breq1 5078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 finSupp 0 ↔ 𝑔 finSupp 0))
28		elrgspn.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = {𝑓 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∣ 𝑓 finSupp 0}
29	27, 28	elrab2 3634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑔 finSupp 0))
30	29	biimpi 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴) ∧ 𝑔 finSupp 0))
31	30	simpld 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
32	31	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m Word 𝐴))
33	21, 26, 32	elmaprd 32776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔:Word 𝐴⟶ℤ)
34	33	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑔‘𝑤) ∈ ℤ)
35		elrgspn.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
36	35	ringmgp 20215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
37	1, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
38	37	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑀 ∈ Mnd)
39		sswrd 14479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
40	4, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
41	40	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → Word 𝐴 ⊆ Word 𝐵)
42	41	sselda 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → 𝑤 ∈ Word 𝐵)
43	35, 2	mgpbas 20121	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
44	43	gsumwcl 18802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
45	38, 42, 44	syl2anc 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → (𝑀 Σg 𝑤) ∈ 𝐵)
46	2, 22, 24, 34, 45	mulgcld 19067	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝐴) → ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) ∈ 𝐵)
47	46	fmpttd 7060	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))):Word 𝐴⟶𝐵)
48	33	feqmptd 6899	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔 = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑤)))
49	30	simprd 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐹 → 𝑔 finSupp 0)
50	49	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → 𝑔 finSupp 0)
51	48, 50	eqbrtrrd 5099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ (𝑔‘𝑤)) finSupp 0)
52	2, 13, 22	mulg0 19045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑦) = (0g‘𝑅))
53	52	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0 · 𝑦) = (0g‘𝑅))
54		fvexd 6846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (0g‘𝑅) ∈ V)
55	51, 53, 34, 45, 54	fsuppssov1 9291	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) finSupp (0g‘𝑅))
56	2, 13, 15, 21, 47, 55	gsumcl 19885	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵)
57	56	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) ∈ 𝐵)
58	12, 57	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
59	58	r19.29an 3145	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
60	1	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
61	4	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
62		fveq1 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (ℎ‘𝑤) = (𝑖‘𝑤))
63	62	oveq1d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
64	63	mpteq2dv 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
65		fveq2 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑖‘𝑤) = (𝑖‘𝑣))
66		oveq2 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑀 Σg 𝑤) = (𝑀 Σg 𝑣))
67	65, 66	oveq12d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))
68	67	cbvmptv 5179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))
69	64, 68	eqtrdi 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣))))
70	69	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))))
71	70	cbvmptv 5179	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑖 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))))
72	71	rneqi 5886	. . . . 5 ⊢ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = ran (𝑖 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑣 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑖‘𝑣) · (𝑀 Σg 𝑣)))))
73	2, 35, 22, 5, 28, 60, 61, 72	elrgspnlem4 33330	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝐴) = ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
74	73	eleq2d 2827	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ 𝑋 ∈ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))))
75		fveq1 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (ℎ‘𝑤) = (𝑔‘𝑤))
76	75	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝑔 → ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)) = ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))
77	76	mpteq2dv 5169	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))) = (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))
78	77	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑔 → (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))) = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
79	78	cbvmptv 5179	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) = (𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤)))))
80	79	elrnmpt 5907	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
81	80	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ ran (ℎ ∈ 𝐹 ↦ (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((ℎ‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
82	74, 81	bitrd 281	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))
83	11, 59, 82	bibiad 846	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑤 ∈ Word 𝐴 ↦ ((𝑔‘𝑤) · (𝑀 Σg 𝑤))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065  {crab 3393  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  ran crn 5622  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8767   finSupp cfsupp 9268  0cc0 11033  ℤcz 12519  Word cword 14470  Basecbs 17174  0_gc0g 17397   Σ_g cgsu 17398  Mndcmnd 18697  Grpcgrp 18904  ._gcmg 19038  CMndccmn 19750  mulGrpcmgp 20116  Ringcrg 20209  SubRingcsubrg 20545  RingSpancrgspn 20586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554  df-substr 14599  df-pfx 14629  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-oppr 20312  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-rgspn 20587  df-cnfld 21352  df-zring 21426

This theorem is referenced by:  elrgspnsubrunlem1  33332  elrgspnsubrun  33334