Theorem extdgfialg 34376

Description: A finite field extension 𝐸 / 𝐹 is algebraic. Part of the proof of Proposition 1.1 of [Lang], p. 224. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
extdgfialg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
extdgfialg.d	⊢ 𝐷 = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹))
extdgfialg.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
extdgfialg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
extdgfialg.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
extdgfialg	⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) = 𝐵)

Proof of Theorem extdgfialg

Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
3		extdgfialg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
5		extdgfialg.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
6	5	fldcrngd 21004	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
7		extdgfialg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
8		sdrgsubrg 21057	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
10	1, 2, 3, 4, 6, 9	irngssv 34370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ 𝐵)
11		extdgfialg.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹))
12	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ Field)
13	12	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝐸 ∈ Field)
14	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
15	14	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
16		extdgfialg.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℕ0)
18	17	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝐷 ∈ ℕ0)
19		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐸) = (.r‘𝐸)
20		oveq1 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥) = (𝑛(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥))
21	20	cbvmptv 5208	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)) = (𝑛 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥))
22		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23	22	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		simp-4r 796	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷)))
25	24	elmaprd 8877	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎:(0...𝐷)⟶𝐹)
26		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎 finSupp (0g‘𝐸))
27		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸))
28		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)}))
29	3, 11, 13, 15, 18, 4, 19, 21, 23, 25, 26, 27, 28	extdgfialglem2 34375	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
30	29	anasss 472	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ ((𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)}))) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
31	30	anasss 472	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ (𝑎 finSupp (0g‘𝐸) ∧ ((𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})))) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
32	3, 11, 12, 14, 17, 4, 19, 21, 22	extdgfialglem1 34374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))(𝑎 finSupp (0g‘𝐸) ∧ ((𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)}))))
33	31, 32	r19.29a 3170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
34	10, 33	eqelssd 3930	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8854   finSupp cfsupp 9360  0cc0 11207  ℕ₀cn0 12613  ...cfz 13646  Basecbs 17396   ↾_s cress 17417  ._rcmulr 17438  0_gc0g 17619   Σ_g cgsu 17620  ._gcmg 19286  mulGrpcmgp 20369  SubRingcsubrg 20830  Fieldcfield 20990  SubDRingcsdrg 21052  subringAlg csra 21455   evalSub₁ ces1 22640  dimcldim 34281   IntgRing cirng 34365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-ac2 10548  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-ofr 7698  df-rpss 7743  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-tpos 8250  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-sup 9441  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-acn 10030  df-ac 10202  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-hash 14482  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ocomp 17458  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-mri 17767  df-acs 17768  df-proset 18477  df-drs 18478  df-poset 18496  df-ipo 18711  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-ghm 19437  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-srg 20422  df-ring 20470  df-cring 20471  df-oppr 20576  df-dvdsr 20596  df-unit 20597  df-invr 20627  df-rhm 20711  df-nzr 20772  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-rlreg 20955  df-drng 20991  df-field 20992  df-sdrg 21053  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-lmhm 21306  df-lbs 21359  df-lvec 21387  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-cnfld 21688  df-dsmm 22047  df-frlm 22062  df-uvc 22098  df-lindf 22121  df-linds 22122  df-assa 22170  df-asp 22171  df-ascl 22172  df-psr 22226  df-mvr 22227  df-mpl 22228  df-opsr 22230  df-evls 22392  df-evl 22393  df-psr1 22507  df-vr1 22508  df-ply1 22509  df-coe1 22510  df-evls1 22642  df-evl1 22643  df-mdeg 26382  df-deg1 26383  df-mon1 26458  df-uc1p 26459  df-dim 34282  df-irng 34366

This theorem is used by:  finextalg  34380