Theorem extdgfialg 34084

Description: A finite field extension 𝐸 / 𝐹 is algebraic. Part of the proof of Proposition 1.1 of [Lang], p. 224. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
extdgfialg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
extdgfialg.d	⊢ 𝐷 = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹))
extdgfialg.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
extdgfialg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
extdgfialg.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
extdgfialg	⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) = 𝐵)

Proof of Theorem extdgfialg

Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
3		extdgfialg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
5		extdgfialg.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
6	5	fldcrngd 20842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
7		extdgfialg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
8		sdrgsubrg 20894	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
10	1, 2, 3, 4, 6, 9	irngssv 34078	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ 𝐵)
11		extdgfialg.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹))
12	5	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ Field)
13	12	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝐸 ∈ Field)
14	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
15	14	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
16		extdgfialg.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
17	16	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℕ0)
18	17	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝐷 ∈ ℕ0)
19		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐸) = (.r‘𝐸)
20		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥) = (𝑛(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥))
21	20	cbvmptv 5215	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)) = (𝑛 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥))
22		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23	22	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		ovexd 7445	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → (0...𝐷) ∈ V)
25		simp-4r 795	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷)))
26	24, 15, 25	elmaprd 33025	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎:(0...𝐷)⟶𝐹)
27		simpllr 787	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎 finSupp (0g‘𝐸))
28		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸))
29		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)}))
30	3, 11, 13, 15, 18, 4, 19, 21, 23, 26, 27, 28, 29	extdgfialglem2 34083	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
31	30	anasss 471	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ ((𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)}))) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
32	31	anasss 471	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ (𝑎 finSupp (0g‘𝐸) ∧ ((𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})))) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
33	3, 11, 12, 14, 17, 4, 19, 21, 22	extdgfialglem1 34082	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))(𝑎 finSupp (0g‘𝐸) ∧ ((𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)}))))
34	32, 33	r19.29a 3173	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
35	10, 34	eqelssd 3958	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  {csn 4589   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7672   ↑_m cmap 8820   finSupp cfsupp 9317  0cc0 11095  ℕ₀cn0 12499  ...cfz 13530  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  ._rcmulr 17306  0_gc0g 17487   Σ_g cgsu 17488  ._gcmg 19128  mulGrpcmgp 20211  SubRingcsubrg 20668  Fieldcfield 20828  SubDRingcsdrg 20889  subringAlg csra 21292   evalSub₁ ces1 22473  dimcldim 33989   IntgRing cirng 34073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9550  ax-inf2 9606  ax-ac2 10442  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-rpss 7720  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-r1 9732  df-rank 9733  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10096  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ocomp 17326  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-mri 17635  df-acs 17636  df-proset 18345  df-drs 18346  df-poset 18364  df-ipo 18579  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-srg 20264  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-rhm 20550  df-nzr 20610  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-rlreg 20793  df-drng 20829  df-field 20830  df-sdrg 20890  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lmhm 21143  df-lbs 21196  df-lvec 21224  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-cnfld 21523  df-dsmm 21882  df-frlm 21897  df-uvc 21933  df-lindf 21956  df-linds 21957  df-assa 22003  df-asp 22004  df-ascl 22005  df-psr 22059  df-mvr 22060  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-evls 22225  df-evl 22226  df-psr1 22340  df-vr1 22341  df-ply1 22342  df-coe1 22343  df-evls1 22475  df-evl1 22476  df-mdeg 26212  df-deg1 26213  df-mon1 26288  df-uc1p 26289  df-dim 33990  df-irng 34074

This theorem is referenced by:  finextalg  34088