Theorem extdgfialg 33728

Description: A finite field extension 𝐸 / 𝐹 is algebraic. Part of the proof of Proposition 1.1 of [Lang], p. 224. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
extdgfialg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
extdgfialg.d	⊢ 𝐷 = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹))
extdgfialg.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
extdgfialg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
extdgfialg.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
extdgfialg	⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) = 𝐵)

Proof of Theorem extdgfialg

Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
3		extdgfialg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
5		extdgfialg.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
6	5	fldcrngd 20659	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
7		extdgfialg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
8		sdrgsubrg 20708	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
10	1, 2, 3, 4, 6, 9	irngssv 33722	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ 𝐵)
11		extdgfialg.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹))
12	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ Field)
13	12	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝐸 ∈ Field)
14	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
15	14	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
16		extdgfialg.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℕ0)
18	17	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝐷 ∈ ℕ0)
19		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐸) = (.r‘𝐸)
20		oveq1 7359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥) = (𝑛(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥))
21	20	cbvmptv 5197	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)) = (𝑛 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥))
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23	22	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		ovexd 7387	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → (0...𝐷) ∈ V)
25		simp-4r 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷)))
26	24, 15, 25	elmaprd 32665	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎:(0...𝐷)⟶𝐹)
27		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎 finSupp (0g‘𝐸))
28		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸))
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)}))
30	3, 11, 13, 15, 18, 4, 19, 21, 23, 26, 27, 28, 29	extdgfialglem2 33727	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
31	30	anasss 466	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ ((𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)}))) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
32	31	anasss 466	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ (𝑎 finSupp (0g‘𝐸) ∧ ((𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})))) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
33	3, 11, 12, 14, 17, 4, 19, 21, 22	extdgfialglem1 33726	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))(𝑎 finSupp (0g‘𝐸) ∧ ((𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)}))))
34	32, 33	r19.29a 3141	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
35	10, 34	eqelssd 3952	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437  {csn 4575   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174   × cxp 5617  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∘_f cof 7614   ↑_m cmap 8756   finSupp cfsupp 9252  0cc0 11013  ℕ₀cn0 12388  ...cfz 13409  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  ._rcmulr 17164  0_gc0g 17345   Σ_g cgsu 17346  ._gcmg 18982  mulGrpcmgp 20060  SubRingcsubrg 20486  Fieldcfield 20647  SubDRingcsdrg 20703  subringAlg csra 21107   evalSub₁ ces1 22229  dimcldim 33632   IntgRing cirng 33717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-reg 9485  ax-inf2 9538  ax-ac2 10361  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-rpss 7662  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-oi 9403  df-r1 9664  df-rank 9665  df-dju 9801  df-card 9839  df-acn 9842  df-ac 10014  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ocomp 17184  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-prds 17353  df-pws 17355  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-mri 17492  df-acs 17493  df-proset 18202  df-drs 18203  df-poset 18221  df-ipo 18436  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-srg 20107  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-rhm 20392  df-nzr 20430  df-subrng 20463  df-subrg 20487  df-rlreg 20611  df-drng 20648  df-field 20649  df-sdrg 20704  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-lsp 20907  df-lmhm 20958  df-lbs 21011  df-lvec 21039  df-sra 21109  df-rgmod 21110  df-cnfld 21294  df-dsmm 21671  df-frlm 21686  df-uvc 21722  df-lindf 21745  df-linds 21746  df-assa 21792  df-asp 21793  df-ascl 21794  df-psr 21848  df-mvr 21849  df-mpl 21850  df-opsr 21852  df-evls 22010  df-evl 22011  df-psr1 22093  df-vr1 22094  df-ply1 22095  df-coe1 22096  df-evls1 22231  df-evl1 22232  df-mdeg 25988  df-deg1 25989  df-mon1 26064  df-uc1p 26065  df-dim 33633  df-irng 33718

This theorem is referenced by:  finextalg  33732