Theorem extdgfialg 34028

Description: A finite field extension 𝐸 / 𝐹 is algebraic. Part of the proof of Proposition 1.1 of [Lang], p. 224. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
extdgfialg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
extdgfialg.d	⊢ 𝐷 = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹))
extdgfialg.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
extdgfialg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
extdgfialg.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
extdgfialg	⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) = 𝐵)

Proof of Theorem extdgfialg

Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
3		extdgfialg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
5		extdgfialg.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
6	5	fldcrngd 20825	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
7		extdgfialg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
8		sdrgsubrg 20871	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
10	1, 2, 3, 4, 6, 9	irngssv 34022	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ 𝐵)
11		extdgfialg.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹))
12	5	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ Field)
13	12	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝐸 ∈ Field)
14	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
15	14	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
16		extdgfialg.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
17	16	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℕ0)
18	17	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝐷 ∈ ℕ0)
19		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐸) = (.r‘𝐸)
20		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥) = (𝑛(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥))
21	20	cbvmptv 5219	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)) = (𝑛 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥))
22		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23	22	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		ovexd 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → (0...𝐷) ∈ V)
25		simp-4r 795	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷)))
26	24, 15, 25	elmaprd 32965	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎:(0...𝐷)⟶𝐹)
27		simpllr 787	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎 finSupp (0g‘𝐸))
28		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸))
29		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)}))
30	3, 11, 13, 15, 18, 4, 19, 21, 23, 26, 27, 28, 29	extdgfialglem2 34027	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
31	30	anasss 471	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ ((𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)}))) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
32	31	anasss 471	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ (𝑎 finSupp (0g‘𝐸) ∧ ((𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})))) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
33	3, 11, 12, 14, 17, 4, 19, 21, 22	extdgfialglem1 34026	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))(𝑎 finSupp (0g‘𝐸) ∧ ((𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)}))))
34	32, 33	r19.29a 3179	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
35	10, 34	eqelssd 3966	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463  {csn 4594   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   × cxp 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∘_f cof 7673   ↑_m cmap 8823   finSupp cfsupp 9320  0cc0 11099  ℕ₀cn0 12503  ...cfz 13534  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  ._rcmulr 17310  0_gc0g 17491   Σ_g cgsu 17492  ._gcmg 19132  mulGrpcmgp 20215  SubRingcsubrg 20653  Fieldcfield 20813  SubDRingcsdrg 20866  subringAlg csra 21269   evalSub₁ ces1 22441  dimcldim 33933   IntgRing cirng 34017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9553  ax-inf2 9609  ax-ac2 10446  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-rpss 7721  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-r1 9735  df-rank 9736  df-dju 9886  df-card 9924  df-acn 9927  df-ac 10099  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ocomp 17330  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-mri 17639  df-acs 17640  df-proset 18349  df-drs 18350  df-poset 18368  df-ipo 18583  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-srg 20268  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-rhm 20553  df-nzr 20595  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-rlreg 20778  df-drng 20814  df-field 20815  df-sdrg 20867  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-lsp 21070  df-lmhm 21120  df-lbs 21173  df-lvec 21201  df-sra 21271  df-rgmod 21272  df-cnfld 21491  df-dsmm 21850  df-frlm 21865  df-uvc 21901  df-lindf 21924  df-linds 21925  df-assa 21971  df-asp 21972  df-ascl 21973  df-psr 22027  df-mvr 22028  df-mpl 22029  df-opsr 22031  df-evls 22193  df-evl 22194  df-psr1 22308  df-vr1 22309  df-ply1 22310  df-coe1 22311  df-evls1 22443  df-evl1 22444  df-mdeg 26180  df-deg1 26181  df-mon1 26256  df-uc1p 26257  df-dim 33934  df-irng 34018

This theorem is referenced by:  finextalg  34032