Theorem extdgfialg 34205

Description: A finite field extension 𝐸 / 𝐹 is algebraic. Part of the proof of Proposition 1.1 of [Lang], p. 224. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
extdgfialg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
extdgfialg.d	⊢ 𝐷 = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹))
extdgfialg.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
extdgfialg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
extdgfialg.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
extdgfialg	⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) = 𝐵)

Proof of Theorem extdgfialg

Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑥 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝐸 evalSub1 𝐹) = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐸 ↾s 𝐹)
3		extdgfialg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
5		extdgfialg.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
6	5	fldcrngd 20906	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
7		extdgfialg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
8		sdrgsubrg 20958	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
10	1, 2, 3, 4, 6, 9	irngssv 34199	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ 𝐵)
11		extdgfialg.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dim‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹))
12	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ Field)
13	12	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝐸 ∈ Field)
14	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
15	14	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
16		extdgfialg.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℕ0)
18	17	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝐷 ∈ ℕ0)
19		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐸) = (.r‘𝐸)
20		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥) = (𝑛(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥))
21	20	cbvmptv 5209	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)) = (𝑛 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥))
22		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
23	22	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
24		simp-4r 796	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷)))
25	24	elmaprd 8850	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎:(0...𝐷)⟶𝐹)
26		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎 finSupp (0g‘𝐸))
27		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸))
28		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)}))
29	3, 11, 13, 15, 18, 4, 19, 21, 23, 25, 26, 27, 28	extdgfialglem2 34204	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ (𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸)) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
30	29	anasss 472	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ 𝑎 finSupp (0g‘𝐸)) ∧ ((𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)}))) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
31	30	anasss 472	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))) ∧ (𝑎 finSupp (0g‘𝐸) ∧ ((𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)})))) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
32	3, 11, 12, 14, 17, 4, 19, 21, 22	extdgfialglem1 34203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ (𝐹 ↑m (0...𝐷))(𝑎 finSupp (0g‘𝐸) ∧ ((𝐸 Σg (𝑎 ∘f (.r‘𝐸)(𝑚 ∈ (0...𝐷) ↦ (𝑚(.g‘(mulGrp‘((subringAlg ‘𝐸)‘𝐹)))𝑥)))) = (0g‘𝐸) ∧ 𝑎 ≠ ((0...𝐷) × {(0g‘𝐸)}))))
33	31, 32	r19.29a 3170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
34	10, 33	eqelssd 3952	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7677   ↑_m cmap 8827   finSupp cfsupp 9332  0cc0 11125  ℕ₀cn0 12529  ...cfz 13562  Basecbs 17302   ↾_s cress 17323  ._rcmulr 17344  0_gc0g 17525   Σ_g cgsu 17526  ._gcmg 19191  mulGrpcmgp 20274  SubRingcsubrg 20732  Fieldcfield 20892  SubDRingcsdrg 20953  subringAlg csra 21356   evalSub₁ ces1 22539  dimcldim 34110   IntgRing cirng 34194

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-reg 9565  ax-inf2 9621  ax-ac2 10466  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-rpss 7725  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-oadd 8460  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-oi 9483  df-r1 9747  df-rank 9748  df-scott 9869  df-dju 9907  df-card 9945  df-acn 9948  df-ac 10120  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ocomp 17364  df-ds 17365  df-unif 17366  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-mri 17673  df-acs 17674  df-proset 18383  df-drs 18384  df-poset 18402  df-ipo 18617  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-srg 20327  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-rhm 20614  df-nzr 20674  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-rlreg 20857  df-drng 20893  df-field 20894  df-sdrg 20954  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lmhm 21207  df-lbs 21260  df-lvec 21288  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-cnfld 21587  df-dsmm 21946  df-frlm 21961  df-uvc 21997  df-lindf 22020  df-linds 22021  df-assa 22069  df-asp 22070  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-evls 22291  df-evl 22292  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-coe1 22409  df-evls1 22541  df-evl1 22542  df-mdeg 26281  df-deg1 26282  df-mon1 26357  df-uc1p 26358  df-dim 34111  df-irng 34195

This theorem is used by:  finextalg  34209