Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrestd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrestd 45118
Description: A sufficient condition for being an open set of a subspace topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
elrestd.1 (𝜑𝐽𝑉)
elrestd.2 (𝜑𝐵𝑊)
elrestd.3 (𝜑𝑋𝐽)
elrestd.4 𝐴 = (𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
elrestd (𝜑𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵))

Proof of Theorem elrestd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrestd.3 . . 3 (𝜑𝑋𝐽)
2 elrestd.4 . . . 4 𝐴 = (𝑋𝐵)
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝐴 = (𝑋𝐵))
4 ineq1 4212 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐵) = (𝑋𝐵))
54rspceeqv 3644 . . 3 ((𝑋𝐽𝐴 = (𝑋𝐵)) → ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵))
61, 3, 5syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵))
7 elrestd.1 . . 3 (𝜑𝐽𝑉)
8 elrestd.2 . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
9 elrest 17473 . . 3 ((𝐽𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵)))
107, 8, 9syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐽 𝐴 = (𝑥𝐵)))
116, 10mpbird 257 1 (𝜑𝐴 ∈ (𝐽t 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1539  wcel 2107  wrex 3069  cin 3949  (class class class)co 7432  t crest 17466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-rest 17468
This theorem is referenced by:  restuni3  45128  subsaliuncl  46378  subsalsal  46379  sssmf  46758  mbfresmf  46759  smfconst  46769  smflimlem1  46791  smfres  46810  smfco  46822  smfsuplem1  46831
  Copyright terms: Public domain W3C validator