Theorem elrestd 45467

Description: A sufficient condition for being an open set of a subspace topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrestd.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑉)
elrestd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elrestd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
elrestd.4	⊢ 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrestd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵))

Proof of Theorem elrestd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrestd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
2		elrestd.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵))
4		ineq1 4167	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝐵) = (𝑋 ∩ 𝐵))
5	4	rspceeqv 3601	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
6	1, 3, 5	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
7		elrestd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑉)
8		elrestd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
9		elrest 17359	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))
10	7, 8, 9	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∩ cin 3902  (class class class)co 7368   ↾_t crest 17352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-rest 17354

This theorem is referenced by:  restuni3  45477  subsaliuncl  46716  subsalsal  46717  sssmf  47096  mbfresmf  47097  smfconst  47107  smflimlem1  47129  smfres  47148  smfco  47160  smfsuplem1  47169