Theorem elrestd 45711

Description: A sufficient condition for being an open set of a subspace topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrestd.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑉)
elrestd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elrestd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
elrestd.4	⊢ 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrestd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵))

Proof of Theorem elrestd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrestd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
2		elrestd.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵))
4		ineq1 4174	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝐵) = (𝑋 ∩ 𝐵))
5	4	rspceeqv 3613	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
6	1, 3, 5	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
7		elrestd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑉)
8		elrestd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
9		elrest 17476	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))
10	7, 8, 9	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))
11	6, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ∩ cin 3912  (class class class)co 7408   ↾_t crest 17469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-rest 17471

This theorem is referenced by:  restuni3  45721  subsaliuncl  46957  subsalsal  46958  sssmf  47337  mbfresmf  47338  smfconst  47348  smflimlem1  47370  smfres  47389  smfco  47401  smfsuplem1  47410