Theorem elrestd 45048

Description: A sufficient condition for being an open set of a subspace topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrestd.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑉)
elrestd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elrestd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
elrestd.4	⊢ 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrestd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵))

Proof of Theorem elrestd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrestd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
2		elrestd.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵))
4		ineq1 4221	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝐵) = (𝑋 ∩ 𝐵))
5	4	rspceeqv 3645	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
6	1, 3, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
7		elrestd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑉)
8		elrestd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
9		elrest 17474	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ∩ cin 3962  (class class class)co 7431   ↾_t crest 17467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rest 17469

This theorem is referenced by:  restuni3  45058  subsaliuncl  46314  subsalsal  46315  sssmf  46694  mbfresmf  46695  smfconst  46705  smflimlem1  46727  smfres  46746  smfco  46758  smfsuplem1  46767