Theorem elrestd 45145

Description: A sufficient condition for being an open set of a subspace topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrestd.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑉)
elrestd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
elrestd.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
elrestd.4	⊢ 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elrestd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵))

Proof of Theorem elrestd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrestd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐽)
2		elrestd.4	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵))
4		ineq1 4158	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∩ 𝐵) = (𝑋 ∩ 𝐵))
5	4	rspceeqv 3595	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 = (𝑋 ∩ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
6	1, 3, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵))
7		elrestd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑉)
8		elrestd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
9		elrest 17326	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 𝐴 = (𝑥 ∩ 𝐵)))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐽 ↾t 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ∩ cin 3896  (class class class)co 7341   ↾_t crest 17319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-rest 17321

This theorem is referenced by:  restuni3  45155  subsaliuncl  46396  subsalsal  46397  sssmf  46776  mbfresmf  46777  smfconst  46787  smflimlem1  46809  smfres  46828  smfco  46840  smfsuplem1  46849