Theorem subsalsal 47093

Description: A subspace sigma-algebra is a sigma algebra. This is Lemma 121A of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsalsal.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
subsalsal.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
subsalsal.3	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↾t 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
subsalsal	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)

Proof of Theorem subsalsal

Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsalsal.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↾t 𝐷)
2	1	ovexi 7444	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
4		subsalsal.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		subsalsal.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
6	4	0sald 47084	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
7		0in 4354	. . . . 5 ⊢ (∅ ∩ 𝐷) = ∅
8	7	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ ∅ = (∅ ∩ 𝐷)
9	4, 5, 6, 8	elrestd 45846	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
10	9, 1	eleqtrrdi 2874	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑇)
11		eqid 2763	. 2 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
12		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑇)
13	12, 1	eleqtrdi 2873	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
14	13	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
15		elrest 17475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)))
16	4, 5, 15	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)))
17	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)))
18	14, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷))
19	4	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
20	19	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝑆 ∈ SAlg)
21	5	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
22		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
23	19, 22	saldifcld 47081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
24	23	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
25		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷)
26	20, 21, 24, 25	elrestd 45846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
27	1	unieqi 4884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
29	4, 5	restuni3 45856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐷))
30	28, 29	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐷))
31	30	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ∪ 𝑇 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐷))
32		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷))
33	31, 32	difeq12d 4082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) = ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷)))
34		indifdir 4248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) = ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷))
35	34	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷)) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷)) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷))
37	33, 36	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷))
38	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝑇 = (𝑆 ↾t 𝐷))
39	37, 38	eleq12d 2857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇 ↔ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
40	39	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇 ↔ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
41	26, 40	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)
42	41	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)))
43	42	rexlimdv 3164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇))
44	43	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇))
45	18, 44	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)
46	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑆 ∈ SAlg)
47	5	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝐷 ∈ 𝑉)
48		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑓:ℕ⟶𝑇)
49	46, 47, 1, 48	subsaliuncl 47092	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑇)
50	3, 10, 11, 45, 49	issalnnd 47079	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904  ∅c0 4286  ∪ cuni 4872  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410  ℕcn 12228   ↾_t crest 17468  SAlgcsalg 47042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10414  ax-ac2 10442  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10096  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rest 17470  df-salg 47043

This theorem is referenced by:  subsaluni  47094  issmflelem  47478  issmfle  47479  smfpimltxr  47481  smfconst  47483  issmfgtlem  47489  issmfgt  47490  smfaddlem2  47498  issmfgelem  47503  issmfge  47504  smfpimgtxr  47514  smfpimioompt  47520  smfresal  47522  smfrec  47523  smfmullem4  47528  smfpimne  47573