Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subsalsal Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsalsal 45065
Description: A subspace sigma-algebra is a sigma algebra. This is Lemma 121A of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
subsalsal.1 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
subsalsal.2 (𝜑𝐷𝑉)
subsalsal.3 𝑇 = (𝑆t 𝐷)
Assertion
Ref Expression
subsalsal (𝜑𝑇 ∈ SAlg)

Proof of Theorem subsalsal
Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subsalsal.3 . . . 4 𝑇 = (𝑆t 𝐷)
21ovexi 7442 . . 3 𝑇 ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑𝑇 ∈ V)
4 subsalsal.1 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5 subsalsal.2 . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
640sald 45056 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
7 0in 4393 . . . . 5 (∅ ∩ 𝐷) = ∅
87eqcomi 2741 . . . 4 ∅ = (∅ ∩ 𝐷)
94, 5, 6, 8elrestd 43787 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
109, 1eleqtrrdi 2844 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑇)
11 eqid 2732 . 2 𝑇 = 𝑇
12 id 22 . . . . . 6 (𝑥𝑇𝑥𝑇)
1312, 1eleqtrdi 2843 . . . . 5 (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑆t 𝐷))
1413adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑆t 𝐷))
15 elrest 17372 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐷𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷)))
164, 5, 15syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷)))
1716adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷)))
1814, 17mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷))
194adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
20193adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → 𝑆 ∈ SAlg)
2153ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → 𝐷𝑉)
22 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
2319, 22saldifcld 45053 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆)
24233adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆)
25 eqid 2732 . . . . . . . 8 (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷) = (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷)
2620, 21, 24, 25elrestd 43787 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷))
271unieqi 4921 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (𝑆t 𝐷)
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑇 = (𝑆t 𝐷))
294, 5restuni3 43797 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = ( 𝑆𝐷))
3028, 29eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 𝑇 = ( 𝑆𝐷))
3130adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → 𝑇 = ( 𝑆𝐷))
32 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → 𝑥 = (𝑦𝐷))
3331, 32difeq12d 4123 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → ( 𝑇𝑥) = (( 𝑆𝐷) ∖ (𝑦𝐷)))
34 indifdir 4284 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷) = (( 𝑆𝐷) ∖ (𝑦𝐷))
3534eqcomi 2741 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑆𝐷) ∖ (𝑦𝐷)) = (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷)
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → (( 𝑆𝐷) ∖ (𝑦𝐷)) = (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷))
3733, 36eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → ( 𝑇𝑥) = (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷))
381a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → 𝑇 = (𝑆t 𝐷))
3937, 38eleq12d 2827 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → (( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇 ↔ (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷)))
40393adant2 1131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → (( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇 ↔ (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷)))
4126, 40mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇)
42413exp 1119 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝑆 → (𝑥 = (𝑦𝐷) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇)))
4342rexlimdv 3153 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇))
4443adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → (∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇))
4518, 44mpd 15 . 2 ((𝜑𝑥𝑇) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇)
464adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑆 ∈ SAlg)
475adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝐷𝑉)
48 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑓:ℕ⟶𝑇)
4946, 47, 1, 48subsaliuncl 45064 . 2 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ∈ 𝑇)
503, 10, 11, 45, 49issalnnd 45051 1 (𝜑𝑇 ∈ SAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3070  Vcvv 3474  cdif 3945  cin 3947  c0 4322   cuni 4908  wf 6539  (class class class)co 7408  cn 12211  t crest 17365  SAlgcsalg 45014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-acn 9936  df-ac 10110  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rest 17367  df-salg 45015
This theorem is referenced by:  subsaluni  45066  issmflelem  45450  issmfle  45451  smfpimltxr  45453  smfconst  45455  issmfgtlem  45461  issmfgt  45462  smfaddlem2  45470  issmfgelem  45475  issmfge  45476  smfpimgtxr  45486  smfpimioompt  45492  smfresal  45494  smfrec  45495  smfmullem4  45500  smfpimne  45545
  Copyright terms: Public domain W3C validator