Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subsalsal Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsalsal 41315
Description: A subspace sigma-algebra is a sigma algebra. This is Lemma 121A of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
subsalsal.1 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
subsalsal.2 (𝜑𝐷𝑉)
subsalsal.3 𝑇 = (𝑆t 𝐷)
Assertion
Ref Expression
subsalsal (𝜑𝑇 ∈ SAlg)

Proof of Theorem subsalsal
Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subsalsal.3 . . . 4 𝑇 = (𝑆t 𝐷)
21ovexi 6912 . . 3 𝑇 ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑𝑇 ∈ V)
4 subsalsal.1 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5 subsalsal.2 . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
640sald 41306 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
7 0in 4166 . . . . 5 (∅ ∩ 𝐷) = ∅
87eqcomi 2809 . . . 4 ∅ = (∅ ∩ 𝐷)
94, 5, 6, 8elrestd 40044 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
109, 1syl6eleqr 2890 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑇)
11 eqid 2800 . 2 𝑇 = 𝑇
12 id 22 . . . . . 6 (𝑥𝑇𝑥𝑇)
1312, 1syl6eleq 2889 . . . . 5 (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑆t 𝐷))
1413adantl 474 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑆t 𝐷))
15 elrest 16402 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐷𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷)))
164, 5, 15syl2anc 580 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷)))
1716adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷)))
1814, 17mpbid 224 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷))
194adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
20193adant3 1163 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → 𝑆 ∈ SAlg)
2153ad2ant1 1164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → 𝐷𝑉)
22 simpr 478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
2319, 22saldifcld 41303 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆)
24233adant3 1163 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆)
25 eqid 2800 . . . . . . . 8 (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷) = (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷)
2620, 21, 24, 25elrestd 40044 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷))
271unieqi 4638 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (𝑆t 𝐷)
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑇 = (𝑆t 𝐷))
294, 5restuni3 40054 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = ( 𝑆𝐷))
3028, 29eqtrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 𝑇 = ( 𝑆𝐷))
3130adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → 𝑇 = ( 𝑆𝐷))
32 simpr 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → 𝑥 = (𝑦𝐷))
3331, 32difeq12d 3928 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → ( 𝑇𝑥) = (( 𝑆𝐷) ∖ (𝑦𝐷)))
34 indifdir 4085 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷) = (( 𝑆𝐷) ∖ (𝑦𝐷))
3534eqcomi 2809 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑆𝐷) ∖ (𝑦𝐷)) = (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷)
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → (( 𝑆𝐷) ∖ (𝑦𝐷)) = (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷))
3733, 36eqtrd 2834 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → ( 𝑇𝑥) = (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷))
381a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → 𝑇 = (𝑆t 𝐷))
3937, 38eleq12d 2873 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → (( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇 ↔ (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷)))
40393adant2 1162 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → (( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇 ↔ (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷)))
4126, 40mpbird 249 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇)
42413exp 1149 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝑆 → (𝑥 = (𝑦𝐷) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇)))
4342rexlimdv 3212 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇))
4443adantr 473 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → (∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇))
4518, 44mpd 15 . 2 ((𝜑𝑥𝑇) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇)
464adantr 473 . . 3 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑆 ∈ SAlg)
475adantr 473 . . 3 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝐷𝑉)
48 simpr 478 . . 3 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑓:ℕ⟶𝑇)
4946, 47, 1, 48subsaliuncl 41314 . 2 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ∈ 𝑇)
503, 10, 11, 45, 49issalnnd 41301 1 (𝜑𝑇 ∈ SAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3091  Vcvv 3386  cdif 3767  cin 3769  c0 4116   cuni 4629  wf 6098  (class class class)co 6879  cn 11313  t crest 16395  SAlgcsalg 41266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cc 9546  ax-ac2 9574  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-card 9052  df-acn 9055  df-ac 9226  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-rest 16397  df-salg 41267
This theorem is referenced by:  subsaluni  41316  issmflelem  41694  issmfle  41695  smfpimltxr  41697  smfconst  41699  issmfgtlem  41705  issmfgt  41706  smfaddlem2  41713  issmfgelem  41718  issmfge  41719  smfpimgtxr  41729  smfpimioompt  41734  smfresal  41736  smfrec  41737  smfmullem4  41742
  Copyright terms: Public domain W3C validator