Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subsalsal Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsalsal 41091
Description: A subspace sigma-algebra is a sigma algebra. This is Lemma 121A of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
subsalsal.1 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
subsalsal.2 (𝜑𝐷𝑉)
subsalsal.3 𝑇 = (𝑆t 𝐷)
Assertion
Ref Expression
subsalsal (𝜑𝑇 ∈ SAlg)

Proof of Theorem subsalsal
Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subsalsal.3 . . . 4 𝑇 = (𝑆t 𝐷)
21ovexi 6828 . . 3 𝑇 ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑𝑇 ∈ V)
4 subsalsal.1 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5 subsalsal.2 . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
640sald 41082 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
7 0in 4114 . . . . 5 (∅ ∩ 𝐷) = ∅
87eqcomi 2780 . . . 4 ∅ = (∅ ∩ 𝐷)
94, 5, 6, 8elrestd 39812 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
109, 1syl6eleqr 2861 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑇)
11 eqid 2771 . 2 𝑇 = 𝑇
12 id 22 . . . . . 6 (𝑥𝑇𝑥𝑇)
1312, 1syl6eleq 2860 . . . . 5 (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑆t 𝐷))
1413adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑆t 𝐷))
15 elrest 16296 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐷𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷)))
164, 5, 15syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷)))
1716adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷)))
1814, 17mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷))
194adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
20193adant3 1126 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → 𝑆 ∈ SAlg)
2153ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → 𝐷𝑉)
22 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
2319, 22saldifcld 41079 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆)
24233adant3 1126 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆)
25 eqid 2771 . . . . . . . 8 (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷) = (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷)
2620, 21, 24, 25elrestd 39812 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷))
271unieqi 4584 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (𝑆t 𝐷)
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑇 = (𝑆t 𝐷))
294, 5restuni3 39822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = ( 𝑆𝐷))
3028, 29eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 𝑇 = ( 𝑆𝐷))
3130adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → 𝑇 = ( 𝑆𝐷))
32 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → 𝑥 = (𝑦𝐷))
3331, 32difeq12d 3880 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → ( 𝑇𝑥) = (( 𝑆𝐷) ∖ (𝑦𝐷)))
34 indifdir 4032 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷) = (( 𝑆𝐷) ∖ (𝑦𝐷))
3534eqcomi 2780 . . . . . . . . . . 11 (( 𝑆𝐷) ∖ (𝑦𝐷)) = (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷)
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → (( 𝑆𝐷) ∖ (𝑦𝐷)) = (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷))
3733, 36eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → ( 𝑇𝑥) = (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷))
381a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → 𝑇 = (𝑆t 𝐷))
3937, 38eleq12d 2844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = (𝑦𝐷)) → (( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇 ↔ (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷)))
40393adant2 1125 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → (( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇 ↔ (( 𝑆𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷)))
4126, 40mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐷)) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇)
42413exp 1112 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝑆 → (𝑥 = (𝑦𝐷) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇)))
4342rexlimdv 3178 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇))
4443adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → (∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐷) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇))
4518, 44mpd 15 . 2 ((𝜑𝑥𝑇) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇)
464adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑆 ∈ SAlg)
475adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝐷𝑉)
48 simpr 471 . . 3 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑓:ℕ⟶𝑇)
4946, 47, 1, 48subsaliuncl 41090 . 2 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ∈ 𝑇)
503, 10, 11, 45, 49issalnnd 41077 1 (𝜑𝑇 ∈ SAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  Vcvv 3351  cdif 3720  cin 3722  c0 4063   cuni 4575  wf 6026  (class class class)co 6796  cn 11226  t crest 16289  SAlgcsalg 41042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cc 9463  ax-ac2 9491  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-acn 8972  df-ac 9143  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rest 16291  df-salg 41043
This theorem is referenced by:  subsaluni  41092  issmflelem  41470  issmfle  41471  smfpimltxr  41473  smfconst  41475  issmfgtlem  41481  issmfgt  41482  smfaddlem2  41489  issmfgelem  41494  issmfge  41495  smfpimgtxr  41505  smfpimioompt  41510  smfresal  41512  smfrec  41513  smfmullem4  41518
  Copyright terms: Public domain W3C validator