Theorem subsalsal 46613

Description: A subspace sigma-algebra is a sigma algebra. This is Lemma 121A of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsalsal.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
subsalsal.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
subsalsal.3	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↾t 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
subsalsal	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)

Proof of Theorem subsalsal

Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsalsal.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↾t 𝐷)
2	1	ovexi 7392	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
4		subsalsal.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		subsalsal.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
6	4	0sald 46604	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
7		0in 4349	. . . . 5 ⊢ (∅ ∩ 𝐷) = ∅
8	7	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ ∅ = (∅ ∩ 𝐷)
9	4, 5, 6, 8	elrestd 45362	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
10	9, 1	eleqtrrdi 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑇)
11		eqid 2736	. 2 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
12		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑇)
13	12, 1	eleqtrdi 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
15		elrest 17347	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)))
16	4, 5, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)))
18	14, 17	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷))
19	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
20	19	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝑆 ∈ SAlg)
21	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
22		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
23	19, 22	saldifcld 46601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
24	23	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
25		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷)
26	20, 21, 24, 25	elrestd 45362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
27	1	unieqi 4875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
29	4, 5	restuni3 45372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐷))
30	28, 29	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐷))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ∪ 𝑇 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐷))
32		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷))
33	31, 32	difeq12d 4079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) = ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷)))
34		indifdir 4247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) = ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷))
35	34	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷)) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷)) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷))
37	33, 36	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷))
38	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝑇 = (𝑆 ↾t 𝐷))
39	37, 38	eleq12d 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇 ↔ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
40	39	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇 ↔ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
41	26, 40	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)
42	41	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)))
43	42	rexlimdv 3135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇))
44	43	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇))
45	18, 44	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)
46	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑆 ∈ SAlg)
47	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝐷 ∈ 𝑉)
48		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑓:ℕ⟶𝑇)
49	46, 47, 1, 48	subsaliuncl 46612	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑇)
50	3, 10, 11, 45, 49	issalnnd 46599	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ∩ cin 3900  ∅c0 4285  ∪ cuni 4863  ⟶wf 6488  (class class class)co 7358  ℕcn 12145   ↾_t crest 17340  SAlgcsalg 46562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-ac2 10373  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-acn 9854  df-ac 10026  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rest 17342  df-salg 46563

This theorem is referenced by:  subsaluni  46614  issmflelem  46998  issmfle  46999  smfpimltxr  47001  smfconst  47003  issmfgtlem  47009  issmfgt  47010  smfaddlem2  47018  issmfgelem  47023  issmfge  47024  smfpimgtxr  47034  smfpimioompt  47040  smfresal  47042  smfrec  47043  smfmullem4  47048  smfpimne  47093