Theorem subsalsal 46330

Description: A subspace sigma-algebra is a sigma algebra. This is Lemma 121A of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsalsal.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
subsalsal.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
subsalsal.3	⊢ 𝑇 = (𝑆 ↾t 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
subsalsal	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)

Proof of Theorem subsalsal

Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsalsal.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ↾t 𝐷)
2	1	ovexi 7403	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
4		subsalsal.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		subsalsal.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
6	4	0sald 46321	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
7		0in 4356	. . . . 5 ⊢ (∅ ∩ 𝐷) = ∅
8	7	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ ∅ = (∅ ∩ 𝐷)
9	4, 5, 6, 8	elrestd 45075	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
10	9, 1	eleqtrrdi 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑇)
11		eqid 2729	. 2 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
12		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ 𝑇)
13	12, 1	eleqtrdi 2838	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
15		elrest 17366	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)))
16	4, 5, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)))
18	14, 17	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷))
19	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
20	19	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝑆 ∈ SAlg)
21	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
22		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
23	19, 22	saldifcld 46318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
24	23	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆)
25		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷)
26	20, 21, 24, 25	elrestd 45075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
27	1	unieqi 4879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷)
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
29	4, 5	restuni3 45085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐷))
30	28, 29	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐷))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ∪ 𝑇 = (∪ 𝑆 ∩ 𝐷))
32		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷))
33	31, 32	difeq12d 4086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) = ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷)))
34		indifdir 4254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) = ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷))
35	34	eqcomi 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷)) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷)
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑆 ∩ 𝐷) ∖ (𝑦 ∩ 𝐷)) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷))
37	33, 36	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) = ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷))
38	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → 𝑇 = (𝑆 ↾t 𝐷))
39	37, 38	eleq12d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇 ↔ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
40	39	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → ((∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇 ↔ ((∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∩ 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
41	26, 40	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷)) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)
42	41	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)))
43	42	rexlimdv 3132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇))
44	43	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐷) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇))
45	18, 44	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)
46	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑆 ∈ SAlg)
47	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝐷 ∈ 𝑉)
48		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → 𝑓:ℕ⟶𝑇)
49	46, 47, 1, 48	subsaliuncl 46329	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑇) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) ∈ 𝑇)
50	3, 10, 11, 45, 49	issalnnd 46316	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908   ∩ cin 3910  ∅c0 4292  ∪ cuni 4867  ⟶wf 6495  (class class class)co 7369  ℕcn 12162   ↾_t crest 17359  SAlgcsalg 46279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-ac2 10392  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-acn 9871  df-ac 10045  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rest 17361  df-salg 46280

This theorem is referenced by:  subsaluni  46331  issmflelem  46715  issmfle  46716  smfpimltxr  46718  smfconst  46720  issmfgtlem  46726  issmfgt  46727  smfaddlem2  46735  issmfgelem  46740  issmfge  46741  smfpimgtxr  46751  smfpimioompt  46757  smfresal  46759  smfrec  46760  smfmullem4  46765  smfpimne  46810