Theorem smfres 47484

Description: The restriction of sigma-measurable function is sigma-measurable. Proposition 121E (h) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfres.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
smfres	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfres

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1944	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfres.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		inss1 4190	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ⊆ dom 𝐹
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ⊆ dom 𝐹)
5		smfres.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
7	2, 5, 6	smfdmss 47427	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
8	4, 7	sstrd 3948	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ⊆ ∪ 𝑆)
9	2, 5, 6	smff 47426	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
10		fresin 6749	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℝ)
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℝ)
12		ovexd 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆 ↾t dom 𝐹) ∈ V)
13		smfres.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
16	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
17		mnfxr 11267	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
19		rexr 11256	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
20	19	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
21	15, 16, 6, 18, 20	smfpimioo 47481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
22		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴)
23	12, 14, 21, 22	elrestd 45806	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
24	9	ffund 6712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
25		respreima 7063	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
27	26	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
28	27	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
29	11	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℝ)
30	29, 20	preimaioomnf 47413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎})
31	28, 30	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎} = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
32	5	dmexd 7901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
33		restco 23302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ dom 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
34	2, 32, 13, 33	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
35	34	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
36	35	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) = ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
37	31, 36	eleq12d 2857	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) ↔ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴)))
38	23, 37	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
39	1, 2, 8, 11, 38	issmfd 47429	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4873   class class class wbr 5110  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663   ↾ cres 5665   “ cima 5666  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  (,)cioo 13373   ↾_t crest 17474  SAlgcsalg 47002  SMblFncsmblfn 47389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-ac2 10448  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-card 9926  df-acn 9929  df-ac 10101  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-fl 13827  df-rest 17476  df-salg 47003  df-smblfn 47390

This theorem is referenced by: (None)