Theorem smfres 46169

Description: The restriction of sigma-measurable function is sigma-measurable. Proposition 121E (h) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfres.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
smfres	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfres

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1910	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfres.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		inss1 4225	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ⊆ dom 𝐹
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ⊆ dom 𝐹)
5		smfres.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6		eqid 2728	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
7	2, 5, 6	smfdmss 46112	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
8	4, 7	sstrd 3989	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ⊆ ∪ 𝑆)
9	2, 5, 6	smff 46111	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
10		fresin 6761	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℝ)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℝ)
12		ovexd 7450	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆 ↾t dom 𝐹) ∈ V)
13		smfres.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
16	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
17		mnfxr 11296	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
19		rexr 11285	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
21	15, 16, 6, 18, 20	smfpimioo 46166	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
22		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴)
23	12, 14, 21, 22	elrestd 44465	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
24	9	ffund 6721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
25		respreima 7070	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
27	26	eqcomd 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
29	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℝ)
30	29, 20	preimaioomnf 46098	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎})
31	28, 30	eqtr2d 2769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎} = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
32	5	dmexd 7906	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
33		restco 23062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ dom 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
34	2, 32, 13, 33	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
36	35	eqcomd 2734	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) = ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
37	31, 36	eleq12d 2823	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) ↔ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴)))
38	23, 37	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
39	1, 2, 8, 11, 38	issmfd 46114	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3428  Vcvv 3470   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945  ∪ cuni 4904   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5672  dom cdm 5673   ↾ cres 5675   “ cima 5676  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  ℝcr 11132  -∞cmnf 11271  ℝ^*cxr 11272   < clt 11273  (,)cioo 13351   ↾_t crest 17396  SAlgcsalg 45687  SMblFncsmblfn 46074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cc 10453  ax-ac2 10481  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-sup 9460  df-inf 9461  df-card 9957  df-acn 9960  df-ac 10134  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-fl 13784  df-rest 17398  df-salg 45688  df-smblfn 46075

This theorem is referenced by: (None)