Theorem smfres 47626

Description: The restriction of sigma-measurable function is sigma-measurable. Proposition 121E (h) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfres.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
smfres	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfres

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfres.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		inss1 4185	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ⊆ dom 𝐹
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ⊆ dom 𝐹)
5		smfres.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
7	2, 5, 6	smfdmss 47569	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
8	4, 7	sstrd 3944	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ⊆ ∪ 𝑆)
9	2, 5, 6	smff 47568	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
10		fresin 6748	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℝ)
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℝ)
12		ovexd 7452	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆 ↾t dom 𝐹) ∈ V)
13		smfres.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
16	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
17		mnfxr 11294	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
19		rexr 11283	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
20	19	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
21	15, 16, 6, 18, 20	smfpimioo 47623	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
22		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴)
23	12, 14, 21, 22	elrestd 45948	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
24	9	ffund 6711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
25		respreima 7062	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
27	26	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
29	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℝ)
30	29, 20	preimaioomnf 47555	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎})
31	28, 30	eqtr2d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎} = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
32	5	dmexd 7904	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
33		restco 23395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ dom 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
34	2, 32, 13, 33	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
35	34	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
36	35	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) = ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
37	31, 36	eleq12d 2856	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) ↔ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴)))
38	23, 37	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
39	1, 2, 8, 11, 38	issmfd 47571	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   ↾ cres 5661   “ cima 5662  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  -∞cmnf 11269  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271  (,)cioo 13402   ↾_t crest 17511  SAlgcsalg 47144  SMblFncsmblfn 47531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cc 10441  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-ioo 13406  df-ico 13408  df-fl 13857  df-rest 17513  df-salg 47145  df-smblfn 47532

This theorem is used by: (None)