Theorem smfres 46788

Description: The restriction of sigma-measurable function is sigma-measurable. Proposition 121E (h) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfres.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
smfres	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfres

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfres.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		inss1 4200	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ⊆ dom 𝐹
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ⊆ dom 𝐹)
5		smfres.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
7	2, 5, 6	smfdmss 46731	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
8	4, 7	sstrd 3957	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ⊆ ∪ 𝑆)
9	2, 5, 6	smff 46730	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
10		fresin 6729	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℝ)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℝ)
12		ovexd 7422	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆 ↾t dom 𝐹) ∈ V)
13		smfres.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
16	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
17		mnfxr 11231	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
19		rexr 11220	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
21	15, 16, 6, 18, 20	smfpimioo 46785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴)
23	12, 14, 21, 22	elrestd 45102	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
24	9	ffund 6692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
25		respreima 7038	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
27	26	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
29	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℝ)
30	29, 20	preimaioomnf 46717	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎})
31	28, 30	eqtr2d 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎} = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
32	5	dmexd 7879	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
33		restco 23051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ dom 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
34	2, 32, 13, 33	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
36	35	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) = ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
37	31, 36	eleq12d 2822	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) ↔ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴)))
38	23, 37	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
39	1, 2, 8, 11, 38	issmfd 46733	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638   ↾ cres 5640   “ cima 5641  Fun wfun 6505  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  -∞cmnf 11206  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208  (,)cioo 13306   ↾_t crest 17383  SAlgcsalg 46306  SMblFncsmblfn 46693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-ac2 10416  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-card 9892  df-acn 9895  df-ac 10069  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-fl 13754  df-rest 17385  df-salg 46307  df-smblfn 46694

This theorem is referenced by: (None)