Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfres 44302
Description: The restriction of sigma-measurable function is sigma-measurable. Proposition 121E (h) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfres.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfres.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfres.a (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
smfres (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfres
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . 2 𝑎𝜑
2 smfres.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 inss1 4162 . . . 4 (dom 𝐹𝐴) ⊆ dom 𝐹
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) ⊆ dom 𝐹)
5 smfres.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6 eqid 2738 . . . 4 dom 𝐹 = dom 𝐹
72, 5, 6smfdmss 44247 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
84, 7sstrd 3930 . 2 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) ⊆ 𝑆)
92, 5, 6smff 44246 . . 3 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
10 fresin 6635 . . 3 (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ → (𝐹𝐴):(dom 𝐹𝐴)⟶ℝ)
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴):(dom 𝐹𝐴)⟶ℝ)
12 ovexd 7302 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆t dom 𝐹) ∈ V)
13 smfres.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
1413adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
152adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
165adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
17 mnfxr 11042 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
19 rexr 11031 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
2019adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
2115, 16, 6, 18, 20smfpimioo 44299 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆t dom 𝐹))
22 eqid 2738 . . . 4 ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴)
2312, 14, 21, 22elrestd 42639 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
249ffund 6596 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
25 respreima 6935 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → ((𝐹𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
2726eqcomd 2744 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = ((𝐹𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
2827adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = ((𝐹𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
2911adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹𝐴):(dom 𝐹𝐴)⟶ℝ)
3029, 20preimaioomnf 44234 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐴) ∣ ((𝐹𝐴)‘𝑥) < 𝑎})
3128, 30eqtr2d 2779 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐴) ∣ ((𝐹𝐴)‘𝑥) < 𝑎} = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
325dmexd 7742 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
33 restco 22325 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ dom 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆t (dom 𝐹𝐴)))
342, 32, 13, 33syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆t (dom 𝐹𝐴)))
3534adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆t (dom 𝐹𝐴)))
3635eqcomd 2744 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆t (dom 𝐹𝐴)) = ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
3731, 36eleq12d 2833 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐴) ∣ ((𝐹𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t (dom 𝐹𝐴)) ↔ ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴)))
3823, 37mpbird 256 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐴) ∣ ((𝐹𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t (dom 𝐹𝐴)))
391, 2, 8, 11, 38issmfd 44249 1 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3429  cin 3885  wss 3886   cuni 4839   class class class wbr 5073  ccnv 5583  dom cdm 5584  cres 5586  cima 5587  Fun wfun 6420  wf 6422  cfv 6426  (class class class)co 7267  cr 10880  -∞cmnf 11017  *cxr 11018   < clt 11019  (,)cioo 13089  t crest 17141  SAlgcsalg 43830  SMblFncsmblfn 44214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cc 10201  ax-ac2 10229  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-pm 8605  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-inf 9189  df-card 9707  df-acn 9710  df-ac 9882  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-ioo 13093  df-ico 13095  df-fl 13522  df-rest 17143  df-salg 43831  df-smblfn 44215
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator