Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfres 43288
 Description: The restriction of sigma-measurable function is sigma-measurable. Proposition 121E (h) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfres.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfres.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfres.a (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
smfres (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfres
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1916 . 2 𝑎𝜑
2 smfres.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 inss1 4190 . . . 4 (dom 𝐹𝐴) ⊆ dom 𝐹
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) ⊆ dom 𝐹)
5 smfres.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6 eqid 2824 . . . 4 dom 𝐹 = dom 𝐹
72, 5, 6smfdmss 43233 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
84, 7sstrd 3963 . 2 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) ⊆ 𝑆)
92, 5, 6smff 43232 . . 3 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
10 fresin 6536 . . 3 (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ → (𝐹𝐴):(dom 𝐹𝐴)⟶ℝ)
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴):(dom 𝐹𝐴)⟶ℝ)
12 ovexd 7181 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆t dom 𝐹) ∈ V)
13 smfres.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
1413adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
152adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
165adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
17 mnfxr 10692 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
19 rexr 10681 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
2019adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
2115, 16, 6, 18, 20smfpimioo 43285 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆t dom 𝐹))
22 eqid 2824 . . . 4 ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴)
2312, 14, 21, 22elrestd 41606 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
249ffund 6507 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
25 respreima 6825 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → ((𝐹𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
2726eqcomd 2830 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = ((𝐹𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
2827adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = ((𝐹𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
2911adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹𝐴):(dom 𝐹𝐴)⟶ℝ)
3029, 20preimaioomnf 43220 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐴) ∣ ((𝐹𝐴)‘𝑥) < 𝑎})
3128, 30eqtr2d 2860 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐴) ∣ ((𝐹𝐴)‘𝑥) < 𝑎} = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
325dmexd 7607 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
33 restco 21767 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ dom 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆t (dom 𝐹𝐴)))
342, 32, 13, 33syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆t (dom 𝐹𝐴)))
3534adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆t (dom 𝐹𝐴)))
3635eqcomd 2830 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆t (dom 𝐹𝐴)) = ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
3731, 36eleq12d 2910 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐴) ∣ ((𝐹𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t (dom 𝐹𝐴)) ↔ ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴)))
3823, 37mpbird 260 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐴) ∣ ((𝐹𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t (dom 𝐹𝐴)))
391, 2, 8, 11, 38issmfd 43235 1 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3137  Vcvv 3480   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  ∪ cuni 4825   class class class wbr 5053  ◡ccnv 5542  dom cdm 5543   ↾ cres 5545   “ cima 5546  Fun wfun 6338  ⟶wf 6340  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  ℝcr 10530  -∞cmnf 10667  ℝ*cxr 10668   < clt 10669  (,)cioo 12733   ↾t crest 16692  SAlgcsalg 42816  SMblFncsmblfn 43200 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cc 9851  ax-ac2 9879  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-inf 8900  df-card 9361  df-acn 9364  df-ac 9536  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-fl 13164  df-rest 16694  df-salg 42817  df-smblfn 43201 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator