Theorem smfres 44211

Description: The restriction of sigma-measurable function is sigma-measurable. Proposition 121E (h) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfres.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfres.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
smfres	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfres

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1918	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		smfres.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		inss1 4159	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ⊆ dom 𝐹
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ⊆ dom 𝐹)
5		smfres.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
7	2, 5, 6	smfdmss 44156	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
8	4, 7	sstrd 3927	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ⊆ ∪ 𝑆)
9	2, 5, 6	smff 44155	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
10		fresin 6627	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℝ)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℝ)
12		ovexd 7290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆 ↾t dom 𝐹) ∈ V)
13		smfres.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
15	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
16	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
17		mnfxr 10963	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
19		rexr 10952	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
21	15, 16, 6, 18, 20	smfpimioo 44208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
22		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴)
23	12, 14, 21, 22	elrestd 42547	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
24	9	ffund 6588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
25		respreima 6925	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
27	26	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
29	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ 𝐴):(dom 𝐹 ∩ 𝐴)⟶ℝ)
30	29, 20	preimaioomnf 44143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎})
31	28, 30	eqtr2d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎} = ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
32	5	dmexd 7726	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
33		restco 22223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ dom 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
34	2, 32, 13, 33	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
36	35	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) = ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
37	31, 36	eleq12d 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)) ↔ ((◡𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆 ↾t dom 𝐹) ↾t 𝐴)))
38	23, 37	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t (dom 𝐹 ∩ 𝐴)))
39	1, 2, 8, 11, 38	issmfd 44158	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580   ↾ cres 5582   “ cima 5583  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940  (,)cioo 13008   ↾_t crest 17048  SAlgcsalg 43739  SMblFncsmblfn 44123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-fl 13440  df-rest 17050  df-salg 43740  df-smblfn 44124

This theorem is referenced by: (None)