Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimlem1 43419
 Description: Lemma for the proof that the limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves that (𝐷 ∩ 𝐼) is in the subspace sigma-algebra induced by 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimlem1.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimlem1.2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimlem1.3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflimlem1.4 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
smflimlem1.5 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
smflimlem1.6 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
smflimlem1.7 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
Assertion
Ref Expression
smflimlem1 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑟   𝑥,𝐹   𝑃,𝑟   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛   𝑆,𝑠   𝑛,𝑍,𝑘,𝑚   𝑥,𝑍,𝑚,𝑛   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛   𝑘,𝑟,𝑚,𝜑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝐷(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑍(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem smflimlem1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smflimlem1.2 . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
2 smflimlem1.3 . . . 4 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
3 smflimlem1.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 fvex 6658 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
53, 4eqeltri 2886 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
6 uzssz 12254 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
73eleq2i 2881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
87biimpi 219 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
96, 8sseldi 3913 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
10 uzid 12248 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
1211ne0d 4251 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
13 fvex 6658 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑚) ∈ V
1413dmex 7600 . . . . . . . . . 10 dom (𝐹𝑚) ∈ V
1514rgenw 3118 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
17 iinexg 5208 . . . . . . . 8 (((ℤ𝑛) ≠ ∅ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
1812, 16, 17syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
1918rgen 3116 . . . . . 6 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
20 iunexg 7648 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
215, 19, 20mp2an 691 . . . . 5 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
2221rabex 5199 . . . 4 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ∈ V
232, 22eqeltri 2886 . . 3 𝐷 ∈ V
2423a1i 11 . 2 (𝜑𝐷 ∈ V)
25 smflimlem1.6 . . 3 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
26 nnct 13346 . . . . 5 ℕ ≼ ω
2726a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
28 nnn0 42026 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
2928a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
301adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ SAlg)
313uzct 41712 . . . . . 6 𝑍 ≼ ω
3231a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑍 ≼ ω)
3330adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
34 eqid 2798 . . . . . . . 8 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3534uzct 41712 . . . . . . 7 (ℤ𝑛) ≼ ω
3635a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ≼ ω)
3712adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
38 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
3938adantllr 718 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
40 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4140adantlll 717 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
423uztrn2 12252 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗𝑍)
4342ssd 41731 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
4443sselda 3915 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
4544adantll 713 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
46 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
47 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ)
48 fvex 6658 . . . . . . . . . 10 (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V
4948a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V)
50 smflimlem1.5 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
5150ovmpt4g 7277 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
5246, 47, 49, 51syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
53 simp1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝜑)
54 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))}
5554, 1rabexd 5200 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
57 smflimlem1.4 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
5857ovmpt4g 7277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
5946, 47, 56, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
60 ssrab2 4007 . . . . . . . . . 10 {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ⊆ 𝑆
6159, 60eqsstrdi 3969 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) ⊆ 𝑆)
6255ralrimivw 3150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
6362ralrimivw 3150 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
64633ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
6557elrnmpoid 41875 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
6646, 47, 64, 65syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
67 ovex 7168 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝑃𝑘) ∈ V
68 eleq1 2877 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝑟 ∈ ran 𝑃 ↔ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃))
6968anbi2d 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) ↔ (𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)))
70 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝐶𝑟) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
71 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → 𝑟 = (𝑚𝑃𝑘))
7270, 71eleq12d 2884 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝐶𝑟) ∈ 𝑟 ↔ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘)))
7369, 72imbi12d 348 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))))
74 smflimlem1.7 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
7567, 73, 74vtocl 3507 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
7653, 66, 75syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
7761, 76sseldd 3916 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ 𝑆)
7852, 77eqeltrd 2890 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
7939, 41, 45, 78syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8033, 36, 37, 79saliincl 42982 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8130, 32, 80saliuncl 42979 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
821, 27, 29, 81saliincl 42982 . . 3 (𝜑 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8325, 82eqeltrid 2894 . 2 (𝜑𝐼𝑆)
84 incom 4128 . 2 (𝐷𝐼) = (𝐼𝐷)
851, 24, 83, 84elrestd 41759 1 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ (𝑆t 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  {crab 3110  Vcvv 3441   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  ∪ ciun 4881  ∩ ciin 4882   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519  ran crn 5520  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  ωcom 7562   ≼ cdom 8492  1c1 10529   + caddc 10531   < clt 10666   / cdiv 11288  ℕcn 11627  ℤcz 11971  ℤ≥cuz 12233   ⇝ cli 14835   ↾t crest 16688  SAlgcsalg 42965 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-inf2 9090  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-omul 8092  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-oi 8960  df-card 9354  df-acn 9357  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-rest 16690  df-salg 42966 This theorem is referenced by:  smflimlem5  43423
 Copyright terms: Public domain W3C validator