Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimlem1 45487
Description: Lemma for the proof that the limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves that (𝐷𝐼) is in the subspace sigma-algebra induced by 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimlem1.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimlem1.2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimlem1.3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflimlem1.4 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
smflimlem1.5 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
smflimlem1.6 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
smflimlem1.7 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
Assertion
Ref Expression
smflimlem1 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑟   𝑥,𝐹   𝑃,𝑟   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛   𝑆,𝑠   𝑛,𝑍,𝑘,𝑚   𝑥,𝑍,𝑚,𝑛   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛   𝑘,𝑟,𝑚,𝜑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝐷(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑍(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem smflimlem1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smflimlem1.2 . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
2 smflimlem1.3 . . . 4 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
3 smflimlem1.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 fvex 6905 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
53, 4eqeltri 2830 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
6 uzssz 12843 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
73eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
87biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
96, 8sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
10 uzid 12837 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
1211ne0d 4336 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
13 fvex 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑚) ∈ V
1413dmex 7902 . . . . . . . . . 10 dom (𝐹𝑚) ∈ V
1514rgenw 3066 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
17 iinexg 5342 . . . . . . . 8 (((ℤ𝑛) ≠ ∅ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
1812, 16, 17syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
1918rgen 3064 . . . . . 6 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
20 iunexg 7950 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
215, 19, 20mp2an 691 . . . . 5 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
2221rabex 5333 . . . 4 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ∈ V
232, 22eqeltri 2830 . . 3 𝐷 ∈ V
2423a1i 11 . 2 (𝜑𝐷 ∈ V)
25 smflimlem1.6 . . 3 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
26 nnct 13946 . . . . 5 ℕ ≼ ω
2726a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
28 nnn0 44088 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
2928a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
301adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ SAlg)
313uzct 43750 . . . . . 6 𝑍 ≼ ω
3231a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑍 ≼ ω)
3330adantr 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
34 eqid 2733 . . . . . . . 8 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3534uzct 43750 . . . . . . 7 (ℤ𝑛) ≼ ω
3635a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ≼ ω)
3712adantl 483 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
38 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
3938adantllr 718 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
40 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4140adantlll 717 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
423uztrn2 12841 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗𝑍)
4342ssd 43769 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
4443sselda 3983 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
4544adantll 713 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
46 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
47 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ)
48 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V
4948a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V)
50 smflimlem1.5 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
5150ovmpt4g 7555 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
5246, 47, 49, 51syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
53 simp1 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝜑)
54 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))}
5554, 1rabexd 5334 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
57 smflimlem1.4 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
5857ovmpt4g 7555 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
5946, 47, 56, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
60 ssrab2 4078 . . . . . . . . . 10 {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ⊆ 𝑆
6159, 60eqsstrdi 4037 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) ⊆ 𝑆)
6255ralrimivw 3151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
6362ralrimivw 3151 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
64633ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
6557elrnmpoid 43927 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
6646, 47, 64, 65syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
67 ovex 7442 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝑃𝑘) ∈ V
68 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝑟 ∈ ran 𝑃 ↔ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃))
6968anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) ↔ (𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)))
70 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝐶𝑟) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
71 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → 𝑟 = (𝑚𝑃𝑘))
7270, 71eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝐶𝑟) ∈ 𝑟 ↔ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘)))
7369, 72imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))))
74 smflimlem1.7 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
7567, 73, 74vtocl 3550 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
7653, 66, 75syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
7761, 76sseldd 3984 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ 𝑆)
7852, 77eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
7939, 41, 45, 78syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8033, 36, 37, 79saliincl 45043 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8130, 32, 80saliuncl 45039 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
821, 27, 29, 81saliincl 45043 . . 3 (𝜑 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8325, 82eqeltrid 2838 . 2 (𝜑𝐼𝑆)
84 incom 4202 . 2 (𝐷𝐼) = (𝐼𝐷)
851, 24, 83, 84elrestd 43797 1 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  cin 3948  c0 4323   ciun 4998   ciin 4999   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678  cfv 6544  (class class class)co 7409  cmpo 7411  ωcom 7855  cdom 8937  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   / cdiv 11871  cn 12212  cz 12558  cuz 12822  cli 15428  t crest 17366  SAlgcsalg 45024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rest 17368  df-salg 45025
This theorem is referenced by:  smflimlem5  45491
  Copyright terms: Public domain W3C validator