Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimlem1 46727
Description: Lemma for the proof that the limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves that (𝐷𝐼) is in the subspace sigma-algebra induced by 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimlem1.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimlem1.2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimlem1.3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflimlem1.4 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
smflimlem1.5 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
smflimlem1.6 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
smflimlem1.7 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
Assertion
Ref Expression
smflimlem1 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑟   𝑥,𝐹   𝑃,𝑟   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛   𝑆,𝑠   𝑛,𝑍,𝑘,𝑚   𝑥,𝑍,𝑚,𝑛   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛   𝑘,𝑟,𝑚,𝜑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝐷(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑍(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem smflimlem1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smflimlem1.2 . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
2 smflimlem1.3 . . . 4 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
3 smflimlem1.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 fvex 6920 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
53, 4eqeltri 2835 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
6 uzssz 12897 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
73eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
87biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
96, 8sselid 3993 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
10 uzid 12891 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
1211ne0d 4348 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
13 fvex 6920 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑚) ∈ V
1413dmex 7932 . . . . . . . . . 10 dom (𝐹𝑚) ∈ V
1514rgenw 3063 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
17 iinexg 5354 . . . . . . . 8 (((ℤ𝑛) ≠ ∅ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
1812, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
1918rgen 3061 . . . . . 6 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
20 iunexg 7987 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
215, 19, 20mp2an 692 . . . . 5 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
2221rabex 5345 . . . 4 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ∈ V
232, 22eqeltri 2835 . . 3 𝐷 ∈ V
2423a1i 11 . 2 (𝜑𝐷 ∈ V)
25 smflimlem1.6 . . 3 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
26 nnct 14019 . . . . 5 ℕ ≼ ω
2726a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
28 nnn0 45328 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
2928a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
301adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ SAlg)
313uzct 45003 . . . . . 6 𝑍 ≼ ω
3231a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑍 ≼ ω)
3330adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
34 eqid 2735 . . . . . . . 8 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3534uzct 45003 . . . . . . 7 (ℤ𝑛) ≼ ω
3635a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ≼ ω)
3712adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
38 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
3938adantllr 719 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
40 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4140adantlll 718 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
423uztrn2 12895 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗𝑍)
4342ssd 45020 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
4443sselda 3995 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
4544adantll 714 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
46 simp3 1137 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
47 simp2 1136 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ)
48 fvex 6920 . . . . . . . . . 10 (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V
4948a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V)
50 smflimlem1.5 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
5150ovmpt4g 7580 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
5246, 47, 49, 51syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
53 simp1 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝜑)
54 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))}
5554, 1rabexd 5346 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
57 smflimlem1.4 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
5857ovmpt4g 7580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
5946, 47, 56, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
60 ssrab2 4090 . . . . . . . . . 10 {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ⊆ 𝑆
6159, 60eqsstrdi 4050 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) ⊆ 𝑆)
6255ralrimivw 3148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
6362ralrimivw 3148 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
64633ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
6557elrnmpoid 45171 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
6646, 47, 64, 65syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
67 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝑃𝑘) ∈ V
68 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝑟 ∈ ran 𝑃 ↔ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃))
6968anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) ↔ (𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)))
70 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝐶𝑟) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
71 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → 𝑟 = (𝑚𝑃𝑘))
7270, 71eleq12d 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝐶𝑟) ∈ 𝑟 ↔ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘)))
7369, 72imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))))
74 smflimlem1.7 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
7567, 73, 74vtocl 3558 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
7653, 66, 75syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
7761, 76sseldd 3996 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ 𝑆)
7852, 77eqeltrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
7939, 41, 45, 78syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8033, 36, 37, 79saliincl 46283 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8130, 32, 80saliuncl 46279 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
821, 27, 29, 81saliincl 46283 . . 3 (𝜑 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8325, 82eqeltrid 2843 . 2 (𝜑𝐼𝑆)
84 incom 4217 . 2 (𝐷𝐼) = (𝐼𝐷)
851, 24, 83, 84elrestd 45048 1 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  cin 3962  c0 4339   ciun 4996   ciin 4997   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  ωcom 7887  cdom 8982  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293   / cdiv 11918  cn 12264  cz 12611  cuz 12876  cli 15517  t crest 17467  SAlgcsalg 46264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rest 17469  df-salg 46265
This theorem is referenced by:  smflimlem5  46731
  Copyright terms: Public domain W3C validator