Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2ndmbfm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ndmbfm 32925
Description: The second projection map is measurable with regard to the product sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stmbfm.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1stmbfm.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
Assertion
Ref Expression
2ndmbfm (πœ‘ β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ ((𝑆 Γ—s 𝑇)MblFnM𝑇))

Proof of Theorem 2ndmbfm
Dummy variables 𝑧 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f2ndres 7950 . . . 4 (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):(βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)⟢βˆͺ 𝑇
2 1stmbfm.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
3 1stmbfm.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 sxuni 32856 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
52, 3, 4syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
65feq2d 6658 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):(βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)⟢βˆͺ 𝑇 ↔ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)⟢βˆͺ 𝑇))
71, 6mpbii 232 . . 3 (πœ‘ β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)⟢βˆͺ 𝑇)
8 unielsiga 32791 . . . . 5 (𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)
93, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)
10 sxsiga 32854 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
112, 3, 10syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
12 unielsiga 32791 . . . . 5 ((𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
149, 13elmapd 8785 . . 3 (πœ‘ β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ (βˆͺ 𝑇 ↑m βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)) ↔ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)⟢βˆͺ 𝑇))
157, 14mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ (βˆͺ 𝑇 ↑m βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)))
16 ffn 6672 . . . . . . . 8 ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):(βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)⟢βˆͺ 𝑇 β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) Fn (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
17 elpreima 7012 . . . . . . . 8 ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) Fn (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž)))
181, 16, 17mp2b 10 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (β—‘(2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
19 fvres 6865 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
2019eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ↔ (2nd β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
21 1st2nd2 7964 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩)
22 xp1st 7957 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑆)
23 elxp6 7959 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž) ↔ (𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ ((1st β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑆 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ π‘Ž)))
24 anass 470 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑆) ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ π‘Ž) ↔ (𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ ((1st β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑆 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ π‘Ž)))
2523, 24bitr4i 278 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž) ↔ ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑆) ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2625baib 537 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž) ↔ (2nd β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2721, 22, 26syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž) ↔ (2nd β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2820, 27bitr4d 282 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ↔ 𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž)))
2928pm5.32i 576 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž)))
3018, 29bitri 275 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β—‘(2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž)))
31 sgon 32787 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ 𝑇 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑇))
32 sigasspw 32779 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑇)
33 pwssb 5065 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑇 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑇 π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑇)
3433biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑇 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑇 π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑇)
353, 31, 32, 344syl 19 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑇 π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑇)
3635r19.21bi 3233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑇)
37 xpss2 5657 . . . . . . . . 9 (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑇 β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž) βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž) βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
3938sseld 3947 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž) β†’ 𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)))
4039pm4.71rd 564 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž))))
4130, 40bitr4id 290 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ 𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž)))
4241eqrdv 2731 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) β†’ (β—‘(2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) = (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž))
432adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
443adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
45 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
46 issgon 32786 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆) ↔ (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆))
472, 45, 46sylanblrc 591 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆))
48 baselsiga 32778 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
4947, 48syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
5049adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
51 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) β†’ π‘Ž ∈ 𝑇)
52 elsx 32857 . . . . 5 (((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) ∧ (βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆 ∧ π‘Ž ∈ 𝑇)) β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5343, 44, 50, 51, 52syl22anc 838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5442, 53eqeltrd 2834 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑇) β†’ (β—‘(2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5554ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑇 (β—‘(2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5611, 3ismbfm 32914 . 2 (πœ‘ β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ ((𝑆 Γ—s 𝑇)MblFnM𝑇) ↔ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ (βˆͺ 𝑇 ↑m βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑇 (β—‘(2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))))
5715, 55, 56mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ ((𝑆 Γ—s 𝑇)MblFnM𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  βŸ¨cop 4596  βˆͺ cuni 4869   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924   ↑m cmap 8771  sigAlgebracsiga 32771   Γ—s csx 32851  MblFnMcmbfm 32912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-siga 32772  df-sigagen 32802  df-sx 32852  df-mbfm 32913
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator