Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1stmbfm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 1stmbfm 33254
Description: The first projection map is measurable with regard to the product sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stmbfm.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1stmbfm.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
Assertion
Ref Expression
1stmbfm (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ ((𝑆 Γ—s 𝑇)MblFnM𝑆))
Proof of Theorem 1stmbfm
Dummy variables 𝑧 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 7998 . . . 4 (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):(βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆
2 1stmbfm.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
3 1stmbfm.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 sxuni 33186 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
65feq2d 6703 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):(βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆 ↔ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆))
71, 6mpbii 232 . . 3 (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆)
8 unielsiga 33121 . . . . 5 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
92, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
10 sxsiga 33184 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
112, 3, 10syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
12 unielsiga 33121 . . . . 5 ((𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
149, 13elmapd 8833 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)) ↔ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆))
157, 14mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)))
16 ffn 6717 . . . . . . . 8 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):(βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆 β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) Fn (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
17 elpreima 7059 . . . . . . . 8 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) Fn (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž)))
181, 16, 17mp2b 10 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
19 fvres 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) = (1st β€˜π‘§))
2019eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ↔ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
21 1st2nd2 8013 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩)
22 xp2nd 8007 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇)
23 elxp6 8008 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ ((1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇)))
24 anass 469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž) ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ ((1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇)))
25 an32 644 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž) ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ↔ ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2623, 24, 253bitr2i 298 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2726baib 536 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2821, 22, 27syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2920, 28bitr4d 281 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ↔ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
3029pm5.32i 575 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
3118, 30bitri 274 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
32 sgon 33117 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ 𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆))
33 sigasspw 33109 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆)
34 pwssb 5104 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
3534biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
362, 32, 33, 354syl 19 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
3736r19.21bi 3248 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
38 xpss1 5695 . . . . . . . . 9 (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆 β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
4039sseld 3981 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)))
4140pm4.71rd 563 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇))))
4231, 41bitr4id 289 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
4342eqrdv 2730 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) = (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇))
442adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
453adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
46 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
47 eqid 2732 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
48 issgon 33116 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇))
493, 47, 48sylanblrc 590 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑇))
50 baselsiga 33108 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑇) β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)
5149, 50syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)
5251adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)
53 elsx 33187 . . . . 5 (((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5444, 45, 46, 52, 53syl22anc 837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5543, 54eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5655ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5711, 2ismbfm 33244 . 2 (πœ‘ β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ ((𝑆 Γ—s 𝑇)MblFnM𝑆) ↔ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))))
5815, 56, 57mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ ((𝑆 Γ—s 𝑇)MblFnM𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973   ↑m cmap 8819  sigAlgebracsiga 33101   Γ—s csx 33181  MblFnMcmbfm 33242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821  df-siga 33102  df-sigagen 33132  df-sx 33182  df-mbfm 33243
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator