Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1stmbfm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1stmbfm 32900
Description: The first projection map is measurable with regard to the product sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stmbfm.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1stmbfm.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
Assertion
Ref Expression
1stmbfm (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ ((𝑆 Γ—s 𝑇)MblFnM𝑆))

Proof of Theorem 1stmbfm
Dummy variables 𝑧 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 7950 . . . 4 (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):(βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆
2 1stmbfm.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
3 1stmbfm.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 sxuni 32832 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
52, 3, 4syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
65feq2d 6659 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):(βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆 ↔ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆))
71, 6mpbii 232 . . 3 (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆)
8 unielsiga 32767 . . . . 5 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
92, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
10 sxsiga 32830 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
112, 3, 10syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
12 unielsiga 32767 . . . . 5 ((𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
149, 13elmapd 8786 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)) ↔ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆))
157, 14mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)))
16 ffn 6673 . . . . . . . 8 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):(βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆 β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) Fn (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
17 elpreima 7013 . . . . . . . 8 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) Fn (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž)))
181, 16, 17mp2b 10 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
19 fvres 6866 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) = (1st β€˜π‘§))
2019eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ↔ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
21 1st2nd2 7965 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩)
22 xp2nd 7959 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇)
23 elxp6 7960 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ ((1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇)))
24 anass 470 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž) ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ ((1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇)))
25 an32 645 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž) ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ↔ ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2623, 24, 253bitr2i 299 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2726baib 537 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2821, 22, 27syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2920, 28bitr4d 282 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ↔ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
3029pm5.32i 576 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
3118, 30bitri 275 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
32 sgon 32763 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ 𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆))
33 sigasspw 32755 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆)
34 pwssb 5066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
3534biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
362, 32, 33, 354syl 19 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
3736r19.21bi 3237 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
38 xpss1 5657 . . . . . . . . 9 (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆 β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
4039sseld 3948 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)))
4140pm4.71rd 564 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇))))
4231, 41bitr4id 290 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
4342eqrdv 2735 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) = (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇))
442adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
453adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
46 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
47 eqid 2737 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
48 issgon 32762 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇))
493, 47, 48sylanblrc 591 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑇))
50 baselsiga 32754 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑇) β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)
5149, 50syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)
5251adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)
53 elsx 32833 . . . . 5 (((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5444, 45, 46, 52, 53syl22anc 838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5543, 54eqeltrd 2838 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5655ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5711, 2ismbfm 32890 . 2 (πœ‘ β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ ((𝑆 Γ—s 𝑇)MblFnM𝑆) ↔ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))))
5815, 56, 57mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ ((𝑆 Γ—s 𝑇)MblFnM𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  βŸ¨cop 4597  βˆͺ cuni 4870   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925   ↑m cmap 8772  sigAlgebracsiga 32747   Γ—s csx 32827  MblFnMcmbfm 32888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-map 8774  df-siga 32748  df-sigagen 32778  df-sx 32828  df-mbfm 32889
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator