Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1stmbfm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 1stmbfm 33913
Description: The first projection map is measurable with regard to the product sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stmbfm.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1stmbfm.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
Assertion
Ref Expression
1stmbfm (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ ((𝑆 Γ—s 𝑇)MblFnM𝑆))
Proof of Theorem 1stmbfm
Dummy variables 𝑧 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 8023 . . . 4 (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):(βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆
2 1stmbfm.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
3 1stmbfm.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 sxuni 33845 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
52, 3, 4syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
65feq2d 6713 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):(βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆 ↔ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆))
71, 6mpbii 232 . . 3 (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆)
8 unielsiga 33780 . . . . 5 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
92, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
10 sxsiga 33843 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
112, 3, 10syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
12 unielsiga 33780 . . . . 5 ((𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
149, 13elmapd 8865 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)) ↔ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆))
157, 14mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)))
16 ffn 6727 . . . . . . . 8 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):(βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆 β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) Fn (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
17 elpreima 7072 . . . . . . . 8 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) Fn (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž)))
181, 16, 17mp2b 10 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
19 fvres 6921 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) = (1st β€˜π‘§))
2019eleq1d 2814 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ↔ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
21 1st2nd2 8038 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩)
22 xp2nd 8032 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇)
23 elxp6 8033 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ ((1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇)))
24 anass 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž) ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ ((1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇)))
25 an32 644 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž) ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ↔ ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2623, 24, 253bitr2i 298 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2726baib 534 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2821, 22, 27syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2920, 28bitr4d 281 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ↔ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
3029pm5.32i 573 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
3118, 30bitri 274 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
32 sgon 33776 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ 𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆))
33 sigasspw 33768 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆)
34 pwssb 5108 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
3534biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
362, 32, 33, 354syl 19 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
3736r19.21bi 3246 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
38 xpss1 5701 . . . . . . . . 9 (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆 β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
4039sseld 3981 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)))
4140pm4.71rd 561 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇))))
4231, 41bitr4id 289 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
4342eqrdv 2726 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) = (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇))
442adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
453adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
46 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
47 eqid 2728 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
48 issgon 33775 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇))
493, 47, 48sylanblrc 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑇))
50 baselsiga 33767 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑇) β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)
5149, 50syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)
5251adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)
53 elsx 33846 . . . . 5 (((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5444, 45, 46, 52, 53syl22anc 837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5543, 54eqeltrd 2829 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5655ralrimiva 3143 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5711, 2ismbfm 33903 . 2 (πœ‘ β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ ((𝑆 Γ—s 𝑇)MblFnM𝑆) ↔ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))))
5815, 56, 57mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ ((𝑆 Γ—s 𝑇)MblFnM𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606  βŸ¨cop 4638  βˆͺ cuni 4912   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684   β€œ cima 5685   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1st c1st 7997  2nd c2nd 7998   ↑m cmap 8851  sigAlgebracsiga 33760   Γ—s csx 33840  MblFnMcmbfm 33901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-map 8853  df-siga 33761  df-sigagen 33791  df-sx 33841  df-mbfm 33902
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator