Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1stmbfm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 1stmbfm 33788
Description: The first projection map is measurable with regard to the product sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stmbfm.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
1stmbfm.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
Assertion
Ref Expression
1stmbfm (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ ((𝑆 Γ—s 𝑇)MblFnM𝑆))
Proof of Theorem 1stmbfm
Dummy variables 𝑧 π‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 7995 . . . 4 (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):(βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆
2 1stmbfm.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
3 1stmbfm.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
4 sxuni 33720 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
52, 3, 4syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) = βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇))
65feq2d 6696 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):(βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆 ↔ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆))
71, 6mpbii 232 . . 3 (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆)
8 unielsiga 33655 . . . . 5 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
92, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
10 sxsiga 33718 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
112, 3, 10syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
12 unielsiga 33655 . . . . 5 ((𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
1311, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
149, 13elmapd 8833 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)) ↔ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆))
157, 14mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)))
16 ffn 6710 . . . . . . . 8 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)):(βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)⟢βˆͺ 𝑆 β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) Fn (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
17 elpreima 7052 . . . . . . . 8 ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) Fn (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž)))
181, 16, 17mp2b 10 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
19 fvres 6903 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) = (1st β€˜π‘§))
2019eleq1d 2812 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ↔ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
21 1st2nd2 8010 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩)
22 xp2nd 8004 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇)
23 elxp6 8005 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ ((1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇)))
24 anass 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž) ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ ((1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇)))
25 an32 643 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž) ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ↔ ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2623, 24, 253bitr2i 299 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2726baib 535 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2821, 22, 27syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (1st β€˜π‘§) ∈ π‘Ž))
2920, 28bitr4d 282 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž ↔ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
3029pm5.32i 574 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))β€˜π‘§) ∈ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
3118, 30bitri 275 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
32 sgon 33651 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ 𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆))
33 sigasspw 33643 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆)
34 pwssb 5097 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
3534biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 βŠ† 𝒫 βˆͺ 𝑆 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
362, 32, 33, 354syl 19 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
3736r19.21bi 3242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
38 xpss1 5688 . . . . . . . . 9 (π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆 β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇))
4039sseld 3976 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)))
4140pm4.71rd 562 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑧 ∈ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇))))
4231, 41bitr4id 290 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ↔ 𝑧 ∈ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇)))
4342eqrdv 2724 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) = (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇))
442adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
453adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
46 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž ∈ 𝑆)
47 eqid 2726 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
48 issgon 33650 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑇) ↔ (𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇))
493, 47, 48sylanblrc 589 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑇))
50 baselsiga 33642 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (sigAlgebraβ€˜βˆͺ 𝑇) β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)
5149, 50syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)
5251adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)
53 elsx 33721 . . . . 5 (((𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ 𝑇 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ βˆͺ 𝑇 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5444, 45, 46, 52, 53syl22anc 836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (π‘Ž Γ— βˆͺ 𝑇) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5543, 54eqeltrd 2827 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5655ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))
5711, 2ismbfm 33778 . 2 (πœ‘ β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ ((𝑆 Γ—s 𝑇)MblFnM𝑆) ↔ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ (βˆͺ 𝑆 ↑m βˆͺ (𝑆 Γ—s 𝑇)) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 (β—‘(1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) β€œ π‘Ž) ∈ (𝑆 Γ—s 𝑇))))
5815, 56, 57mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑆 Γ— βˆͺ 𝑇)) ∈ ((𝑆 Γ—s 𝑇)MblFnM𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  βŸ¨cop 4629  βˆͺ cuni 4902   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970   ↑m cmap 8819  sigAlgebracsiga 33635   Γ—s csx 33715  MblFnMcmbfm 33776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8821  df-siga 33636  df-sigagen 33666  df-sx 33716  df-mbfm 33777
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator