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Theorem bposlem5 27028
Description: Lemma for bpos 27033. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5))
bpos.2 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
bpos.3 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4 𝐾 = (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3))
bpos.5 𝑀 = (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
bposlem5 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑀,𝑝   𝑛,𝑁,𝑝   πœ‘,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem5
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1))
2 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝑛 ∈ β„™)
3 5nn 12303 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ β„•
4 bpos.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5))
5 eluznn 12907 . . . . . . . . . . 11 ((5 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
63, 4, 5sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
76nnnn0d 12537 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
8 fzctr 13618 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0...(2 Β· 𝑁)))
9 bccl2 14288 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...(2 Β· 𝑁)) β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•)
11 pccl 16787 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„™ ∧ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•) β†’ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) ∈ β„•0)
122, 10, 11syl2anr 596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) ∈ β„•0)
1312ralrimiva 3145 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) ∈ β„•0)
141, 13pcmptcl 16829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
1514simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•)
16 3nn 12296 . . . . 5 3 ∈ β„•
17 bpos.5 . . . . . 6 𝑀 = (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))
18 2z 12599 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„€
196nnzd 12590 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
20 zmulcl 12616 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€)
2118, 19, 20sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€)
2221zred 12671 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
23 2nn 12290 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•
24 nnmulcl 12241 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•)
2523, 6, 24sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•)
2625nnrpd 13019 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ+)
2726rpge0d 13025 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (2 Β· 𝑁))
2822, 27resqrtcld 15369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ ℝ)
2928flcld 13768 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))) ∈ β„€)
30 sqrt9 15225 . . . . . . . . 9 (βˆšβ€˜9) = 3
31 9re 12316 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 9 ∈ ℝ)
33 10re 12701 . . . . . . . . . . . 12 10 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 10 ∈ ℝ)
35 lep1 12060 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℝ β†’ 9 ≀ (9 + 1))
3631, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 9 ≀ (9 + 1)
37 9p1e10 12684 . . . . . . . . . . . . 13 (9 + 1) = 10
3836, 37breqtri 5173 . . . . . . . . . . . 12 9 ≀ 10
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 9 ≀ 10)
40 5cn 12305 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ β„‚
41 2cn 12292 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„‚
42 5t2e10 12782 . . . . . . . . . . . . 13 (5 Β· 2) = 10
4340, 41, 42mulcomli 11228 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· 5) = 10
44 eluzle 12840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5) β†’ 5 ≀ 𝑁)
454, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 5 ≀ 𝑁)
466nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
47 5re 12304 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℝ
48 2re 12291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
49 2pos 12320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
5048, 49pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
51 lemul2 12072 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (5 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 5) ≀ (2 Β· 𝑁)))
5247, 50, 51mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (5 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 5) ≀ (2 Β· 𝑁)))
5346, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (5 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 5) ≀ (2 Β· 𝑁)))
5445, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 Β· 5) ≀ (2 Β· 𝑁))
5543, 54eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 10 ≀ (2 Β· 𝑁))
5632, 34, 22, 39, 55letrd 11376 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 9 ≀ (2 Β· 𝑁))
57 0re 11221 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
58 9pos 12330 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 9
5957, 31, 58ltleii 11342 . . . . . . . . . . . 12 0 ≀ 9
6031, 59pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 9)
6122, 27jca 511 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (2 Β· 𝑁)))
62 sqrtle 15212 . . . . . . . . . . 11 (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 9) ∧ ((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (2 Β· 𝑁))) β†’ (9 ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ (βˆšβ€˜9) ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))))
6360, 61, 62sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (9 ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ (βˆšβ€˜9) ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))))
6456, 63mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜9) ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))
6530, 64eqbrtrrid 5184 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 3 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))
66 3z 12600 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„€
67 flge 13775 . . . . . . . . 9 (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„€) β†’ (3 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ↔ 3 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))))
6828, 66, 67sylancl 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (3 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ↔ 3 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))))
6965, 68mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 3 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))))
7066eluz1i 12835 . . . . . . 7 ((βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))) ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ↔ ((βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))) ∈ β„€ ∧ 3 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))))
7129, 69, 70sylanbrc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))) ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
7217, 71eqeltrid 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
73 eluznn 12907 . . . . 5 ((3 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
7416, 72, 73sylancr 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
7515, 74ffvelcdmd 7087 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„•)
7675nnred 12232 . 2 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ ℝ)
7774nnred 12232 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
78 ppicl 26872 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜π‘€) ∈ β„•0)
7977, 78syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘€) ∈ β„•0)
8025, 79nnexpcld 14213 . . 3 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)) ∈ β„•)
8180nnred 12232 . 2 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)) ∈ ℝ)
82 nndivre 12258 . . . . 5 (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
8328, 16, 82sylancl 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
84 readdcl 11196 . . . 4 ((((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
8583, 48, 84sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
8622, 27, 85recxpcld 26468 . 2 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ)
87 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1))
88 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 1 β†’ (Ο€β€˜π‘₯) = (Ο€β€˜1))
89 ppi1 26905 . . . . . . . 8 (Ο€β€˜1) = 0
9088, 89eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (π‘₯ = 1 β†’ (Ο€β€˜π‘₯) = 0)
9190oveq2d 7428 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) = ((2 Β· 𝑁)↑0))
9287, 91breq12d 5161 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) ↔ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑0)))
9392imbi2d 340 . . . 4 (π‘₯ = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑0))))
94 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜))
95 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (Ο€β€˜π‘₯) = (Ο€β€˜π‘˜))
9695oveq2d 7428 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) = ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)))
9794, 96breq12d 5161 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) ↔ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜))))
9897imbi2d 340 . . . 4 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)))))
99 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)))
100 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) = (Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))
101100oveq2d 7428 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) = ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))))
10299, 101breq12d 5161 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) ↔ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
103102imbi2d 340 . . . 4 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))))))
104 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€))
105 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (Ο€β€˜π‘₯) = (Ο€β€˜π‘€))
106105oveq2d 7428 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) = ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)))
107104, 106breq12d 5161 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) ↔ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€))))
108107imbi2d 340 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)))))
109 1z 12597 . . . . . . . 8 1 ∈ β„€
110 seq1 13984 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„€ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) = (πΉβ€˜1))
111109, 110ax-mp 5 . . . . . . 7 (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) = (πΉβ€˜1)
112 1nn 12228 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•
113 1nprm 16621 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 1 ∈ β„™
114 eleq1 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ 1 ∈ β„™))
115113, 114mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 β†’ Β¬ 𝑛 ∈ β„™)
116115iffalsed 4539 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
117 1ex 11215 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
118116, 1, 117fvmpt 6998 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
119112, 118ax-mp 5 . . . . . . 7 (πΉβ€˜1) = 1
120111, 119eqtri 2759 . . . . . 6 (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) = 1
121 1le1 11847 . . . . . 6 1 ≀ 1
122120, 121eqbrtri 5169 . . . . 5 (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) ≀ 1
12321zcnd 12672 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„‚)
124123exp0d 14110 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑0) = 1)
125122, 124breqtrrid 5186 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑0))
12615ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ β„•)
127126nnred 12232 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
128127adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
12925ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•)
130 nnre 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
131130ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
132 ppicl 26872 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (Ο€β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
134129, 133nnexpcld 14213 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) ∈ β„•)
135134nnred 12232 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
136 nnre 12224 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 Β· 𝑁) ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
137 nngt0 12248 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 Β· 𝑁) ∈ β„• β†’ 0 < (2 Β· 𝑁))
138136, 137jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((2 Β· 𝑁) ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 Β· 𝑁)))
13925, 138syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 Β· 𝑁)))
140139ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 Β· 𝑁)))
141 lemul1 12071 . . . . . . . . . 10 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) ∈ ℝ ∧ ((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 Β· 𝑁))) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ (((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) Β· (2 Β· 𝑁))))
142128, 135, 140, 141syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ (((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) Β· (2 Β· 𝑁))))
143 nnz 12584 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„€)
144143adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
145 ppiprm 26892 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (Ο€β€˜(π‘˜ + 1)) = ((Ο€β€˜π‘˜) + 1))
146144, 145sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (Ο€β€˜(π‘˜ + 1)) = ((Ο€β€˜π‘˜) + 1))
147146oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) = ((2 Β· 𝑁)↑((Ο€β€˜π‘˜) + 1)))
148123ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„‚)
149148, 133expp1d 14117 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑((Ο€β€˜π‘˜) + 1)) = (((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) Β· (2 Β· 𝑁)))
150147, 149eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) = (((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) Β· (2 Β· 𝑁)))
151150breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ (((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) Β· (2 Β· 𝑁))))
152142, 151bitr4d 282 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
153 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
154 nnuz 12870 . . . . . . . . . . . . 13 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
155153, 154eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
156 seqp1 13986 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
157155, 156syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
158157adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
159 peano2nn 12229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
160159adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
161 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ (π‘˜ + 1) ∈ β„™))
162 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ 𝑛 = (π‘˜ + 1))
163 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = ((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
164162, 163oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))) = ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))))
165161, 164ifbieq1d 4552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1) = if((π‘˜ + 1) ∈ β„™, ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1))
166 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))) ∈ V
167166, 117ifex 4578 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((π‘˜ + 1) ∈ β„™, ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1) ∈ V
168165, 1, 167fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = if((π‘˜ + 1) ∈ β„™, ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1))
169160, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = if((π‘˜ + 1) ∈ β„™, ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1))
170 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ + 1) ∈ β„™ β†’ if((π‘˜ + 1) ∈ β„™, ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1) = ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))))
171169, 170sylan9eq 2791 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))))
1726adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
173 bposlem1 27024 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))) ≀ (2 Β· 𝑁))
174172, 173sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))) ≀ (2 Β· 𝑁))
175171, 174eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (2 Β· 𝑁))
17614simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
177 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•)
178176, 159, 177syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•)
179178nnred 12232 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
180179adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
18122ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
182 nnre 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
183 nngt0 12248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ β„• β†’ 0 < (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜))
184182, 183jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ β„• β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜)))
185126, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜)))
186185adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜)))
187 lemul2 12072 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ ∧ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜))) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁))))
188180, 181, 186, 187syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁))))
189175, 188mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)))
190158, 189eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)))
191 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„• ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•)
19215, 159, 191syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•)
193192nnred 12232 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
19425adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•)
195126, 194nnmulcld 12270 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ∈ β„•)
196195nnred 12232 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ∈ ℝ)
197160nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
198 ppicl 26872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ + 1) ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•0)
199197, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Ο€β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•0)
200194, 199nnexpcld 14213 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ β„•)
201200nnred 12232 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
202 letr 11313 . . . . . . . . . . 11 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ ∧ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ) β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ∧ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
203193, 196, 201, 202syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ∧ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
204203adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ∧ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
205190, 204mpand 692 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
206152, 205sylbid 239 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
207157adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
208 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™ β†’ if((π‘˜ + 1) ∈ β„™, ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
209169, 208sylan9eq 2791 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 1)
210209oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· 1))
211126adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ β„•)
212211nncnd 12233 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
213212mulridd 11236 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· 1) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜))
214207, 210, 2133eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜))
215 ppinprm 26893 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (Ο€β€˜(π‘˜ + 1)) = (Ο€β€˜π‘˜))
216144, 215sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (Ο€β€˜(π‘˜ + 1)) = (Ο€β€˜π‘˜))
217216oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) = ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)))
218214, 217breq12d 5161 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) ↔ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜))))
219218biimprd 247 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
220206, 219pm2.61dan 810 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
221220expcom 413 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))))))
222221a2d 29 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜))) β†’ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))))))
22393, 98, 103, 108, 125, 222nnind 12235 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€))))
22474, 223mpcom 38 . 2 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)))
225 cxpexp 26413 . . . 4 (((2 Β· 𝑁) ∈ β„‚ ∧ (Ο€β€˜π‘€) ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(Ο€β€˜π‘€)) = ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)))
226123, 79, 225syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(Ο€β€˜π‘€)) = ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)))
22779nn0red 12538 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘€) ∈ ℝ)
228 nndivre 12258 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
22977, 16, 228sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
230 readdcl 11196 . . . . . 6 (((𝑀 / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
231229, 48, 230sylancl 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
23274nnnn0d 12537 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
233232nn0ge0d 12540 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
234 ppiub 26944 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (Ο€β€˜π‘€) ≀ ((𝑀 / 3) + 2))
23577, 233, 234syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘€) ≀ ((𝑀 / 3) + 2))
23648a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
237 flle 13769 . . . . . . . . 9 ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))) ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))
23828, 237syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))) ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))
23917, 238eqbrtrid 5183 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))
240 3re 12297 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
241 3pos 12322 . . . . . . . . . 10 0 < 3
242240, 241pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
243242a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
244 lediv1 12084 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) β†’ (𝑀 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≀ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3)))
24577, 28, 243, 244syl3anc 1370 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≀ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3)))
246239, 245mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 / 3) ≀ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3))
247229, 83, 236, 246leadd1dd 11833 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀 / 3) + 2) ≀ (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2))
248227, 231, 85, 235, 247letrd 11376 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘€) ≀ (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2))
249 2t1e2 12380 . . . . . . . 8 (2 Β· 1) = 2
2506nnge1d 12265 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑁)
251 1re 11219 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
252 lemul2 12072 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (1 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 1) ≀ (2 Β· 𝑁)))
253251, 50, 252mp3an13 1451 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (1 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 1) ≀ (2 Β· 𝑁)))
25446, 253syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 1) ≀ (2 Β· 𝑁)))
255250, 254mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· 1) ≀ (2 Β· 𝑁))
256249, 255eqbrtrrid 5184 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (2 Β· 𝑁))
25718eluz1i 12835 . . . . . . 7 ((2 Β· 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ ((2 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ 2 ≀ (2 Β· 𝑁)))
25821, 256, 257sylanbrc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
259 eluz2gt1 12909 . . . . . 6 ((2 Β· 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < (2 Β· 𝑁))
260258, 259syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 < (2 Β· 𝑁))
26122, 260, 227, 85cxpled 26465 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜π‘€) ≀ (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2) ↔ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(Ο€β€˜π‘€)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2))))
262248, 261mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(Ο€β€˜π‘€)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2)))
263226, 262eqbrtrrd 5172 . 2 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2)))
26476, 81, 86, 224, 263letrd 11376 1 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   < clt 11253   ≀ cle 11254   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  3c3 12273  5c5 12275  9c9 12279  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  cdc 12682  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  βŒŠcfl 13760  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032  Ccbc 14267  βˆšcsqrt 15185  β„™cprime 16613   pCnt cpc 16774  β†‘𝑐ccxp 26301  Ο€cppi 26835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-cxp 26303  df-ppi 26841
This theorem is referenced by:  bposlem6  27029
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