bposlem5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem bposlem5 26434

Description: Lemma for bpos 26439. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5	⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem5	⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))

Distinct variable groups: 𝐹,𝑝 𝑛,𝑝,𝐾 𝑀,𝑝 𝑛,𝑁,𝑝 𝜑,𝑛,𝑝 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑛) 𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem5 Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
2		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℙ)
3		5nn 12059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
4		bpos.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
5		eluznn 12657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
8		fzctr 13367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9		bccl2 14035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
11		pccl 16548	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
12	2, 10, 11	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
13	12	ralrimiva 3110	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
14	1, 13	pcmptcl 16590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
15	14	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
16		3nn 12052	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
17		bpos.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
18		2z 12352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	6	nnzd 12424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		zmulcl 12369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
21	18, 19, 20	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
22	21	zred 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
23		2nn 12046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
24		nnmulcl 11997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
25	23, 6, 24	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
26	25	nnrpd 12769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
27	26	rpge0d 12775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
28	22, 27	resqrtcld 15127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
29	28	flcld 13516	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
30		sqrt9 14983	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘9) = 3
31		9re 12072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
33		10re 12455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;10 ∈ ℝ)
35		lep1 11816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 9 ≤ (9 + 1)
37		9p1e10 12438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 1) = ;10
38	36, 37	breqtri 5104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ≤ ;10
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ ;10)
40		5cn 12061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℂ
41		2cn 12048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		5t2e10 12536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 2) = ;10
43	40, 41, 42	mulcomli 10985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 5) = ;10
44		eluzle 12594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) → 5 ≤ 𝑁)
45	4, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
46	6	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
47		5re 12060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℝ
48		2re 12047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
49		2pos 12076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
50	48, 49	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
51		lemul2 11828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
52	47, 50, 51	mp3an13 1451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
53	46, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
54	45, 53	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
55	43, 54	eqbrtrrid 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;10 ≤ (2 · 𝑁))
56	32, 34, 22, 39, 55	letrd 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
57		0re 10978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		9pos 12086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 9
59	57, 31, 58	ltleii 11098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 9
60	31, 59	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
61	22, 27	jca 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
62		sqrtle 14970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
63	60, 61, 62	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
64	56, 63	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
65	30, 64	eqbrtrrid 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
66		3z 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
67		flge 13523	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
68	28, 66, 67	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
69	65, 68	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
70	66	eluz1i 12589	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ_≥‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
71	29, 69, 70	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ_≥‘3))
72	17, 71	eqeltrid 2845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3))
73		eluznn 12657	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ)
74	16, 72, 73	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
75	15, 74	ffvelrnd 6959	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
76	75	nnred 11988	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
77	74	nnred 11988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
78		ppicl 26278	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (π‘𝑀) ∈ ℕ₀)
79	77, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ∈ ℕ₀)
80	25, 79	nnexpcld 13958	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)) ∈ ℕ)
81	80	nnred 11988	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)) ∈ ℝ)
82		nndivre 12014	. . . . 5 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
83	28, 16, 82	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
84		readdcl 10955	. . . 4 ⊢ ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
85	83, 48, 84	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
86	22, 27, 85	recxpcld 25876	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ)
87		fveq2 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘1))
88		fveq2 6771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (π‘𝑥) = (π‘1))
89		ppi1 26311	. . . . . . . 8 ⊢ (π‘1) = 0
90	88, 89	eqtrdi 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (π‘𝑥) = 0)
91	90	oveq2d 7287	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑0))
92	87, 91	breq12d 5092	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0)))
93	92	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0))))
94		fveq2 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
95		fveq2 6771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (π‘𝑥) = (π‘𝑘))
96	95	oveq2d 7287	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)))
97	94, 96	breq12d 5092	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘))))
98	97	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)))))
99		fveq2 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
100		fveq2 6771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (π‘𝑥) = (π‘(𝑘 + 1)))
101	100	oveq2d 7287	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))
102	99, 101	breq12d 5092	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
103	102	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
104		fveq2 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
105		fveq2 6771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (π‘𝑥) = (π‘𝑀))
106	105	oveq2d 7287	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
107	104, 106	breq12d 5092	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀))))
108	107	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))))
109		1z 12350	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
110		seq1 13732	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
111	109, 110	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
112		1nn 11984	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
113		1nprm 16382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
114		eleq1 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
115	113, 114	mtbiri 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → ¬ 𝑛 ∈ ℙ)
116	115	iffalsed 4476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
117		1ex 10972	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
118	116, 1, 117	fvmpt 6872	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) = 1)
119	112, 118	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘1) = 1
120	111, 119	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , 𝐹)‘1) = 1
121		1le1 11603	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 1
122	120, 121	eqbrtri 5100	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ 1
123	21	zcnd 12426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
124	123	exp0d 13856	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑0) = 1)
125	122, 124	breqtrrid 5117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0))
126	15	ffvelrnda 6958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
127	126	nnred 11988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
129	25	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
130		nnre 11980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
131	130	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℝ)
132		ppicl 26278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (π‘𝑘) ∈ ℕ₀)
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘𝑘) ∈ ℕ₀)
134	129, 133	nnexpcld 13958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ∈ ℕ)
135	134	nnred 11988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ∈ ℝ)
136		nnre 11980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
137		nngt0 12004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑁))
138	136, 137	jca 512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
139	25, 138	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
140	139	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
141		lemul1 11827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁))) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁))))
142	128, 135, 140, 141	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁))))
143		nnz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
144	143	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
145		ppiprm 26298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = ((π‘𝑘) + 1))
146	144, 145	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = ((π‘𝑘) + 1))
147	146	oveq2d 7287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = ((2 · 𝑁)↑((π‘𝑘) + 1)))
148	123	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
149	148, 133	expp1d 13863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑((π‘𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁)))
150	147, 149	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁)))
151	150	breq2d 5091	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁))))
152	142, 151	bitr4d 281	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
153		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
154		nnuz 12620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
155	153, 154	eleqtrdi 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1))
156		seqp1 13734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
157	155, 156	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
158	157	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
159		peano2nn 11985	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
160	159	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
161		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑘 + 1) ∈ ℙ))
162		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
163		oveq1 7278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = ((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
164	162, 163	oveq12d 7289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
165	161, 164	ifbieq1d 4489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
166		ovex 7304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ V
167	166, 117	ifex 4515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) ∈ V
168	165, 1, 167	fvmpt 6872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
169	160, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
170		iftrue 4471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
171	169, 170	sylan9eq 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
172	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
173		bposlem1 26430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
174	172, 173	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
175	171, 174	eqbrtrd 5101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁))
176	14	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
177		ffvelrn 6956	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
178	176, 159, 177	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
179	178	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
180	179	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
181	22	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
182		nnre 11980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
183		nngt0 12004	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
184	182, 183	jca 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
185	126, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
186	185	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
187		lemul2 11828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁))))
188	180, 181, 186, 187	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁))))
189	175, 188	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)))
190	158, 189	eqbrtrd 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)))
191		ffvelrn 6956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
192	15, 159, 191	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
193	192	nnred 11988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
194	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
195	126, 194	nnmulcld 12026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
196	195	nnred 11988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
197	160	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
198		ppicl 26278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ₀)
199	197, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ₀)
200	194, 199	nnexpcld 13958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℕ)
201	200	nnred 11988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
202		letr 11069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
203	193, 196, 201, 202	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
204	203	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
205	190, 204	mpand 692	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
206	152, 205	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
207	157	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
208		iffalse 4474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
209	169, 208	sylan9eq 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 1)
210	209	oveq2d 7287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · 1))
211	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
212	211	nncnd 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
213	212	mulid1d 10993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · 1) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
214	207, 210, 213	3eqtrd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
215		ppinprm 26299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = (π‘𝑘))
216	144, 215	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = (π‘𝑘))
217	216	oveq2d 7287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)))
218	214, 217	breq12d 5092	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘))))
219	218	biimprd 247	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
220	206, 219	pm2.61dan 810	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
221	220	expcom 414	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
222	221	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘))) → (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
223	93, 98, 103, 108, 125, 222	nnind 11991	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀))))
224	74, 223	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
225		cxpexp 25821	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (π‘𝑀) ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
226	123, 79, 225	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
227	79	nn0red 12294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ∈ ℝ)
228		nndivre 12014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
229	77, 16, 228	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
230		readdcl 10955	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
231	229, 48, 230	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
232	74	nnnn0d 12293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
233	232	nn0ge0d 12296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
234		ppiub 26350	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (π‘𝑀) ≤ ((𝑀 / 3) + 2))
235	77, 233, 234	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ≤ ((𝑀 / 3) + 2))
236	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
237		flle 13517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
238	28, 237	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
239	17, 238	eqbrtrid 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
240		3re 12053	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
241		3pos 12078	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
242	240, 241	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
243	242	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
244		lediv1 11840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3)))
245	77, 28, 243, 244	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3)))
246	239, 245	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3))
247	229, 83, 236, 246	leadd1dd 11589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 3) + 2) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))
248	227, 231, 85, 235, 247	letrd 11132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))
249		2t1e2 12136	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
250	6	nnge1d 12021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
251		1re 10976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
252		lemul2 11828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
253	251, 50, 252	mp3an13 1451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
254	46, 253	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
255	250, 254	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
256	249, 255	eqbrtrrid 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (2 · 𝑁))
257	18	eluz1i 12589	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ ((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑁)))
258	21, 256, 257	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2))
259		eluz2gt1 12659	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < (2 · 𝑁))
260	258, 259	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (2 · 𝑁))
261	22, 260, 227, 85	cxpled 25873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((π‘𝑀) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ↔ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))))
262	248, 261	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
263	226, 262	eqbrtrrd 5103	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
264	76, 81, 86, 224, 263	letrd 11132	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 = wceq 1542 ∈ wcel 2110 ∃wrex 3067 ifcif 4465 class class class wbr 5079 ↦ cmpt 5162 ⟶wf 6428 ‘cfv 6432 (class class class)co 7271 ℂcc 10870 ℝcr 10871 0cc0 10872 1c1 10873 + caddc 10875 · cmul 10877 < clt 11010 ≤ cle 11011 / cdiv 11632 ℕcn 11973 2c2 12028 3c3 12029 5c5 12031 9c9 12035 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 cdc 12436 ℤ_≥cuz 12581 ...cfz 13238 ⌊cfl 13508 seqcseq 13719 ↑cexp 13780 Ccbc 14014 √csqrt 14942 ℙcprime 16374 pCnt cpc 16535 ↑_𝑐ccxp 25709 πcppi 26241

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1975 ax-7 2015 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2711 ax-rep 5214 ax-sep 5227 ax-nul 5234 ax-pow 5292 ax-pr 5356 ax-un 7582 ax-inf2 9377 ax-cnex 10928 ax-resscn 10929 ax-1cn 10930 ax-icn 10931 ax-addcl 10932 ax-addrcl 10933 ax-mulcl 10934 ax-mulrcl 10935 ax-mulcom 10936 ax-addass 10937 ax-mulass 10938 ax-distr 10939 ax-i2m1 10940 ax-1ne0 10941 ax-1rid 10942 ax-rnegex 10943 ax-rrecex 10944 ax-cnre 10945 ax-pre-lttri 10946 ax-pre-lttrn 10947 ax-pre-ltadd 10948 ax-pre-mulgt0 10949 ax-pre-sup 10950 ax-addf 10951 ax-mulf 10952

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2072 df-mo 2542 df-eu 2571 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2818 df-nfc 2891 df-ne 2946 df-nel 3052 df-ral 3071 df-rex 3072 df-reu 3073 df-rmo 3074 df-rab 3075 df-v 3433 df-sbc 3721 df-csb 3838 df-dif 3895 df-un 3897 df-in 3899 df-ss 3909 df-pss 3911 df-nul 4263 df-if 4466 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4846 df-int 4886 df-iun 4932 df-iin 4933 df-br 5080 df-opab 5142 df-mpt 5163 df-tr 5197 df-id 5490 df-eprel 5496 df-po 5504 df-so 5505 df-fr 5545 df-se 5546 df-we 5547 df-xp 5596 df-rel 5597 df-cnv 5598 df-co 5599 df-dm 5600 df-rn 5601 df-res 5602 df-ima 5603 df-pred 6201 df-ord 6268 df-on 6269 df-lim 6270 df-suc 6271 df-iota 6390 df-fun 6434 df-fn 6435 df-f 6436 df-f1 6437 df-fo 6438 df-f1o 6439 df-fv 6440 df-isom 6441 df-riota 7228 df-ov 7274 df-oprab 7275 df-mpo 7276 df-of 7527 df-om 7707 df-1st 7824 df-2nd 7825 df-supp 7969 df-frecs 8088 df-wrecs 8119 df-recs 8193 df-rdg 8232 df-1o 8288 df-2o 8289 df-oadd 8292 df-er 8481 df-map 8600 df-pm 8601 df-ixp 8669 df-en 8717 df-dom 8718 df-sdom 8719 df-fin 8720 df-fsupp 9107 df-fi 9148 df-sup 9179 df-inf 9180 df-oi 9247 df-dju 9660 df-card 9698 df-pnf 11012 df-mnf 11013 df-xr 11014 df-ltxr 11015 df-le 11016 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-5 12039 df-6 12040 df-7 12041 df-8 12042 df-9 12043 df-n0 12234 df-xnn0 12306 df-z 12320 df-dec 12437 df-uz 12582 df-q 12688 df-rp 12730 df-xneg 12847 df-xadd 12848 df-xmul 12849 df-ioo 13082 df-ioc 13083 df-ico 13084 df-icc 13085 df-fz 13239 df-fzo 13382 df-fl 13510 df-mod 13588 df-seq 13720 df-exp 13781 df-fac 13986 df-bc 14015 df-hash 14043 df-shft 14776 df-cj 14808 df-re 14809 df-im 14810 df-sqrt 14944 df-abs 14945 df-limsup 15178 df-clim 15195 df-rlim 15196 df-sum 15396 df-ef 15775 df-sin 15777 df-cos 15778 df-pi 15780 df-dvds 15962 df-gcd 16200 df-prm 16375 df-pc 16536 df-struct 16846 df-sets 16863 df-slot 16881 df-ndx 16893 df-base 16911 df-ress 16940 df-plusg 16973 df-mulr 16974 df-starv 16975 df-sca 16976 df-vsca 16977 df-ip 16978 df-tset 16979 df-ple 16980 df-ds 16982 df-unif 16983 df-hom 16984 df-cco 16985 df-rest 17131 df-topn 17132 df-0g 17150 df-gsum 17151 df-topgen 17152 df-pt 17153 df-prds 17156 df-xrs 17211 df-qtop 17216 df-imas 17217 df-xps 17219 df-mre 17293 df-mrc 17294 df-acs 17296 df-mgm 18324 df-sgrp 18373 df-mnd 18384 df-submnd 18429 df-mulg 18699 df-cntz 18921 df-cmn 19386 df-psmet 20587 df-xmet 20588 df-met 20589 df-bl 20590 df-mopn 20591 df-fbas 20592 df-fg 20593 df-cnfld 20596 df-top 22041 df-topon 22058 df-topsp 22080 df-bases 22094 df-cld 22168 df-ntr 22169 df-cls 22170 df-nei 22247 df-lp 22285 df-perf 22286 df-cn 22376 df-cnp 22377 df-haus 22464 df-tx 22711 df-hmeo 22904 df-fil 22995 df-fm 23087 df-flim 23088 df-flf 23089 df-xms 23471 df-ms 23472 df-tms 23473 df-cncf 24039 df-limc 25028 df-dv 25029 df-log 25710 df-cxp 25711 df-ppi 26247

This theorem is referenced by: bposlem6 26435

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