bposlem5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem bposlem5 27350

Description: Lemma for bpos 27355. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5	⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem5	⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))

Distinct variable groups: 𝐹,𝑝 𝑛,𝑝,𝐾 𝑀,𝑝 𝑛,𝑁,𝑝 𝜑,𝑛,𝑝 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑛) 𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem5 Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
2		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℙ)
3		5nn 12379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
4		bpos.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
5		eluznn 12983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
8		fzctr 13697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9		bccl2 14372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
11		pccl 16896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
12	2, 10, 11	syl2anr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
13	12	ralrimiva 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
14	1, 13	pcmptcl 16938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
15	14	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
16		3nn 12372	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
17		bpos.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
18		2z 12675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	6	nnzd 12666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		zmulcl 12692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
21	18, 19, 20	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
22	21	zred 12747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
23		2nn 12366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
24		nnmulcl 12317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
25	23, 6, 24	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
26	25	nnrpd 13097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
27	26	rpge0d 13103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
28	22, 27	resqrtcld 15466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
29	28	flcld 13849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
30		sqrt9 15322	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘9) = 3
31		9re 12392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
33		10re 12777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;10 ∈ ℝ)
35		lep1 12135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 9 ≤ (9 + 1)
37		9p1e10 12760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 1) = ;10
38	36, 37	breqtri 5191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ≤ ;10
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ ;10)
40		5cn 12381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℂ
41		2cn 12368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		5t2e10 12858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 2) = ;10
43	40, 41, 42	mulcomli 11299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 5) = ;10
44		eluzle 12916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) → 5 ≤ 𝑁)
45	4, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
46	6	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
47		5re 12380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℝ
48		2re 12367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
49		2pos 12396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
50	48, 49	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
51		lemul2 12147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
52	47, 50, 51	mp3an13 1452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
53	46, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
54	45, 53	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
55	43, 54	eqbrtrrid 5202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;10 ≤ (2 · 𝑁))
56	32, 34, 22, 39, 55	letrd 11447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
57		0re 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		9pos 12406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 9
59	57, 31, 58	ltleii 11413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 9
60	31, 59	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
61	22, 27	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
62		sqrtle 15309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
63	60, 61, 62	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
64	56, 63	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
65	30, 64	eqbrtrrid 5202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
66		3z 12676	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
67		flge 13856	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
68	28, 66, 67	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
69	65, 68	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
70	66	eluz1i 12911	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ_≥‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
71	29, 69, 70	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ_≥‘3))
72	17, 71	eqeltrid 2848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3))
73		eluznn 12983	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ)
74	16, 72, 73	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
75	15, 74	ffvelcdmd 7119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
76	75	nnred 12308	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
77	74	nnred 12308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
78		ppicl 27192	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (π‘𝑀) ∈ ℕ₀)
79	77, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ∈ ℕ₀)
80	25, 79	nnexpcld 14294	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)) ∈ ℕ)
81	80	nnred 12308	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)) ∈ ℝ)
82		nndivre 12334	. . . . 5 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
83	28, 16, 82	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
84		readdcl 11267	. . . 4 ⊢ ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
85	83, 48, 84	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
86	22, 27, 85	recxpcld 26783	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ)
87		fveq2 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘1))
88		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (π‘𝑥) = (π‘1))
89		ppi1 27225	. . . . . . . 8 ⊢ (π‘1) = 0
90	88, 89	eqtrdi 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (π‘𝑥) = 0)
91	90	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑0))
92	87, 91	breq12d 5179	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0)))
93	92	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0))))
94		fveq2 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
95		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (π‘𝑥) = (π‘𝑘))
96	95	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)))
97	94, 96	breq12d 5179	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘))))
98	97	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)))))
99		fveq2 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
100		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (π‘𝑥) = (π‘(𝑘 + 1)))
101	100	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))
102	99, 101	breq12d 5179	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
103	102	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
104		fveq2 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
105		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (π‘𝑥) = (π‘𝑀))
106	105	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
107	104, 106	breq12d 5179	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀))))
108	107	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))))
109		1z 12673	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
110		seq1 14065	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
111	109, 110	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
112		1nn 12304	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
113		1nprm 16726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
114		eleq1 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
115	113, 114	mtbiri 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → ¬ 𝑛 ∈ ℙ)
116	115	iffalsed 4559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
117		1ex 11286	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
118	116, 1, 117	fvmpt 7029	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) = 1)
119	112, 118	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘1) = 1
120	111, 119	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , 𝐹)‘1) = 1
121		1le1 11918	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 1
122	120, 121	eqbrtri 5187	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ 1
123	21	zcnd 12748	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
124	123	exp0d 14190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑0) = 1)
125	122, 124	breqtrrid 5204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0))
126	15	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
127	126	nnred 12308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
129	25	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
130		nnre 12300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
131	130	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℝ)
132		ppicl 27192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (π‘𝑘) ∈ ℕ₀)
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘𝑘) ∈ ℕ₀)
134	129, 133	nnexpcld 14294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ∈ ℕ)
135	134	nnred 12308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ∈ ℝ)
136		nnre 12300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
137		nngt0 12324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑁))
138	136, 137	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
139	25, 138	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
140	139	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
141		lemul1 12146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁))) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁))))
142	128, 135, 140, 141	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁))))
143		nnz 12660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
144	143	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
145		ppiprm 27212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = ((π‘𝑘) + 1))
146	144, 145	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = ((π‘𝑘) + 1))
147	146	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = ((2 · 𝑁)↑((π‘𝑘) + 1)))
148	123	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
149	148, 133	expp1d 14197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑((π‘𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁)))
150	147, 149	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁)))
151	150	breq2d 5178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁))))
152	142, 151	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
153		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
154		nnuz 12946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
155	153, 154	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1))
156		seqp1 14067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
157	155, 156	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
158	157	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
159		peano2nn 12305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
160	159	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
161		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑘 + 1) ∈ ℙ))
162		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
163		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = ((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
164	162, 163	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
165	161, 164	ifbieq1d 4572	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
166		ovex 7481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ V
167	166, 117	ifex 4598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) ∈ V
168	165, 1, 167	fvmpt 7029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
169	160, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
170		iftrue 4554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
171	169, 170	sylan9eq 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
172	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
173		bposlem1 27346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
174	172, 173	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
175	171, 174	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁))
176	14	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
177		ffvelcdm 7115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
178	176, 159, 177	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
179	178	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
180	179	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
181	22	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
182		nnre 12300	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
183		nngt0 12324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
184	182, 183	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
185	126, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
186	185	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
187		lemul2 12147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁))))
188	180, 181, 186, 187	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁))))
189	175, 188	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)))
190	158, 189	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)))
191		ffvelcdm 7115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
192	15, 159, 191	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
193	192	nnred 12308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
194	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
195	126, 194	nnmulcld 12346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
196	195	nnred 12308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
197	160	nnred 12308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
198		ppicl 27192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ₀)
199	197, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ₀)
200	194, 199	nnexpcld 14294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℕ)
201	200	nnred 12308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
202		letr 11384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
203	193, 196, 201, 202	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
204	203	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
205	190, 204	mpand 694	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
206	152, 205	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
207	157	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
208		iffalse 4557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
209	169, 208	sylan9eq 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 1)
210	209	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · 1))
211	126	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
212	211	nncnd 12309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
213	212	mulridd 11307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · 1) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
214	207, 210, 213	3eqtrd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
215		ppinprm 27213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = (π‘𝑘))
216	144, 215	sylan 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = (π‘𝑘))
217	216	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)))
218	214, 217	breq12d 5179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘))))
219	218	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
220	206, 219	pm2.61dan 812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
221	220	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
222	221	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘))) → (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
223	93, 98, 103, 108, 125, 222	nnind 12311	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀))))
224	74, 223	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
225		cxpexp 26728	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (π‘𝑀) ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
226	123, 79, 225	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
227	79	nn0red 12614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ∈ ℝ)
228		nndivre 12334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
229	77, 16, 228	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
230		readdcl 11267	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
231	229, 48, 230	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
232	74	nnnn0d 12613	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
233	232	nn0ge0d 12616	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
234		ppiub 27266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (π‘𝑀) ≤ ((𝑀 / 3) + 2))
235	77, 233, 234	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ≤ ((𝑀 / 3) + 2))
236	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
237		flle 13850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
238	28, 237	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
239	17, 238	eqbrtrid 5201	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
240		3re 12373	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
241		3pos 12398	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
242	240, 241	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
243	242	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
244		lediv1 12160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3)))
245	77, 28, 243, 244	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3)))
246	239, 245	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3))
247	229, 83, 236, 246	leadd1dd 11904	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 3) + 2) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))
248	227, 231, 85, 235, 247	letrd 11447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))
249		2t1e2 12456	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
250	6	nnge1d 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
251		1re 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
252		lemul2 12147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
253	251, 50, 252	mp3an13 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
254	46, 253	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
255	250, 254	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
256	249, 255	eqbrtrrid 5202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (2 · 𝑁))
257	18	eluz1i 12911	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ ((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑁)))
258	21, 256, 257	sylanbrc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2))
259		eluz2gt1 12985	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < (2 · 𝑁))
260	258, 259	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (2 · 𝑁))
261	22, 260, 227, 85	cxpled 26780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((π‘𝑀) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ↔ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))))
262	248, 261	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
263	226, 262	eqbrtrrd 5190	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
264	76, 81, 86, 224, 263	letrd 11447	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ∃wrex 3076 ifcif 4548 class class class wbr 5166 ↦ cmpt 5249 ⟶wf 6569 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 ℂcc 11182 ℝcr 11183 0cc0 11184 1c1 11185 + caddc 11187 · cmul 11189 < clt 11324 ≤ cle 11325 / cdiv 11947 ℕcn 12293 2c2 12348 3c3 12349 5c5 12351 9c9 12355 ℕ₀cn0 12553 ℤcz 12639 cdc 12758 ℤ_≥cuz 12903 ...cfz 13567 ⌊cfl 13841 seqcseq 14052 ↑cexp 14112 Ccbc 14351 √csqrt 15282 ℙcprime 16718 pCnt cpc 16883 ↑_𝑐ccxp 26615 πcppi 27155

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-rep 5303 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-inf2 9710 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262 ax-addf 11263

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-tp 4653 df-op 4655 df-uni 4932 df-int 4971 df-iun 5017 df-iin 5018 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-se 5653 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-isom 6582 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-of 7714 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-supp 8202 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-2o 8523 df-oadd 8526 df-er 8763 df-map 8886 df-pm 8887 df-ixp 8956 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-fsupp 9432 df-fi 9480 df-sup 9511 df-inf 9512 df-oi 9579 df-dju 9970 df-card 10008 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-4 12358 df-5 12359 df-6 12360 df-7 12361 df-8 12362 df-9 12363 df-n0 12554 df-xnn0 12626 df-z 12640 df-dec 12759 df-uz 12904 df-q 13014 df-rp 13058 df-xneg 13175 df-xadd 13176 df-xmul 13177 df-ioo 13411 df-ioc 13412 df-ico 13413 df-icc 13414 df-fz 13568 df-fzo 13712 df-fl 13843 df-mod 13921 df-seq 14053 df-exp 14113 df-fac 14323 df-bc 14352 df-hash 14380 df-shft 15116 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-abs 15285 df-limsup 15517 df-clim 15534 df-rlim 15535 df-sum 15735 df-ef 16115 df-sin 16117 df-cos 16118 df-pi 16120 df-dvds 16303 df-gcd 16541 df-prm 16719 df-pc 16884 df-struct 17194 df-sets 17211 df-slot 17229 df-ndx 17241 df-base 17259 df-ress 17288 df-plusg 17324 df-mulr 17325 df-starv 17326 df-sca 17327 df-vsca 17328 df-ip 17329 df-tset 17330 df-ple 17331 df-ds 17333 df-unif 17334 df-hom 17335 df-cco 17336 df-rest 17482 df-topn 17483 df-0g 17501 df-gsum 17502 df-topgen 17503 df-pt 17504 df-prds 17507 df-xrs 17562 df-qtop 17567 df-imas 17568 df-xps 17570 df-mre 17644 df-mrc 17645 df-acs 17647 df-mgm 18678 df-sgrp 18757 df-mnd 18773 df-submnd 18819 df-mulg 19108 df-cntz 19357 df-cmn 19824 df-psmet 21379 df-xmet 21380 df-met 21381 df-bl 21382 df-mopn 21383 df-fbas 21384 df-fg 21385 df-cnfld 21388 df-top 22921 df-topon 22938 df-topsp 22960 df-bases 22974 df-cld 23048 df-ntr 23049 df-cls 23050 df-nei 23127 df-lp 23165 df-perf 23166 df-cn 23256 df-cnp 23257 df-haus 23344 df-tx 23591 df-hmeo 23784 df-fil 23875 df-fm 23967 df-flim 23968 df-flf 23969 df-xms 24351 df-ms 24352 df-tms 24353 df-cncf 24923 df-limc 25921 df-dv 25922 df-log 26616 df-cxp 26617 df-ppi 27161

This theorem is referenced by: bposlem6 27351

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