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Theorem bposlem5 25469
Description: Lemma for bpos 25474. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
bpos.2 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
bposlem5 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑀,𝑝   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem5
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
2 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℙ)
3 5nn 11467 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ
4 bpos.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
5 eluznn 12069 . . . . . . . . . . 11 ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
63, 4, 5sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76nnnn0d 11706 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8 fzctr 12774 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9 bccl2 13432 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
11 pccl 15962 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
122, 10, 11syl2anr 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
1312ralrimiva 3148 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
141, 13pcmptcl 16003 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
1514simprd 491 . . . 4 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
16 3nn 11458 . . . . 5 3 ∈ ℕ
17 bpos.5 . . . . . 6 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
18 2z 11765 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
196nnzd 11837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
20 zmulcl 11782 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
2118, 19, 20sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
2221zred 11838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
23 2nn 11452 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
24 nnmulcl 11403 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
2523, 6, 24sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
2625nnrpd 12183 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
2726rpge0d 12189 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
2822, 27resqrtcld 14568 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
2928flcld 12922 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
30 sqrt9 14425 . . . . . . . . 9 (√‘9) = 3
31 9re 11484 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
33 10re 11868 . . . . . . . . . . . 12 10 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑10 ∈ ℝ)
35 lep1 11218 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
3631, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 9 ≤ (9 + 1)
37 9p1e10 11851 . . . . . . . . . . . . 13 (9 + 1) = 10
3836, 37breqtri 4913 . . . . . . . . . . . 12 9 ≤ 10
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 9 ≤ 10)
40 5cn 11469 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℂ
41 2cn 11454 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
42 5t2e10 11951 . . . . . . . . . . . . 13 (5 · 2) = 10
4340, 41, 42mulcomli 10388 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 5) = 10
44 eluzle 12009 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → 5 ≤ 𝑁)
454, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
466nnred 11395 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
47 5re 11468 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℝ
48 2re 11453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
49 2pos 11489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
5048, 49pm3.2i 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
51 lemul2 11232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
5247, 50, 51mp3an13 1525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
5346, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
5445, 53mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
5543, 54syl5eqbrr 4924 . . . . . . . . . . 11 (𝜑10 ≤ (2 · 𝑁))
5632, 34, 22, 39, 55letrd 10535 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
57 0re 10380 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
58 9pos 11499 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 9
5957, 31, 58ltleii 10501 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 9
6031, 59pm3.2i 464 . . . . . . . . . . 11 (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
6122, 27jca 507 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
62 sqrtle 14412 . . . . . . . . . . 11 (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
6360, 61, 62sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
6456, 63mpbid 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
6530, 64syl5eqbrr 4924 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
66 3z 11766 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
67 flge 12929 . . . . . . . . 9 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
6828, 66, 67sylancl 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
6965, 68mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
7066eluz1i 12004 . . . . . . 7 ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
7129, 69, 70sylanbrc 578 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ‘3))
7217, 71syl5eqel 2863 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘3))
73 eluznn 12069 . . . . 5 ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ)
7416, 72, 73sylancr 581 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
7515, 74ffvelrnd 6626 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
7675nnred 11395 . 2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
7774nnred 11395 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
78 ppicl 25313 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (π𝑀) ∈ ℕ0)
7977, 78syl 17 . . . 4 (𝜑 → (π𝑀) ∈ ℕ0)
8025, 79nnexpcld 13355 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)) ∈ ℕ)
8180nnred 11395 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)) ∈ ℝ)
82 nndivre 11420 . . . . 5 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
8328, 16, 82sylancl 580 . . . 4 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
84 readdcl 10357 . . . 4 ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
8583, 48, 84sylancl 580 . . 3 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
8622, 27, 85recxpcld 24910 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ)
87 fveq2 6448 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘1))
88 fveq2 6448 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (π𝑥) = (π‘1))
89 ppi1 25346 . . . . . . . 8 (π‘1) = 0
9088, 89syl6eq 2830 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (π𝑥) = 0)
9190oveq2d 6940 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑0))
9287, 91breq12d 4901 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0)))
9392imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0))))
94 fveq2 6448 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
95 fveq2 6448 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (π𝑥) = (π𝑘))
9695oveq2d 6940 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)))
9794, 96breq12d 4901 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘))))
9897imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)))))
99 fveq2 6448 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
100 fveq2 6448 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (π𝑥) = (π‘(𝑘 + 1)))
101100oveq2d 6940 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))
10299, 101breq12d 4901 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
103102imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
104 fveq2 6448 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
105 fveq2 6448 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (π𝑥) = (π𝑀))
106105oveq2d 6940 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)))
107104, 106breq12d 4901 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑀))))
108107imbi2d 332 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)))))
109 1z 11763 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
110 seq1 13136 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
111109, 110ax-mp 5 . . . . . . 7 (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
112 1nn 11391 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
113 1nprm 15801 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ∈ ℙ
114 eleq1 2847 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
115113, 114mtbiri 319 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → ¬ 𝑛 ∈ ℙ)
116115iffalsed 4318 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
117 1ex 10374 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
118116, 1, 117fvmpt 6544 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) = 1)
119112, 118ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹‘1) = 1
120111, 119eqtri 2802 . . . . . 6 (seq1( · , 𝐹)‘1) = 1
121 1le1 11005 . . . . . 6 1 ≤ 1
122120, 121eqbrtri 4909 . . . . 5 (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ 1
12321zcnd 11839 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
124123exp0d 13325 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑0) = 1)
125122, 124syl5breqr 4926 . . . 4 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0))
12615ffvelrnda 6625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
127126nnred 11395 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
128127adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
12925ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
130 nnre 11386 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
131130ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℝ)
132 ppicl 25313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℝ → (π𝑘) ∈ ℕ0)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π𝑘) ∈ ℕ0)
134129, 133nnexpcld 13355 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) ∈ ℕ)
135134nnred 11395 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) ∈ ℝ)
136 nnre 11386 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
137 nngt0 11411 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑁))
138136, 137jca 507 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
13925, 138syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
140139ad2antrr 716 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
141 lemul1 11231 . . . . . . . . . 10 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁))) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) · (2 · 𝑁))))
142128, 135, 140, 141syl3anc 1439 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) · (2 · 𝑁))))
143 nnz 11755 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
144143adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
145 ppiprm 25333 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = ((π𝑘) + 1))
146144, 145sylan 575 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = ((π𝑘) + 1))
147146oveq2d 6940 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = ((2 · 𝑁)↑((π𝑘) + 1)))
148123ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
149148, 133expp1d 13332 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑((π𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) · (2 · 𝑁)))
150147, 149eqtrd 2814 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = (((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) · (2 · 𝑁)))
151150breq2d 4900 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) · (2 · 𝑁))))
152142, 151bitr4d 274 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
153 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
154 nnuz 12033 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
155153, 154syl6eleq 2869 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
156 seqp1 13138 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
157155, 156syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
158157adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
159 peano2nn 11392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
160159adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
161 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑘 + 1) ∈ ℙ))
162 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
163 oveq1 6931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = ((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
164162, 163oveq12d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
165161, 164ifbieq1d 4330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑘 + 1) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
166 ovex 6956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ V
167166, 117ifex 4355 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) ∈ V
168165, 1, 167fvmpt 6544 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
169160, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
170 iftrue 4313 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
171169, 170sylan9eq 2834 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
1726adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
173 bposlem1 25465 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
174172, 173sylan 575 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
175171, 174eqbrtrd 4910 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁))
17614simpld 490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℕ)
177 ffvelrn 6623 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
178176, 159, 177syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
179178nnred 11395 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
180179adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
18122ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
182 nnre 11386 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
183 nngt0 11411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
184182, 183jca 507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
185126, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
186185adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
187 lemul2 11232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁))))
188180, 181, 186, 187syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁))))
189175, 188mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)))
190158, 189eqbrtrd 4910 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)))
191 ffvelrn 6623 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
19215, 159, 191syl2an 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
193192nnred 11395 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
19425adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
195126, 194nnmulcld 11432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
196195nnred 11395 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
197160nnred 11395 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
198 ppicl 25313 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 + 1) ∈ ℝ → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
199197, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
200194, 199nnexpcld 13355 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℕ)
201200nnred 11395 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
202 letr 10472 . . . . . . . . . . 11 (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
203193, 196, 201, 202syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
204203adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
205190, 204mpand 685 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
206152, 205sylbid 232 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
207157adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
208 iffalse 4316 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
209169, 208sylan9eq 2834 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 1)
210209oveq2d 6940 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · 1))
211126adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
212211nncnd 11396 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
213212mulid1d 10396 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · 1) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
214207, 210, 2133eqtrd 2818 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
215 ppinprm 25334 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = (π𝑘))
216144, 215sylan 575 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = (π𝑘))
217216oveq2d 6940 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)))
218214, 217breq12d 4901 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘))))
219218biimprd 240 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
220206, 219pm2.61dan 803 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
221220expcom 404 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
222221a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑘))) → (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
22393, 98, 103, 108, 125, 222nnind 11398 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑀))))
22474, 223mpcom 38 . 2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)))
225 cxpexp 24855 . . . 4 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (π𝑀) ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑁)↑𝑐(π𝑀)) = ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)))
226123, 79, 225syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑐(π𝑀)) = ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)))
22779nn0red 11707 . . . . 5 (𝜑 → (π𝑀) ∈ ℝ)
228 nndivre 11420 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
22977, 16, 228sylancl 580 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
230 readdcl 10357 . . . . . 6 (((𝑀 / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
231229, 48, 230sylancl 580 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
23274nnnn0d 11706 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
233232nn0ge0d 11709 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
234 ppiub 25385 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (π𝑀) ≤ ((𝑀 / 3) + 2))
23577, 233, 234syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (π𝑀) ≤ ((𝑀 / 3) + 2))
23648a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
237 flle 12923 . . . . . . . . 9 ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
23828, 237syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
23917, 238syl5eqbr 4923 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
240 3re 11459 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
241 3pos 11491 . . . . . . . . . 10 0 < 3
242240, 241pm3.2i 464 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
243242a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
244 lediv1 11244 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3)))
24577, 28, 243, 244syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3)))
246239, 245mpbid 224 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3))
247229, 83, 236, 246leadd1dd 10991 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 / 3) + 2) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))
248227, 231, 85, 235, 247letrd 10535 . . . 4 (𝜑 → (π𝑀) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))
249 2t1e2 11549 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
2506nnge1d 11427 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
251 1re 10378 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
252 lemul2 11232 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
253251, 50, 252mp3an13 1525 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
25446, 253syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
255250, 254mpbid 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
256249, 255syl5eqbrr 4924 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≤ (2 · 𝑁))
25718eluz1i 12004 . . . . . . 7 ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑁)))
25821, 256, 257sylanbrc 578 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘2))
259 eluz2gt1 12071 . . . . . 6 ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘2) → 1 < (2 · 𝑁))
260258, 259syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (2 · 𝑁))
26122, 260, 227, 85cxpled 24907 . . . 4 (𝜑 → ((π𝑀) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ↔ ((2 · 𝑁)↑𝑐(π𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))))
262248, 261mpbid 224 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑐(π𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
263226, 262eqbrtrrd 4912 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
26476, 81, 86, 224, 263letrd 10535 1 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wrex 3091  ifcif 4307   class class class wbr 4888  cmpt 4967  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279   < clt 10413  cle 10414   / cdiv 11034  cn 11378  2c2 11434  3c3 11435  5c5 11437  9c9 11441  0cn0 11646  cz 11732  cdc 11849  cuz 11996  ...cfz 12647  cfl 12914  seqcseq 13123  cexp 13182  Ccbc 13411  csqrt 14384  cprime 15794   pCnt cpc 15949  𝑐ccxp 24743  πcppi 25276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-xnn0 11719  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-ioc 12496  df-ico 12497  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-mod 12992  df-seq 13124  df-exp 13183  df-fac 13383  df-bc 13412  df-hash 13440  df-shft 14218  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-limsup 14614  df-clim 14631  df-rlim 14632  df-sum 14829  df-ef 15204  df-sin 15206  df-cos 15207  df-pi 15209  df-dvds 15392  df-gcd 15627  df-prm 15795  df-pc 15950  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-mulg 17932  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-fbas 20143  df-fg 20144  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-nei 21314  df-lp 21352  df-perf 21353  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-haus 21531  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-fil 22062  df-fm 22154  df-flim 22155  df-flf 22156  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539  df-cncf 23093  df-limc 24071  df-dv 24072  df-log 24744  df-cxp 24745  df-ppi 25282
This theorem is referenced by:  bposlem6  25470
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