bposlem5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem bposlem5 27027

Description: Lemma for bpos 27032. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5	⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem5	⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))

Distinct variable groups: 𝐹,𝑝 𝑛,𝑝,𝐾 𝑀,𝑝 𝑛,𝑁,𝑝 𝜑,𝑛,𝑝 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑛) 𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem5 Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
2		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℙ)
3		5nn 12302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ
4		bpos.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
5		eluznn 12906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	sylancr 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
8		fzctr 13617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9		bccl2 14287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
11		pccl 16786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
12	2, 10, 11	syl2anr 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
13	12	ralrimiva 3144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
14	1, 13	pcmptcl 16828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
15	14	simprd 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
16		3nn 12295	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
17		bpos.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
18		2z 12598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
19	6	nnzd 12589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		zmulcl 12615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
21	18, 19, 20	sylancr 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
22	21	zred 12670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
23		2nn 12289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
24		nnmulcl 12240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
25	23, 6, 24	sylancr 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
26	25	nnrpd 13018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
27	26	rpge0d 13024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
28	22, 27	resqrtcld 15368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
29	28	flcld 13767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
30		sqrt9 15224	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘9) = 3
31		9re 12315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
33		10re 12700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;10 ∈ ℝ)
35		lep1 12059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 9 ≤ (9 + 1)
37		9p1e10 12683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 1) = ;10
38	36, 37	breqtri 5172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ≤ ;10
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ ;10)
40		5cn 12304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℂ
41		2cn 12291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
42		5t2e10 12781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 2) = ;10
43	40, 41, 42	mulcomli 11227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 5) = ;10
44		eluzle 12839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) → 5 ≤ 𝑁)
45	4, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
46	6	nnred 12231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
47		5re 12303	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℝ
48		2re 12290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
49		2pos 12319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
50	48, 49	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
51		lemul2 12071	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
52	47, 50, 51	mp3an13 1450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
53	46, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
54	45, 53	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
55	43, 54	eqbrtrrid 5183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;10 ≤ (2 · 𝑁))
56	32, 34, 22, 39, 55	letrd 11375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
57		0re 11220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
58		9pos 12329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 9
59	57, 31, 58	ltleii 11341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 9
60	31, 59	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
61	22, 27	jca 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
62		sqrtle 15211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
63	60, 61, 62	sylancr 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
64	56, 63	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
65	30, 64	eqbrtrrid 5183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
66		3z 12599	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
67		flge 13774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
68	28, 66, 67	sylancl 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
69	65, 68	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
70	66	eluz1i 12834	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ_≥‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
71	29, 69, 70	sylanbrc 581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ_≥‘3))
72	17, 71	eqeltrid 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3))
73		eluznn 12906	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ)
74	16, 72, 73	sylancr 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
75	15, 74	ffvelcdmd 7086	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
76	75	nnred 12231	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℝ)
77	74	nnred 12231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
78		ppicl 26871	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (π‘𝑀) ∈ ℕ₀)
79	77, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ∈ ℕ₀)
80	25, 79	nnexpcld 14212	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)) ∈ ℕ)
81	80	nnred 12231	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)) ∈ ℝ)
82		nndivre 12257	. . . . 5 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
83	28, 16, 82	sylancl 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
84		readdcl 11195	. . . 4 ⊢ ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
85	83, 48, 84	sylancl 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
86	22, 27, 85	recxpcld 26467	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ)
87		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘1))
88		fveq2 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (π‘𝑥) = (π‘1))
89		ppi1 26904	. . . . . . . 8 ⊢ (π‘1) = 0
90	88, 89	eqtrdi 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (π‘𝑥) = 0)
91	90	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑0))
92	87, 91	breq12d 5160	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0)))
93	92	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0))))
94		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
95		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (π‘𝑥) = (π‘𝑘))
96	95	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)))
97	94, 96	breq12d 5160	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘))))
98	97	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)))))
99		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
100		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (π‘𝑥) = (π‘(𝑘 + 1)))
101	100	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))
102	99, 101	breq12d 5160	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
103	102	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
104		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
105		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (π‘𝑥) = (π‘𝑀))
106	105	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
107	104, 106	breq12d 5160	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥)) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀))))
108	107	imbi2d 339	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑥))) ↔ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))))
109		1z 12596	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
110		seq1 13983	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
111	109, 110	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
112		1nn 12227	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
113		1nprm 16620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
114		eleq1 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
115	113, 114	mtbiri 326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → ¬ 𝑛 ∈ ℙ)
116	115	iffalsed 4538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
117		1ex 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
118	116, 1, 117	fvmpt 6997	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) = 1)
119	112, 118	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘1) = 1
120	111, 119	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , 𝐹)‘1) = 1
121		1le1 11846	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 1
122	120, 121	eqbrtri 5168	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ 1
123	21	zcnd 12671	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
124	123	exp0d 14109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑0) = 1)
125	122, 124	breqtrrid 5185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘1) ≤ ((2 · 𝑁)↑0))
126	15	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
127	126	nnred 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
128	127	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
129	25	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
130		nnre 12223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
131	130	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℝ)
132		ppicl 26871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (π‘𝑘) ∈ ℕ₀)
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘𝑘) ∈ ℕ₀)
134	129, 133	nnexpcld 14212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ∈ ℕ)
135	134	nnred 12231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ∈ ℝ)
136		nnre 12223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
137		nngt0 12247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑁))
138	136, 137	jca 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
139	25, 138	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
140	139	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
141		lemul1 12070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝑁))) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁))))
142	128, 135, 140, 141	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁))))
143		nnz 12583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
144	143	adantl 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
145		ppiprm 26891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = ((π‘𝑘) + 1))
146	144, 145	sylan 578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = ((π‘𝑘) + 1))
147	146	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = ((2 · 𝑁)↑((π‘𝑘) + 1)))
148	123	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
149	148, 133	expp1d 14116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑((π‘𝑘) + 1)) = (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁)))
150	147, 149	eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁)))
151	150	breq2d 5159	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ (((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) · (2 · 𝑁))))
152	142, 151	bitr4d 281	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
153		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
154		nnuz 12869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
155	153, 154	eleqtrdi 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1))
156		seqp1 13985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
157	155, 156	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
158	157	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
159		peano2nn 12228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
160	159	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
161		eleq1 2819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑘 + 1) ∈ ℙ))
162		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
163		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = ((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
164	162, 163	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
165	161, 164	ifbieq1d 4551	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
166		ovex 7444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ∈ V
167	166, 117	ifex 4577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) ∈ V
168	165, 1, 167	fvmpt 6997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
169	160, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
170		iftrue 4533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
171	169, 170	sylan9eq 2790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
172	6	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
173		bposlem1 27023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
174	172, 173	sylan 578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
175	171, 174	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁))
176	14	simpld 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
177		ffvelcdm 7082	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
178	176, 159, 177	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
179	178	nnred 12231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
180	179	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
181	22	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
182		nnre 12223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
183		nngt0 12247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
184	182, 183	jca 510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
185	126, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
186	185	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘)))
187		lemul2 12071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁))))
188	180, 181, 186, 187	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁))))
189	175, 188	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)))
190	158, 189	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)))
191		ffvelcdm 7082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
192	15, 159, 191	syl2an 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
193	192	nnred 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
194	25	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
195	126, 194	nnmulcld 12269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
196	195	nnred 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
197	160	nnred 12231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
198		ppicl 26871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ₀)
199	197, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ₀)
200	194, 199	nnexpcld 14212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℕ)
201	200	nnred 12231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
202		letr 11312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
203	193, 196, 201, 202	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
204	203	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
205	190, 204	mpand 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
206	152, 205	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
207	157	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))))
208		iffalse 4536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ → if((𝑘 + 1) ∈ ℙ, ((𝑘 + 1)↑((𝑘 + 1) pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
209	169, 208	sylan9eq 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 1)
210	209	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · (𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · 1))
211	126	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℕ)
212	211	nncnd 12232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℂ)
213	212	mulridd 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) · 1) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
214	207, 210, 213	3eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑘))
215		ppinprm 26892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = (π‘𝑘))
216	144, 215	sylan 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝑘 + 1)) = (π‘𝑘))
217	216	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)))
218	214, 217	breq12d 5160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))) ↔ (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘))))
219	218	biimprd 247	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑘 + 1) ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
220	206, 219	pm2.61dan 809	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1)))))
221	220	expcom 412	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘)) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
222	221	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑘) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑘))) → (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘(𝑘 + 1))))))
223	93, 98, 103, 108, 125, 222	nnind 12234	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀))))
224	74, 223	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
225		cxpexp 26412	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (π‘𝑀) ∈ ℕ₀) → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
226	123, 79, 225	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) = ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)))
227	79	nn0red 12537	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ∈ ℝ)
228		nndivre 12257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
229	77, 16, 228	sylancl 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
230		readdcl 11195	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
231	229, 48, 230	sylancl 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
232	74	nnnn0d 12536	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
233	232	nn0ge0d 12539	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
234		ppiub 26943	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (π‘𝑀) ≤ ((𝑀 / 3) + 2))
235	77, 233, 234	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ≤ ((𝑀 / 3) + 2))
236	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
237		flle 13768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
238	28, 237	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
239	17, 238	eqbrtrid 5182	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
240		3re 12296	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
241		3pos 12321	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
242	240, 241	pm3.2i 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
243	242	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
244		lediv1 12083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3)))
245	77, 28, 243, 244	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3)))
246	239, 245	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) / 3))
247	229, 83, 236, 246	leadd1dd 11832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 3) + 2) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))
248	227, 231, 85, 235, 247	letrd 11375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π‘𝑀) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))
249		2t1e2 12379	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
250	6	nnge1d 12264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
251		1re 11218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
252		lemul2 12071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
253	251, 50, 252	mp3an13 1450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
254	46, 253	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁)))
255	250, 254	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
256	249, 255	eqbrtrrid 5183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (2 · 𝑁))
257	18	eluz1i 12834	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ ((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑁)))
258	21, 256, 257	sylanbrc 581	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2))
259		eluz2gt1 12908	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < (2 · 𝑁))
260	258, 259	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (2 · 𝑁))
261	22, 260, 227, 85	cxpled 26464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((π‘𝑀) ≤ (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ↔ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2))))
262	248, 261	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(π‘𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
263	226, 262	eqbrtrrd 5171	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(π‘𝑀)) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))
264	76, 81, 86, 224, 263	letrd 11375	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≤ ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 = wceq 1539 ∈ wcel 2104 ∃wrex 3068 ifcif 4527 class class class wbr 5147 ↦ cmpt 5230 ⟶wf 6538 ‘cfv 6542 (class class class)co 7411 ℂcc 11110 ℝcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 · cmul 11117 < clt 11252 ≤ cle 11253 / cdiv 11875 ℕcn 12216 2c2 12271 3c3 12272 5c5 12274 9c9 12278 ℕ₀cn0 12476 ℤcz 12562 cdc 12681 ℤ_≥cuz 12826 ...cfz 13488 ⌊cfl 13759 seqcseq 13970 ↑cexp 14031 Ccbc 14266 √csqrt 15184 ℙcprime 16612 pCnt cpc 16773 ↑_𝑐ccxp 26300 πcppi 26834

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 ax-addf 11191

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-tp 4632 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-of 7672 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-supp 8149 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-2o 8469 df-oadd 8472 df-er 8705 df-map 8824 df-pm 8825 df-ixp 8894 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-fi 9408 df-sup 9439 df-inf 9440 df-oi 9507 df-dju 9898 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-xnn0 12549 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-q 12937 df-rp 12979 df-xneg 13096 df-xadd 13097 df-xmul 13098 df-ioo 13332 df-ioc 13333 df-ico 13334 df-icc 13335 df-fz 13489 df-fzo 13632 df-fl 13761 df-mod 13839 df-seq 13971 df-exp 14032 df-fac 14238 df-bc 14267 df-hash 14295 df-shft 15018 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-limsup 15419 df-clim 15436 df-rlim 15437 df-sum 15637 df-ef 16015 df-sin 16017 df-cos 16018 df-pi 16020 df-dvds 16202 df-gcd 16440 df-prm 16613 df-pc 16774 df-struct 17084 df-sets 17101 df-slot 17119 df-ndx 17131 df-base 17149 df-ress 17178 df-plusg 17214 df-mulr 17215 df-starv 17216 df-sca 17217 df-vsca 17218 df-ip 17219 df-tset 17220 df-ple 17221 df-ds 17223 df-unif 17224 df-hom 17225 df-cco 17226 df-rest 17372 df-topn 17373 df-0g 17391 df-gsum 17392 df-topgen 17393 df-pt 17394 df-prds 17397 df-xrs 17452 df-qtop 17457 df-imas 17458 df-xps 17460 df-mre 17534 df-mrc 17535 df-acs 17537 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-submnd 18706 df-mulg 18987 df-cntz 19222 df-cmn 19691 df-psmet 21136 df-xmet 21137 df-met 21138 df-bl 21139 df-mopn 21140 df-fbas 21141 df-fg 21142 df-cnfld 21145 df-top 22616 df-topon 22633 df-topsp 22655 df-bases 22669 df-cld 22743 df-ntr 22744 df-cls 22745 df-nei 22822 df-lp 22860 df-perf 22861 df-cn 22951 df-cnp 22952 df-haus 23039 df-tx 23286 df-hmeo 23479 df-fil 23570 df-fm 23662 df-flim 23663 df-flf 23664 df-xms 24046 df-ms 24047 df-tms 24048 df-cncf 24618 df-limc 25615 df-dv 25616 df-log 26301 df-cxp 26302 df-ppi 26840

This theorem is referenced by: bposlem6 27028

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