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Theorem bposlem5 26652
Description: Lemma for bpos 26657. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5))
bpos.2 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
bpos.3 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4 𝐾 = (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3))
bpos.5 𝑀 = (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
bposlem5 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑀,𝑝   𝑛,𝑁,𝑝   πœ‘,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem5
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1))
2 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝑛 ∈ β„™)
3 5nn 12246 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ β„•
4 bpos.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5))
5 eluznn 12850 . . . . . . . . . . 11 ((5 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
63, 4, 5sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
76nnnn0d 12480 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
8 fzctr 13560 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0...(2 Β· 𝑁)))
9 bccl2 14230 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...(2 Β· 𝑁)) β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•)
11 pccl 16728 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„™ ∧ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•) β†’ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) ∈ β„•0)
122, 10, 11syl2anr 598 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) ∈ β„•0)
1312ralrimiva 3144 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) ∈ β„•0)
141, 13pcmptcl 16770 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
1514simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•)
16 3nn 12239 . . . . 5 3 ∈ β„•
17 bpos.5 . . . . . 6 𝑀 = (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))
18 2z 12542 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„€
196nnzd 12533 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
20 zmulcl 12559 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€)
2118, 19, 20sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€)
2221zred 12614 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
23 2nn 12233 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•
24 nnmulcl 12184 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•)
2523, 6, 24sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•)
2625nnrpd 12962 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ+)
2726rpge0d 12968 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (2 Β· 𝑁))
2822, 27resqrtcld 15309 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ ℝ)
2928flcld 13710 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))) ∈ β„€)
30 sqrt9 15165 . . . . . . . . 9 (βˆšβ€˜9) = 3
31 9re 12259 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 9 ∈ ℝ)
33 10re 12644 . . . . . . . . . . . 12 10 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 10 ∈ ℝ)
35 lep1 12003 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℝ β†’ 9 ≀ (9 + 1))
3631, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 9 ≀ (9 + 1)
37 9p1e10 12627 . . . . . . . . . . . . 13 (9 + 1) = 10
3836, 37breqtri 5135 . . . . . . . . . . . 12 9 ≀ 10
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 9 ≀ 10)
40 5cn 12248 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ β„‚
41 2cn 12235 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„‚
42 5t2e10 12725 . . . . . . . . . . . . 13 (5 Β· 2) = 10
4340, 41, 42mulcomli 11171 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· 5) = 10
44 eluzle 12783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5) β†’ 5 ≀ 𝑁)
454, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 5 ≀ 𝑁)
466nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
47 5re 12247 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℝ
48 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
49 2pos 12263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
5048, 49pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
51 lemul2 12015 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (5 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 5) ≀ (2 Β· 𝑁)))
5247, 50, 51mp3an13 1453 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (5 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 5) ≀ (2 Β· 𝑁)))
5346, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (5 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 5) ≀ (2 Β· 𝑁)))
5445, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 Β· 5) ≀ (2 Β· 𝑁))
5543, 54eqbrtrrid 5146 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 10 ≀ (2 Β· 𝑁))
5632, 34, 22, 39, 55letrd 11319 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 9 ≀ (2 Β· 𝑁))
57 0re 11164 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
58 9pos 12273 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 9
5957, 31, 58ltleii 11285 . . . . . . . . . . . 12 0 ≀ 9
6031, 59pm3.2i 472 . . . . . . . . . . 11 (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 9)
6122, 27jca 513 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (2 Β· 𝑁)))
62 sqrtle 15152 . . . . . . . . . . 11 (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 9) ∧ ((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (2 Β· 𝑁))) β†’ (9 ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ (βˆšβ€˜9) ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))))
6360, 61, 62sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (9 ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ (βˆšβ€˜9) ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))))
6456, 63mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜9) ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))
6530, 64eqbrtrrid 5146 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 3 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))
66 3z 12543 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„€
67 flge 13717 . . . . . . . . 9 (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„€) β†’ (3 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ↔ 3 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))))
6828, 66, 67sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (3 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ↔ 3 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))))
6965, 68mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 3 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))))
7066eluz1i 12778 . . . . . . 7 ((βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))) ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ↔ ((βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))) ∈ β„€ ∧ 3 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))))
7129, 69, 70sylanbrc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))) ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
7217, 71eqeltrid 2842 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
73 eluznn 12850 . . . . 5 ((3 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
7416, 72, 73sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
7515, 74ffvelcdmd 7041 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„•)
7675nnred 12175 . 2 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ ℝ)
7774nnred 12175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
78 ppicl 26496 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜π‘€) ∈ β„•0)
7977, 78syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘€) ∈ β„•0)
8025, 79nnexpcld 14155 . . 3 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)) ∈ β„•)
8180nnred 12175 . 2 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)) ∈ ℝ)
82 nndivre 12201 . . . . 5 (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
8328, 16, 82sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
84 readdcl 11141 . . . 4 ((((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
8583, 48, 84sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
8622, 27, 85recxpcld 26094 . 2 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2)) ∈ ℝ)
87 fveq2 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1))
88 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 1 β†’ (Ο€β€˜π‘₯) = (Ο€β€˜1))
89 ppi1 26529 . . . . . . . 8 (Ο€β€˜1) = 0
9088, 89eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (π‘₯ = 1 β†’ (Ο€β€˜π‘₯) = 0)
9190oveq2d 7378 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) = ((2 Β· 𝑁)↑0))
9287, 91breq12d 5123 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) ↔ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑0)))
9392imbi2d 341 . . . 4 (π‘₯ = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑0))))
94 fveq2 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜))
95 fveq2 6847 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (Ο€β€˜π‘₯) = (Ο€β€˜π‘˜))
9695oveq2d 7378 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) = ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)))
9794, 96breq12d 5123 . . . . 5 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) ↔ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜))))
9897imbi2d 341 . . . 4 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)))))
99 fveq2 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)))
100 fveq2 6847 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) = (Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))
101100oveq2d 7378 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) = ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))))
10299, 101breq12d 5123 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) ↔ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
103102imbi2d 341 . . . 4 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))))))
104 fveq2 6847 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€))
105 fveq2 6847 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (Ο€β€˜π‘₯) = (Ο€β€˜π‘€))
106105oveq2d 7378 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) = ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)))
107104, 106breq12d 5123 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯)) ↔ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€))))
108107imbi2d 341 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘₯) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘₯))) ↔ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)))))
109 1z 12540 . . . . . . . 8 1 ∈ β„€
110 seq1 13926 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„€ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) = (πΉβ€˜1))
111109, 110ax-mp 5 . . . . . . 7 (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) = (πΉβ€˜1)
112 1nn 12171 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•
113 1nprm 16562 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 1 ∈ β„™
114 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ 1 ∈ β„™))
115113, 114mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 β†’ Β¬ 𝑛 ∈ β„™)
116115iffalsed 4502 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
117 1ex 11158 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
118116, 1, 117fvmpt 6953 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜1) = 1)
119112, 118ax-mp 5 . . . . . . 7 (πΉβ€˜1) = 1
120111, 119eqtri 2765 . . . . . 6 (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) = 1
121 1le1 11790 . . . . . 6 1 ≀ 1
122120, 121eqbrtri 5131 . . . . 5 (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) ≀ 1
12321zcnd 12615 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„‚)
124123exp0d 14052 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑0) = 1)
125122, 124breqtrrid 5148 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜1) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑0))
12615ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ β„•)
127126nnred 12175 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
128127adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
12925ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•)
130 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
131130ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
132 ppicl 26496 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (Ο€β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
134129, 133nnexpcld 14155 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) ∈ β„•)
135134nnred 12175 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
136 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 Β· 𝑁) ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
137 nngt0 12191 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 Β· 𝑁) ∈ β„• β†’ 0 < (2 Β· 𝑁))
138136, 137jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((2 Β· 𝑁) ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 Β· 𝑁)))
13925, 138syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 Β· 𝑁)))
140139ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 Β· 𝑁)))
141 lemul1 12014 . . . . . . . . . 10 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) ∈ ℝ ∧ ((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 Β· 𝑁))) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ (((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) Β· (2 Β· 𝑁))))
142128, 135, 140, 141syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ (((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) Β· (2 Β· 𝑁))))
143 nnz 12527 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„€)
144143adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
145 ppiprm 26516 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (Ο€β€˜(π‘˜ + 1)) = ((Ο€β€˜π‘˜) + 1))
146144, 145sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (Ο€β€˜(π‘˜ + 1)) = ((Ο€β€˜π‘˜) + 1))
147146oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) = ((2 Β· 𝑁)↑((Ο€β€˜π‘˜) + 1)))
148123ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„‚)
149148, 133expp1d 14059 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑((Ο€β€˜π‘˜) + 1)) = (((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) Β· (2 Β· 𝑁)))
150147, 149eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) = (((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) Β· (2 Β· 𝑁)))
151150breq2d 5122 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ (((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) Β· (2 Β· 𝑁))))
152142, 151bitr4d 282 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
153 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
154 nnuz 12813 . . . . . . . . . . . . 13 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
155153, 154eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
156 seqp1 13928 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
157155, 156syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
158157adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
159 peano2nn 12172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
160159adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
161 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ (π‘˜ + 1) ∈ β„™))
162 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ 𝑛 = (π‘˜ + 1))
163 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = ((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
164162, 163oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))) = ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))))
165161, 164ifbieq1d 4515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1) = if((π‘˜ + 1) ∈ β„™, ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1))
166 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))) ∈ V
167166, 117ifex 4541 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((π‘˜ + 1) ∈ β„™, ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1) ∈ V
168165, 1, 167fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = if((π‘˜ + 1) ∈ β„™, ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1))
169160, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = if((π‘˜ + 1) ∈ β„™, ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1))
170 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ + 1) ∈ β„™ β†’ if((π‘˜ + 1) ∈ β„™, ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1) = ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))))
171169, 170sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))))
1726adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
173 bposlem1 26648 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))) ≀ (2 Β· 𝑁))
174172, 173sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))) ≀ (2 Β· 𝑁))
175171, 174eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (2 Β· 𝑁))
17614simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
177 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•)
178176, 159, 177syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•)
179178nnred 12175 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
180179adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
18122ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
182 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
183 nngt0 12191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ β„• β†’ 0 < (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜))
184182, 183jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ β„• β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜)))
185126, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜)))
186185adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜)))
187 lemul2 12015 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ ∧ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ 0 < (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜))) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁))))
188180, 181, 186, 187syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁))))
189175, 188mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)))
190158, 189eqbrtrd 5132 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)))
191 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„• ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•)
19215, 159, 191syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•)
193192nnred 12175 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
19425adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•)
195126, 194nnmulcld 12213 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ∈ β„•)
196195nnred 12175 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ∈ ℝ)
197160nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
198 ppicl 26496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ + 1) ∈ ℝ β†’ (Ο€β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•0)
199197, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Ο€β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•0)
200194, 199nnexpcld 14155 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ β„•)
201200nnred 12175 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
202 letr 11256 . . . . . . . . . . 11 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ ∧ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ) β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ∧ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
203193, 196, 201, 202syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ∧ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
204203adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ∧ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
205190, 204mpand 694 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (2 Β· 𝑁)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
206152, 205sylbid 239 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
207157adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
208 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™ β†’ if((π‘˜ + 1) ∈ β„™, ((π‘˜ + 1)↑((π‘˜ + 1) pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1) = 1)
209169, 208sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 1)
210209oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· (πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) = ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· 1))
211126adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ β„•)
212211nncnd 12176 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
213212mulid1d 11179 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) Β· 1) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜))
214207, 210, 2133eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) = (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜))
215 ppinprm 26517 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (Ο€β€˜(π‘˜ + 1)) = (Ο€β€˜π‘˜))
216144, 215sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ (Ο€β€˜(π‘˜ + 1)) = (Ο€β€˜π‘˜))
217216oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) = ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)))
218214, 217breq12d 5123 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))) ↔ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜))))
219218biimprd 248 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ Β¬ (π‘˜ + 1) ∈ β„™) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
220206, 219pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1)))))
221220expcom 415 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜)) β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))))))
222221a2d 29 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘˜))) β†’ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜(π‘˜ + 1))))))
22393, 98, 103, 108, 125, 222nnind 12178 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€))))
22474, 223mpcom 38 . 2 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)))
225 cxpexp 26039 . . . 4 (((2 Β· 𝑁) ∈ β„‚ ∧ (Ο€β€˜π‘€) ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(Ο€β€˜π‘€)) = ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)))
226123, 79, 225syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(Ο€β€˜π‘€)) = ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)))
22779nn0red 12481 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘€) ∈ ℝ)
228 nndivre 12201 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
22977, 16, 228sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 / 3) ∈ ℝ)
230 readdcl 11141 . . . . . 6 (((𝑀 / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
231229, 48, 230sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀 / 3) + 2) ∈ ℝ)
23274nnnn0d 12480 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
233232nn0ge0d 12483 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
234 ppiub 26568 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀) β†’ (Ο€β€˜π‘€) ≀ ((𝑀 / 3) + 2))
23577, 233, 234syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘€) ≀ ((𝑀 / 3) + 2))
23648a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
237 flle 13711 . . . . . . . . 9 ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))) ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))
23828, 237syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁))) ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))
23917, 238eqbrtrid 5145 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)))
240 3re 12240 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
241 3pos 12265 . . . . . . . . . 10 0 < 3
242240, 241pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
243242a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
244 lediv1 12027 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) β†’ (𝑀 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≀ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3)))
24577, 28, 243, 244syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 ≀ (βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) ↔ (𝑀 / 3) ≀ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3)))
246239, 245mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 / 3) ≀ ((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3))
247229, 83, 236, 246leadd1dd 11776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀 / 3) + 2) ≀ (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2))
248227, 231, 85, 235, 247letrd 11319 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ο€β€˜π‘€) ≀ (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2))
249 2t1e2 12323 . . . . . . . 8 (2 Β· 1) = 2
2506nnge1d 12208 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑁)
251 1re 11162 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
252 lemul2 12015 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (1 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 1) ≀ (2 Β· 𝑁)))
253251, 50, 252mp3an13 1453 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (1 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 1) ≀ (2 Β· 𝑁)))
25446, 253syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 1) ≀ (2 Β· 𝑁)))
255250, 254mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· 1) ≀ (2 Β· 𝑁))
256249, 255eqbrtrrid 5146 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (2 Β· 𝑁))
25718eluz1i 12778 . . . . . . 7 ((2 Β· 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ ((2 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ 2 ≀ (2 Β· 𝑁)))
25821, 256, 257sylanbrc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
259 eluz2gt1 12852 . . . . . 6 ((2 Β· 𝑁) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < (2 Β· 𝑁))
260258, 259syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 < (2 Β· 𝑁))
26122, 260, 227, 85cxpled 26091 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((Ο€β€˜π‘€) ≀ (((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2) ↔ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(Ο€β€˜π‘€)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2))))
262248, 261mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(Ο€β€˜π‘€)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2)))
263226, 262eqbrtrrd 5134 . 2 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)↑(Ο€β€˜π‘€)) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2)))
26476, 81, 86, 224, 263letrd 11319 1 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ≀ ((2 Β· 𝑁)↑𝑐(((βˆšβ€˜(2 Β· 𝑁)) / 3) + 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  5c5 12218  9c9 12222  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  cdc 12625  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974  Ccbc 14209  βˆšcsqrt 15125  β„™cprime 16554   pCnt cpc 16715  β†‘𝑐ccxp 25927  Ο€cppi 26459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-ppi 26465
This theorem is referenced by:  bposlem6  26653
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