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Theorem nn0prpwlem 34050
 Description: Lemma for nn0prpw 34051. Use strong induction to show that every positive integer has unique prime power divisors. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nn0prpwlem (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑝,𝐴

Proof of Theorem nn0prpwlem
Dummy variables 𝑚 𝑞 𝑟 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5034 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑘 < 𝑥𝑘 < 𝐴))
2 breq2 5034 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))
32bibi2d 347 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
43notbid 322 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
542rexbidv 3225 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
61, 5imbi12d 349 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))))
76ralbidv 3127 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))))
8 breq2 5034 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝑘 < 𝑥𝑘 < 1))
9 breq2 5034 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))
109bibi2d 347 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
1110notbid 322 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
12112rexbidv 3225 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
138, 12imbi12d 349 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))))
1413ralbidv 3127 . . 3 (𝑥 = 1 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))))
15 breq2 5034 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 < 𝑥𝑘 < 𝑦))
16 breq2 5034 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))
1716bibi2d 347 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))
1817notbid 322 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))
19182rexbidv 3225 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))
2015, 19imbi12d 349 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))))
2120ralbidv 3127 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))))
22 nnnlt1 11696 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 < 1)
2322pm2.21d 121 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
2423rgen 3081 . . 3 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))
25 exprmfct 16090 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞𝑥)
26 prmz 16061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
2726adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℤ)
28 prmnn 16060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
2928nnne0d 11714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ≠ 0)
3029adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑞 ≠ 0)
31 nnz 12033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℕ → 𝑡 ∈ ℤ)
3231adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℤ)
33 dvdsval2 15648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0 ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑞𝑡 ↔ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑞𝑡 ↔ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
3534biimpd 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑞𝑡 → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
36353ad2antl2 1184 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑞𝑡 → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
3736adantrl 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑡 → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
38 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
39 nnre 11671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ ℕ → 𝑡 ∈ ℝ)
40 nngt0 11695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ ℕ → 0 < 𝑡)
4139, 40jca 516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡))
42 nnre 11671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ)
43 nngt0 11695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ ℕ → 0 < 𝑞)
4442, 43jca 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞))
4528, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞))
46 divgt0 11536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
4741, 45, 46syl2anr 600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
48473ad2antl2 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
4948adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
50 elnnz 12020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ↔ ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑡 / 𝑞)))
5138, 49, 50sylanbrc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ)
5251expr 461 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ))
5352adantrl 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ))
5426adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑞 ∈ ℤ)
5529adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑞 ≠ 0)
56 eluzelz 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
5756adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
58 dvdsval2 15648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑞𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ))
5954, 55, 57, 58syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑞𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ))
60 eluzelre 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℝ)
61 2z 12043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℤ
6261eluz1i 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑥))
63 2pos 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 < 2
64 zre 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
65 0re 10671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ
66 2re 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ
67 ltletr 10760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥))
6865, 66, 67mp3an12 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥))
6964, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℤ → ((0 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥))
7063, 69mpani 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑥 → 0 < 𝑥))
7170imp 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥)
7262, 71sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝑥)
7360, 72jca 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
74 divgt0 11536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → 0 < (𝑥 / 𝑞))
7573, 45, 74syl2anr 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝑥 / 𝑞))
7675a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ → 0 < (𝑥 / 𝑞)))
7776ancld 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑞))))
78 elnnz 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ↔ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑞)))
7977, 78syl6ibr 255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ))
8059, 79sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑞𝑥 → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ))
8180ancoms 463 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑥 → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ))
82 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑞) < 𝑥))
83 breq2 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (𝑘 < 𝑦𝑘 < (𝑥 / 𝑞)))
84 breq2 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑦 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
8584bibi2d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
8685notbid 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
87862rexbidv 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
8883, 87imbi12d 349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → ((𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)) ↔ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
8988ralbidv 3127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
9082, 89imbi12d 349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → ((𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ↔ ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
9190rspcv 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
92913ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
9392adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
94 eluzelcn 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℂ)
9594mulid2d 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
9695ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
97 prmgt1 16083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ ℙ → 1 < 𝑞)
9897ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 1 < 𝑞)
99 1red 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
10028nnred 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
101100ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ)
10260ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10372ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 0 < 𝑥)
104 ltmul1 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (1 < 𝑞 ↔ (1 · 𝑥) < (𝑞 · 𝑥)))
10599, 101, 102, 103, 104syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (1 < 𝑞 ↔ (1 · 𝑥) < (𝑞 · 𝑥)))
10698, 105mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (1 · 𝑥) < (𝑞 · 𝑥))
10796, 106eqbrtrrd 5054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑥 < (𝑞 · 𝑥))
10828, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 ∈ ℙ → 0 < 𝑞)
109108ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 0 < 𝑞)
110 ltdivmul 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥𝑥 < (𝑞 · 𝑥)))
111102, 102, 101, 109, 110syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥𝑥 < (𝑞 · 𝑥)))
112107, 111mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑞) < 𝑥)
113 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞)))
114 breq2 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
115114bibi1d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
116115notbid 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
1171162rexbidv 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
118113, 117imbi12d 349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → ((𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) ↔ ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
119118rspcv 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
1201193ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
121120adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
122393ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℝ)
123122adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑡 ∈ ℝ)
124 ltdiv1 11532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → (𝑡 < 𝑥 ↔ (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞)))
125123, 102, 101, 109, 124syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑡 < 𝑥 ↔ (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞)))
126125biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞))
127 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → 𝑝 ∈ ℙ)
128 peano2nn 11676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
129128adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
130129ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
13126ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℤ)
132 nnnn0 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
133132ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
134 zexpcl 13484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑞𝑛) ∈ ℤ)
135131, 133, 134syl2anc 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑛) ∈ ℤ)
136 nnz 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
1371363ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
138137ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
13929ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ≠ 0)
140 dvdsmulcr 15677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑞𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
141135, 138, 131, 139, 140syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
14228nncnd 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
143142ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℂ)
144143, 133expp1d 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑞↑(𝑛 + 1)) = ((𝑞𝑛) · 𝑞))
145144eqcomd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑛) · 𝑞) = (𝑞↑(𝑛 + 1)))
146 nncn 11672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑡 ∈ ℕ → 𝑡 ∈ ℂ)
1471463ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℂ)
148147ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑡 ∈ ℂ)
149148, 143, 139divcan1d 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) = 𝑡)
150145, 149breq12d 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡))
151141, 150bitr3d 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡))
152 nnz 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
1531523ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
154153ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
155 dvdsmulcr 15677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑞𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
156135, 154, 131, 139, 155syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
15794ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
158157, 143, 139divcan1d 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) = 𝑥)
159145, 158breq12d 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
160156, 159bitr3d 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
161151, 160bibi12d 350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
162161notbid 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
163162biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
164163impr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
165 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑞𝑚) = (𝑞↑(𝑛 + 1)))
166165breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡))
167165breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
168166, 167bibi12d 350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
169168notbid 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
170169rspcev 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
171130, 164, 170syl2anc 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
172 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑛) = (𝑞𝑛))
173172breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
174172breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
175173, 174bibi12d 350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑝 = 𝑞 → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
176175notbid 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑝 = 𝑞 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
177176anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑝 = 𝑞 → (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
178177anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑝 = 𝑞 → (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) ↔ ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
179 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑚) = (𝑞𝑚))
180179breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑡))
181179breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
182180, 181bibi12d 350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑝 = 𝑞 → (((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
183182notbid 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑝 = 𝑞 → (¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
184183rexbidv 3222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑝 = 𝑞 → (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
185178, 184imbi12d 349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑝 = 𝑞 → ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)) ↔ (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))))
186171, 185mpbiri 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑝 = 𝑞 → (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
187186com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (𝑝 = 𝑞 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
188 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞) → 𝑛 ∈ ℕ)
189188ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → 𝑛 ∈ ℕ)
190 prmz 16061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
191190adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
192191ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑝 ∈ ℤ)
193132adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
194193ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
195 zexpcl 13484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑝𝑛) ∈ ℤ)
196192, 194, 195syl2anc 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑝𝑛) ∈ ℤ)
19726ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℤ)
198137ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
199 dvdsmultr2 15689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞))))
200196, 197, 198, 199syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞))))
201196, 197gcdcomd 15903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = (𝑞 gcd (𝑝𝑛)))
202 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℙ)
203 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
204 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ)
205 prmdvdsexpb 16102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ 𝑞 = 𝑝))
206 equcom 2026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑞 = 𝑝𝑝 = 𝑞)
207205, 206syl6bb 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ 𝑝 = 𝑞))
208207biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) → 𝑝 = 𝑞))
209202, 203, 204, 208syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) → 𝑝 = 𝑞))
210209con3d 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → ¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛)))
211210impr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛))
212 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℙ)
213 coprm 16097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑝𝑛) ∈ ℤ) → (¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ (𝑞 gcd (𝑝𝑛)) = 1))
214212, 196, 213syl2anc 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ (𝑞 gcd (𝑝𝑛)) = 1))
215211, 214mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑞 gcd (𝑝𝑛)) = 1)
216201, 215eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1)
217 coprmdvds 16039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
218196, 197, 198, 217syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
219216, 218mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
220200, 219impbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞))))
221147ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑡 ∈ ℂ)
222142ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℂ)
22329ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ≠ 0)
224221, 222, 223divcan2d 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) = 𝑡)
225224breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑡))
226220, 225bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑡))
227153ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
228 dvdsmultr2 15689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞))))
229196, 197, 227, 228syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞))))
230 coprmdvds 16039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
231196, 197, 227, 230syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
232216, 231mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
233229, 232impbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞))))
23494ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
235234, 222, 223divcan2d 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) = 𝑥)
236235breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
237233, 236bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
238226, 237bibi12d 350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
239238notbid 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
240239biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
241 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑚 = 𝑛 → (𝑝𝑚) = (𝑝𝑛))
242241breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑡))
243241breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
244242, 243bibi12d 350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
245244notbid 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = 𝑛 → (¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
246245rspcev 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
247189, 240, 246syl2anc 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
248247ex 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
249248expr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))))
250249com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))))
251250impr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
252187, 251pm2.61d 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
253 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑟 = 𝑝 → (𝑟𝑚) = (𝑝𝑚))
254253breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑡))
255253breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
256254, 255bibi12d 350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑟 = 𝑝 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
257256notbid 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 = 𝑝 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
258257rexbidv 3222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑟 = 𝑝 → (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
259258rspcev 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
260127, 252, 259syl2anc 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
261260exp32 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
262261rexlimdvv 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
263126, 262embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → (((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
264263ex 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑡 < 𝑥 → (((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
265264com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
266121, 265syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
267112, 266embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
26893, 267syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
2692683exp2 1352 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))))))
27081, 269syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑥 → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))))))
2712703impia 1115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))))
272271com24 95 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 ∈ ℕ → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))))
273272imp32 423 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
27437, 53, 2733syld 60 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑡 → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
275 simpl2 1190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → 𝑞 ∈ ℙ)
276 1nn 11675 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ
277276a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → 1 ∈ ℕ)
278142exp1d 13545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞↑1) = 𝑞)
279278breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑞↑1) ∥ 𝑡𝑞𝑡))
280279notbid 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℙ → (¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ ¬ 𝑞𝑡))
281280biimpar 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑞𝑡) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
2822813ad2antl2 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ¬ 𝑞𝑡) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
283282adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥)) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
284283adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
285278breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑞↑1) ∥ 𝑥𝑞𝑥))
286285biimpar 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (𝑞↑1) ∥ 𝑥)
2872863adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (𝑞↑1) ∥ 𝑥)
288 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡) → ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡)))
289287, 288mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡) → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
290289adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → (((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡) → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
291284, 290mtod 201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
292 biimpr 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥) → ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
293291, 292nsyl 142 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥))
294 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑞 → (𝑟𝑚) = (𝑞𝑚))
295294breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑞 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑡))
296294breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑞 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
297295, 296bibi12d 350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑞 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
298297notbid 322 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑞 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
299 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 1 → (𝑞𝑚) = (𝑞↑1))
300299breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 1 → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
301299breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 1 → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥))
302300, 301bibi12d 350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 1 → (((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥)))
303302notbid 322 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 1 → (¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥)))
304298, 303rspc2ev 3554 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
305275, 277, 293, 304syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
306305expr 461 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
307306expd 420 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (¬ 𝑞𝑡 → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
308307adantrl 716 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑞𝑡 → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
309274, 308pm2.61d 182 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
310309expr 461 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))) → (𝑡 ∈ ℕ → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
311310ralrimiv 3113 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))) → ∀𝑡 ∈ ℕ (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
312 breq1 5033 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑘 → (𝑡 < 𝑥𝑘 < 𝑥))
313 breq2 5034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑘 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑘))
314313bibi1d 348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑘 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
315314notbid 322 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑘 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
3163152rexbidv 3225 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑘 → (∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
317253breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑘))
318317, 255bibi12d 350 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑝 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
319318notbid 322 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑝 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
320241breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑘))
321320, 243bibi12d 350 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
322321notbid 322 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
323319, 322cbvrex2vw 3375 . . . . . . . . . 10 (∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
324316, 323syl6bb 291 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑘 → (∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
325312, 324imbi12d 349 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑘 → ((𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))))
326325cbvralvw 3362 . . . . . . 7 (∀𝑡 ∈ ℕ (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
327311, 326sylib 221 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
3283273exp1 1350 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))))))
329328rexlimdv 3208 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))))
33025, 329mpd 15 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))))
33114, 21, 24, 330indstr2 12357 . 2 (𝑥 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
3327, 331vtoclga 3493 1 (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∀wral 3071  ∃wrex 3072   class class class wbr 5030  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148  ℂcc 10563  ℝcr 10564  0cc0 10565  1c1 10566   + caddc 10568   · cmul 10570   < clt 10703   ≤ cle 10704   / cdiv 11325  ℕcn 11664  2c2 11719  ℕ0cn0 11924  ℤcz 12010  ℤ≥cuz 12272  ↑cexp 13469   ∥ cdvds 15645   gcd cgcd 15883  ℙcprime 16057 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642  ax-pre-sup 10643 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7578  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-1o 8110  df-2o 8111  df-er 8297  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-fin 8529  df-sup 8929  df-inf 8930  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-div 11326  df-nn 11665  df-2 11727  df-3 11728  df-n0 11925  df-z 12011  df-uz 12273  df-rp 12421  df-fz 12930  df-fl 13201  df-mod 13277  df-seq 13409  df-exp 13470  df-cj 14496  df-re 14497  df-im 14498  df-sqrt 14632  df-abs 14633  df-dvds 15646  df-gcd 15884  df-prm 16058 This theorem is referenced by:  nn0prpw  34051
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