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Theorem nn0prpwlem 36304
Description: Lemma for nn0prpw 36305. Use strong induction to show that every positive integer has unique prime power divisors. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nn0prpwlem (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑝,𝐴

Proof of Theorem nn0prpwlem
Dummy variables 𝑚 𝑞 𝑟 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5151 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑘 < 𝑥𝑘 < 𝐴))
2 breq2 5151 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))
32bibi2d 342 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
43notbid 318 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
542rexbidv 3219 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
61, 5imbi12d 344 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))))
76ralbidv 3175 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))))
8 breq2 5151 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝑘 < 𝑥𝑘 < 1))
9 breq2 5151 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))
109bibi2d 342 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
1110notbid 318 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
12112rexbidv 3219 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
138, 12imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))))
1413ralbidv 3175 . . 3 (𝑥 = 1 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))))
15 breq2 5151 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 < 𝑥𝑘 < 𝑦))
16 breq2 5151 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))
1716bibi2d 342 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))
1817notbid 318 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))
19182rexbidv 3219 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))
2015, 19imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))))
2120ralbidv 3175 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))))
22 nnnlt1 12295 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 < 1)
2322pm2.21d 121 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
2423rgen 3060 . . 3 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))
25 exprmfct 16737 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞𝑥)
26 prmz 16708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℤ)
28 prmnn 16707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
2928nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ≠ 0)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑞 ≠ 0)
31 nnz 12631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℕ → 𝑡 ∈ ℤ)
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℤ)
33 dvdsval2 16289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0 ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑞𝑡 ↔ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑞𝑡 ↔ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
3534biimpd 229 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑞𝑡 → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
36353ad2antl2 1185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑞𝑡 → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
3736adantrl 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑡 → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
38 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
39 nnre 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ ℕ → 𝑡 ∈ ℝ)
40 nngt0 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ ℕ → 0 < 𝑡)
4139, 40jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡))
42 nnre 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ)
43 nngt0 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ ℕ → 0 < 𝑞)
4442, 43jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞))
4528, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞))
46 divgt0 12133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
4741, 45, 46syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
48473ad2antl2 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
4948adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
50 elnnz 12620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ↔ ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑡 / 𝑞)))
5138, 49, 50sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ)
5251expr 456 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ))
5352adantrl 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ))
5426adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑞 ∈ ℤ)
5529adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑞 ≠ 0)
56 eluzelz 12885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
58 dvdsval2 16289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑞𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ))
5954, 55, 57, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑞𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ))
60 eluzelre 12886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℝ)
61 2z 12646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℤ
6261eluz1i 12883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑥))
63 2pos 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 < 2
64 zre 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
65 0re 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ
66 2re 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ
67 ltletr 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥))
6865, 66, 67mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥))
6964, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℤ → ((0 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥))
7063, 69mpani 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑥 → 0 < 𝑥))
7170imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥)
7262, 71sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝑥)
7360, 72jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
74 divgt0 12133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → 0 < (𝑥 / 𝑞))
7573, 45, 74syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝑥 / 𝑞))
7675a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ → 0 < (𝑥 / 𝑞)))
7776ancld 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑞))))
78 elnnz 12620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ↔ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑞)))
7977, 78imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ))
8059, 79sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑞𝑥 → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ))
8180ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑥 → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ))
82 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑞) < 𝑥))
83 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (𝑘 < 𝑦𝑘 < (𝑥 / 𝑞)))
84 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑦 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
8584bibi2d 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
8685notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
87862rexbidv 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
8883, 87imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → ((𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)) ↔ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
8988ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
9082, 89imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → ((𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ↔ ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
9190rspcv 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
92913ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
9392adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
94 eluzelcn 12887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℂ)
9594mullidd 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
9695ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
97 prmgt1 16730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ ℙ → 1 < 𝑞)
9897ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 1 < 𝑞)
99 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
10028nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
101100ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ)
10260ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10372ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 0 < 𝑥)
104 ltmul1 12114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (1 < 𝑞 ↔ (1 · 𝑥) < (𝑞 · 𝑥)))
10599, 101, 102, 103, 104syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (1 < 𝑞 ↔ (1 · 𝑥) < (𝑞 · 𝑥)))
10698, 105mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (1 · 𝑥) < (𝑞 · 𝑥))
10796, 106eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑥 < (𝑞 · 𝑥))
10828, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 ∈ ℙ → 0 < 𝑞)
109108ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 0 < 𝑞)
110 ltdivmul 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥𝑥 < (𝑞 · 𝑥)))
111102, 102, 101, 109, 110syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥𝑥 < (𝑞 · 𝑥)))
112107, 111mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑞) < 𝑥)
113 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞)))
114 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
115114bibi1d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
116115notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
1171162rexbidv 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
118113, 117imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → ((𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) ↔ ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
119118rspcv 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
1201193ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
121120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
122393ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℝ)
123122adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑡 ∈ ℝ)
124 ltdiv1 12129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → (𝑡 < 𝑥 ↔ (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞)))
125123, 102, 101, 109, 124syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑡 < 𝑥 ↔ (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞)))
126125biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞))
127 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → 𝑝 ∈ ℙ)
128 peano2nn 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
129128adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
130129ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
13126ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℤ)
132 nnnn0 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
133132ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
134 zexpcl 14113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑞𝑛) ∈ ℤ)
135131, 133, 134syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑛) ∈ ℤ)
136 nnz 12631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
1371363ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
138137ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
13929ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ≠ 0)
140 dvdsmulcr 16319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑞𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
141135, 138, 131, 139, 140syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
14228nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
143142ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℂ)
144143, 133expp1d 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑞↑(𝑛 + 1)) = ((𝑞𝑛) · 𝑞))
145144eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑛) · 𝑞) = (𝑞↑(𝑛 + 1)))
146 nncn 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑡 ∈ ℕ → 𝑡 ∈ ℂ)
1471463ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℂ)
148147ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑡 ∈ ℂ)
149148, 143, 139divcan1d 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) = 𝑡)
150145, 149breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡))
151141, 150bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡))
152 nnz 12631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
1531523ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
154153ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
155 dvdsmulcr 16319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑞𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
156135, 154, 131, 139, 155syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
15794ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
158157, 143, 139divcan1d 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) = 𝑥)
159145, 158breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
160156, 159bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
161151, 160bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
162161notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
163162biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
164163impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
165 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑞𝑚) = (𝑞↑(𝑛 + 1)))
166165breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡))
167165breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
168166, 167bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
169168notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
170169rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
171130, 164, 170syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
172 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑛) = (𝑞𝑛))
173172breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
174172breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
175173, 174bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑝 = 𝑞 → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
176175notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑝 = 𝑞 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
177176anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑝 = 𝑞 → (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
178177anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑝 = 𝑞 → (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) ↔ ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
179 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑚) = (𝑞𝑚))
180179breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑡))
181179breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
182180, 181bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑝 = 𝑞 → (((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
183182notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑝 = 𝑞 → (¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
184183rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑝 = 𝑞 → (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
185178, 184imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑝 = 𝑞 → ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)) ↔ (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))))
186171, 185mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑝 = 𝑞 → (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
187186com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (𝑝 = 𝑞 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
188 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞) → 𝑛 ∈ ℕ)
189188ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → 𝑛 ∈ ℕ)
190 prmz 16708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
191190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
192191ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑝 ∈ ℤ)
193132adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
194193ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
195 zexpcl 14113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑝𝑛) ∈ ℤ)
196192, 194, 195syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑝𝑛) ∈ ℤ)
19726ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℤ)
198137ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
199 dvdsmultr2 16331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞))))
200196, 197, 198, 199syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞))))
201196, 197gcdcomd 16547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = (𝑞 gcd (𝑝𝑛)))
202 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℙ)
203 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
204 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ)
205 prmdvdsexpb 16749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ 𝑞 = 𝑝))
206 equcom 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑞 = 𝑝𝑝 = 𝑞)
207205, 206bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ 𝑝 = 𝑞))
208207biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) → 𝑝 = 𝑞))
209202, 203, 204, 208syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) → 𝑝 = 𝑞))
210209con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → ¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛)))
211210impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛))
212 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℙ)
213 coprm 16744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑝𝑛) ∈ ℤ) → (¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ (𝑞 gcd (𝑝𝑛)) = 1))
214212, 196, 213syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ (𝑞 gcd (𝑝𝑛)) = 1))
215211, 214mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑞 gcd (𝑝𝑛)) = 1)
216201, 215eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1)
217 coprmdvds 16686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
218196, 197, 198, 217syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
219216, 218mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
220200, 219impbid 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞))))
221147ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑡 ∈ ℂ)
222142ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℂ)
22329ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ≠ 0)
224221, 222, 223divcan2d 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) = 𝑡)
225224breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑡))
226220, 225bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑡))
227153ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
228 dvdsmultr2 16331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞))))
229196, 197, 227, 228syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞))))
230 coprmdvds 16686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
231196, 197, 227, 230syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
232216, 231mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
233229, 232impbid 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞))))
23494ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
235234, 222, 223divcan2d 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) = 𝑥)
236235breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
237233, 236bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
238226, 237bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
239238notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
240239biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
241 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑚 = 𝑛 → (𝑝𝑚) = (𝑝𝑛))
242241breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑡))
243241breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
244242, 243bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
245244notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = 𝑛 → (¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
246245rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
247189, 240, 246syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
248247ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
249248expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))))
250249com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))))
251250impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
252187, 251pm2.61d 179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
253 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑟 = 𝑝 → (𝑟𝑚) = (𝑝𝑚))
254253breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑡))
255253breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
256254, 255bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑟 = 𝑝 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
257256notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 = 𝑝 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
258257rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑟 = 𝑝 → (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
259258rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
260127, 252, 259syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
261260exp32 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
262261rexlimdvv 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
263126, 262embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → (((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
264263ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑡 < 𝑥 → (((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
265264com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
266121, 265syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
267112, 266embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
26893, 267syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
2692683exp2 1353 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))))))
27081, 269syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑥 → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))))))
2712703impia 1116 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))))
272271com24 95 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 ∈ ℕ → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))))
273272imp32 418 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
27437, 53, 2733syld 60 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑡 → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
275 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → 𝑞 ∈ ℙ)
276 1nn 12274 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ
277276a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → 1 ∈ ℕ)
278142exp1d 14177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞↑1) = 𝑞)
279278breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑞↑1) ∥ 𝑡𝑞𝑡))
280279notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℙ → (¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ ¬ 𝑞𝑡))
281280biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑞𝑡) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
2822813ad2antl2 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ¬ 𝑞𝑡) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
283282adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥)) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
284283adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
285278breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑞↑1) ∥ 𝑥𝑞𝑥))
286285biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (𝑞↑1) ∥ 𝑥)
2872863adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (𝑞↑1) ∥ 𝑥)
288 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡) → ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡)))
289287, 288mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡) → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
290289adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → (((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡) → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
291284, 290mtod 198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
292 biimpr 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥) → ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
293291, 292nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥))
294 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑞 → (𝑟𝑚) = (𝑞𝑚))
295294breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑞 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑡))
296294breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑞 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
297295, 296bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑞 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
298297notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑞 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
299 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 1 → (𝑞𝑚) = (𝑞↑1))
300299breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 1 → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
301299breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 1 → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥))
302300, 301bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 1 → (((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥)))
303302notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 1 → (¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥)))
304298, 303rspc2ev 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
305275, 277, 293, 304syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
306305expr 456 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
307306expd 415 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (¬ 𝑞𝑡 → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
308307adantrl 716 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑞𝑡 → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
309274, 308pm2.61d 179 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
310309expr 456 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))) → (𝑡 ∈ ℕ → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
311310ralrimiv 3142 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))) → ∀𝑡 ∈ ℕ (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
312 breq1 5150 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑘 → (𝑡 < 𝑥𝑘 < 𝑥))
313 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑘 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑘))
314313bibi1d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑘 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
315314notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑘 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
3163152rexbidv 3219 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑘 → (∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
317253breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑘))
318317, 255bibi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑝 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
319318notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑝 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
320241breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑘))
321320, 243bibi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
322321notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
323319, 322cbvrex2vw 3239 . . . . . . . . . 10 (∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
324316, 323bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑘 → (∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
325312, 324imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑘 → ((𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))))
326325cbvralvw 3234 . . . . . . 7 (∀𝑡 ∈ ℕ (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
327311, 326sylib 218 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
3283273exp1 1351 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))))))
329328rexlimdv 3150 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))))
33025, 329mpd 15 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))))
33114, 21, 24, 330indstr2 12966 . 2 (𝑥 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
3327, 331vtoclga 3576 1 (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  cexp 14098  cdvds 16286   gcd cgcd 16527  cprime 16704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705
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