nn0prpwlem - Mathbox for Jeff Hankins

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Theorem nn0prpwlem 34511

Description: Lemma for nn0prpw 34512. Use strong induction to show that every positive integer has unique prime power divisors. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
nn0prpwlem	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)))

Distinct variable group: 𝑘,𝑛,𝑝,𝐴

Proof of Theorem nn0prpwlem Dummy variables 𝑚 𝑞 𝑟 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5078	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑘 < 𝑥 ↔ 𝑘 < 𝐴))
2		breq2 5078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴))
3	2	bibi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)))
4	3	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)))
5	4	2rexbidv 3229	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)))
6	1, 5	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴))))
7	6	ralbidv 3112	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴))))
8		breq2 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑘 < 𝑥 ↔ 𝑘 < 1))
9		breq2 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 1))
10	9	bibi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 1)))
11	10	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 1)))
12	11	2rexbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 1)))
13	8, 12	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 1))))
14	13	ralbidv 3112	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 1))))
15		breq2 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 < 𝑥 ↔ 𝑘 < 𝑦))
16		breq2 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))
17	16	bibi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦)))
18	17	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦)))
19	18	2rexbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦)))
20	15, 19	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))))
21	20	ralbidv 3112	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))))
22		nnnlt1 12005	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 < 1)
23	22	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 1)))
24	23	rgen 3074	. . 3 ⊢ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 1))
25		exprmfct 16409	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝑥)
26		prmz 16380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℤ)
28		prmnn 16379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
29	28	nnne0d 12023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ≠ 0)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑞 ≠ 0)
31		nnz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ ℕ → 𝑡 ∈ ℤ)
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℤ)
33		dvdsval2 15966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0 ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑞 ∥ 𝑡 ↔ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
34	27, 30, 32, 33	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ 𝑡 ↔ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
35	34	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ 𝑡 → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
36	35	3ad2antl2 1185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ 𝑡 → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
37	36	adantrl 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑞 ∥ 𝑡 → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
38		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
39		nnre 11980	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ℕ → 𝑡 ∈ ℝ)
40		nngt0 12004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ℕ → 0 < 𝑡)
41	39, 40	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡))
42		nnre 11980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ)
43		nngt0 12004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → 0 < 𝑞)
44	42, 43	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞))
45	28, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞))
46		divgt0 11843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
47	41, 45, 46	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
48	47	3ad2antl2 1185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
49	48	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
50		elnnz 12329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ↔ ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑡 / 𝑞)))
51	38, 49, 50	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ)
52	51	expr 457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ))
53	52	adantrl 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ))
54	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑞 ∈ ℤ)
55	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑞 ≠ 0)
56		eluzelz 12592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
58		dvdsval2 15966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑞 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ))
59	54, 55, 57, 58	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑞 ∥ 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ))
60		eluzelre 12593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑥 ∈ ℝ)
61		2z 12352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℤ
62	61	eluz1i 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑥))
63		2pos 12076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 < 2
64		zre 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
65		0re 10977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ∈ ℝ
66		2re 12047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ
67		ltletr 11067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥))
68	65, 66, 67	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥))
69	64, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((0 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥))
70	63, 69	mpani 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑥 → 0 < 𝑥))
71	70	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥)
72	62, 71	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → 0 < 𝑥)
73	60, 72	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
74		divgt0 11843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → 0 < (𝑥 / 𝑞))
75	73, 45, 74	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 0 < (𝑥 / 𝑞))
76	75	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ → 0 < (𝑥 / 𝑞)))
77	76	ancld 551	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑞))))
78		elnnz 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ↔ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑞)))
79	77, 78	syl6ibr 251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ))
80	59, 79	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑞 ∥ 𝑥 → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ))
81	80	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑥 → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ))
82		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑞) < 𝑥))
83		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (𝑘 < 𝑦 ↔ 𝑘 < (𝑥 / 𝑞)))
84		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
85	84	bibi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
86	85	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
87	86	2rexbidv 3229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
88	83, 87	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → ((𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦)) ↔ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
89	88	ralbidv 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
90	82, 89	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → ((𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) ↔ ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
91	90	rspcv 3557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
92	91	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
94		eluzelcn 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑥 ∈ ℂ)
95	94	mulid2d 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
96	95	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
97		prmgt1 16402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 1 < 𝑞)
98	97	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 1 < 𝑞)
99		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
100	28	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
101	100	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ)
102	60	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
103	72	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 0 < 𝑥)
104		ltmul1 11825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (1 < 𝑞 ↔ (1 · 𝑥) < (𝑞 · 𝑥)))
105	99, 101, 102, 103, 104	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (1 < 𝑞 ↔ (1 · 𝑥) < (𝑞 · 𝑥)))
106	98, 105	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (1 · 𝑥) < (𝑞 · 𝑥))
107	96, 106	eqbrtrrd 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑥 < (𝑞 · 𝑥))
108	28, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 0 < 𝑞)
109	108	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 0 < 𝑞)
110		ltdivmul 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 ↔ 𝑥 < (𝑞 · 𝑥)))
111	102, 102, 101, 109, 110	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 ↔ 𝑥 < (𝑞 · 𝑥)))
112	107, 111	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑞) < 𝑥)
113		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞)))
114		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
115	114	bibi1d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
116	115	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
117	116	2rexbidv 3229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
118	113, 117	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → ((𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) ↔ ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
119	118	rspcv 3557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
120	119	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
121	120	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
122	39	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℝ)
123	122	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑡 ∈ ℝ)
124		ltdiv1 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → (𝑡 < 𝑥 ↔ (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞)))
125	123, 102, 101, 109, 124	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑡 < 𝑥 ↔ (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞)))
126	125	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞))
127		simprll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → 𝑝 ∈ ℙ)
128		peano2nn 11985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
129	128	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
130	129	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
131	26	ad4antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℤ)
132		nnnn0 12240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ₀)
133	132	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
134		zexpcl 13797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑞↑𝑛) ∈ ℤ)
135	131, 133, 134	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑛) ∈ ℤ)
136		nnz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
137	136	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
138	137	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
139	29	ad4antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ≠ 0)
140		dvdsmulcr 15995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑞↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0)) → (((𝑞↑𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
141	135, 138, 131, 139, 140	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞↑𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
142	28	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
143	142	ad4antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℂ)
144	143, 133	expp1d 13865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑞↑(𝑛 + 1)) = ((𝑞↑𝑛) · 𝑞))
145	144	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑𝑛) · 𝑞) = (𝑞↑(𝑛 + 1)))
146		nncn 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑡 ∈ ℕ → 𝑡 ∈ ℂ)
147	146	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℂ)
148	147	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑡 ∈ ℂ)
149	148, 143, 139	divcan1d 11752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) = 𝑡)
150	145, 149	breq12d 5087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞↑𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡))
151	141, 150	bitr3d 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡))
152		nnz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
153	152	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
154	153	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
155		dvdsmulcr 15995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑞↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0)) → (((𝑞↑𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
156	135, 154, 131, 139, 155	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞↑𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
157	94	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
158	157, 143, 139	divcan1d 11752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) = 𝑥)
159	145, 158	breq12d 5087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞↑𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
160	156, 159	bitr3d 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
161	151, 160	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
162	161	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ ((𝑞↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
163	162	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ ((𝑞↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
164	163	impr 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
165		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑞↑𝑚) = (𝑞↑(𝑛 + 1)))
166	165	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡))
167	165	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
168	166, 167	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
169	168	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (¬ ((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
170	169	rspcev 3561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥))
171	130, 164, 170	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥))
172		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝↑𝑛) = (𝑞↑𝑛))
173	172	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
174	172	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
175	173, 174	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑞↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
176	175	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑞↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
177	176	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
178	177	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) ↔ ((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
179		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝↑𝑚) = (𝑞↑𝑚))
180	179	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡))
181	179	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥))
182	180, 181	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥)))
183	182	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥)))
184	183	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥)))
185	178, 184	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥)) ↔ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥))))
186	171, 185	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥)))
187	186	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (𝑝 = 𝑞 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥)))
188		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞) → 𝑛 ∈ ℕ)
189	188	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) ∧ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → 𝑛 ∈ ℕ)
190		prmz 16380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
191	190	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
192	191	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑝 ∈ ℤ)
193	132	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
194	193	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
195		zexpcl 13797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑝↑𝑛) ∈ ℤ)
196	192, 194, 195	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑝↑𝑛) ∈ ℤ)
197	26	ad4antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℤ)
198	137	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
199		dvdsmultr2 16007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑝↑𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ) → ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) → (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞))))
200	196, 197, 198, 199	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) → (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞))))
201	196, 197	gcdcomd 16221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝↑𝑛) gcd 𝑞) = (𝑞 gcd (𝑝↑𝑛)))
202		simp-4r 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℙ)
203		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
204		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ)
205		prmdvdsexpb 16421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑛) ↔ 𝑞 = 𝑝))
206		equcom 2021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑞 = 𝑝 ↔ 𝑝 = 𝑞)
207	205, 206	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑛) ↔ 𝑝 = 𝑞))
208	207	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑛) → 𝑝 = 𝑞))
209	202, 203, 204, 208	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑛) → 𝑝 = 𝑞))
210	209	con3d 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑𝑛)))
211	210	impr 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑𝑛))
212		simp-4r 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℙ)
213		coprm 16416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑝↑𝑛) ∈ ℤ) → (¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑𝑛) ↔ (𝑞 gcd (𝑝↑𝑛)) = 1))
214	212, 196, 213	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑𝑛) ↔ (𝑞 gcd (𝑝↑𝑛)) = 1))
215	211, 214	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑞 gcd (𝑝↑𝑛)) = 1)
216	201, 215	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝↑𝑛) gcd 𝑞) = 1)
217		coprmdvds 16358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑝↑𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ) → (((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) ∧ ((𝑝↑𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
218	196, 197, 198, 217	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) ∧ ((𝑝↑𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
219	216, 218	mpan2d 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) → (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
220	200, 219	impbid 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞))))
221	147	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑡 ∈ ℂ)
222	142	ad4antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℂ)
223	29	ad4antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ≠ 0)
224	221, 222, 223	divcan2d 11753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) = 𝑡)
225	224	breq2d 5086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑡))
226	220, 225	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑡))
227	153	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
228		dvdsmultr2 16007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑝↑𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ) → ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) → (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞))))
229	196, 197, 227, 228	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) → (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞))))
230		coprmdvds 16358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑝↑𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ) → (((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) ∧ ((𝑝↑𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
231	196, 197, 227, 230	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) ∧ ((𝑝↑𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
232	216, 231	mpan2d 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) → (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
233	229, 232	impbid 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞))))
234	94	ad4antr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
235	234, 222, 223	divcan2d 11753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) = 𝑥)
236	235	breq2d 5086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥))
237	233, 236	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥))
238	226, 237	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)))
239	238	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)))
240	239	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) ∧ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥))
241		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑝↑𝑚) = (𝑝↑𝑛))
242	241	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑡))
243	241	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥))
244	242, 243	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)))
245	244	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)))
246	245	rspcev 3561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥))
247	189, 240, 246	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) ∧ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥))
248	247	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥)))
249	248	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥))))
250	249	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥))))
251	250	impr 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥)))
252	187, 251	pm2.61d 179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥))
253		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (𝑟↑𝑚) = (𝑝↑𝑚))
254	253	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡))
255	253	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥))
256	254, 255	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥)))
257	256	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥)))
258	257	rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥)))
259	258	rspcev 3561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))
260	127, 252, 259	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))
261	260	exp32 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))))
262	261	rexlimdvv 3222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥)))
263	126, 262	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → (((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥)))
264	263	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑡 < 𝑥 → (((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))))
265	264	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))))
266	121, 265	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))))
267	112, 266	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))))
268	93, 267	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))))
269	268	3exp2 1353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥)))))))
270	81, 269	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑥 → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥)))))))
271	270	3impia 1116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))))))
272	271	com24 95	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 ∈ ℕ → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))))))
273	272	imp32 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))))
274	37, 53, 273	3syld 60	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑞 ∥ 𝑡 → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))))
275		simpl2 1191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞 ∥ 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑥))) → 𝑞 ∈ ℙ)
276		1nn 11984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ
277	276	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞 ∥ 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑥))) → 1 ∈ ℕ)
278	142	exp1d 13859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞↑1) = 𝑞)
279	278	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ 𝑞 ∥ 𝑡))
280	279	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → (¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝑡))
281	280	biimpar 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑞 ∥ 𝑡) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
282	281	3ad2antl2 1185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ ¬ 𝑞 ∥ 𝑡) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
283	282	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (¬ 𝑞 ∥ 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑥)) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
284	283	adantrl 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞 ∥ 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑥))) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
285	278	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 ↔ 𝑞 ∥ 𝑥))
286	285	biimpar 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) → (𝑞↑1) ∥ 𝑥)
287	286	3adant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) → (𝑞↑1) ∥ 𝑥)
288		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) → (((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡) → ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡)))
289	287, 288	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) → (((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡) → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
290	289	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞 ∥ 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑥))) → (((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡) → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
291	284, 290	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞 ∥ 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑥))) → ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
292		biimpr 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥) → ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
293	291, 292	nsyl 140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞 ∥ 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑥))) → ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥))
294		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → (𝑟↑𝑚) = (𝑞↑𝑚))
295	294	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡))
296	294	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥))
297	295, 296	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → (((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥)))
298	297	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = 𝑞 → (¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥)))
299		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 = 1 → (𝑞↑𝑚) = (𝑞↑1))
300	299	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
301	299	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = 1 → ((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥))
302	300, 301	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 1 → (((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥)))
303	302	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 1 → (¬ ((𝑞↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥)))
304	298, 303	rspc2ev 3572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))
305	275, 277, 293, 304	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞 ∥ 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑥))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))
306	305	expr 457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((¬ 𝑞 ∥ 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥)))
307	306	expd 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (¬ 𝑞 ∥ 𝑡 → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))))
308	307	adantrl 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑞 ∥ 𝑡 → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))))
309	274, 308	pm2.61d 179	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥)))
310	309	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦)))) → (𝑡 ∈ ℕ → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥))))
311	310	ralrimiv 3102	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦)))) → ∀𝑡 ∈ ℕ (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥)))
312		breq1 5077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (𝑡 < 𝑥 ↔ 𝑘 < 𝑥))
313		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑘))
314	313	bibi1d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥)))
315	314	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥)))
316	315	2rexbidv 3229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥)))
317	253	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑘))
318	317, 255	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥)))
319	318	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑝 → (¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥)))
320	241	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘))
321	320, 243	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)))
322	321	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (¬ ((𝑝↑𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)))
323	319, 322	cbvrex2vw 3397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥))
324	316, 323	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)))
325	312, 324	imbi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → ((𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥))))
326	325	cbvralvw 3383	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ∈ ℕ (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟↑𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟↑𝑚) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)))
327	311, 326	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)))
328	327	3exp1 1351	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞 ∥ 𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥))))))
329	328	rexlimdv 3212	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)))))
330	25, 329	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ_≥‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥))))
331	14, 21, 24, 330	indstr2 12667	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝑥)))
332	7, 331	vtoclga 3513	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 ∃wrex 3065 class class class wbr 5074 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 < clt 11009 ≤ cle 11010 / cdiv 11632 ℕcn 11973 2c2 12028 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 ℤ_≥cuz 12582 ↑cexp 13782 ∥ cdvds 15963 gcd cgcd 16201 ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-2o 8298 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-sup 9201 df-inf 9202 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-rp 12731 df-fz 13240 df-fl 13512 df-mod 13590 df-seq 13722 df-exp 13783 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-dvds 15964 df-gcd 16202 df-prm 16377

This theorem is referenced by: nn0prpw 34512

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