Theorem cos01bnd 16219

Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cos01bnd	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))

Proof of Theorem cos01bnd

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11259	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		0xr 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		elioc2 13447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
4	2, 1, 3	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	resqcld 14162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 12511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
8		resubcl 11571	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
9	1, 7, 8	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11287	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
11		ax-icn 11212	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
12	5	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		mulcl 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
14	11, 12, 13	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
15		4nn0 12543	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
17	16	eftlcl 16140	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
18	14, 15, 17	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
19	18	recld 15230	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11287	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℂ)
21	16	recos4p 16172	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
22	5, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
23	10, 20, 22	mvrladdd 11674	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2))) = (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
24	23	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) = (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
25	20	abscld 15472	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ∈ ℝ)
26	18	abscld 15472	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
27		6nn 12353	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
28		nndivre 12305	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℝ)
29	6, 27, 28	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℝ)
30		absrele 15344	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
31	18, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
32		reexpcl 14116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
33	5, 15, 32	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
34		nndivre 12305	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
35	33, 27, 34	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
36	16	ef01bndlem 16217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
37		2nn0 12541	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 2 ∈ ℕ0)
39		4z 12649	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
40		2re 12338	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
41		4re 12348	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
42		2lt4 12439	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 4
43	40, 41, 42	ltleii 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≤ 4
44		2z 12647	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
45	44	eluz1i 12884	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
46	39, 43, 45	mpbir2an 711	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ (ℤ≥‘2))
48	4	simp2bi 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
49		0re 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
50		ltle 11347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
51	49, 5, 50	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
52	48, 51	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
53	4	simp3bi 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
54	5, 38, 47, 52, 53	leexp2rd 14291	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2))
55		6re 12354	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
56	55	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 6 ∈ ℝ)
57		6pos 12374	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 6
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 6)
59		lediv1 12131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6)))
60	33, 6, 56, 58, 59	syl112anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6)))
61	54, 60	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6))
62	26, 35, 29, 36, 61	ltletrd 11419	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑2) / 6))
63	25, 26, 29, 31, 62	lelttrd 11417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) < ((𝐴↑2) / 6))
64	24, 63	eqbrtrd 5170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6))
65	5	recoscld 16177	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
66	65, 9, 29	absdifltd 15469	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6) ↔ (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)))))
67		1cnd 11254	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℂ)
68	7	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
69	29	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℂ)
70	67, 68, 69	subsub4d 11649	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6))))
71		halfpm6th 12485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
72	71	simpri 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
73	72	oveq2i 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = ((𝐴↑2) · (2 / 3))
74	6	recnd 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
75		2cn 12339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
76		2ne0 12368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
77	75, 76	reccli 11995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
78		6cn 12355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℂ
79	27	nnne0i 12304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ≠ 0
80	78, 79	reccli 11995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
81		adddi 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
82	77, 80, 81	mp3an23 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
83	74, 82	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
84	73, 83	eqtr3id 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
85		3cn 12345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
86		3ne0 12370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
87	85, 86	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
88		div12 11942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
89	75, 87, 88	mp3an13 1451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
90	74, 89	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
91		divrec 11936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
92	75, 76, 91	mp3an23 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
93	74, 92	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
94		divrec 11936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
95	78, 79, 94	mp3an23 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
96	74, 95	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
97	93, 96	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
98	84, 90, 97	3eqtr4rd 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6)) = (2 · ((𝐴↑2) / 3)))
99	98	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6))) = (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
100	70, 99	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
101	100	breq1d 5158	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ↔ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)))
102	67, 68, 69	subsubd 11646	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)))
103	71	simpli 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
104	103	oveq2i 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = ((𝐴↑2) · (1 / 3))
105		subdi 11694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
106	77, 80, 105	mp3an23 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
107	74, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
108	104, 107	eqtr3id 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (1 / 3)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
109		divrec 11936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
110	85, 86, 109	mp3an23 1452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
111	74, 110	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
112	93, 96	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
113	108, 111, 112	3eqtr4rd 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6)) = ((𝐴↑2) / 3))
114	113	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6))) = (1 − ((𝐴↑2) / 3)))
115	102, 114	eqtr3d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − ((𝐴↑2) / 3)))
116	115	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)) ↔ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
117	101, 116	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6))) ↔ ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3)))))
118	66, 117	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6) ↔ ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3)))))
119	64, 118	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490   / cdiv 11918  ℕcn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  6c6 12323  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  (,]cioc 13385  ↑cexp 14099  !cfa 14309  ℜcre 15133  abscabs 15270  Σcsu 15719  cosccos 16097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-cos 16103

This theorem is referenced by:  cos1bnd  16220  cos01gt0  16224  tangtx  26562