Theorem cos01bnd 16359

Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cos01bnd	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))

Proof of Theorem cos01bnd

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11311	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		0xr 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		elioc2 13543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
4	2, 1, 3	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	resqcld 14271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 12596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
8		resubcl 11625	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
9	1, 7, 8	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11340	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
11		ax-icn 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
12	5	recnd 11340	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		mulcl 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
14	11, 12, 13	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
15		4nn0 12628	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
17	16	eftlcl 16280	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
18	14, 15, 17	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
19	18	recld 15366	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11340	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℂ)
21	16	recos4p 16312	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
22	5, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
23	10, 20, 22	mvrladdd 11731	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2))) = (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
24	23	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) = (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
25	20	abscld 15611	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ∈ ℝ)
26	18	abscld 15611	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
27		6nn 12435	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
28		nndivre 12382	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℝ)
29	6, 27, 28	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℝ)
30		absrele 15480	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
31	18, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
32		reexpcl 14224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
33	5, 15, 32	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
34		nndivre 12382	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
35	33, 27, 34	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
36	16	ef01bndlem 16357	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
37		2nn0 12626	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 2 ∈ ℕ0)
39		4z 12733	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
40		2re 12420	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
41		4re 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
42		2lt4 12523	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 4
43	40, 41, 42	ltleii 11436	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≤ 4
44		2z 12731	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
45	44	eluz1i 12976	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
46	39, 43, 45	mpbir2an 724	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ (ℤ≥‘2))
48	4	simp2bi 1164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
49		0re 11313	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
50		ltle 11401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
51	49, 5, 50	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
52	48, 51	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
53	4	simp3bi 1165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
54	5, 38, 47, 52, 53	leexp2rd 14402	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2))
55		6re 12436	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
56	55	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 6 ∈ ℝ)
57		6pos 12459	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 6
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 6)
59		lediv1 12185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6)))
60	33, 6, 56, 58, 59	syl112anc 1401	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6)))
61	54, 60	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6))
62	26, 35, 29, 36, 61	ltletrd 11473	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑2) / 6))
63	25, 26, 29, 31, 62	lelttrd 11471	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) < ((𝐴↑2) / 6))
64	24, 63	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6))
65	5	recoscld 16317	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
66	65, 9, 29	absdifltd 15608	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6) ↔ (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)))))
67		1cnd 11305	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℂ)
68	7	recnd 11340	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
69	29	recnd 11340	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℂ)
70	67, 68, 69	subsub4d 11703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6))))
71		halfpm6th 12571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
72	71	simpri 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
73	72	oveq2i 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = ((𝐴↑2) · (2 / 3))
74	6	recnd 11340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
75		2cn 12421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
76		2ne0 12452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
77	75, 76	reccli 12050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
78		6cn 12437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℂ
79	27	nnne0i 12381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ≠ 0
80	78, 79	reccli 12050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
81		adddi 11292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
82	77, 80, 81	mp3an23 1482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
83	74, 82	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
84	73, 83	eqtr3id 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
85		3cn 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
86		3ne0 12455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
87	85, 86	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
88		div12 11999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
89	75, 87, 88	mp3an13 1481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
90	74, 89	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
91		divrec 11993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
92	75, 76, 91	mp3an23 1482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
93	74, 92	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
94		divrec 11993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
95	78, 79, 94	mp3an23 1482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
96	74, 95	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
97	93, 96	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
98	84, 90, 97	3eqtr4rd 2806	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6)) = (2 · ((𝐴↑2) / 3)))
99	98	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6))) = (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
100	70, 99	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
101	100	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ↔ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)))
102	67, 68, 69	subsubd 11700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)))
103	71	simpli 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
104	103	oveq2i 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = ((𝐴↑2) · (1 / 3))
105		subdi 11752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
106	77, 80, 105	mp3an23 1482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
107	74, 106	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
108	104, 107	eqtr3id 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (1 / 3)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
109		divrec 11993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
110	85, 86, 109	mp3an23 1482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
111	74, 110	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
112	93, 96	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
113	108, 111, 112	3eqtr4rd 2806	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6)) = ((𝐴↑2) / 3))
114	113	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6))) = (1 − ((𝐴↑2) / 3)))
115	102, 114	eqtr3d 2797	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − ((𝐴↑2) / 3)))
116	115	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)) ↔ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
117	101, 116	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6))) ↔ ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3)))))
118	66, 117	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6) ↔ ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3)))))
119	64, 118	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204  ici 11205   + caddc 11206   · cmul 11208  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347   − cmin 11544   / cdiv 11976  ℕcn 12338  2c2 12400  3c3 12401  4c4 12402  6c6 12404  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  (,]cioc 13480  ↑cexp 14207  !cfa 14420  ℜcre 15269  abscabs 15406  Σcsu 15858  cosccos 16235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-cos 16241

This theorem is used by:  cos1bnd  16360  cos01gt0  16364  tangtx  26839