MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos01bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos01bnd 16162
Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cos01bnd (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3))))

Proof of Theorem cos01bnd
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 11244 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
2 0xr 11291 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„*
3 elioc2 13419 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)))
42, 1, 3mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))
54simp1bi 1142 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
65resqcld 14121 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
76rehalfcld 12489 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„)
8 resubcl 11554 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„)
91, 7, 8sylancr 585 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„)
109recnd 11272 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„‚)
11 ax-icn 11197 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
125recnd 11272 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
13 mulcl 11222 . . . . . . . . 9 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1411, 12, 13sylancr 585 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
15 4nn0 12521 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„•0
16 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
1716eftlcl 16083 . . . . . . . 8 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1814, 15, 17sylancl 584 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1918recld 15173 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
2019recnd 11272 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2116recos4p 16115 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜))))
225, 21syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (cosโ€˜๐ด) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜))))
2310, 20, 22mvrladdd 11657 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2))) = (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)))
2423fveq2d 6896 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜((cosโ€˜๐ด) โˆ’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)))) = (absโ€˜(โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜))))
2520abscld 15415 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
2618abscld 15415 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
27 6nn 12331 . . . . 5 6 โˆˆ โ„•
28 nndivre 12283 . . . . 5 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 6 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 6) โˆˆ โ„)
296, 27, 28sylancl 584 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 6) โˆˆ โ„)
30 absrele 15287 . . . . 5 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜))) โ‰ค (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)))
3118, 30syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜))) โ‰ค (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)))
32 reexpcl 14075 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„)
335, 15, 32sylancl 584 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„)
34 nndivre 12283 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 6 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) โˆˆ โ„)
3533, 27, 34sylancl 584 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) โˆˆ โ„)
3616ef01bndlem 16160 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) < ((๐ดโ†‘4) / 6))
37 2nn0 12519 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
3837a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
39 4z 12626 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„ค
40 2re 12316 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
41 4re 12326 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„
42 2lt4 12417 . . . . . . . . . 10 2 < 4
4340, 41, 42ltleii 11367 . . . . . . . . 9 2 โ‰ค 4
44 2z 12624 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
4544eluz1i 12860 . . . . . . . . 9 (4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (4 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค 4))
4639, 43, 45mpbir2an 709 . . . . . . . 8 4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
4746a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
484simp2bi 1143 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < ๐ด)
49 0re 11246 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
50 ltle 11332 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
5149, 5, 50sylancr 585 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
5248, 51mpd 15 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
534simp3bi 1144 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
545, 38, 47, 52, 53leexp2rd 14249 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โ‰ค (๐ดโ†‘2))
55 6re 12332 . . . . . . . 8 6 โˆˆ โ„
5655a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 6 โˆˆ โ„)
57 6pos 12352 . . . . . . . 8 0 < 6
5857a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < 6)
59 lediv1 12109 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง (6 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 6)) โ†’ ((๐ดโ†‘4) โ‰ค (๐ดโ†‘2) โ†” ((๐ดโ†‘4) / 6) โ‰ค ((๐ดโ†‘2) / 6)))
6033, 6, 56, 58, 59syl112anc 1371 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) โ‰ค (๐ดโ†‘2) โ†” ((๐ดโ†‘4) / 6) โ‰ค ((๐ดโ†‘2) / 6)))
6154, 60mpbid 231 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) โ‰ค ((๐ดโ†‘2) / 6))
6226, 35, 29, 36, 61ltletrd 11404 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) < ((๐ดโ†‘2) / 6))
6325, 26, 29, 31, 62lelttrd 11402 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜))) < ((๐ดโ†‘2) / 6))
6424, 63eqbrtrd 5165 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜((cosโ€˜๐ด) โˆ’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)))) < ((๐ดโ†‘2) / 6))
655recoscld 16120 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
6665, 9, 29absdifltd 15412 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((absโ€˜((cosโ€˜๐ด) โˆ’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)))) < ((๐ดโ†‘2) / 6) โ†” (((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6)) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + ((๐ดโ†‘2) / 6)))))
67 1cnd 11239 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
687recnd 11272 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„‚)
6929recnd 11272 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 6) โˆˆ โ„‚)
7067, 68, 69subsub4d 11632 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6)) = (1 โˆ’ (((๐ดโ†‘2) / 2) + ((๐ดโ†‘2) / 6))))
71 halfpm6th 12463 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 2) โˆ’ (1 / 6)) = (1 / 3) โˆง ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
7271simpri 484 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
7372oveq2i 7427 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) + (1 / 6))) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3))
746recnd 11272 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
75 2cn 12317 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
76 2ne0 12346 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
7775, 76reccli 11974 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
78 6cn 12333 . . . . . . . . . . . 12 6 โˆˆ โ„‚
7927nnne0i 12282 . . . . . . . . . . . 12 6 โ‰  0
8078, 79reccli 11974 . . . . . . . . . . 11 (1 / 6) โˆˆ โ„‚
81 adddi 11227 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 6) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) + ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
8277, 80, 81mp3an23 1449 . . . . . . . . . 10 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) + ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
8374, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) + ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
8473, 83eqtr3id 2779 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) + ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
85 3cn 12323 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„‚
86 3ne0 12348 . . . . . . . . . . 11 3 โ‰  0
8785, 86pm3.2i 469 . . . . . . . . . 10 (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0)
88 div12 11924 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0)) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
8975, 87, 88mp3an13 1448 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
9074, 89syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
91 divrec 11918 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)))
9275, 76, 91mp3an23 1449 . . . . . . . . . 10 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)))
9374, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)))
94 divrec 11918 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 6) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6)))
9578, 79, 94mp3an23 1449 . . . . . . . . . 10 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 6) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6)))
9674, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 6) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6)))
9793, 96oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((๐ดโ†‘2) / 2) + ((๐ดโ†‘2) / 6)) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) + ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
9884, 90, 973eqtr4rd 2776 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((๐ดโ†‘2) / 2) + ((๐ดโ†‘2) / 6)) = (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)))
9998oveq2d 7432 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ (((๐ดโ†‘2) / 2) + ((๐ดโ†‘2) / 6))) = (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))))
10070, 99eqtrd 2765 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6)) = (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))))
101100breq1d 5153 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6)) < (cosโ€˜๐ด) โ†” (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด)))
10267, 68, 69subsubd 11629 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ (((๐ดโ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6))) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + ((๐ดโ†‘2) / 6)))
10371simpli 482 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) โˆ’ (1 / 6)) = (1 / 3)
104103oveq2i 7427 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) โˆ’ (1 / 6))) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 3))
105 subdi 11677 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 6) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) โˆ’ (1 / 6))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
10677, 80, 105mp3an23 1449 . . . . . . . . . 10 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) โˆ’ (1 / 6))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
10774, 106syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) โˆ’ (1 / 6))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
108104, 107eqtr3id 2779 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 3)) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
109 divrec 11918 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 3)))
11085, 86, 109mp3an23 1449 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 3)))
11174, 110syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 3)))
11293, 96oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((๐ดโ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6)) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
113108, 111, 1123eqtr4rd 2776 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((๐ดโ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6)) = ((๐ดโ†‘2) / 3))
114113oveq2d 7432 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ (((๐ดโ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6))) = (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3)))
115102, 114eqtr3d 2767 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + ((๐ดโ†‘2) / 6)) = (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3)))
116115breq2d 5155 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((cosโ€˜๐ด) < ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + ((๐ดโ†‘2) / 6)) โ†” (cosโ€˜๐ด) < (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3))))
117101, 116anbi12d 630 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6)) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + ((๐ดโ†‘2) / 6))) โ†” ((1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3)))))
11866, 117bitrd 278 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((absโ€˜((cosโ€˜๐ด) โˆ’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)))) < ((๐ดโ†‘2) / 6) โ†” ((1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3)))))
11964, 118mpbid 231 1 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139  ici 11140   + caddc 11141   ยท cmul 11143  โ„*cxr 11277   < clt 11278   โ‰ค cle 11279   โˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  โ„•cn 12242  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  6c6 12301  โ„•0cn0 12502  โ„คcz 12588  โ„คโ‰ฅcuz 12852  (,]cioc 13357  โ†‘cexp 14058  !cfa 14264  โ„œcre 15076  abscabs 15213  ฮฃcsu 15664  cosccos 16040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-cos 16046
This theorem is referenced by:  cos1bnd  16163  cos01gt0  16167  tangtx  26458
  Copyright terms: Public domain W3C validator