MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos01bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos01bnd 16222
Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cos01bnd (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))

Proof of Theorem cos01bnd
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 11261 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
2 0xr 11308 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
3 elioc2 13450 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
42, 1, 3mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 1146 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
65resqcld 14165 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
76rehalfcld 12513 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ)
8 resubcl 11573 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℝ) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
91, 7, 8sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℝ)
109recnd 11289 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − ((𝐴↑2) / 2)) ∈ ℂ)
11 ax-icn 11214 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
125recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
13 mulcl 11239 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
1411, 12, 13sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
15 4nn0 12545 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
16 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
1716eftlcl 16143 . . . . . . . 8 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
1814, 15, 17sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
1918recld 15233 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
2019recnd 11289 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℂ)
2116recos4p 16175 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
225, 21syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
2310, 20, 22mvrladdd 11676 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2))) = (ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
2423fveq2d 6910 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) = (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
2520abscld 15475 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ∈ ℝ)
2618abscld 15475 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
27 6nn 12355 . . . . 5 6 ∈ ℕ
28 nndivre 12307 . . . . 5 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℝ)
296, 27, 28sylancl 586 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℝ)
30 absrele 15347 . . . . 5 𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
3118, 30syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
32 reexpcl 14119 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
335, 15, 32sylancl 586 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
34 nndivre 12307 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3533, 27, 34sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3616ef01bndlem 16220 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
37 2nn0 12543 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
3837a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 2 ∈ ℕ0)
39 4z 12651 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
40 2re 12340 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
41 4re 12350 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
42 2lt4 12441 . . . . . . . . . 10 2 < 4
4340, 41, 42ltleii 11384 . . . . . . . . 9 2 ≤ 4
44 2z 12649 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
4544eluz1i 12886 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
4639, 43, 45mpbir2an 711 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘2)
4746a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ (ℤ‘2))
484simp2bi 1147 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
49 0re 11263 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
50 ltle 11349 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5149, 5, 50sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5248, 51mpd 15 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
534simp3bi 1148 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
545, 38, 47, 52, 53leexp2rd 14294 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2))
55 6re 12356 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
5655a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 6 ∈ ℝ)
57 6pos 12376 . . . . . . . 8 0 < 6
5857a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 6)
59 lediv1 12133 . . . . . . 7 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6)))
6033, 6, 56, 58, 59syl112anc 1376 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑2) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6)))
6154, 60mpbid 232 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑2) / 6))
6226, 35, 29, 36, 61ltletrd 11421 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑2) / 6))
6325, 26, 29, 31, 62lelttrd 11419 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℜ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) < ((𝐴↑2) / 6))
6424, 63eqbrtrd 5165 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6))
655recoscld 16180 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
6665, 9, 29absdifltd 15472 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6) ↔ (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)))))
67 1cnd 11256 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℂ)
687recnd 11289 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
6929recnd 11289 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) ∈ ℂ)
7067, 68, 69subsub4d 11651 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6))))
71 halfpm6th 12487 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
7271simpri 485 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
7372oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = ((𝐴↑2) · (2 / 3))
746recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
75 2cn 12341 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
76 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
7775, 76reccli 11997 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℂ
78 6cn 12357 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℂ
7927nnne0i 12306 . . . . . . . . . . . 12 6 ≠ 0
8078, 79reccli 11997 . . . . . . . . . . 11 (1 / 6) ∈ ℂ
81 adddi 11244 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
8277, 80, 81mp3an23 1455 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
8374, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
8473, 83eqtr3id 2791 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
85 3cn 12347 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
86 3ne0 12372 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
8785, 86pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
88 div12 11944 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
8975, 87, 88mp3an13 1454 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
9074, 89syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
91 divrec 11938 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
9275, 76, 91mp3an23 1455 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
9374, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 2) = ((𝐴↑2) · (1 / 2)))
94 divrec 11938 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
9578, 79, 94mp3an23 1455 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
9674, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 6) = ((𝐴↑2) · (1 / 6)))
9793, 96oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) + ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
9884, 90, 973eqtr4rd 2788 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6)) = (2 · ((𝐴↑2) / 3)))
9998oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) + ((𝐴↑2) / 6))) = (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
10070, 99eqtrd 2777 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
101100breq1d 5153 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ↔ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)))
10267, 68, 69subsubd 11648 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)))
10371simpli 483 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3)
104103oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = ((𝐴↑2) · (1 / 3))
105 subdi 11696 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
10677, 80, 105mp3an23 1455 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
10774, 106syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · ((1 / 2) − (1 / 6))) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
108104, 107eqtr3id 2791 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (1 / 3)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
109 divrec 11938 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
11085, 86, 109mp3an23 1455 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
11174, 110syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 3) = ((𝐴↑2) · (1 / 3)))
11293, 96oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6)) = (((𝐴↑2) · (1 / 2)) − ((𝐴↑2) · (1 / 6))))
113108, 111, 1123eqtr4rd 2788 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6)) = ((𝐴↑2) / 3))
114113oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (((𝐴↑2) / 2) − ((𝐴↑2) / 6))) = (1 − ((𝐴↑2) / 3)))
115102, 114eqtr3d 2779 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)) = (1 − ((𝐴↑2) / 3)))
116115breq2d 5155 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6)) ↔ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
117101, 116anbi12d 632 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((1 − ((𝐴↑2) / 2)) − ((𝐴↑2) / 6)) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + ((𝐴↑2) / 6))) ↔ ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3)))))
11866, 117bitrd 279 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((cos‘𝐴) − (1 − ((𝐴↑2) / 2)))) < ((𝐴↑2) / 6) ↔ ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3)))))
11964, 118mpbid 232 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  6c6 12325  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  (,]cioc 13388  cexp 14102  !cfa 14312  cre 15136  abscabs 15273  Σcsu 15722  cosccos 16100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-cos 16106
This theorem is referenced by:  cos1bnd  16223  cos01gt0  16227  tangtx  26547
  Copyright terms: Public domain W3C validator