MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos01bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos01bnd 16075
Description: Bounds on the cosine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cos01bnd (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3))))

Proof of Theorem cos01bnd
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 11162 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
2 0xr 11209 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„*
3 elioc2 13334 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)))
42, 1, 3mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))
54simp1bi 1146 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
65resqcld 14037 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
76rehalfcld 12407 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„)
8 resubcl 11472 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„)
91, 7, 8sylancr 588 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„)
109recnd 11190 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆˆ โ„‚)
11 ax-icn 11117 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
125recnd 11190 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
13 mulcl 11142 . . . . . . . . 9 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1411, 12, 13sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
15 4nn0 12439 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„•0
16 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
1716eftlcl 15996 . . . . . . . 8 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1814, 15, 17sylancl 587 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1918recld 15086 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
2019recnd 11190 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2116recos4p 16028 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜๐ด) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜))))
225, 21syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (cosโ€˜๐ด) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜))))
2310, 20, 22mvrladdd 11575 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((cosโ€˜๐ด) โˆ’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2))) = (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)))
2423fveq2d 6851 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜((cosโ€˜๐ด) โˆ’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)))) = (absโ€˜(โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜))))
2520abscld 15328 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
2618abscld 15328 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
27 6nn 12249 . . . . 5 6 โˆˆ โ„•
28 nndivre 12201 . . . . 5 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 6 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 6) โˆˆ โ„)
296, 27, 28sylancl 587 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 6) โˆˆ โ„)
30 absrele 15200 . . . . 5 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜))) โ‰ค (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)))
3118, 30syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜))) โ‰ค (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)))
32 reexpcl 13991 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„)
335, 15, 32sylancl 587 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„)
34 nndivre 12201 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 6 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) โˆˆ โ„)
3533, 27, 34sylancl 587 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) โˆˆ โ„)
3616ef01bndlem 16073 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) < ((๐ดโ†‘4) / 6))
37 2nn0 12437 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
3837a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
39 4z 12544 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„ค
40 2re 12234 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
41 4re 12244 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„
42 2lt4 12335 . . . . . . . . . 10 2 < 4
4340, 41, 42ltleii 11285 . . . . . . . . 9 2 โ‰ค 4
44 2z 12542 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
4544eluz1i 12778 . . . . . . . . 9 (4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (4 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค 4))
4639, 43, 45mpbir2an 710 . . . . . . . 8 4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
4746a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
484simp2bi 1147 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < ๐ด)
49 0re 11164 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
50 ltle 11250 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
5149, 5, 50sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ 0 โ‰ค ๐ด))
5248, 51mpd 15 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
534simp3bi 1148 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
545, 38, 47, 52, 53leexp2rd 14165 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โ‰ค (๐ดโ†‘2))
55 6re 12250 . . . . . . . 8 6 โˆˆ โ„
5655a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 6 โˆˆ โ„)
57 6pos 12270 . . . . . . . 8 0 < 6
5857a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < 6)
59 lediv1 12027 . . . . . . 7 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง (6 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 6)) โ†’ ((๐ดโ†‘4) โ‰ค (๐ดโ†‘2) โ†” ((๐ดโ†‘4) / 6) โ‰ค ((๐ดโ†‘2) / 6)))
6033, 6, 56, 58, 59syl112anc 1375 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) โ‰ค (๐ดโ†‘2) โ†” ((๐ดโ†‘4) / 6) โ‰ค ((๐ดโ†‘2) / 6)))
6154, 60mpbid 231 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) โ‰ค ((๐ดโ†‘2) / 6))
6226, 35, 29, 36, 61ltletrd 11322 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) < ((๐ดโ†‘2) / 6))
6325, 26, 29, 31, 62lelttrd 11320 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))โ€˜๐‘˜))) < ((๐ดโ†‘2) / 6))
6424, 63eqbrtrd 5132 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜((cosโ€˜๐ด) โˆ’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)))) < ((๐ดโ†‘2) / 6))
655recoscld 16033 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (cosโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
6665, 9, 29absdifltd 15325 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((absโ€˜((cosโ€˜๐ด) โˆ’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)))) < ((๐ดโ†‘2) / 6) โ†” (((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6)) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + ((๐ดโ†‘2) / 6)))))
67 1cnd 11157 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
687recnd 11190 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„‚)
6929recnd 11190 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 6) โˆˆ โ„‚)
7067, 68, 69subsub4d 11550 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6)) = (1 โˆ’ (((๐ดโ†‘2) / 2) + ((๐ดโ†‘2) / 6))))
71 halfpm6th 12381 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 2) โˆ’ (1 / 6)) = (1 / 3) โˆง ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
7271simpri 487 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
7372oveq2i 7373 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) + (1 / 6))) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3))
746recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
75 2cn 12235 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
76 2ne0 12264 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
7775, 76reccli 11892 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
78 6cn 12251 . . . . . . . . . . . 12 6 โˆˆ โ„‚
7927nnne0i 12200 . . . . . . . . . . . 12 6 โ‰  0
8078, 79reccli 11892 . . . . . . . . . . 11 (1 / 6) โˆˆ โ„‚
81 adddi 11147 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 6) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) + ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
8277, 80, 81mp3an23 1454 . . . . . . . . . 10 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) + ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
8374, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) + (1 / 6))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) + ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
8473, 83eqtr3id 2791 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) + ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
85 3cn 12241 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„‚
86 3ne0 12266 . . . . . . . . . . 11 3 โ‰  0
8785, 86pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0)
88 div12 11842 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0)) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
8975, 87, 88mp3an13 1453 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
9074, 89syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)) = ((๐ดโ†‘2) ยท (2 / 3)))
91 divrec 11836 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)))
9275, 76, 91mp3an23 1454 . . . . . . . . . 10 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)))
9374, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)))
94 divrec 11836 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 6) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6)))
9578, 79, 94mp3an23 1454 . . . . . . . . . 10 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 6) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6)))
9674, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 6) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6)))
9793, 96oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((๐ดโ†‘2) / 2) + ((๐ดโ†‘2) / 6)) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) + ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
9884, 90, 973eqtr4rd 2788 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((๐ดโ†‘2) / 2) + ((๐ดโ†‘2) / 6)) = (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3)))
9998oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ (((๐ดโ†‘2) / 2) + ((๐ดโ†‘2) / 6))) = (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))))
10070, 99eqtrd 2777 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6)) = (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))))
101100breq1d 5120 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6)) < (cosโ€˜๐ด) โ†” (1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด)))
10267, 68, 69subsubd 11547 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ (((๐ดโ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6))) = ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + ((๐ดโ†‘2) / 6)))
10371simpli 485 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) โˆ’ (1 / 6)) = (1 / 3)
104103oveq2i 7373 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) โˆ’ (1 / 6))) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 3))
105 subdi 11595 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 6) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) โˆ’ (1 / 6))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
10677, 80, 105mp3an23 1454 . . . . . . . . . 10 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) โˆ’ (1 / 6))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
10774, 106syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ((1 / 2) โˆ’ (1 / 6))) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
108104, 107eqtr3id 2791 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 3)) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
109 divrec 11836 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 3)))
11085, 86, 109mp3an23 1454 . . . . . . . . 9 ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 3)))
11174, 110syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 3) = ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 3)))
11293, 96oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((๐ดโ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6)) = (((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) ยท (1 / 6))))
113108, 111, 1123eqtr4rd 2788 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((๐ดโ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6)) = ((๐ดโ†‘2) / 3))
114113oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 โˆ’ (((๐ดโ†‘2) / 2) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6))) = (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3)))
115102, 114eqtr3d 2779 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + ((๐ดโ†‘2) / 6)) = (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3)))
116115breq2d 5122 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((cosโ€˜๐ด) < ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + ((๐ดโ†‘2) / 6)) โ†” (cosโ€˜๐ด) < (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3))))
117101, 116anbi12d 632 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 6)) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < ((1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)) + ((๐ดโ†‘2) / 6))) โ†” ((1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3)))))
11866, 117bitrd 279 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((absโ€˜((cosโ€˜๐ด) โˆ’ (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 2)))) < ((๐ดโ†‘2) / 6) โ†” ((1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3)))))
11964, 118mpbid 231 1 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((1 โˆ’ (2 ยท ((๐ดโ†‘2) / 3))) < (cosโ€˜๐ด) โˆง (cosโ€˜๐ด) < (1 โˆ’ ((๐ดโ†‘2) / 3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„*cxr 11195   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  6c6 12219  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  (,]cioc 13272  โ†‘cexp 13974  !cfa 14180  โ„œcre 14989  abscabs 15126  ฮฃcsu 15577  cosccos 15954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-cos 15960
This theorem is referenced by:  cos1bnd  16076  cos01gt0  16080  tangtx  25878
  Copyright terms: Public domain W3C validator