Theorem bposlem4 26340

Description: Lemma for bpos 26346. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5	⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
bposlem4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (3...𝐾))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑀,𝑝   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11976	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		5nn 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		bpos.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5))
4		eluznn 12587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		nnmulcl 11927	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
7	1, 5, 6	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nnred 11918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
9	7	nnrpd 12699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
10	9	rpge0d 12705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
11	8, 10	resqrtcld 15057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
12	11	flcld 13446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
13		sqrt9 14913	. . . . . 6 ⊢ (√‘9) = 3
14		9re 12002	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
16		10re 12385	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;10 ∈ ℝ)
18		lep1 11746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
19	14, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ≤ (9 + 1)
20		9p1e10 12368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 + 1) = ;10
21	19, 20	breqtri 5095	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≤ ;10
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ ;10)
23		5cn 11991	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
24		2cn 11978	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		5t2e10 12466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
26	23, 24, 25	mulcomli 10915	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 5) = ;10
27		eluzle 12524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 5 ≤ 𝑁)
28	3, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
29	5	nnred 11918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30		5re 11990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℝ
31		2re 11977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
32		2pos 12006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
33	31, 32	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
34		lemul2 11758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
35	30, 33, 34	mp3an13 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
36	29, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
37	28, 36	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
38	26, 37	eqbrtrrid 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;10 ≤ (2 · 𝑁))
39	15, 17, 8, 22, 38	letrd 11062	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
40		0re 10908	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
41		9pos 12016	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 9
42	40, 14, 41	ltleii 11028	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 9
43	14, 42	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
44	9	rprege0d 12708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
45		sqrtle 14900	. . . . . . . 8 ⊢ (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
46	43, 44, 45	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
47	39, 46	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
48	13, 47	eqbrtrrid 5106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
49		3z 12283	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
50		flge 13453	. . . . . 6 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
51	11, 49, 50	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
52	48, 51	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
53	49	eluz1i 12519	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
54	12, 52, 53	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3))
55		3nn 11982	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
56		nndivre 11944	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
57	8, 55, 56	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
58		3re 11983	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
60	9	sqrtgt0d 15052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (√‘(2 · 𝑁)))
61		lemul2 11758	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(2 · 𝑁)))) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
62	59, 11, 11, 60, 61	syl112anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
63	48, 62	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))))
64		remsqsqrt 14896	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
65	8, 10, 64	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
66	63, 65	breqtrd 5096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁))
67		3pos 12008	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
68	58, 67	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
70		lemuldiv 11785	. . . . . 6 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
71	11, 8, 69, 70	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
72	66, 71	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
73		flword2 13461	. . . 4 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
74	11, 57, 72, 73	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
75		elfzuzb 13179	. . 3 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))))
76	54, 74, 75	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
77		bpos.5	. 2 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
78		bpos.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
79	78	oveq2i 7266	. 2 ⊢ (3...𝐾) = (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
80	76, 77, 79	3eltr4g 2856	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (3...𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  5c5 11961  9c9 11965  ℤcz 12249  ;cdc 12366  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ⌊cfl 13438  ↑cexp 13710  Ccbc 13944  √csqrt 14872  ℙcprime 16304   pCnt cpc 16465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874

This theorem is referenced by:  bposlem6  26342