MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bposlem4 26651
Description: Lemma for bpos 26657. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5))
bpos.2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
bpos.3 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))), 1))
bpos.4 ๐พ = (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3))
bpos.5 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))
Assertion
Ref Expression
bposlem4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (3...๐พ))
Distinct variable groups:   ๐น,๐‘   ๐‘›,๐‘,๐พ   ๐‘€,๐‘   ๐‘›,๐‘,๐‘   ๐œ‘,๐‘›,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘›)   ๐‘€(๐‘›)

Proof of Theorem bposlem4
StepHypRef Expression
1 2nn 12233 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
2 5nn 12246 . . . . . . . . 9 5 โˆˆ โ„•
3 bpos.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5))
4 eluznn 12850 . . . . . . . . 9 ((5 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
52, 3, 4sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6 nnmulcl 12184 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
71, 5, 6sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
87nnred 12175 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
97nnrpd 12962 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
109rpge0d 12968 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘))
118, 10resqrtcld 15309 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
1211flcld 13710 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ โ„ค)
13 sqrt9 15165 . . . . . 6 (โˆšโ€˜9) = 3
14 9re 12259 . . . . . . . . 9 9 โˆˆ โ„
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 9 โˆˆ โ„)
16 10re 12644 . . . . . . . . 9 10 โˆˆ โ„
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 10 โˆˆ โ„)
18 lep1 12003 . . . . . . . . . . 11 (9 โˆˆ โ„ โ†’ 9 โ‰ค (9 + 1))
1914, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 9 โ‰ค (9 + 1)
20 9p1e10 12627 . . . . . . . . . 10 (9 + 1) = 10
2119, 20breqtri 5135 . . . . . . . . 9 9 โ‰ค 10
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 9 โ‰ค 10)
23 5cn 12248 . . . . . . . . . 10 5 โˆˆ โ„‚
24 2cn 12235 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„‚
25 5t2e10 12725 . . . . . . . . . 10 (5 ยท 2) = 10
2623, 24, 25mulcomli 11171 . . . . . . . . 9 (2 ยท 5) = 10
27 eluzle 12783 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ 5 โ‰ค ๐‘)
283, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 5 โ‰ค ๐‘)
295nnred 12175 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
30 5re 12247 . . . . . . . . . . . 12 5 โˆˆ โ„
31 2re 12234 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„
32 2pos 12263 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
3331, 32pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
34 lemul2 12015 . . . . . . . . . . . 12 ((5 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (5 โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท 5) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
3530, 33, 34mp3an13 1453 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (5 โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท 5) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
3629, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (5 โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท 5) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
3728, 36mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท 5) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
3826, 37eqbrtrrid 5146 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 10 โ‰ค (2 ยท ๐‘))
3915, 17, 8, 22, 38letrd 11319 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 9 โ‰ค (2 ยท ๐‘))
40 0re 11164 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
41 9pos 12273 . . . . . . . . . 10 0 < 9
4240, 14, 41ltleii 11285 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 9
4314, 42pm3.2i 472 . . . . . . . 8 (9 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 9)
449rprege0d 12971 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
45 sqrtle 15152 . . . . . . . 8 (((9 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 9) โˆง ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘))) โ†’ (9 โ‰ค (2 ยท ๐‘) โ†” (โˆšโ€˜9) โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))))
4643, 44, 45sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (9 โ‰ค (2 ยท ๐‘) โ†” (โˆšโ€˜9) โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))))
4739, 46mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜9) โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))
4813, 47eqbrtrrid 5146 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))
49 3z 12543 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„ค
50 flge 13717 . . . . . 6 (((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„ค) โ†’ (3 โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ†” 3 โ‰ค (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
5111, 49, 50sylancl 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (3 โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ†” 3 โ‰ค (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
5248, 51mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))))
5349eluz1i 12778 . . . 4 ((โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” ((โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง 3 โ‰ค (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
5412, 52, 53sylanbrc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
55 3nn 12239 . . . . 5 3 โˆˆ โ„•
56 nndivre 12201 . . . . 5 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 3) โˆˆ โ„)
578, 55, 56sylancl 587 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 3) โˆˆ โ„)
58 3re 12240 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„
5958a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
609sqrtgt0d 15304 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))
61 lemul2 12015 . . . . . . . 8 ((3 โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))) โ†’ (3 โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ†” ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท 3) โ‰ค ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
6259, 11, 11, 60, 61syl112anc 1375 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (3 โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ†” ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท 3) โ‰ค ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
6348, 62mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท 3) โ‰ค ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))))
64 remsqsqrt 15148 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) = (2 ยท ๐‘))
658, 10, 64syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) = (2 ยท ๐‘))
6663, 65breqtrd 5136 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท 3) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
67 3pos 12265 . . . . . . . 8 0 < 3
6858, 67pm3.2i 472 . . . . . . 7 (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3)
6968a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3))
70 lemuldiv 12042 . . . . . 6 (((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3)) โ†’ (((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท 3) โ‰ค (2 ยท ๐‘) โ†” (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 3)))
7111, 8, 69, 70syl3anc 1372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท 3) โ‰ค (2 ยท ๐‘) โ†” (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 3)))
7266, 71mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 3))
73 flword2 13725 . . . 4 (((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ((2 ยท ๐‘) / 3) โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 3)) โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
7411, 57, 72, 73syl3anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
75 elfzuzb 13442 . . 3 ((โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ (3...(โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3))) โ†” ((โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))))))
7654, 74, 75sylanbrc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ (3...(โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3))))
77 bpos.5 . 2 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))
78 bpos.4 . . 3 ๐พ = (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3))
7978oveq2i 7373 . 2 (3...๐พ) = (3...(โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3)))
8076, 77, 793eltr4g 2855 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (3...๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074  ifcif 4491   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  5c5 12218  9c9 12222  โ„คcz 12506  cdc 12625  โ„คโ‰ฅcuz 12770  ...cfz 13431  โŒŠcfl 13702  โ†‘cexp 13974  Ccbc 14209  โˆšcsqrt 15125  โ„™cprime 16554   pCnt cpc 16715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127
This theorem is referenced by:  bposlem6  26653
  Copyright terms: Public domain W3C validator