Theorem bposlem4 27268

Description: Lemma for bpos 27274. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5	⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
bposlem4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (3...𝐾))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑀,𝑝   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12249	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		5nn 12262	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		bpos.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5))
4		eluznn 12863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		nnmulcl 12193	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
7	1, 5, 6	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nnred 12184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
9	7	nnrpd 12979	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
10	9	rpge0d 12985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
11	8, 10	resqrtcld 15375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
12	11	flcld 13752	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
13		sqrt9 15230	. . . . . 6 ⊢ (√‘9) = 3
14		9re 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
16		10re 12658	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;10 ∈ ℝ)
18		lep1 11991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
19	14, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ≤ (9 + 1)
20		9p1e10 12641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 + 1) = ;10
21	19, 20	breqtri 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≤ ;10
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ ;10)
23		5cn 12264	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
24		2cn 12251	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		5t2e10 12739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
26	23, 24, 25	mulcomli 11149	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 5) = ;10
27		eluzle 12796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 5 ≤ 𝑁)
28	3, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
29	5	nnred 12184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30		5re 12263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℝ
31		2re 12250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
32		2pos 12279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
33	31, 32	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
34		lemul2 12003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
35	30, 33, 34	mp3an13 1455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
36	29, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
37	28, 36	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
38	26, 37	eqbrtrrid 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;10 ≤ (2 · 𝑁))
39	15, 17, 8, 22, 38	letrd 11298	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
40		0re 11141	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
41		9pos 12289	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 9
42	40, 14, 41	ltleii 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 9
43	14, 42	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
44	9	rprege0d 12988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
45		sqrtle 15217	. . . . . . . 8 ⊢ (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
46	43, 44, 45	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
47	39, 46	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
48	13, 47	eqbrtrrid 5122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
49		3z 12555	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
50		flge 13759	. . . . . 6 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
51	11, 49, 50	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
52	48, 51	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
53	49	eluz1i 12791	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
54	12, 52, 53	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3))
55		3nn 12255	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
56		nndivre 12213	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
57	8, 55, 56	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
58		3re 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
60	9	sqrtgt0d 15370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (√‘(2 · 𝑁)))
61		lemul2 12003	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(2 · 𝑁)))) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
62	59, 11, 11, 60, 61	syl112anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
63	48, 62	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))))
64		remsqsqrt 15213	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
65	8, 10, 64	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
66	63, 65	breqtrd 5112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁))
67		3pos 12281	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
68	58, 67	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
70		lemuldiv 12031	. . . . . 6 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
71	11, 8, 69, 70	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
72	66, 71	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
73		flword2 13767	. . . 4 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
74	11, 57, 72, 73	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
75		elfzuzb 13467	. . 3 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))))
76	54, 74, 75	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
77		bpos.5	. 2 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
78		bpos.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
79	78	oveq2i 7373	. 2 ⊢ (3...𝐾) = (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
80	76, 77, 79	3eltr4g 2854	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (3...𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   < clt 11174   ≤ cle 11175   / cdiv 11802  ℕcn 12169  2c2 12231  3c3 12232  5c5 12234  9c9 12238  ℤcz 12519  ;cdc 12639  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456  ⌊cfl 13744  ↑cexp 14018  Ccbc 14259  √csqrt 15190  ℙcprime 16635   pCnt cpc 16802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192

This theorem is referenced by:  bposlem6  27270