MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bposlem4 25790
Description: Lemma for bpos 25796. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
bpos.2 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
bposlem4 (𝜑𝑀 ∈ (3...𝐾))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑀,𝑝   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem4
StepHypRef Expression
1 2nn 11698 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2 5nn 11711 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ
3 bpos.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
4 eluznn 12306 . . . . . . . . 9 ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
52, 3, 4sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 nnmulcl 11649 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
71, 5, 6sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
87nnred 11641 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
97nnrpd 12417 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
109rpge0d 12423 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
118, 10resqrtcld 14765 . . . . 5 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
1211flcld 13156 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
13 sqrt9 14621 . . . . . 6 (√‘9) = 3
14 9re 11724 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
16 10re 12105 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑10 ∈ ℝ)
18 lep1 11469 . . . . . . . . . . 11 (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
1914, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 9 ≤ (9 + 1)
20 9p1e10 12088 . . . . . . . . . 10 (9 + 1) = 10
2119, 20breqtri 5082 . . . . . . . . 9 9 ≤ 10
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 9 ≤ 10)
23 5cn 11713 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
24 2cn 11700 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
25 5t2e10 12186 . . . . . . . . . 10 (5 · 2) = 10
2623, 24, 25mulcomli 10638 . . . . . . . . 9 (2 · 5) = 10
27 eluzle 12244 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → 5 ≤ 𝑁)
283, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
295nnred 11641 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
30 5re 11712 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℝ
31 2re 11699 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
32 2pos 11728 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
3331, 32pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
34 lemul2 11481 . . . . . . . . . . . 12 ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
3530, 33, 34mp3an13 1443 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
3629, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
3728, 36mpbid 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
3826, 37eqbrtrrid 5093 . . . . . . . 8 (𝜑10 ≤ (2 · 𝑁))
3915, 17, 8, 22, 38letrd 10785 . . . . . . 7 (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
40 0re 10631 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
41 9pos 11738 . . . . . . . . . 10 0 < 9
4240, 14, 41ltleii 10751 . . . . . . . . 9 0 ≤ 9
4314, 42pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
449rprege0d 12426 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
45 sqrtle 14608 . . . . . . . 8 (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
4643, 44, 45sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
4739, 46mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
4813, 47eqbrtrrid 5093 . . . . 5 (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
49 3z 12003 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
50 flge 13163 . . . . . 6 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
5111, 49, 50sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
5248, 51mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
5349eluz1i 12239 . . . 4 ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
5412, 52, 53sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ‘3))
55 3nn 11704 . . . . 5 3 ∈ ℕ
56 nndivre 11666 . . . . 5 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
578, 55, 56sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
58 3re 11705 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
5958a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
609sqrtgt0d 14760 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (√‘(2 · 𝑁)))
61 lemul2 11481 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(2 · 𝑁)))) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
6259, 11, 11, 60, 61syl112anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
6348, 62mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))))
64 remsqsqrt 14604 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
658, 10, 64syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
6663, 65breqtrd 5083 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁))
67 3pos 11730 . . . . . . . 8 0 < 3
6858, 67pm3.2i 471 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
6968a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
70 lemuldiv 11508 . . . . . 6 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
7111, 8, 69, 70syl3anc 1363 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
7266, 71mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
73 flword2 13171 . . . 4 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
7411, 57, 72, 73syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
75 elfzuzb 12890 . . 3 ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ‘3) ∧ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))))
7654, 74, 75sylanbrc 583 . 2 (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
77 bpos.5 . 2 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
78 bpos.4 . . 3 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
7978oveq2i 7156 . 2 (3...𝐾) = (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
8076, 77, 793eltr4g 2927 1 (𝜑𝑀 ∈ (3...𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  5c5 11683  9c9 11687  cz 11969  cdc 12086  cuz 12231  ...cfz 12880  cfl 13148  cexp 13417  Ccbc 13650  csqrt 14580  cprime 16003   pCnt cpc 16161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582
This theorem is referenced by:  bposlem6  25792
  Copyright terms: Public domain W3C validator