Theorem bposlem4 27614

Description: Lemma for bpos 27620. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5	⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
bposlem4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (3...𝐾))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑀,𝑝   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12416	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		5nn 12429	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		bpos.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5))
4		eluznn 13045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		nnmulcl 12359	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
7	1, 5, 6	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nnred 12350	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
9	7	nnrpd 13162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
10	9	rpge0d 13168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
11	8, 10	resqrtcld 15585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
12	11	flcld 13938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
13		sqrt9 15440	. . . . . 6 ⊢ (√‘9) = 3
14		9re 12442	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
16		10re 12837	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;10 ∈ ℝ)
18		lep1 12158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
19	14, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ≤ (9 + 1)
20		9p1e10 12816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 + 1) = ;10
21	19, 20	breqtri 5129	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≤ ;10
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ ;10)
23		5cn 12431	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
24		2cn 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		5t2e10 12919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
26	23, 24, 25	mulcomli 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 5) = ;10
27		eluzle 12978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 5 ≤ 𝑁)
28	3, 27	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
29	5	nnred 12350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30		5re 12430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℝ
31		2re 12417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
32		2pos 12447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
33	31, 32	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
34		lemul2 12170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
35	30, 33, 34	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
36	29, 35	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
37	28, 36	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
38	26, 37	eqbrtrrid 5140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;10 ≤ (2 · 𝑁))
39	15, 17, 8, 22, 38	letrd 11467	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
40		0re 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
41		9pos 12459	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 9
42	40, 14, 41	ltleii 11433	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 9
43	14, 42	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
44	9	rprege0d 13171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
45		sqrtle 15427	. . . . . . . 8 ⊢ (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
46	43, 44, 45	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
47	39, 46	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
48	13, 47	eqbrtrrid 5140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
49		3z 12729	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
50		flge 13945	. . . . . 6 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
51	11, 49, 50	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
52	48, 51	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
53	49	eluz1i 12973	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
54	12, 52, 53	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3))
55		3nn 12422	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
56		nndivre 12379	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
57	8, 55, 56	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
58		3re 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
60	9	sqrtgt0d 15580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (√‘(2 · 𝑁)))
61		lemul2 12170	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(2 · 𝑁)))) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
62	59, 11, 11, 60, 61	syl112anc 1401	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
63	48, 62	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))))
64		remsqsqrt 15423	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
65	8, 10, 64	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
66	63, 65	breqtrd 5130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁))
67		3pos 12451	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
68	58, 67	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
70		lemuldiv 12197	. . . . . 6 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
71	11, 8, 69, 70	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
72	66, 71	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
73		flword2 13953	. . . 4 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
74	11, 57, 72, 73	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
75		elfzuzb 13650	. . 3 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))))
76	54, 74, 75	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
77		bpos.5	. 2 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
78		bpos.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
79	78	oveq2i 7431	. 2 ⊢ (3...𝐾) = (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
80	76, 77, 79	3eltr4g 2877	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (3...𝐾))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  3c3 12398  5c5 12400  9c9 12404  ℤcz 12693  ;cdc 12814  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639  ⌊cfl 13930  ↑cexp 14204  Ccbc 14446  √csqrt 15400  ℙcprime 16846   pCnt cpc 17014

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402

This theorem is used by:  bposlem6  27616