MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bposlem4 26787
Description: Lemma for bpos 26793. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5))
bpos.2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ < ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
bpos.3 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (๐‘›โ†‘(๐‘› pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘))), 1))
bpos.4 ๐พ = (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3))
bpos.5 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))
Assertion
Ref Expression
bposlem4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (3...๐พ))
Distinct variable groups:   ๐น,๐‘   ๐‘›,๐‘,๐พ   ๐‘€,๐‘   ๐‘›,๐‘,๐‘   ๐œ‘,๐‘›,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘›)   ๐‘€(๐‘›)

Proof of Theorem bposlem4
StepHypRef Expression
1 2nn 12284 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
2 5nn 12297 . . . . . . . . 9 5 โˆˆ โ„•
3 bpos.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5))
4 eluznn 12901 . . . . . . . . 9 ((5 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
52, 3, 4sylancr 587 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
6 nnmulcl 12235 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
71, 5, 6sylancr 587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
87nnred 12226 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
97nnrpd 13013 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
109rpge0d 13019 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘))
118, 10resqrtcld 15363 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
1211flcld 13762 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ โ„ค)
13 sqrt9 15219 . . . . . 6 (โˆšโ€˜9) = 3
14 9re 12310 . . . . . . . . 9 9 โˆˆ โ„
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 9 โˆˆ โ„)
16 10re 12695 . . . . . . . . 9 10 โˆˆ โ„
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 10 โˆˆ โ„)
18 lep1 12054 . . . . . . . . . . 11 (9 โˆˆ โ„ โ†’ 9 โ‰ค (9 + 1))
1914, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 9 โ‰ค (9 + 1)
20 9p1e10 12678 . . . . . . . . . 10 (9 + 1) = 10
2119, 20breqtri 5173 . . . . . . . . 9 9 โ‰ค 10
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 9 โ‰ค 10)
23 5cn 12299 . . . . . . . . . 10 5 โˆˆ โ„‚
24 2cn 12286 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„‚
25 5t2e10 12776 . . . . . . . . . 10 (5 ยท 2) = 10
2623, 24, 25mulcomli 11222 . . . . . . . . 9 (2 ยท 5) = 10
27 eluzle 12834 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ 5 โ‰ค ๐‘)
283, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 5 โ‰ค ๐‘)
295nnred 12226 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
30 5re 12298 . . . . . . . . . . . 12 5 โˆˆ โ„
31 2re 12285 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„
32 2pos 12314 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
3331, 32pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
34 lemul2 12066 . . . . . . . . . . . 12 ((5 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (5 โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท 5) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
3530, 33, 34mp3an13 1452 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (5 โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท 5) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
3629, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (5 โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท 5) โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
3728, 36mpbid 231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท 5) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
3826, 37eqbrtrrid 5184 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 10 โ‰ค (2 ยท ๐‘))
3915, 17, 8, 22, 38letrd 11370 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 9 โ‰ค (2 ยท ๐‘))
40 0re 11215 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
41 9pos 12324 . . . . . . . . . 10 0 < 9
4240, 14, 41ltleii 11336 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 9
4314, 42pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (9 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 9)
449rprege0d 13022 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘)))
45 sqrtle 15206 . . . . . . . 8 (((9 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 9) โˆง ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘))) โ†’ (9 โ‰ค (2 ยท ๐‘) โ†” (โˆšโ€˜9) โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))))
4643, 44, 45sylancr 587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (9 โ‰ค (2 ยท ๐‘) โ†” (โˆšโ€˜9) โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))))
4739, 46mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜9) โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))
4813, 47eqbrtrrid 5184 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))
49 3z 12594 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„ค
50 flge 13769 . . . . . 6 (((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„ค) โ†’ (3 โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ†” 3 โ‰ค (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
5111, 49, 50sylancl 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (3 โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ†” 3 โ‰ค (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
5248, 51mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))))
5349eluz1i 12829 . . . 4 ((โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” ((โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง 3 โ‰ค (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
5412, 52, 53sylanbrc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
55 3nn 12290 . . . . 5 3 โˆˆ โ„•
56 nndivre 12252 . . . . 5 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 3) โˆˆ โ„)
578, 55, 56sylancl 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 3) โˆˆ โ„)
58 3re 12291 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„
5958a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
609sqrtgt0d 15358 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))
61 lemul2 12066 . . . . . . . 8 ((3 โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))) โ†’ (3 โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ†” ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท 3) โ‰ค ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
6259, 11, 11, 60, 61syl112anc 1374 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (3 โ‰ค (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ†” ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท 3) โ‰ค ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
6348, 62mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท 3) โ‰ค ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))))
64 remsqsqrt 15202 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) = (2 ยท ๐‘))
658, 10, 64syl2anc 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) = (2 ยท ๐‘))
6663, 65breqtrd 5174 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท 3) โ‰ค (2 ยท ๐‘))
67 3pos 12316 . . . . . . . 8 0 < 3
6858, 67pm3.2i 471 . . . . . . 7 (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3)
6968a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3))
70 lemuldiv 12093 . . . . . 6 (((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3)) โ†’ (((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท 3) โ‰ค (2 ยท ๐‘) โ†” (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 3)))
7111, 8, 69, 70syl3anc 1371 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท 3) โ‰ค (2 ยท ๐‘) โ†” (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 3)))
7266, 71mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 3))
73 flword2 13777 . . . 4 (((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ((2 ยท ๐‘) / 3) โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 3)) โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
7411, 57, 72, 73syl3anc 1371 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))))
75 elfzuzb 13494 . . 3 ((โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ (3...(โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3))) โ†” ((โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))))))
7654, 74, 75sylanbrc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘))) โˆˆ (3...(โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3))))
77 bpos.5 . 2 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))
78 bpos.4 . . 3 ๐พ = (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3))
7978oveq2i 7419 . 2 (3...๐พ) = (3...(โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / 3)))
8076, 77, 793eltr4g 2850 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (3...๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070  ifcif 4528   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  2c2 12266  3c3 12267  5c5 12269  9c9 12273  โ„คcz 12557  cdc 12676  โ„คโ‰ฅcuz 12821  ...cfz 13483  โŒŠcfl 13754  โ†‘cexp 14026  Ccbc 14261  โˆšcsqrt 15179  โ„™cprime 16607   pCnt cpc 16768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181
This theorem is referenced by:  bposlem6  26789
  Copyright terms: Public domain W3C validator