Theorem bposlem4 26797

Description: Lemma for bpos 26803. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
bpos.5	⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
bposlem4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (3...𝐾))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑀,𝑝   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem bposlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12287	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		5nn 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		bpos.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5))
4		eluznn 12904	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		nnmulcl 12238	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
7	1, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nnred 12229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
9	7	nnrpd 13016	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
10	9	rpge0d 13022	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
11	8, 10	resqrtcld 15366	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
12	11	flcld 13765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ)
13		sqrt9 15222	. . . . . 6 ⊢ (√‘9) = 3
14		9re 12313	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
16		10re 12698	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;10 ∈ ℝ)
18		lep1 12057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 ∈ ℝ → 9 ≤ (9 + 1))
19	14, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ≤ (9 + 1)
20		9p1e10 12681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 + 1) = ;10
21	19, 20	breqtri 5173	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≤ ;10
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ ;10)
23		5cn 12302	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
24		2cn 12289	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		5t2e10 12779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
26	23, 24, 25	mulcomli 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 5) = ;10
27		eluzle 12837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → 5 ≤ 𝑁)
28	3, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
29	5	nnred 12229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30		5re 12301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℝ
31		2re 12288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
32		2pos 12317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
33	31, 32	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
34		lemul2 12069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
35	30, 33, 34	mp3an13 1452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
36	29, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (5 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁)))
37	28, 36	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 5) ≤ (2 · 𝑁))
38	26, 37	eqbrtrrid 5184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ;10 ≤ (2 · 𝑁))
39	15, 17, 8, 22, 38	letrd 11373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ (2 · 𝑁))
40		0re 11218	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
41		9pos 12327	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 9
42	40, 14, 41	ltleii 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 9
43	14, 42	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 ⊢ (9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9)
44	9	rprege0d 13025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)))
45		sqrtle 15209	. . . . . . . 8 ⊢ (((9 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 9) ∧ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁))) → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
46	43, 44, 45	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁))))
47	39, 46	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘9) ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
48	13, 47	eqbrtrrid 5184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)))
49		3z 12597	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
50		flge 13772	. . . . . 6 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
51	11, 49, 50	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
52	48, 51	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))
53	49	eluz1i 12832	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
54	12, 52, 53	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3))
55		3nn 12293	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ
56		nndivre 12255	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
57	8, 55, 56	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
58		3re 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
60	9	sqrtgt0d 15361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (√‘(2 · 𝑁)))
61		lemul2 12069	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(2 · 𝑁)))) → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
62	59, 11, 11, 60, 61	syl112anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (√‘(2 · 𝑁)) ↔ ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁)))))
63	48, 62	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))))
64		remsqsqrt 15205	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
65	8, 10, 64	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
66	63, 65	breqtrd 5174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁))
67		3pos 12319	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
68	58, 67	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
69	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
70		lemuldiv 12096	. . . . . 6 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
71	11, 8, 69, 70	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
72	66, 71	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
73		flword2 13780	. . . 4 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) / 3)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
74	11, 57, 72, 73	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))))
75		elfzuzb 13497	. . 3 ⊢ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))) ↔ ((⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(√‘(2 · 𝑁))))))
76	54, 74, 75	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) ∈ (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
77		bpos.5	. 2 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
78		bpos.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
79	78	oveq2i 7422	. 2 ⊢ (3...𝐾) = (3...(⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
80	76, 77, 79	3eltr4g 2850	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (3...𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11250   ≤ cle 11251   / cdiv 11873  ℕcn 12214  2c2 12269  3c3 12270  5c5 12272  9c9 12276  ℤcz 12560  ;cdc 12679  ℤ_≥cuz 12824  ...cfz 13486  ⌊cfl 13757  ↑cexp 14029  Ccbc 14264  √csqrt 15182  ℙcprime 16610   pCnt cpc 16771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184

This theorem is referenced by:  bposlem6  26799