Theorem nn0o1gt2ALTV 48197

Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0o1gt2ALTV	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2ALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12434	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnn1uz2 12870	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
3		orc 874	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
4	3	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5		2z 12554	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	eluz1i 12791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
7		2re 12250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
9		zre 12523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	8, 9	leloed 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
11		olc 875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
12	11	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
13		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
14	13	eqcoms 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
15		2noddALTV 48196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∉ Odd
16		df-nel 3041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∉ Odd ↔ ¬ 2 ∈ Odd )
17		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 2 ∈ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
18	16, 17	sylbi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∉ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
19	15, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
20	14, 19	biimtrdi 255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
21	12, 20	jaoi 864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
22	10, 21	biimtrdi 255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
23	22	imp 408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
24	6, 23	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
25	4, 24	jaoi 864	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
26	2, 25	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
27		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 0 ∈ Odd ))
28		0noddALTV 48192	. . . . . 6 ⊢ 0 ∉ Odd
29		df-nel 3041	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∉ Odd ↔ ¬ 0 ∈ Odd )
30		pm2.21 123	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 0 ∈ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
31	29, 30	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (0 ∉ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
32	28, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
33	27, 32	biimtrdi 255	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
34	26, 33	jaoi 864	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
35	1, 34	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
36	35	imp 408	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ wo 854   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∉ wnel 3040   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  ℝcr 11033  0cc0 11034  1c1 11035   < clt 11175   ≤ cle 11176  ℕcn 12169  2c2 12231  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783   Odd codd 48128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-even 48129  df-odd 48130

This theorem is referenced by: (None)