Theorem nn0o1gt2ALTV 47619

Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0o1gt2ALTV	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2ALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12526	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnn1uz2 12965	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
3		orc 867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
4	3	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5		2z 12647	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	eluz1i 12884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
7		2re 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
9		zre 12615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	8, 9	leloed 11402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
11		olc 868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
12	11	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
13		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
14	13	eqcoms 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
15		2noddALTV 47618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∉ Odd
16		df-nel 3045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∉ Odd ↔ ¬ 2 ∈ Odd )
17		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 2 ∈ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
18	16, 17	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∉ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
19	15, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
20	14, 19	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
21	12, 20	jaoi 857	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
22	10, 21	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
23	22	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
24	6, 23	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
25	4, 24	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
26	2, 25	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
27		eleq1 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 0 ∈ Odd ))
28		0noddALTV 47614	. . . . . 6 ⊢ 0 ∉ Odd
29		df-nel 3045	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∉ Odd ↔ ¬ 0 ∈ Odd )
30		pm2.21 123	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 0 ∈ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
31	29, 30	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (0 ∉ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
32	28, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
33	27, 32	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
34	26, 33	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
35	1, 34	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
36	35	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3044   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293   ≤ cle 11294  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876   Odd codd 47550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-even 47551  df-odd 47552

This theorem is referenced by: (None)