Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0o1gt2ALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0o1gt2ALTV 44031
Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o1gt2ALTV ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2ALTV
StepHypRef Expression
1 elnn0 11877 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 elnn1uz2 12303 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
3 orc 864 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
43a1d 25 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5 2z 11992 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
65eluz1i 12229 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
7 2re 11689 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
9 zre 11963 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
108, 9leloed 10760 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
11 olc 865 . . . . . . . . . . 11 (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
1211a1d 25 . . . . . . . . . 10 (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
13 eleq1 2899 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
1413eqcoms 2829 . . . . . . . . . . 11 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
15 2noddALTV 44030 . . . . . . . . . . . 12 2 ∉ Odd
16 df-nel 3112 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∉ Odd ↔ ¬ 2 ∈ Odd )
17 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∈ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
1816, 17sylbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∉ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
1915, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
2014, 19syl6bi 256 . . . . . . . . . 10 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
2112, 20jaoi 854 . . . . . . . . 9 ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
2210, 21syl6bi 256 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
2322imp 410 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
246, 23sylbi 220 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
254, 24jaoi 854 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
262, 25sylbi 220 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
27 eleq1 2899 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 0 ∈ Odd ))
28 0noddALTV 44026 . . . . . 6 0 ∉ Odd
29 df-nel 3112 . . . . . . 7 (0 ∉ Odd ↔ ¬ 0 ∈ Odd )
30 pm2.21 123 . . . . . . 7 (¬ 0 ∈ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3129, 30sylbi 220 . . . . . 6 (0 ∉ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3228, 31ax-mp 5 . . . . 5 (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
3327, 32syl6bi 256 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3426, 33jaoi 854 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
351, 34sylbi 220 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3635imp 410 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wnel 3111   class class class wbr 5039  cfv 6328  cr 10513  0cc0 10514  1c1 10515   < clt 10652  cle 10653  cn 11615  2c2 11670  0cn0 11875  cz 11959  cuz 12221   Odd codd 43962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-even 43963  df-odd 43964
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator