Theorem nn0o1gt2ALTV 47302

Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0o1gt2ALTV	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2ALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12520	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnn1uz2 12955	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
3		orc 865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
4	3	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5		2z 12640	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	eluz1i 12876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
7		2re 12332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
9		zre 12608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	8, 9	leloed 11398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
11		olc 866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
12	11	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
13		eleq1 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
14	13	eqcoms 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
15		2noddALTV 47301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∉ Odd
16		df-nel 3037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∉ Odd ↔ ¬ 2 ∈ Odd )
17		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 2 ∈ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
18	16, 17	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∉ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
19	15, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
20	14, 19	biimtrdi 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
21	12, 20	jaoi 855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
22	10, 21	biimtrdi 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
23	22	imp 405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
24	6, 23	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
25	4, 24	jaoi 855	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
26	2, 25	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
27		eleq1 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 0 ∈ Odd ))
28		0noddALTV 47297	. . . . . 6 ⊢ 0 ∉ Odd
29		df-nel 3037	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∉ Odd ↔ ¬ 0 ∈ Odd )
30		pm2.21 123	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 0 ∈ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
31	29, 30	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (0 ∉ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
32	28, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
33	27, 32	biimtrdi 252	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
34	26, 33	jaoi 855	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
35	1, 34	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
36	35	imp 405	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∉ wnel 3036   class class class wbr 5145  ‘cfv 6546  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   < clt 11289   ≤ cle 11290  ℕcn 12258  2c2 12313  ℕ₀cn0 12518  ℤcz 12604  ℤ_≥cuz 12868   Odd codd 47233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-even 47234  df-odd 47235

This theorem is referenced by: (None)