Theorem istrkg3ld 28529

Description: Property of fulfilling the lower dimension 3 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
istrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
istrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
istrkg3ld	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝑢,𝑃,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, − ,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem istrkg3ld

Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12560	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		2re 12255	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		3re 12261	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
4		2lt3 12348	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
5	2, 3, 4	ltleii 11269	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 3
6		2z 12559	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	eluz1i 12796	. . . 4 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
8	1, 5, 7	mpbir2an 712	. . 3 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
9		istrkg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
10		istrkg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
11		istrkg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
12	9, 10, 11	istrkgld 28527	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
13	8, 12	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
14		fzo13pr 13704	. . . . . 6 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
15		f1eq2 6732	. . . . . 6 ⊢ ((1..^3) = {1, 2} → (𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ↔ 𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ↔ 𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃)
17	16	anbi1i 625	. . . 4 ⊢ ((𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ (𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
18	17	exbii 1850	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
20		1z 12557	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		1ne2 12384	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 2
22		oveq1 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 − 𝑥) = ((𝑓‘1) − 𝑥))
23	22	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥)))
24		oveq1 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 − 𝑦) = ((𝑓‘1) − 𝑦))
25	24	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦)))
26		oveq1 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 − 𝑧) = ((𝑓‘1) − 𝑧))
27	26	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)))
28	23, 25, 27	3anbi123d 1439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧))))
29	28	anbi1d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
30	29	rexbidv 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
31	30	2rexbidv 3202	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
32		oveq1 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥))
33	32	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥)))
34		oveq1 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦))
35	34	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦)))
36		oveq1 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))
37	36	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
38	33, 35, 37	3anbi123d 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))))
39		2p1e3 12318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
40	39	oveq2i 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2..^(2 + 1)) = (2..^3)
41		fzosn 13691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2..^(2 + 1)) = {2})
42	6, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2..^(2 + 1)) = {2}
43	40, 42	eqtr3i 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2..^3) = {2}
44	43	raleqi 3293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)))
45		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 2 → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘2))
46	45	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥))
47	46	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥)))
48	45	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦))
49	48	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦)))
50	45	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))
51	50	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
52	47, 49, 51	3anbi123d 1439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 2 → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))))
53	52	ralsng 4619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → (∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))))
54	6, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
55	44, 54	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
56	38, 55	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧))))
57	56	anbi1d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
58	57	rexbidv 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
59	58	2rexbidv 3202	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
60	31, 59	f1prex 7239	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 2) → (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
61	20, 6, 21, 60	mp3an 1464	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
62	61	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
63	13, 19, 62	3bitrd 305	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {csn 4567  {cpr 4569   class class class wbr 5085  –1-1→wf1 6495  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041   ≤ cle 11180  2c2 12236  3c3 12237  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ..^cfzo 13608  Basecbs 17179  distcds 17229  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28499  Itvcitv 28501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-trkgld 28520

This theorem is referenced by:  axtgupdim2  28539