Theorem istrkg3ld 26822

Description: Property of fulfilling the lower dimension 3 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
istrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
istrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
istrkg3ld	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝑢,𝑃,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, − ,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem istrkg3ld

Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12353	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		2re 12047	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		3re 12053	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
4		2lt3 12145	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
5	2, 3, 4	ltleii 11098	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 3
6		2z 12352	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	eluz1i 12590	. . . 4 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
8	1, 5, 7	mpbir2an 708	. . 3 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
9		istrkg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
10		istrkg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
11		istrkg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
12	9, 10, 11	istrkgld 26820	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
13	8, 12	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
14		fzo13pr 13471	. . . . . 6 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
15		f1eq2 6666	. . . . . 6 ⊢ ((1..^3) = {1, 2} → (𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ↔ 𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ↔ 𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃)
17	16	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ (𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
18	17	exbii 1850	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
20		1z 12350	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		1ne2 12181	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 2
22		oveq1 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 − 𝑥) = ((𝑓‘1) − 𝑥))
23	22	eqeq1d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥)))
24		oveq1 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 − 𝑦) = ((𝑓‘1) − 𝑦))
25	24	eqeq1d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦)))
26		oveq1 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 − 𝑧) = ((𝑓‘1) − 𝑧))
27	26	eqeq1d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)))
28	23, 25, 27	3anbi123d 1435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧))))
29	28	anbi1d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
30	29	rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
31	30	2rexbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
32		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥))
33	32	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥)))
34		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦))
35	34	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦)))
36		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))
37	36	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
38	33, 35, 37	3anbi123d 1435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))))
39		2p1e3 12115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
40	39	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2..^(2 + 1)) = (2..^3)
41		fzosn 13458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2..^(2 + 1)) = {2})
42	6, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2..^(2 + 1)) = {2}
43	40, 42	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2..^3) = {2}
44	43	raleqi 3346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)))
45		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 2 → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘2))
46	45	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥))
47	46	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥)))
48	45	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦))
49	48	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦)))
50	45	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))
51	50	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
52	47, 49, 51	3anbi123d 1435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 2 → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))))
53	52	ralsng 4609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → (∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))))
54	6, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
55	44, 54	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
56	38, 55	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧))))
57	56	anbi1d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
58	57	rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
59	58	2rexbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
60	31, 59	f1prex 7156	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 2) → (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
61	20, 6, 21, 60	mp3an 1460	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
62	61	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
63	13, 19, 62	3bitrd 305	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {csn 4561  {cpr 4563   class class class wbr 5074  –1-1→wf1 6430  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874   ≤ cle 11010  2c2 12028  3c3 12029  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ..^cfzo 13382  Basecbs 16912  distcds 16971  Dim_TarskiG≥cstrkgld 26792  Itvcitv 26794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-trkgld 26813

This theorem is referenced by:  axtgupdim2  26832