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Theorem istrkg3ld 28439

Description: Property of fulfilling the lower dimension 3 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
istrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
istrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
istrkg3ld	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥3 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))

Distinct variable groups: 𝑣,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼 𝑢,𝑃,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧 𝑢, − ,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢) 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem istrkg3ld Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12505	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		2re 12199	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		3re 12205	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
4		2lt3 12292	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
5	2, 3, 4	ltleii 11236	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 3
6		2z 12504	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	eluz1i 12740	. . . 4 ⊢ (3 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
8	1, 5, 7	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ 3 ∈ (ℤ_≥‘2)
9		istrkg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
10		istrkg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
11		istrkg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
12	9, 10, 11	istrkgld 28437	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝐺Dim_TarskiG≥3 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
13	8, 12	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥3 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
14		fzo13pr 13649	. . . . . 6 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
15		f1eq2 6715	. . . . . 6 ⊢ ((1..^3) = {1, 2} → (𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ↔ 𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ↔ 𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃)
17	16	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ (𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
18	17	exbii 1849	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
20		1z 12502	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		1ne2 12328	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 2
22		oveq1 7353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 − 𝑥) = ((𝑓‘1) − 𝑥))
23	22	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥)))
24		oveq1 7353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 − 𝑦) = ((𝑓‘1) − 𝑦))
25	24	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦)))
26		oveq1 7353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 − 𝑧) = ((𝑓‘1) − 𝑧))
27	26	eqeq1d 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)))
28	23, 25, 27	3anbi123d 1438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧))))
29	28	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
30	29	rexbidv 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
31	30	2rexbidv 3197	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
32		oveq1 7353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥))
33	32	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥)))
34		oveq1 7353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦))
35	34	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦)))
36		oveq1 7353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))
37	36	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
38	33, 35, 37	3anbi123d 1438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))))
39		2p1e3 12262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
40	39	oveq2i 7357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2..^(2 + 1)) = (2..^3)
41		fzosn 13636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2..^(2 + 1)) = {2})
42	6, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2..^(2 + 1)) = {2}
43	40, 42	eqtr3i 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2..^3) = {2}
44	43	raleqi 3290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)))
45		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 2 → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘2))
46	45	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥))
47	46	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥)))
48	45	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦))
49	48	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦)))
50	45	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))
51	50	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
52	47, 49, 51	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 2 → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))))
53	52	ralsng 4625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → (∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))))
54	6, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
55	44, 54	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
56	38, 55	bitr4di 289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧))))
57	56	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
58	57	rexbidv 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
59	58	2rexbidv 3197	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
60	31, 59	f1prex 7218	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 2) → (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
61	20, 6, 21, 60	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
62	61	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
63	13, 19, 62	3bitrd 305	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺Dim_TarskiG≥3 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ w3o 1085 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∃wex 1780 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2928 ∀wral 3047 ∃wrex 3056 {csn 4573 {cpr 4575 class class class wbr 5089 –1-1→wf1 6478 ‘cfv 6481 (class class class)co 7346 1c1 11007 + caddc 11009 ≤ cle 11147 2c2 12180 3c3 12181 ℤcz 12468 ℤ_≥cuz 12732 ..^cfzo 13554 Basecbs 17120 distcds 17170 Dim_TarskiG≥cstrkgld 28409 Itvcitv 28411

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5301 ax-pr 5368 ax-un 7668 ax-cnex 11062 ax-resscn 11063 ax-1cn 11064 ax-icn 11065 ax-addcl 11066 ax-addrcl 11067 ax-mulcl 11068 ax-mulrcl 11069 ax-mulcom 11070 ax-addass 11071 ax-mulass 11072 ax-distr 11073 ax-i2m1 11074 ax-1ne0 11075 ax-1rid 11076 ax-rnegex 11077 ax-rrecex 11078 ax-cnre 11079 ax-pre-lttri 11080 ax-pre-lttrn 11081 ax-pre-ltadd 11082 ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-nel 3033 df-ral 3048 df-rex 3057 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3737 df-csb 3846 df-dif 3900 df-un 3902 df-in 3904 df-ss 3914 df-pss 3917 df-nul 4281 df-if 4473 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-op 4580 df-uni 4857 df-iun 4941 df-br 5090 df-opab 5152 df-mpt 5171 df-tr 5197 df-id 5509 df-eprel 5514 df-po 5522 df-so 5523 df-fr 5567 df-we 5569 df-xp 5620 df-rel 5621 df-cnv 5622 df-co 5623 df-dm 5624 df-rn 5625 df-res 5626 df-ima 5627 df-pred 6248 df-ord 6309 df-on 6310 df-lim 6311 df-suc 6312 df-iota 6437 df-fun 6483 df-fn 6484 df-f 6485 df-f1 6486 df-fo 6487 df-f1o 6488 df-fv 6489 df-riota 7303 df-ov 7349 df-oprab 7350 df-mpo 7351 df-om 7797 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8211 df-wrecs 8242 df-recs 8291 df-rdg 8329 df-er 8622 df-en 8870 df-dom 8871 df-sdom 8872 df-pnf 11148 df-mnf 11149 df-xr 11150 df-ltxr 11151 df-le 11152 df-sub 11346 df-neg 11347 df-nn 12126 df-2 12188 df-3 12189 df-n0 12382 df-z 12469 df-uz 12733 df-fz 13408 df-fzo 13555 df-trkgld 28430

This theorem is referenced by: axtgupdim2 28449

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