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Theorem istrkg3ld 26251
Description: Property of fulfilling the lower dimension 3 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d = (dist‘𝐺)
istrkg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
istrkg3ld (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝑢,𝑃,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem istrkg3ld
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3z 12008 . . . 4 3 ∈ ℤ
2 2re 11704 . . . . 5 2 ∈ ℝ
3 3re 11710 . . . . 5 3 ∈ ℝ
4 2lt3 11802 . . . . 5 2 < 3
52, 3, 4ltleii 10755 . . . 4 2 ≤ 3
6 2z 12007 . . . . 5 2 ∈ ℤ
76eluz1i 12244 . . . 4 (3 ∈ (ℤ‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
81, 5, 7mpbir2an 710 . . 3 3 ∈ (ℤ‘2)
9 istrkg.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
10 istrkg.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
11 istrkg.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
129, 10, 11istrkgld 26249 . . 3 ((𝐺𝑉 ∧ 3 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
138, 12mpan2 690 . 2 (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
14 fzo13pr 13121 . . . . . 6 (1..^3) = {1, 2}
15 f1eq2 6559 . . . . . 6 ((1..^3) = {1, 2} → (𝑓:(1..^3)–1-1𝑃𝑓:{1, 2}–1-1𝑃))
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 (𝑓:(1..^3)–1-1𝑃𝑓:{1, 2}–1-1𝑃)
1716anbi1i 626 . . . 4 ((𝑓:(1..^3)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ (𝑓:{1, 2}–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
1817exbii 1849 . . 3 (∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
1918a1i 11 . 2 (𝐺𝑉 → (∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
20 1z 12005 . . . 4 1 ∈ ℤ
21 1ne2 11838 . . . 4 1 ≠ 2
22 oveq1 7152 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 𝑥) = ((𝑓‘1) 𝑥))
2322eqeq1d 2826 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥)))
24 oveq1 7152 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 𝑦) = ((𝑓‘1) 𝑦))
2524eqeq1d 2826 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦)))
26 oveq1 7152 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 𝑧) = ((𝑓‘1) 𝑧))
2726eqeq1d 2826 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)))
2823, 25, 273anbi123d 1433 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑓‘1) → (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧))))
2928anbi1d 632 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑓‘1) → ((((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
3029rexbidv 3290 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑓‘1) → (∃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧𝑃 ((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
31302rexbidv 3293 . . . . 5 (𝑢 = (𝑓‘1) → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
32 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥))
3332eqeq2d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥)))
34 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦))
3534eqeq2d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦)))
36 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧))
3736eqeq2d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧)))
3833, 35, 373anbi123d 1433 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑓‘2) → ((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧))))
39 2p1e3 11772 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 1) = 3
4039oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . 12 (2..^(2 + 1)) = (2..^3)
41 fzosn 13108 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℤ → (2..^(2 + 1)) = {2})
426, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2..^(2 + 1)) = {2}
4340, 42eqtr3i 2849 . . . . . . . . . . 11 (2..^3) = {2}
4443raleqi 3401 . . . . . . . . . 10 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)))
45 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 2 → (𝑓𝑗) = (𝑓‘2))
4645oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 2 → ((𝑓𝑗) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥))
4746eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥)))
4845oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 2 → ((𝑓𝑗) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦))
4948eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦)))
5045oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 2 → ((𝑓𝑗) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧))
5150eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧)))
5247, 49, 513anbi123d 1433 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 2 → ((((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧))))
5352ralsng 4597 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → (∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧))))
546, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧)))
5544, 54bitri 278 . . . . . . . . 9 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧)))
5638, 55syl6bbr 292 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑓‘2) → ((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧))))
5756anbi1d 632 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑓‘2) → (((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
5857rexbidv 3290 . . . . . 6 (𝑣 = (𝑓‘2) → (∃𝑧𝑃 ((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
59582rexbidv 3293 . . . . 5 (𝑣 = (𝑓‘2) → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
6031, 59f1prex 7029 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 2) → (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
6120, 6, 21, 60mp3an 1458 . . 3 (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
6261a1i 11 . 2 (𝐺𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
6313, 19, 623bitrd 308 1 (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  {csn 4549  {cpr 4551   class class class wbr 5052  1-1wf1 6340  cfv 6343  (class class class)co 7145  1c1 10530   + caddc 10532  cle 10668  2c2 11685  3c3 11686  cz 11974  cuz 12236  ..^cfzo 13033  Basecbs 16479  distcds 16570  DimTarskiGcstrkgld 26224  Itvcitv 26226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-trkgld 26242
This theorem is referenced by:  axtgupdim2  26261
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