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Theorem istrkg3ld 26820
Description: Property of fulfilling the lower dimension 3 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d = (dist‘𝐺)
istrkg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
istrkg3ld (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝑢,𝑃,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem istrkg3ld
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3z 12351 . . . 4 3 ∈ ℤ
2 2re 12045 . . . . 5 2 ∈ ℝ
3 3re 12051 . . . . 5 3 ∈ ℝ
4 2lt3 12143 . . . . 5 2 < 3
52, 3, 4ltleii 11096 . . . 4 2 ≤ 3
6 2z 12350 . . . . 5 2 ∈ ℤ
76eluz1i 12588 . . . 4 (3 ∈ (ℤ‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
81, 5, 7mpbir2an 708 . . 3 3 ∈ (ℤ‘2)
9 istrkg.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
10 istrkg.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
11 istrkg.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
129, 10, 11istrkgld 26818 . . 3 ((𝐺𝑉 ∧ 3 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
138, 12mpan2 688 . 2 (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
14 fzo13pr 13469 . . . . . 6 (1..^3) = {1, 2}
15 f1eq2 6668 . . . . . 6 ((1..^3) = {1, 2} → (𝑓:(1..^3)–1-1𝑃𝑓:{1, 2}–1-1𝑃))
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 (𝑓:(1..^3)–1-1𝑃𝑓:{1, 2}–1-1𝑃)
1716anbi1i 624 . . . 4 ((𝑓:(1..^3)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ (𝑓:{1, 2}–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
1817exbii 1850 . . 3 (∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
1918a1i 11 . 2 (𝐺𝑉 → (∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
20 1z 12348 . . . 4 1 ∈ ℤ
21 1ne2 12179 . . . 4 1 ≠ 2
22 oveq1 7284 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 𝑥) = ((𝑓‘1) 𝑥))
2322eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥)))
24 oveq1 7284 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 𝑦) = ((𝑓‘1) 𝑦))
2524eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦)))
26 oveq1 7284 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 𝑧) = ((𝑓‘1) 𝑧))
2726eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)))
2823, 25, 273anbi123d 1435 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑓‘1) → (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧))))
2928anbi1d 630 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑓‘1) → ((((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
3029rexbidv 3225 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑓‘1) → (∃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧𝑃 ((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
31302rexbidv 3228 . . . . 5 (𝑢 = (𝑓‘1) → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
32 oveq1 7284 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥))
3332eqeq2d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥)))
34 oveq1 7284 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦))
3534eqeq2d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦)))
36 oveq1 7284 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧))
3736eqeq2d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧)))
3833, 35, 373anbi123d 1435 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑓‘2) → ((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧))))
39 2p1e3 12113 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 1) = 3
4039oveq2i 7288 . . . . . . . . . . . 12 (2..^(2 + 1)) = (2..^3)
41 fzosn 13456 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℤ → (2..^(2 + 1)) = {2})
426, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2..^(2 + 1)) = {2}
4340, 42eqtr3i 2768 . . . . . . . . . . 11 (2..^3) = {2}
4443raleqi 3345 . . . . . . . . . 10 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)))
45 fveq2 6776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 2 → (𝑓𝑗) = (𝑓‘2))
4645oveq1d 7292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 2 → ((𝑓𝑗) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥))
4746eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥)))
4845oveq1d 7292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 2 → ((𝑓𝑗) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦))
4948eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦)))
5045oveq1d 7292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 2 → ((𝑓𝑗) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧))
5150eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧)))
5247, 49, 513anbi123d 1435 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 2 → ((((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧))))
5352ralsng 4611 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → (∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧))))
546, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧)))
5544, 54bitri 274 . . . . . . . . 9 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓‘2) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓‘2) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓‘2) 𝑧)))
5638, 55bitr4di 289 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑓‘2) → ((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧))))
5756anbi1d 630 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑓‘2) → (((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
5857rexbidv 3225 . . . . . 6 (𝑣 = (𝑓‘2) → (∃𝑧𝑃 ((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
59582rexbidv 3228 . . . . 5 (𝑣 = (𝑓‘2) → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ((((𝑓‘1) 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
6031, 59f1prex 7158 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 2) → (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
6120, 6, 21, 60mp3an 1460 . . 3 (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
6261a1i 11 . 2 (𝐺𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
6313, 19, 623bitrd 305 1 (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  {csn 4563  {cpr 4565   class class class wbr 5076  1-1wf1 6432  cfv 6435  (class class class)co 7277  1c1 10870   + caddc 10872  cle 11008  2c2 12026  3c3 12027  cz 12317  cuz 12580  ..^cfzo 13380  Basecbs 16910  distcds 16969  DimTarskiGcstrkgld 26790  Itvcitv 26792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12581  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-trkgld 26811
This theorem is referenced by:  axtgupdim2  26830
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