MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istrkg3ld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem istrkg3ld 28309
Description: Property of fulfilling the lower dimension 3 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
istrkg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
istrkg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
istrkg3ld (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯3 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   𝑒,𝑃,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒, βˆ’ ,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem istrkg3ld
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3z 12625 . . . 4 3 ∈ β„€
2 2re 12316 . . . . 5 2 ∈ ℝ
3 3re 12322 . . . . 5 3 ∈ ℝ
4 2lt3 12414 . . . . 5 2 < 3
52, 3, 4ltleii 11367 . . . 4 2 ≀ 3
6 2z 12624 . . . . 5 2 ∈ β„€
76eluz1i 12860 . . . 4 (3 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (3 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 3))
81, 5, 7mpbir2an 709 . . 3 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
9 istrkg.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
10 istrkg.d . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
11 istrkg.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
129, 10, 11istrkgld 28307 . . 3 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯3 ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
138, 12mpan2 689 . 2 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯3 ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
14 fzo13pr 13748 . . . . . 6 (1..^3) = {1, 2}
15 f1eq2 6784 . . . . . 6 ((1..^3) = {1, 2} β†’ (𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ↔ 𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃))
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 (𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ↔ 𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃)
1716anbi1i 622 . . . 4 ((𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ (𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
1817exbii 1842 . . 3 (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
1918a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
20 1z 12622 . . . 4 1 ∈ β„€
21 1ne2 12450 . . . 4 1 β‰  2
22 oveq1 7423 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ (𝑒 βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯))
2322eqeq1d 2727 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ ((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯)))
24 oveq1 7423 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦))
2524eqeq1d 2727 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ ((𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦)))
26 oveq1 7423 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧))
2726eqeq1d 2727 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ ((𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)))
2823, 25, 273anbi123d 1432 . . . . . . . 8 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ↔ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧))))
2928anbi1d 629 . . . . . . 7 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ ((((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
3029rexbidv 3169 . . . . . 6 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
31302rexbidv 3210 . . . . 5 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
32 oveq1 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (𝑣 βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯))
3332eqeq2d 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯)))
34 oveq1 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦))
3534eqeq2d 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦)))
36 oveq1 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧))
3736eqeq2d 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧)))
3833, 35, 373anbi123d 1432 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ↔ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧))))
39 2p1e3 12384 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 1) = 3
4039oveq2i 7427 . . . . . . . . . . . 12 (2..^(2 + 1)) = (2..^3)
41 fzosn 13735 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ β„€ β†’ (2..^(2 + 1)) = {2})
426, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2..^(2 + 1)) = {2}
4340, 42eqtr3i 2755 . . . . . . . . . . 11 (2..^3) = {2}
4443raleqi 3313 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ βˆ€π‘— ∈ {2} (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)))
45 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 2 β†’ (π‘“β€˜π‘—) = (π‘“β€˜2))
4645oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 2 β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯))
4746eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 2 β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯)))
4845oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 2 β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦))
4948eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 2 β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦)))
5045oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 2 β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧))
5150eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 2 β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧)))
5247, 49, 513anbi123d 1432 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 2 β†’ ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧))))
5352ralsng 4673 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ β„€ β†’ (βˆ€π‘— ∈ {2} (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧))))
546, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘— ∈ {2} (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧)))
5544, 54bitri 274 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧)))
5638, 55bitr4di 288 . . . . . . . 8 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ↔ βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))))
5756anbi1d 629 . . . . . . 7 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
5857rexbidv 3169 . . . . . 6 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
59582rexbidv 3210 . . . . 5 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
6031, 59f1prex 7289 . . . 4 ((1 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 1 β‰  2) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
6120, 6, 21, 60mp3an 1457 . . 3 (βˆƒπ‘“(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
6261a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
6313, 19, 623bitrd 304 1 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯3 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5143  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  1c1 11139   + caddc 11141   ≀ cle 11279  2c2 12297  3c3 12298  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  ..^cfzo 13659  Basecbs 17179  distcds 17241  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 28279  Itvcitv 28281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-trkgld 28300
This theorem is referenced by:  axtgupdim2  28319
  Copyright terms: Public domain W3C validator