Theorem istrkg3ld 28739

Description: Property of fulfilling the lower dimension 3 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
istrkg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
istrkg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
istrkg3ld	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝑢,𝑃,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, − ,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑣, 𝑢)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem istrkg3ld

Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12631	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		2re 12319	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		3re 12325	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
4		2lt3 12418	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
5	2, 3, 4	ltleii 11337	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 3
6		2z 12630	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
7	6	eluz1i 12874	. . . 4 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
8	1, 5, 7	mpbir2an 723	. . 3 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
9		istrkg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
10		istrkg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
11		istrkg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
12	9, 10, 11	istrkgld 28737	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
13	8, 12	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
14		fzo13pr 13783	. . . . . 6 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
15		f1eq2 6770	. . . . . 6 ⊢ ((1..^3) = {1, 2} → (𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ↔ 𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ↔ 𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃)
17	16	anbi1i 635	. . . 4 ⊢ ((𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ (𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
18	17	exbii 1878	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (∃𝑓(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
20		1z 12628	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		1ne2 12455	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 2
22		oveq1 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 − 𝑥) = ((𝑓‘1) − 𝑥))
23	22	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥)))
24		oveq1 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 − 𝑦) = ((𝑓‘1) − 𝑦))
25	24	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦)))
26		oveq1 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (𝑢 − 𝑧) = ((𝑓‘1) − 𝑧))
27	26	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)))
28	23, 25, 27	3anbi123d 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧))))
29	28	anbi1d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → ((((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
30	29	rexbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
31	30	2rexbidv 3230	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑓‘1) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
32		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥))
33	32	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥)))
34		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦))
35	34	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦)))
36		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (𝑣 − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))
37	36	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
38	33, 35, 37	3anbi123d 1464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))))
39		2p1e3 12386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
40	39	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2..^(2 + 1)) = (2..^3)
41		fzosn 13770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2..^(2 + 1)) = {2})
42	6, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2..^(2 + 1)) = {2}
43	40, 42	eqtr3i 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2..^3) = {2}
44	43	raleqi 3321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)))
45		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 2 → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘2))
46	45	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥))
47	46	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥)))
48	45	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦))
49	48	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦)))
50	45	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 2 → ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))
51	50	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 2 → (((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧) ↔ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
52	47, 49, 51	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 2 → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))))
53	52	ralsng 4641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → (∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧))))
54	6, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ {2} (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
55	44, 54	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ↔ (((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘2) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘2) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘2) − 𝑧)))
56	38, 55	bitr4di 292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧))))
57	56	anbi1d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
58	57	rexbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
59	58	2rexbidv 3230	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = (𝑓‘2) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ((((𝑓‘1) − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
60	31, 59	f1prex 7282	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 2) → (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
61	20, 6, 21, 60	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
62	61	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^3)(((𝑓‘1) − 𝑥) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑦) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) − 𝑧) = ((𝑓‘𝑗) − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
63	13, 19, 62	3bitrd 308	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 (((𝑢 − 𝑥) = (𝑣 − 𝑥) ∧ (𝑢 − 𝑦) = (𝑣 − 𝑦) ∧ (𝑢 − 𝑧) = (𝑣 − 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {csn 4589  {cpr 4591   class class class wbr 5109  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11105   + caddc 11107   ≤ cle 11248  2c2 12299  3c3 12300  ℤcz 12595  ℤ_≥cuz 12866  ..^cfzo 13687  Basecbs 17273  distcds 17323  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28709  Itvcitv 28711

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-trkgld 28730

This theorem is used by:  axtgupdim2  28749