MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istrkg3ld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem istrkg3ld 27445
Description: Property of fulfilling the lower dimension 3 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
istrkg.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
istrkg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
istrkg3ld (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯3 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   𝑒,𝑃,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑒, βˆ’ ,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem istrkg3ld
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3z 12541 . . . 4 3 ∈ β„€
2 2re 12232 . . . . 5 2 ∈ ℝ
3 3re 12238 . . . . 5 3 ∈ ℝ
4 2lt3 12330 . . . . 5 2 < 3
52, 3, 4ltleii 11283 . . . 4 2 ≀ 3
6 2z 12540 . . . . 5 2 ∈ β„€
76eluz1i 12776 . . . 4 (3 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (3 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 3))
81, 5, 7mpbir2an 710 . . 3 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
9 istrkg.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
10 istrkg.d . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
11 istrkg.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
129, 10, 11istrkgld 27443 . . 3 ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯3 ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
138, 12mpan2 690 . 2 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯3 ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
14 fzo13pr 13662 . . . . . 6 (1..^3) = {1, 2}
15 f1eq2 6735 . . . . . 6 ((1..^3) = {1, 2} β†’ (𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ↔ 𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃))
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 (𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ↔ 𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃)
1716anbi1i 625 . . . 4 ((𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ (𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
1817exbii 1851 . . 3 (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
1918a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:(1..^3)–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘“(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
20 1z 12538 . . . 4 1 ∈ β„€
21 1ne2 12366 . . . 4 1 β‰  2
22 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ (𝑒 βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯))
2322eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ ((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯)))
24 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦))
2524eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ ((𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦)))
26 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧))
2726eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ ((𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)))
2823, 25, 273anbi123d 1437 . . . . . . . 8 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ↔ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧))))
2928anbi1d 631 . . . . . . 7 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ ((((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
3029rexbidv 3172 . . . . . 6 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
31302rexbidv 3210 . . . . 5 (𝑒 = (π‘“β€˜1) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
32 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (𝑣 βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯))
3332eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯)))
34 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦))
3534eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦)))
36 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧))
3736eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧)))
3833, 35, 373anbi123d 1437 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ↔ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧))))
39 2p1e3 12300 . . . . . . . . . . . . 13 (2 + 1) = 3
4039oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . 12 (2..^(2 + 1)) = (2..^3)
41 fzosn 13649 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ β„€ β†’ (2..^(2 + 1)) = {2})
426, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2..^(2 + 1)) = {2}
4340, 42eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . 11 (2..^3) = {2}
4443raleqi 3310 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ βˆ€π‘— ∈ {2} (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)))
45 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 2 β†’ (π‘“β€˜π‘—) = (π‘“β€˜2))
4645oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 2 β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯))
4746eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 2 β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯)))
4845oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 2 β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦))
4948eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 2 β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦)))
5045oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 2 β†’ ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧))
5150eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 2 β†’ (((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧) ↔ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧)))
5247, 49, 513anbi123d 1437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 2 β†’ ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧))))
5352ralsng 4635 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ β„€ β†’ (βˆ€π‘— ∈ {2} (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧))))
546, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘— ∈ {2} (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧)))
5544, 54bitri 275 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ↔ (((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜2) βˆ’ 𝑧)))
5638, 55bitr4di 289 . . . . . . . 8 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ↔ βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧))))
5756anbi1d 631 . . . . . . 7 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
5857rexbidv 3172 . . . . . 6 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
59582rexbidv 3210 . . . . 5 (𝑣 = (π‘“β€˜2) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 ((((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
6031, 59f1prex 7231 . . . 4 ((1 ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 1 β‰  2) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
6120, 6, 21, 60mp3an 1462 . . 3 (βˆƒπ‘“(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
6261a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:{1, 2}–1-1→𝑃 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (βˆ€π‘— ∈ (2..^3)(((π‘“β€˜1) βˆ’ π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ π‘₯) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑦) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑦) ∧ ((π‘“β€˜1) βˆ’ 𝑧) = ((π‘“β€˜π‘—) βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
6313, 19, 623bitrd 305 1 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯3 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5106  β€“1-1β†’wf1 6494  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059   ≀ cle 11195  2c2 12213  3c3 12214  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ..^cfzo 13573  Basecbs 17088  distcds 17147  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27415  Itvcitv 27417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-trkgld 27436
This theorem is referenced by:  axtgupdim2  27455
  Copyright terms: Public domain W3C validator