MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvradcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvradcnv 25780
Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is at least as large as the radius of convergence of 𝐺. (In fact they are equal, but we don't have as much use for the negative side of this claim.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvradcnv.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
dvradcnv.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv.h 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋𝑛)))
dvradcnv.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvradcnv.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dvradcnv.l (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvradcnv (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟   𝑛,𝑟,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem dvradcnv
Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12805 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 1nn0 12429 . . 3 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4 ax-1cn 11109 . . . . 5 1 ∈ ℂ
5 nn0cn 12423 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
65adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
7 nn0ex 12419 . . . . . . 7 0 ∈ V
87mptex 7173 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) ∈ V
98shftval4 14962 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
104, 6, 9sylancr 587 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
11 addcom 11341 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
124, 6, 11sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
1312fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)))
14 peano2nn0 12453 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
1514adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
16 id 22 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑖 = (𝑘 + 1))
17 2fveq3 6847 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1))))
1816, 17oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
19 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))
20 ovex 7390 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6948 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
2215, 21syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
23 dvradcnv.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
24 dvradcnv.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
2524pserval2 25770 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))
2623, 14, 25syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))
2726fveq2d 6846 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))
2827oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
2922, 28eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
3010, 13, 293eqtrd 2780 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
3115nn0red 12474 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
32 dvradcnv.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
33 ffvelcdm 7032 . . . . . . 7 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3432, 14, 33syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
35 expcl 13985 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3623, 14, 35syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3734, 36mulcld 11175 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
3837abscld 15321 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
3931, 38remulcld 11185 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) ∈ ℝ)
4030, 39eqeltrd 2838 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) ∈ ℝ)
41 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
4241fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑛 + 1)) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
4341, 42oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
44 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑋𝑛) = (𝑋𝑘))
4543, 44oveq12d 7375 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋𝑛)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)))
46 dvradcnv.h . . . . 5 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋𝑛)))
47 ovex 7390 . . . . 5 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)) ∈ V
4845, 46, 47fvmpt 6948 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐻𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)))
4948adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)))
5015nn0cnd 12475 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
5150, 34mulcld 11175 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
52 expcl 13985 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
5323, 52sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
5451, 53mulcld 11175 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)) ∈ ℂ)
5549, 54eqeltrd 2838 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
56 dvradcnv.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
57 dvradcnv.l . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
58 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘𝑖 = 𝑘)
59 2fveq3 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
6058, 59oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
6160cbvmptv 5218 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
6224, 32, 56, 23, 57, 61radcnvlt1 25777 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
6362simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ )
64 climdm 15436 . . . . . 6 (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))))
6563, 64sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))))
66 0z 12510 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
67 neg1z 12539 . . . . . 6 -1 ∈ ℤ
688isershft 15548 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))) ↔ seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))))))
6966, 67, 68mp2an 690 . . . . 5 (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))) ↔ seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))))
7065, 69sylib 217 . . . 4 (𝜑 → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))))
71 seqex 13908 . . . . 5 seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ V
72 fvex 6855 . . . . 5 ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))) ∈ V
7371, 72breldm 5864 . . . 4 (seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))) → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
7470, 73syl 17 . . 3 (𝜑 → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
75 eqid 2736 . . . 4 (ℤ‘(0 + -1)) = (ℤ‘(0 + -1))
76 neg1cn 12267 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
7776addid2i 11343 . . . . . . 7 (0 + -1) = -1
78 0le1 11678 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
79 1re 11155 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
80 le0neg2 11664 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0))
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0)
8278, 81mpbi 229 . . . . . . 7 -1 ≤ 0
8377, 82eqbrtri 5126 . . . . . 6 (0 + -1) ≤ 0
8477, 67eqeltri 2834 . . . . . . 7 (0 + -1) ∈ ℤ
8584eluz1i 12771 . . . . . 6 (0 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (0 + -1) ≤ 0))
8666, 83, 85mpbir2an 709 . . . . 5 0 ∈ (ℤ‘(0 + -1))
8786a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (ℤ‘(0 + -1)))
88 eluzelcn 12775 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
8988adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
904, 89, 9sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1))) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
91 nn0re 12422 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
9291adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
9324, 32, 23psergf 25771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ)
9493ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘𝑖) ∈ ℂ)
9594abscld 15321 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)) ∈ ℝ)
9692, 95remulcld 11185 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))) ∈ ℝ)
9796recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))) ∈ ℂ)
9897fmpttd 7063 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))):ℕ0⟶ℂ)
994, 88, 11sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
100 eluzp1p1 12791 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘((0 + -1) + 1)))
10177oveq1i 7367 . . . . . . . . . . 11 ((0 + -1) + 1) = (-1 + 1)
102 1pneg1e0 12272 . . . . . . . . . . . 12 (1 + -1) = 0
1034, 76, 102addcomli 11347 . . . . . . . . . . 11 (-1 + 1) = 0
104101, 103eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 ((0 + -1) + 1) = 0
105104fveq2i 6845 . . . . . . . . 9 (ℤ‘((0 + -1) + 1)) = (ℤ‘0)
1061, 105eqtr4i 2767 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘((0 + -1) + 1))
107100, 106eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
10899, 107eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) → (1 + 𝑘) ∈ ℕ0)
109 ffvelcdm 7032 . . . . . 6 (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))):ℕ0⟶ℂ ∧ (1 + 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) ∈ ℂ)
11098, 108, 109syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1))) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) ∈ ℂ)
11190, 110eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1))) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
11275, 87, 111iserex 15541 . . 3 (𝜑 → (seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ ))
11374, 112mpbid 231 . 2 (𝜑 → seq0( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
114 1red 11156 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0) → 1 ∈ ℝ)
115 neqne 2951 . . . . 5 𝑋 = 0 → 𝑋 ≠ 0)
116 absrpcl 15173 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
11723, 115, 116syl2an 596 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
118117rprecred 12968 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
119114, 118ifclda 4521 . 2 (𝜑 → if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
120 oveq1 7364 . . . . 5 (1 = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
121120breq2d 5117 . . . 4 (1 = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) ↔ (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))))
122 oveq1 7364 . . . . 5 ((1 / (abs‘𝑋)) = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
123122breq2d 5117 . . . 4 ((1 / (abs‘𝑋)) = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) ↔ (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))))
124 elnnuz 12807 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
125 nnnn0 12420 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
126124, 125sylbir 234 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12715nn0ge0d 12476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
12837absge0d 15329 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))
12931, 38, 127, 128mulge0d 11732 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
130126, 129sylan2 593 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
131130adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
132 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑋 = 0 → (𝑋𝑘) = (0↑𝑘))
133 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
134133, 124sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1351340expd 14044 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (0↑𝑘) = 0)
136132, 135sylan9eqr 2798 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋𝑘) = 0)
137136oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0))
13851mul01d 11354 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
139126, 138sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
140139adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
141137, 140eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)) = 0)
142141abs00bd 15176 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) = 0)
14339recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) ∈ ℂ)
144143mulid2d 11173 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
145126, 144sylan2 593 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
146145adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
147131, 142, 1463brtr4d 5137 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
148 df-ne 2944 . . . . 5 (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0)
14954abscld 15321 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ∈ ℝ)
15050, 34, 53mulassd 11178 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘))))
151150fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) = (abs‘((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
15234, 53mulcld 11175 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)) ∈ ℂ)
15350, 152absmuld 15339 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))) = ((abs‘(𝑘 + 1)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
15431, 127absidd 15307 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
155154oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑘 + 1)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
156151, 153, 1553eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
157149, 156eqled 11258 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
158157adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
15923adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
160116rpreccld 12967 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ+)
161159, 160sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ+)
162161rpcnd 12959 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
16350adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
16438adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
165164recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
166162, 163, 165mul12d 11364 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
16737adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
16823ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
169 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
170167, 168, 169absdivd 15340 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋)) = ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) / (abs‘𝑋)))
17134adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
17236adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
173171, 172, 168, 169divassd 11966 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋)))
1746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
175 pncan 11407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
176174, 4, 175sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
177176oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑋𝑘))
17815nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
179178adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
180168, 169, 179expm1d 14061 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑((𝑘 + 1) − 1)) = ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋))
181177, 180eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋𝑘) = ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋))
182181oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋)))
183173, 182eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))
184183fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋)) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘))))
18523abscld 15321 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
186185ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
187186recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
188159, 116sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
189188rpne0d 12962 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ≠ 0)
190165, 187, 189divrec2d 11935 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) / (abs‘𝑋)) = ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
191170, 184, 1903eqtr3rd 2785 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘))))
192191oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑘 + 1) · ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
193166, 192eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
194158, 193breqtrrd 5133 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
195126, 194sylanl2 679 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
196148, 195sylan2br 595 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
197121, 123, 147, 196ifbothda 4524 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
19849fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐻𝑘)) = (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))))
199126, 198sylan2 593 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘(𝐻𝑘)) = (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))))
20030oveq2d 7373 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
201126, 200sylan2 593 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
202197, 199, 2013brtr4d 5137 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘(𝐻𝑘)) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)))
2031, 3, 40, 55, 113, 119, 202cvgcmpce 15703 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  seqcseq 13906  cexp 13967   shift cshi 14951  abscabs 15119  cli 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  25787  dvradcnv2  42617
  Copyright terms: Public domain W3C validator