MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvradcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvradcnv 25915
Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is at least as large as the radius of convergence of 𝐺. (In fact they are equal, but we don't have as much use for the negative side of this claim.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvradcnv.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
dvradcnv.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv.h 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋𝑛)))
dvradcnv.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvradcnv.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dvradcnv.l (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvradcnv (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟   𝑛,𝑟,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem dvradcnv
Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12860 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 1nn0 12484 . . 3 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4 ax-1cn 11164 . . . . 5 1 ∈ ℂ
5 nn0cn 12478 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
65adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
7 nn0ex 12474 . . . . . . 7 0 ∈ V
87mptex 7220 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) ∈ V
98shftval4 15020 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
104, 6, 9sylancr 588 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
11 addcom 11396 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
124, 6, 11sylancr 588 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
1312fveq2d 6892 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)))
14 peano2nn0 12508 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
1514adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
16 id 22 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑖 = (𝑘 + 1))
17 2fveq3 6893 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1))))
1816, 17oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
19 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))
20 ovex 7437 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6994 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
2215, 21syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
23 dvradcnv.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
24 dvradcnv.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
2524pserval2 25905 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))
2623, 14, 25syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))
2726fveq2d 6892 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))
2827oveq2d 7420 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
2922, 28eqtrd 2773 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
3010, 13, 293eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
3115nn0red 12529 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
32 dvradcnv.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
33 ffvelcdm 7079 . . . . . . 7 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3432, 14, 33syl2an 597 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
35 expcl 14041 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3623, 14, 35syl2an 597 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3734, 36mulcld 11230 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
3837abscld 15379 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
3931, 38remulcld 11240 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) ∈ ℝ)
4030, 39eqeltrd 2834 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) ∈ ℝ)
41 oveq1 7411 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
4241fveq2d 6892 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑛 + 1)) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
4341, 42oveq12d 7422 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
44 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑋𝑛) = (𝑋𝑘))
4543, 44oveq12d 7422 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋𝑛)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)))
46 dvradcnv.h . . . . 5 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋𝑛)))
47 ovex 7437 . . . . 5 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)) ∈ V
4845, 46, 47fvmpt 6994 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐻𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)))
4948adantl 483 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)))
5015nn0cnd 12530 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
5150, 34mulcld 11230 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
52 expcl 14041 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
5323, 52sylan 581 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
5451, 53mulcld 11230 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)) ∈ ℂ)
5549, 54eqeltrd 2834 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
56 dvradcnv.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
57 dvradcnv.l . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
58 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘𝑖 = 𝑘)
59 2fveq3 6893 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
6058, 59oveq12d 7422 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
6160cbvmptv 5260 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
6224, 32, 56, 23, 57, 61radcnvlt1 25912 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
6362simpld 496 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ )
64 climdm 15494 . . . . . 6 (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))))
6563, 64sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))))
66 0z 12565 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
67 neg1z 12594 . . . . . 6 -1 ∈ ℤ
688isershft 15606 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))) ↔ seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))))))
6966, 67, 68mp2an 691 . . . . 5 (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))) ↔ seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))))
7065, 69sylib 217 . . . 4 (𝜑 → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))))
71 seqex 13964 . . . . 5 seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ V
72 fvex 6901 . . . . 5 ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))) ∈ V
7371, 72breldm 5906 . . . 4 (seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))) → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
7470, 73syl 17 . . 3 (𝜑 → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
75 eqid 2733 . . . 4 (ℤ‘(0 + -1)) = (ℤ‘(0 + -1))
76 neg1cn 12322 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
7776addlidi 11398 . . . . . . 7 (0 + -1) = -1
78 0le1 11733 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
79 1re 11210 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
80 le0neg2 11719 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0))
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0)
8278, 81mpbi 229 . . . . . . 7 -1 ≤ 0
8377, 82eqbrtri 5168 . . . . . 6 (0 + -1) ≤ 0
8477, 67eqeltri 2830 . . . . . . 7 (0 + -1) ∈ ℤ
8584eluz1i 12826 . . . . . 6 (0 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (0 + -1) ≤ 0))
8666, 83, 85mpbir2an 710 . . . . 5 0 ∈ (ℤ‘(0 + -1))
8786a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (ℤ‘(0 + -1)))
88 eluzelcn 12830 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
8988adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
904, 89, 9sylancr 588 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1))) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
91 nn0re 12477 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
9291adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
9324, 32, 23psergf 25906 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ)
9493ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘𝑖) ∈ ℂ)
9594abscld 15379 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)) ∈ ℝ)
9692, 95remulcld 11240 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))) ∈ ℝ)
9796recnd 11238 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))) ∈ ℂ)
9897fmpttd 7110 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))):ℕ0⟶ℂ)
994, 88, 11sylancr 588 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
100 eluzp1p1 12846 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘((0 + -1) + 1)))
10177oveq1i 7414 . . . . . . . . . . 11 ((0 + -1) + 1) = (-1 + 1)
102 1pneg1e0 12327 . . . . . . . . . . . 12 (1 + -1) = 0
1034, 76, 102addcomli 11402 . . . . . . . . . . 11 (-1 + 1) = 0
104101, 103eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 ((0 + -1) + 1) = 0
105104fveq2i 6891 . . . . . . . . 9 (ℤ‘((0 + -1) + 1)) = (ℤ‘0)
1061, 105eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘((0 + -1) + 1))
107100, 106eleqtrrdi 2845 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
10899, 107eqeltrd 2834 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) → (1 + 𝑘) ∈ ℕ0)
109 ffvelcdm 7079 . . . . . 6 (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))):ℕ0⟶ℂ ∧ (1 + 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) ∈ ℂ)
11098, 108, 109syl2an 597 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1))) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) ∈ ℂ)
11190, 110eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1))) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
11275, 87, 111iserex 15599 . . 3 (𝜑 → (seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ ))
11374, 112mpbid 231 . 2 (𝜑 → seq0( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
114 1red 11211 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0) → 1 ∈ ℝ)
115 neqne 2949 . . . . 5 𝑋 = 0 → 𝑋 ≠ 0)
116 absrpcl 15231 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
11723, 115, 116syl2an 597 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
118117rprecred 13023 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
119114, 118ifclda 4562 . 2 (𝜑 → if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
120 oveq1 7411 . . . . 5 (1 = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
121120breq2d 5159 . . . 4 (1 = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) ↔ (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))))
122 oveq1 7411 . . . . 5 ((1 / (abs‘𝑋)) = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
123122breq2d 5159 . . . 4 ((1 / (abs‘𝑋)) = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) ↔ (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))))
124 elnnuz 12862 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
125 nnnn0 12475 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
126124, 125sylbir 234 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12715nn0ge0d 12531 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
12837absge0d 15387 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))
12931, 38, 127, 128mulge0d 11787 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
130126, 129sylan2 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
131130adantr 482 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
132 oveq1 7411 . . . . . . . . 9 (𝑋 = 0 → (𝑋𝑘) = (0↑𝑘))
133 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
134133, 124sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1351340expd 14100 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (0↑𝑘) = 0)
136132, 135sylan9eqr 2795 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋𝑘) = 0)
137136oveq2d 7420 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0))
13851mul01d 11409 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
139126, 138sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
140139adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
141137, 140eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)) = 0)
142141abs00bd 15234 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) = 0)
14339recnd 11238 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) ∈ ℂ)
144143mullidd 11228 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
145126, 144sylan2 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
146145adantr 482 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
147131, 142, 1463brtr4d 5179 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
148 df-ne 2942 . . . . 5 (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0)
14954abscld 15379 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ∈ ℝ)
15050, 34, 53mulassd 11233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘))))
151150fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) = (abs‘((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
15234, 53mulcld 11230 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)) ∈ ℂ)
15350, 152absmuld 15397 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))) = ((abs‘(𝑘 + 1)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
15431, 127absidd 15365 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
155154oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑘 + 1)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
156151, 153, 1553eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
157149, 156eqled 11313 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
158157adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
15923adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
160116rpreccld 13022 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ+)
161159, 160sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ+)
162161rpcnd 13014 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
16350adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
16438adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
165164recnd 11238 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
166162, 163, 165mul12d 11419 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
16737adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
16823ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
169 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
170167, 168, 169absdivd 15398 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋)) = ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) / (abs‘𝑋)))
17134adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
17236adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
173171, 172, 168, 169divassd 12021 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋)))
1746adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
175 pncan 11462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
176174, 4, 175sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
177176oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑋𝑘))
17815nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
179178adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
180168, 169, 179expm1d 14117 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑((𝑘 + 1) − 1)) = ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋))
181177, 180eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋𝑘) = ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋))
182181oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋)))
183173, 182eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))
184183fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋)) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘))))
18523abscld 15379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
186185ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
187186recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
188159, 116sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
189188rpne0d 13017 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ≠ 0)
190165, 187, 189divrec2d 11990 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) / (abs‘𝑋)) = ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
191170, 184, 1903eqtr3rd 2782 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘))))
192191oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑘 + 1) · ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
193166, 192eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
194158, 193breqtrrd 5175 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
195126, 194sylanl2 680 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
196148, 195sylan2br 596 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
197121, 123, 147, 196ifbothda 4565 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
19849fveq2d 6892 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐻𝑘)) = (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))))
199126, 198sylan2 594 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘(𝐻𝑘)) = (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))))
20030oveq2d 7420 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
201126, 200sylan2 594 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
202197, 199, 2013brtr4d 5179 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘(𝐻𝑘)) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)))
2031, 3, 40, 55, 113, 119, 202cvgcmpce 15760 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  {crab 3433  ifcif 4527   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5675  ccom 5679  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  supcsup 9431  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  cn 12208  0cn0 12468  cz 12554  cuz 12818  +crp 12970  seqcseq 13962  cexp 14023   shift cshi 15009  abscabs 15177  cli 15424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  25922  dvradcnv2  43039
  Copyright terms: Public domain W3C validator