Theorem dvradcnv 26482

Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is at least as large as the radius of convergence of 𝐺. (In fact they are equal, but we don't have as much use for the negative side of this claim.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvradcnv.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
dvradcnv.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋↑𝑛)))
dvradcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvradcnv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dvradcnv.l	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvradcnv	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟   𝑛,𝑟,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem dvradcnv

Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12945	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		1nn0 12569	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4		ax-1cn 11242	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		nn0cn 12563	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
7		nn0ex 12559	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 7260	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) ∈ V
9	8	shftval4 15126	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
10	4, 6, 9	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
11		addcom 11476	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
12	4, 6, 11	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
13	12	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)))
14		peano2nn0 12593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
15	14	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
16		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑖 = (𝑘 + 1))
17		2fveq3 6925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1))))
18	16, 17	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
19		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))
20		ovex 7481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))) ∈ V
21	18, 19, 20	fvmpt 7029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
22	15, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
23		dvradcnv.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
24		dvradcnv.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
25	24	pserval2 26472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))
26	23, 14, 25	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))
27	26	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))
28	27	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
29	22, 28	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
30	10, 13, 29	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
31	15	nn0red 12614	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
32		dvradcnv.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
33		ffvelcdm 7115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
34	32, 14, 33	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
35		expcl 14130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
36	23, 14, 35	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
37	34, 36	mulcld 11310	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
38	37	abscld 15485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
39	31, 38	remulcld 11320	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) ∈ ℝ)
40	30, 39	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) ∈ ℝ)
41		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
42	41	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑛 + 1)) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
43	41, 42	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
44		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑋↑𝑛) = (𝑋↑𝑘))
45	43, 44	oveq12d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋↑𝑛)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)))
46		dvradcnv.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋↑𝑛)))
47		ovex 7481	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)) ∈ V
48	45, 46, 47	fvmpt 7029	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐻‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)))
49	48	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)))
50	15	nn0cnd 12615	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
51	50, 34	mulcld 11310	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
52		expcl 14130	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
53	23, 52	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
54	51, 53	mulcld 11310	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
55	49, 54	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
56		dvradcnv.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
57		dvradcnv.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
58		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → 𝑖 = 𝑘)
59		2fveq3 6925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
60	58, 59	oveq12d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
61	60	cbvmptv 5279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
62	24, 32, 56, 23, 57, 61	radcnvlt1 26479	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
63	62	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ )
64		climdm 15600	. . . . . 6 ⊢ (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))))
65	63, 64	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))))
66		0z 12650	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
67		neg1z 12679	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
68	8	isershft 15712	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))) ↔ seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))))))
69	66, 67, 68	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))) ↔ seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))))
70	65, 69	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))))
71		seqex 14054	. . . . 5 ⊢ seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ V
72		fvex 6933	. . . . 5 ⊢ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))) ∈ V
73	71, 72	breldm 5933	. . . 4 ⊢ (seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))) → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
74	70, 73	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
75		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(0 + -1)) = (ℤ≥‘(0 + -1))
76		neg1cn 12407	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
77	76	addlidi 11478	. . . . . . 7 ⊢ (0 + -1) = -1
78		0le1 11813	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
79		1re 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
80		le0neg2 11799	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0))
81	79, 80	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0)
82	78, 81	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≤ 0
83	77, 82	eqbrtri 5187	. . . . . 6 ⊢ (0 + -1) ≤ 0
84	77, 67	eqeltri 2840	. . . . . . 7 ⊢ (0 + -1) ∈ ℤ
85	84	eluz1i 12911	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (0 + -1) ≤ 0))
86	66, 83, 85	mpbir2an 710	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1))
87	86	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)))
88		eluzelcn 12915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
89	88	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
90	4, 89, 9	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1))) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
91		nn0re 12562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
92	91	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
93	24, 32, 23	psergf 26473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
94	93	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑖) ∈ ℂ)
95	94	abscld 15485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)) ∈ ℝ)
96	92, 95	remulcld 11320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))) ∈ ℝ)
97	96	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))) ∈ ℂ)
98	97	fmpttd 7149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))):ℕ0⟶ℂ)
99	4, 88, 11	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
100		eluzp1p1 12931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((0 + -1) + 1)))
101	77	oveq1i 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 + -1) + 1) = (-1 + 1)
102		1pneg1e0 12412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + -1) = 0
103	4, 76, 102	addcomli 11482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 + 1) = 0
104	101, 103	eqtri 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + -1) + 1) = 0
105	104	fveq2i 6923	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘((0 + -1) + 1)) = (ℤ≥‘0)
106	1, 105	eqtr4i 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘((0 + -1) + 1))
107	100, 106	eleqtrrdi 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
108	99, 107	eqeltrd 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) → (1 + 𝑘) ∈ ℕ0)
109		ffvelcdm 7115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))):ℕ0⟶ℂ ∧ (1 + 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) ∈ ℂ)
110	98, 108, 109	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1))) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) ∈ ℂ)
111	90, 110	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1))) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
112	75, 87, 111	iserex 15705	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ ))
113	74, 112	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
114		1red 11291	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 1 ∈ ℝ)
115		neqne 2954	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = 0 → 𝑋 ≠ 0)
116		absrpcl 15337	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
117	23, 115, 116	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
118	117	rprecred 13110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
119	114, 118	ifclda 4583	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
120		oveq1 7455	. . . . 5 ⊢ (1 = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
121	120	breq2d 5178	. . . 4 ⊢ (1 = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) ↔ (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))))
122		oveq1 7455	. . . . 5 ⊢ ((1 / (abs‘𝑋)) = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
123	122	breq2d 5178	. . . 4 ⊢ ((1 / (abs‘𝑋)) = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) ↔ (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))))
124		elnnuz 12947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
125		nnnn0 12560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
126	124, 125	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑘 ∈ ℕ0)
127	15	nn0ge0d 12616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
128	37	absge0d 15493	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))
129	31, 38, 127, 128	mulge0d 11867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
130	126, 129	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
131	130	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
132		oveq1 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋↑𝑘) = (0↑𝑘))
133		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
134	133, 124	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
135	134	0expd 14189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (0↑𝑘) = 0)
136	132, 135	sylan9eqr 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑𝑘) = 0)
137	136	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0))
138	51	mul01d 11489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
139	126, 138	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
140	139	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
141	137, 140	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)) = 0)
142	141	abs00bd 15340	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) = 0)
143	39	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) ∈ ℂ)
144	143	mullidd 11308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
145	126, 144	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
146	145	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
147	131, 142, 146	3brtr4d 5198	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
148		df-ne 2947	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0)
149	54	abscld 15485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ∈ ℝ)
150	50, 34, 53	mulassd 11313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘))))
151	150	fveq2d 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) = (abs‘((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
152	34, 53	mulcld 11310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
153	50, 152	absmuld 15503	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))) = ((abs‘(𝑘 + 1)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
154	31, 127	absidd 15471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
155	154	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑘 + 1)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
156	151, 153, 155	3eqtrd 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
157	149, 156	eqled 11393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
158	157	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
159	23	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
160	116	rpreccld 13109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ+)
161	159, 160	sylan 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ+)
162	161	rpcnd 13101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
163	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
164	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
165	164	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
166	162, 163, 165	mul12d 11499	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
167	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
168	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
169		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
170	167, 168, 169	absdivd 15504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋)) = ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) / (abs‘𝑋)))
171	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
172	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
173	171, 172, 168, 169	divassd 12105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋)))
174	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
175		pncan 11542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
176	174, 4, 175	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
177	176	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑋↑𝑘))
178	15	nn0zd 12665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
179	178	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
180	168, 169, 179	expm1d 14206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑((𝑘 + 1) − 1)) = ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋))
181	177, 180	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑𝑘) = ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋))
182	181	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋)))
183	173, 182	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))
184	183	fveq2d 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋)) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘))))
185	23	abscld 15485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
186	185	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
187	186	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
188	159, 116	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
189	188	rpne0d 13104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ≠ 0)
190	165, 187, 189	divrec2d 12074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) / (abs‘𝑋)) = ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
191	170, 184, 190	3eqtr3rd 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘))))
192	191	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑘 + 1) · ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
193	166, 192	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
194	158, 193	breqtrrd 5194	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
195	126, 194	sylanl2 680	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
196	148, 195	sylan2br 594	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
197	121, 123, 147, 196	ifbothda 4586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
198	49	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐻‘𝑘)) = (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))))
199	126, 198	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘(𝐻‘𝑘)) = (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))))
200	30	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
201	126, 200	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
202	197, 199, 201	3brtr4d 5198	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘(𝐻‘𝑘)) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)))
203	1, 3, 40, 55, 113, 119, 202	cvgcmpce 15866	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  {crab 3443  ifcif 4548   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  supcsup 9509  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  seqcseq 14052  ↑cexp 14112   shift cshi 15115  abscabs 15283   ⇝ cli 15530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  26490  dvradcnv2  44316