Theorem dvradcnv 26405

Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is at least as large as the radius of convergence of 𝐺. (In fact they are equal, but we don't have as much use for the negative side of this claim.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvradcnv.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
dvradcnv.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋↑𝑛)))
dvradcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvradcnv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dvradcnv.l	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvradcnv	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟   𝑛,𝑟,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem dvradcnv

Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12823	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		1nn0 12450	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4		ax-1cn 11093	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		nn0cn 12444	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
7		nn0ex 12440	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 7175	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) ∈ V
9	8	shftval4 15036	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
10	4, 6, 9	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
11		addcom 11329	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
12	4, 6, 11	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
13	12	fveq2d 6842	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)))
14		peano2nn0 12474	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
15	14	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
16		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑖 = (𝑘 + 1))
17		2fveq3 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1))))
18	16, 17	oveq12d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
19		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))
20		ovex 7397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))) ∈ V
21	18, 19, 20	fvmpt 6945	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
22	15, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
23		dvradcnv.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
24		dvradcnv.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
25	24	pserval2 26395	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))
26	23, 14, 25	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))
27	26	fveq2d 6842	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))
28	27	oveq2d 7380	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
29	22, 28	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
30	10, 13, 29	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
31	15	nn0red 12496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
32		dvradcnv.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
33		ffvelcdm 7031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
34	32, 14, 33	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
35		expcl 14038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
36	23, 14, 35	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
37	34, 36	mulcld 11162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
38	37	abscld 15398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
39	31, 38	remulcld 11172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) ∈ ℝ)
40	30, 39	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) ∈ ℝ)
41		oveq1 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
42	41	fveq2d 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑛 + 1)) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
43	41, 42	oveq12d 7382	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
44		oveq2 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑋↑𝑛) = (𝑋↑𝑘))
45	43, 44	oveq12d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋↑𝑛)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)))
46		dvradcnv.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋↑𝑛)))
47		ovex 7397	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)) ∈ V
48	45, 46, 47	fvmpt 6945	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐻‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)))
49	48	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)))
50	15	nn0cnd 12497	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
51	50, 34	mulcld 11162	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
52		expcl 14038	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
53	23, 52	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
54	51, 53	mulcld 11162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
55	49, 54	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
56		dvradcnv.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
57		dvradcnv.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
58		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → 𝑖 = 𝑘)
59		2fveq3 6843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘)))
60	58, 59	oveq12d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
61	60	cbvmptv 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑘))))
62	24, 32, 56, 23, 57, 61	radcnvlt1 26402	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
63	62	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ )
64		climdm 15513	. . . . . 6 ⊢ (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))))
65	63, 64	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))))
66		0z 12532	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
67		neg1z 12560	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
68	8	isershft 15623	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))) ↔ seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))))))
69	66, 67, 68	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))) ↔ seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))))
70	65, 69	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))))
71		seqex 13962	. . . . 5 ⊢ seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ V
72		fvex 6851	. . . . 5 ⊢ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))) ∈ V
73	71, 72	breldm 5861	. . . 4 ⊢ (seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))))) → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
74	70, 73	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
75		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(0 + -1)) = (ℤ≥‘(0 + -1))
76		neg1cn 12141	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
77	76	addlidi 11331	. . . . . . 7 ⊢ (0 + -1) = -1
78		0le1 11670	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
79		1re 11141	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
80		le0neg2 11656	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0))
81	79, 80	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0)
82	78, 81	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≤ 0
83	77, 82	eqbrtri 5107	. . . . . 6 ⊢ (0 + -1) ≤ 0
84	77, 67	eqeltri 2833	. . . . . . 7 ⊢ (0 + -1) ∈ ℤ
85	84	eluz1i 12793	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (0 + -1) ≤ 0))
86	66, 83, 85	mpbir2an 712	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1))
87	86	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)))
88		eluzelcn 12797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
89	88	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
90	4, 89, 9	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1))) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
91		nn0re 12443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
92	91	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
93	24, 32, 23	psergf 26396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋):ℕ0⟶ℂ)
94	93	ffvelcdmda 7034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑋)‘𝑖) ∈ ℂ)
95	94	abscld 15398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)) ∈ ℝ)
96	92, 95	remulcld 11172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))) ∈ ℝ)
97	96	recnd 11170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))) ∈ ℂ)
98	97	fmpttd 7065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))):ℕ0⟶ℂ)
99	4, 88, 11	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
100		eluzp1p1 12813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((0 + -1) + 1)))
101	77	oveq1i 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 + -1) + 1) = (-1 + 1)
102		1pneg1e0 12292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + -1) = 0
103	4, 76, 102	addcomli 11335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1 + 1) = 0
104	101, 103	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + -1) + 1) = 0
105	104	fveq2i 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘((0 + -1) + 1)) = (ℤ≥‘0)
106	1, 105	eqtr4i 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘((0 + -1) + 1))
107	100, 106	eleqtrrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
108	99, 107	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1)) → (1 + 𝑘) ∈ ℕ0)
109		ffvelcdm 7031	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))):ℕ0⟶ℂ ∧ (1 + 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) ∈ ℂ)
110	98, 108, 109	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1))) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) ∈ ℂ)
111	90, 110	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + -1))) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
112	75, 87, 111	iserex 15616	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ ))
113	74, 112	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
114		1red 11142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 1 ∈ ℝ)
115		neqne 2941	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = 0 → 𝑋 ≠ 0)
116		absrpcl 15247	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
117	23, 115, 116	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
118	117	rprecred 12994	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
119	114, 118	ifclda 4503	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
120		oveq1 7371	. . . . 5 ⊢ (1 = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
121	120	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ (1 = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) ↔ (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))))
122		oveq1 7371	. . . . 5 ⊢ ((1 / (abs‘𝑋)) = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
123	122	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ ((1 / (abs‘𝑋)) = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) ↔ (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))))
124		elnnuz 12825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
125		nnnn0 12441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
126	124, 125	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑘 ∈ ℕ0)
127	15	nn0ge0d 12498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
128	37	absge0d 15406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))
129	31, 38, 127, 128	mulge0d 11724	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
130	126, 129	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
131	130	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
132		oveq1 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋↑𝑘) = (0↑𝑘))
133		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
134	133, 124	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
135	134	0expd 14098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (0↑𝑘) = 0)
136	132, 135	sylan9eqr 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑𝑘) = 0)
137	136	oveq2d 7380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0))
138	51	mul01d 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
139	126, 138	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
140	139	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
141	137, 140	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)) = 0)
142	141	abs00bd 15250	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) = 0)
143	39	recnd 11170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) ∈ ℂ)
144	143	mullidd 11160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
145	126, 144	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
146	145	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
147	131, 142, 146	3brtr4d 5118	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
148		df-ne 2934	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0)
149	54	abscld 15398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ∈ ℝ)
150	50, 34, 53	mulassd 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘))))
151	150	fveq2d 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) = (abs‘((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
152	34, 53	mulcld 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
153	50, 152	absmuld 15416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))) = ((abs‘(𝑘 + 1)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
154	31, 127	absidd 15382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
155	154	oveq1d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑘 + 1)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
156	151, 153, 155	3eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
157	149, 156	eqled 11246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
158	157	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
159	23	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
160	116	rpreccld 12993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ+)
161	159, 160	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ+)
162	161	rpcnd 12985	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
163	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
164	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
165	164	recnd 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
166	162, 163, 165	mul12d 11352	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
167	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
168	23	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
169		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
170	167, 168, 169	absdivd 15417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋)) = ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) / (abs‘𝑋)))
171	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
172	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
173	171, 172, 168, 169	divassd 11963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋)))
174	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
175		pncan 11396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
176	174, 4, 175	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
177	176	oveq2d 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑋↑𝑘))
178	15	nn0zd 12546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
179	178	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
180	168, 169, 179	expm1d 14115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑((𝑘 + 1) − 1)) = ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋))
181	177, 180	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑𝑘) = ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋))
182	181	oveq2d 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋)))
183	173, 182	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))
184	183	fveq2d 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋)) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘))))
185	23	abscld 15398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
186	185	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
187	186	recnd 11170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
188	159, 116	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
189	188	rpne0d 12988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ≠ 0)
190	165, 187, 189	divrec2d 11932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) / (abs‘𝑋)) = ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
191	170, 184, 190	3eqtr3rd 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘))))
192	191	oveq2d 7380	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑘 + 1) · ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
193	166, 192	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑𝑘)))))
194	158, 193	breqtrrd 5114	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
195	126, 194	sylanl2 682	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
196	148, 195	sylan2br 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
197	121, 123, 147, 196	ifbothda 4506	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
198	49	fveq2d 6842	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐻‘𝑘)) = (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))))
199	126, 198	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘(𝐻‘𝑘)) = (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋↑𝑘))))
200	30	oveq2d 7380	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
201	126, 200	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
202	197, 199, 201	3brtr4d 5118	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘(𝐻‘𝑘)) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)))
203	1, 3, 40, 55, 113, 119, 202	cvgcmpce 15778	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3390  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5628   ∘ ccom 5632  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  supcsup 9350  ℂcc 11033  ℝcr 11034  0cc0 11035  1c1 11036   + caddc 11038   · cmul 11040  ℝ^*cxr 11175   < clt 11176   ≤ cle 11177   − cmin 11374  -cneg 11375   / cdiv 11804  ℕcn 12171  ℕ₀cn0 12434  ℤcz 12521  ℤ_≥cuz 12785  ℝ⁺crp 12939  seqcseq 13960  ↑cexp 14020   shift cshi 15025  abscabs 15193   ⇝ cli 15443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-inf2 9559  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-pre-sup 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9860  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-div 11805  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-n0 12435  df-z 12522  df-uz 12786  df-rp 12940  df-ico 13301  df-icc 13302  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-fl 13748  df-seq 13961  df-exp 14021  df-hash 14290  df-shft 15026  df-cj 15058  df-re 15059  df-im 15060  df-sqrt 15194  df-abs 15195  df-limsup 15430  df-clim 15447  df-rlim 15448  df-sum 15646

This theorem is referenced by:  pserdvlem2  26412  dvradcnv2  44800