Theorem fz0to4untppr 13341

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12020	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2cn 12031	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	2	addid2i 11146	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
4	3	eqcomi 2748	. . . . . 6 ⊢ 2 = (0 + 2)
5	4	oveq1i 7278	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
6	1, 5	eqtri 2767	. . . 4 ⊢ 3 = ((0 + 2) + 1)
7		3z 12336	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
8		0re 10961	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		3re 12036	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
10		3pos 12061	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
11	8, 9, 10	ltleii 11081	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
12		0z 12313	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	eluz1i 12572	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
14	7, 11, 13	mpbir2an 707	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
15	6, 14	eqeltrri 2837	. . 3 ⊢ ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
16		4z 12337	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
17		2re 12030	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		4re 12040	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
19		2lt4 12131	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
20	17, 18, 19	ltleii 11081	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
21		2z 12335	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	eluz1i 12572	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
23	16, 20, 22	mpbir2an 707	. . . 4 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
24	4	fveq2i 6771	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(0 + 2))
25	23, 24	eleqtri 2838	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))
26		fzsplit2 13263	. . 3 ⊢ ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
27	15, 25, 26	mp2an 688	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28		fztp 13294	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
29	12, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30		ax-1cn 10913	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32		addid2 11141	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
33	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
34	31, 32, 33	tpeq123d 4689	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
35	30, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
36	29, 35	eqtri 2767	. . 3 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
37	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
38	37	oveq1d 7283	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
39	38, 1	eqtr4di 2797	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
40	39	oveq1d 7283	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = 3
42		df-4 12021	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
43	41, 42	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45		3lt4 12130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 4
46	9, 18, 45	ltleii 11081	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≤ 4
47	7	eluz1i 12572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
48	16, 46, 47	mpbir2an 707	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
49		fzopth 13275	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
51	44, 50	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52		fzpr 13293	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
53	51, 52	eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
54	42	eqcomi 2748	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
55	54	preq2i 4678	. . . . . 6 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
56	53, 55	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
57	40, 56	eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
58	7, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
59	36, 58	uneq12i 4099	. 2 ⊢ ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
60	27, 59	eqtri 2767	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3889  {cpr 4568  {ctp 4570   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   ≤ cle 10994  2c2 12011  3c3 12012  4c4 12013  ℤcz 12302  ℤ_≥cuz 12564  ...cfz 13221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222

This theorem is referenced by:  prm23lt5  16496  usgrexmplvtx  27609