Theorem fz0to4untppr 13710

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12431	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12651	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12676	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11259	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12370	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12398	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11382	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12918	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12675	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		4z 12677	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		2re 12364	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		4re 12374	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
15		2lt4 12467	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
16	13, 14, 15	ltleii 11382	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
17		eluz2 12918	. . . 4 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1360	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
19		fzsplit2 13629	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)))
20	10, 18, 19	mp2an 705	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4))
21		fz0tp 13708	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
22	1	oveq1i 7426	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...4) = (3...4)
23		df-4 12354	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
24	23	oveq2i 7427	. . . . 5 ⊢ (3...4) = (3...(3 + 1))
25		fzpr 13659	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
26	3, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)}
27		3p1e4 12434	. . . . . 6 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	preq2i 4698	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
29	24, 26, 28	3eqtri 2787	. . . 4 ⊢ (3...4) = {3, 4}
30	22, 29	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...4) = {3, 4}
31	21, 30	uneq12i 4113	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
32	20, 31	eqtri 2783	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897  {cpr 4586  {ctp 4588   class class class wbr 5103  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   ≤ cle 11293  2c2 12344  3c3 12345  4c4 12346  ℤcz 12640  ℤ_≥cuz 12912  ...cfz 13586

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587

This theorem is used by:  prm23lt5  16931  usgrexmplvtx  29753