Theorem fz0to4untppr 13652

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12387	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12604	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12630	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11242	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12325	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12350	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11363	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12863	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2831	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12629	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		4z 12631	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		2re 12319	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		4re 12329	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
15		2lt4 12420	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
16	13, 14, 15	ltleii 11363	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
17		eluz2 12863	. . . 4 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1342	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
19		fzsplit2 13571	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)))
20	10, 18, 19	mp2an 692	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4))
21		fz0tp 13650	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
22	1	oveq1i 7420	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...4) = (3...4)
23		df-4 12310	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
24	23	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (3...4) = (3...(3 + 1))
25		fzpr 13601	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
26	3, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)}
27		3p1e4 12390	. . . . . 6 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	preq2i 4718	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
29	24, 26, 28	3eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (3...4) = {3, 4}
30	22, 29	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...4) = {3, 4}
31	21, 30	uneq12i 4146	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
32	20, 31	eqtri 2759	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3929  {cpr 4608  {ctp 4610   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   ≤ cle 11275  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  prm23lt5  16839  usgrexmplvtx  29245