Theorem fz0to4untppr 13788

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12508	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12728	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12753	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11334	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12447	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12475	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11457	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12995	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2860	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12752	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		4z 12754	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		2re 12441	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		4re 12451	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
15		2lt4 12544	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
16	13, 14, 15	ltleii 11457	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
17		eluz2 12995	. . . 4 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1360	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
19		fzsplit2 13707	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)))
20	10, 18, 19	mp2an 705	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4))
21		fz0tp 13786	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
22	1	oveq1i 7450	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...4) = (3...4)
23		df-4 12431	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
24	23	oveq2i 7451	. . . . 5 ⊢ (3...4) = (3...(3 + 1))
25		fzpr 13737	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
26	3, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)}
27		3p1e4 12511	. . . . . 6 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	preq2i 4698	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
29	24, 26, 28	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ (3...4) = {3, 4}
30	22, 29	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...4) = {3, 4}
31	21, 30	uneq12i 4168	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
32	20, 31	eqtri 2786	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152  {cpr 4590  {ctp 4592   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   ≤ cle 11368  2c2 12421  3c3 12422  4c4 12423  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989  ...cfz 13663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664

This theorem is used by:  prm23lt5  17018  usgrexmplvtx  29869