Theorem fz0to4untppr 13601

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12273	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2cn 12284	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	2	addlidi 11399	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
4	3	eqcomi 2733	. . . . . 6 ⊢ 2 = (0 + 2)
5	4	oveq1i 7411	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
6	1, 5	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 3 = ((0 + 2) + 1)
7		3z 12592	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
8		0re 11213	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		3re 12289	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
10		3pos 12314	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
11	8, 9, 10	ltleii 11334	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
12		0z 12566	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	eluz1i 12827	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
14	7, 11, 13	mpbir2an 708	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
15	6, 14	eqeltrri 2822	. . 3 ⊢ ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
16		4z 12593	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
17		2re 12283	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		4re 12293	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
19		2lt4 12384	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
20	17, 18, 19	ltleii 11334	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
21		2z 12591	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	eluz1i 12827	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
23	16, 20, 22	mpbir2an 708	. . . 4 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
24	4	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(0 + 2))
25	23, 24	eleqtri 2823	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))
26		fzsplit2 13523	. . 3 ⊢ ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
27	15, 25, 26	mp2an 689	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28		fztp 13554	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
29	12, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30		ax-1cn 11164	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		eqidd 2725	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32		addlid 11394	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
33	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
34	31, 32, 33	tpeq123d 4744	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
35	30, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
36	29, 35	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
37	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
38	37	oveq1d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
39	38, 1	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
40	39	oveq1d 7416	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41		eqid 2724	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = 3
42		df-4 12274	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
43	41, 42	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45		3lt4 12383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 4
46	9, 18, 45	ltleii 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≤ 4
47	7	eluz1i 12827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
48	16, 46, 47	mpbir2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
49		fzopth 13535	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
51	44, 50	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52		fzpr 13553	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
53	51, 52	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
54	42	eqcomi 2733	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
55	54	preq2i 4733	. . . . . 6 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
56	53, 55	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
57	40, 56	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
58	7, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
59	36, 58	uneq12i 4153	. 2 ⊢ ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
60	27, 59	eqtri 2752	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3938  {cpr 4622  {ctp 4624   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ≤ cle 11246  2c2 12264  3c3 12265  4c4 12266  ℤcz 12555  ℤ_≥cuz 12819  ...cfz 13481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482

This theorem is referenced by:  prm23lt5  16746  usgrexmplvtx  28987