Theorem fz0to4untppr 12864

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 11555	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2cn 11566	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	2	addid2i 10681	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
4	3	eqcomi 2806	. . . . . 6 ⊢ 2 = (0 + 2)
5	4	oveq1i 7033	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
6	1, 5	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ 3 = ((0 + 2) + 1)
7		3z 11869	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
8		0re 10496	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		3re 11571	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
10		3pos 11596	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
11	8, 9, 10	ltleii 10616	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
12		0z 11846	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	eluz1i 12105	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
14	7, 11, 13	mpbir2an 707	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
15	6, 14	eqeltrri 2882	. . 3 ⊢ ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
16		4z 11870	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
17		2re 11565	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		4re 11575	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
19		2lt4 11666	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
20	17, 18, 19	ltleii 10616	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
21		2z 11868	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	eluz1i 12105	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
23	16, 20, 22	mpbir2an 707	. . . 4 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
24	4	fveq2i 6548	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(0 + 2))
25	23, 24	eleqtri 2883	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))
26		fzsplit2 12786	. . 3 ⊢ ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
27	15, 25, 26	mp2an 688	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28		fztp 12817	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
29	12, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30		ax-1cn 10448	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		eqidd 2798	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32		addid2 10676	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
33	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
34	31, 32, 33	tpeq123d 4597	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
35	30, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
36	29, 35	eqtri 2821	. . 3 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
37	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
38	37	oveq1d 7038	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
39	38, 1	syl6eqr 2851	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
40	39	oveq1d 7038	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41		eqid 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = 3
42		df-4 11556	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
43	41, 42	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45		3lt4 11665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 4
46	9, 18, 45	ltleii 10616	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≤ 4
47	7	eluz1i 12105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
48	16, 46, 47	mpbir2an 707	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
49		fzopth 12798	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
51	44, 50	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52		fzpr 12816	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
53	51, 52	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
54	42	eqcomi 2806	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
55	54	preq2i 4586	. . . . . 6 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
56	53, 55	syl6eq 2849	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
57	40, 56	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
58	7, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
59	36, 58	uneq12i 4064	. 2 ⊢ ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
60	27, 59	eqtri 2821	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   ∪ cun 3863  {cpr 4480  {ctp 4482   class class class wbr 4968  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  ℂcc 10388  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   ≤ cle 10529  2c2 11546  3c3 11547  4c4 11548  ℤcz 11835  ℤ_≥cuz 12097  ...cfz 12746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747

This theorem is referenced by:  prm23lt5  15984  usgrexmplvtx  26730