Theorem fz0to4untppr 13560

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12296	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12513	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12538	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11148	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12239	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12264	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11270	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12771	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1343	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12537	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		4z 12539	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		2re 12233	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		4re 12243	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
15		2lt4 12329	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
16	13, 14, 15	ltleii 11270	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
17		eluz2 12771	. . . 4 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1343	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
19		fzsplit2 13479	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)))
20	10, 18, 19	mp2an 693	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4))
21		fz0tp 13558	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
22	1	oveq1i 7380	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...4) = (3...4)
23		df-4 12224	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
24	23	oveq2i 7381	. . . . 5 ⊢ (3...4) = (3...(3 + 1))
25		fzpr 13509	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
26	3, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)}
27		3p1e4 12299	. . . . . 6 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	preq2i 4696	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
29	24, 26, 28	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (3...4) = {3, 4}
30	22, 29	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...4) = {3, 4}
31	21, 30	uneq12i 4120	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
32	20, 31	eqtri 2760	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901  {cpr 4584  {ctp 4586   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   ≤ cle 11181  2c2 12214  3c3 12215  4c4 12216  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765  ...cfz 13437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438

This theorem is referenced by:  prm23lt5  16756  usgrexmplvtx  29352