MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0to4untppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0to4untppr 13601
Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
fz0to4untppr (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr
StepHypRef Expression
1 df-3 12273 . . . . 5 3 = (2 + 1)
2 2cn 12284 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
32addlidi 11399 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
43eqcomi 2742 . . . . . 6 2 = (0 + 2)
54oveq1i 7416 . . . . 5 (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
61, 5eqtri 2761 . . . 4 3 = ((0 + 2) + 1)
7 3z 12592 . . . . 5 3 ∈ ℤ
8 0re 11213 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
9 3re 12289 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
10 3pos 12314 . . . . . 6 0 < 3
118, 9, 10ltleii 11334 . . . . 5 0 ≤ 3
12 0z 12566 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
1312eluz1i 12827 . . . . 5 (3 ∈ (ℤ‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
147, 11, 13mpbir2an 710 . . . 4 3 ∈ (ℤ‘0)
156, 14eqeltrri 2831 . . 3 ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ‘0)
16 4z 12593 . . . . 5 4 ∈ ℤ
17 2re 12283 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
18 4re 12293 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
19 2lt4 12384 . . . . . 6 2 < 4
2017, 18, 19ltleii 11334 . . . . 5 2 ≤ 4
21 2z 12591 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
2221eluz1i 12827 . . . . 5 (4 ∈ (ℤ‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
2316, 20, 22mpbir2an 710 . . . 4 4 ∈ (ℤ‘2)
244fveq2i 6892 . . . 4 (ℤ‘2) = (ℤ‘(0 + 2))
2523, 24eleqtri 2832 . . 3 4 ∈ (ℤ‘(0 + 2))
26 fzsplit2 13523 . . 3 ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
2715, 25, 26mp2an 691 . 2 (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28 fztp 13554 . . . . 5 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
2912, 28ax-mp 5 . . . 4 (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30 ax-1cn 11165 . . . . 5 1 ∈ ℂ
31 eqidd 2734 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32 addlid 11394 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
333a1i 11 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
3431, 32, 33tpeq123d 4752 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
3530, 34ax-mp 5 . . . 4 {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
3629, 35eqtri 2761 . . 3 (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
373a1i 11 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
3837oveq1d 7421 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
3938, 1eqtr4di 2791 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
4039oveq1d 7421 . . . . 5 (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 3 = 3
42 df-4 12274 . . . . . . . . . 10 4 = (3 + 1)
4341, 42pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45 3lt4 12383 . . . . . . . . . . 11 3 < 4
469, 18, 45ltleii 11334 . . . . . . . . . 10 3 ≤ 4
477eluz1i 12827 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
4816, 46, 47mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 4 ∈ (ℤ‘3)
49 fzopth 13535 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
5144, 50sylibr 233 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52 fzpr 13553 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
5351, 52eqtrd 2773 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
5442eqcomi 2742 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
5554preq2i 4741 . . . . . 6 {3, (3 + 1)} = {3, 4}
5653, 55eqtrdi 2789 . . . . 5 (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
5740, 56eqtrd 2773 . . . 4 (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
587, 57ax-mp 5 . . 3 (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
5936, 58uneq12i 4161 . 2 ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
6027, 59eqtri 2761 1 (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3946  {cpr 4630  {ctp 4632   class class class wbr 5148  cfv 6541  (class class class)co 7406  cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110  cle 11246  2c2 12264  3c3 12265  4c4 12266  cz 12555  cuz 12819  ...cfz 13481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482
This theorem is referenced by:  prm23lt5  16744  usgrexmplvtx  28508
  Copyright terms: Public domain W3C validator