Theorem fz0to4untppr 13579

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12313	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12530	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12555	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11141	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12256	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12281	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11264	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12789	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1349	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12554	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		4z 12556	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		2re 12250	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		4re 12260	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
15		2lt4 12346	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
16	13, 14, 15	ltleii 11264	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
17		eluz2 12789	. . . 4 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1349	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
19		fzsplit2 13498	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)))
20	10, 18, 19	mp2an 699	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4))
21		fz0tp 13577	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
22	1	oveq1i 7370	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...4) = (3...4)
23		df-4 12241	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
24	23	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ (3...4) = (3...(3 + 1))
25		fzpr 13528	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
26	3, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)}
27		3p1e4 12316	. . . . . 6 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	preq2i 4672	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
29	24, 26, 28	3eqtri 2768	. . . 4 ⊢ (3...4) = {3, 4}
30	22, 29	eqtri 2764	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...4) = {3, 4}
31	21, 30	uneq12i 4099	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
32	20, 31	eqtri 2764	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∪ cun 3883  {cpr 4560  {ctp 4562   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   ≤ cle 11175  2c2 12231  3c3 12232  4c4 12233  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  prm23lt5  16780  usgrexmplvtx  29352