Theorem fz0to4untppr 13533

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12265	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12482	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12508	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11117	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12208	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12233	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11239	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12741	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12507	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		4z 12509	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		2re 12202	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		4re 12212	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
15		2lt4 12298	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
16	13, 14, 15	ltleii 11239	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
17		eluz2 12741	. . . 4 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1342	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
19		fzsplit2 13452	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)))
20	10, 18, 19	mp2an 692	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4))
21		fz0tp 13531	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
22	1	oveq1i 7359	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...4) = (3...4)
23		df-4 12193	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
24	23	oveq2i 7360	. . . . 5 ⊢ (3...4) = (3...(3 + 1))
25		fzpr 13482	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
26	3, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)}
27		3p1e4 12268	. . . . . 6 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	preq2i 4689	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
29	24, 26, 28	3eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (3...4) = {3, 4}
30	22, 29	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...4) = {3, 4}
31	21, 30	uneq12i 4117	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
32	20, 31	eqtri 2752	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3901  {cpr 4579  {ctp 4581   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   ≤ cle 11150  2c2 12183  3c3 12184  4c4 12185  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411

This theorem is referenced by:  prm23lt5  16726  usgrexmplvtx  29206