Theorem fz0to4untppr 13579

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12313	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12530	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12555	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11141	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12256	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12281	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11264	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12789	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1343	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12554	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		4z 12556	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		2re 12250	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		4re 12260	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
15		2lt4 12346	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
16	13, 14, 15	ltleii 11264	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
17		eluz2 12789	. . . 4 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1343	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
19		fzsplit2 13498	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)))
20	10, 18, 19	mp2an 693	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4))
21		fz0tp 13577	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
22	1	oveq1i 7372	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...4) = (3...4)
23		df-4 12241	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
24	23	oveq2i 7373	. . . . 5 ⊢ (3...4) = (3...(3 + 1))
25		fzpr 13528	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
26	3, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)}
27		3p1e4 12316	. . . . . 6 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	preq2i 4682	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
29	24, 26, 28	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (3...4) = {3, 4}
30	22, 29	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...4) = {3, 4}
31	21, 30	uneq12i 4107	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
32	20, 31	eqtri 2760	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888  {cpr 4570  {ctp 4572   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   ≤ cle 11175  2c2 12231  3c3 12232  4c4 12233  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  prm23lt5  16780  usgrexmplvtx  29348