Theorem fz0to4untppr 13663

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12386	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12606	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12631	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11214	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12325	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12353	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11337	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12872	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2859	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12630	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		4z 12632	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		2re 12319	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		4re 12329	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
15		2lt4 12422	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
16	13, 14, 15	ltleii 11337	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
17		eluz2 12872	. . . 4 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1360	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
19		fzsplit2 13582	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)))
20	10, 18, 19	mp2an 704	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4))
21		fz0tp 13661	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
22	1	oveq1i 7420	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...4) = (3...4)
23		df-4 12309	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
24	23	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (3...4) = (3...(3 + 1))
25		fzpr 13612	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
26	3, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)}
27		3p1e4 12389	. . . . . 6 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	preq2i 4703	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
29	24, 26, 28	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ (3...4) = {3, 4}
30	22, 29	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...4) = {3, 4}
31	21, 30	uneq12i 4120	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
32	20, 31	eqtri 2786	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3903  {cpr 4591  {ctp 4593   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   ≤ cle 11248  2c2 12299  3c3 12300  4c4 12301  ℤcz 12595  ℤ_≥cuz 12866  ...cfz 13539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540

This theorem is used by:  prm23lt5  16878  usgrexmplvtx  29620