Theorem fz0to4untppr 13670

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12408	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12624	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12650	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11263	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12346	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12371	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11384	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12884	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12649	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		4z 12651	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		2re 12340	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		4re 12350	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
15		2lt4 12441	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
16	13, 14, 15	ltleii 11384	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
17		eluz2 12884	. . . 4 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1342	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
19		fzsplit2 13589	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)))
20	10, 18, 19	mp2an 692	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4))
21		fz0tp 13668	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
22	1	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...4) = (3...4)
23		df-4 12331	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
24	23	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ (3...4) = (3...(3 + 1))
25		fzpr 13619	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
26	3, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)}
27		3p1e4 12411	. . . . . 6 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	preq2i 4737	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
29	24, 26, 28	3eqtri 2769	. . . 4 ⊢ (3...4) = {3, 4}
30	22, 29	eqtri 2765	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...4) = {3, 4}
31	21, 30	uneq12i 4166	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
32	20, 31	eqtri 2765	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3949  {cpr 4628  {ctp 4630   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   ≤ cle 11296  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548

This theorem is referenced by:  prm23lt5  16852  usgrexmplvtx  29278