Theorem fz0to4untppr 13215

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 11894	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2cn 11905	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	2	addid2i 11020	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
4	3	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ 2 = (0 + 2)
5	4	oveq1i 7223	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
6	1, 5	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ 3 = ((0 + 2) + 1)
7		3z 12210	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
8		0re 10835	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		3re 11910	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
10		3pos 11935	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
11	8, 9, 10	ltleii 10955	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
12		0z 12187	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	eluz1i 12446	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
14	7, 11, 13	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
15	6, 14	eqeltrri 2835	. . 3 ⊢ ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
16		4z 12211	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
17		2re 11904	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		4re 11914	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
19		2lt4 12005	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
20	17, 18, 19	ltleii 10955	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
21		2z 12209	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	eluz1i 12446	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
23	16, 20, 22	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
24	4	fveq2i 6720	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(0 + 2))
25	23, 24	eleqtri 2836	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))
26		fzsplit2 13137	. . 3 ⊢ ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
27	15, 25, 26	mp2an 692	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28		fztp 13168	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
29	12, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30		ax-1cn 10787	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32		addid2 11015	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
33	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
34	31, 32, 33	tpeq123d 4664	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
35	30, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
36	29, 35	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
37	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
38	37	oveq1d 7228	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
39	38, 1	eqtr4di 2796	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
40	39	oveq1d 7228	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = 3
42		df-4 11895	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
43	41, 42	pm3.2i 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45		3lt4 12004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 4
46	9, 18, 45	ltleii 10955	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≤ 4
47	7	eluz1i 12446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
48	16, 46, 47	mpbir2an 711	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
49		fzopth 13149	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
51	44, 50	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52		fzpr 13167	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
53	51, 52	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
54	42	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
55	54	preq2i 4653	. . . . . 6 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
56	53, 55	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
57	40, 56	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
58	7, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
59	36, 58	uneq12i 4075	. 2 ⊢ ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
60	27, 59	eqtri 2765	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3864  {cpr 4543  {ctp 4545   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   ≤ cle 10868  2c2 11885  3c3 11886  4c4 11887  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  ...cfz 13095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096

This theorem is referenced by:  prm23lt5  16367  usgrexmplvtx  27349