Theorem fz0to4untppr 13598

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12330	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12547	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12573	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11183	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12273	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12298	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11304	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12806	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12572	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		4z 12574	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		2re 12267	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		4re 12277	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
15		2lt4 12363	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
16	13, 14, 15	ltleii 11304	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
17		eluz2 12806	. . . 4 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1342	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
19		fzsplit2 13517	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)))
20	10, 18, 19	mp2an 692	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4))
21		fz0tp 13596	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
22	1	oveq1i 7400	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...4) = (3...4)
23		df-4 12258	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
24	23	oveq2i 7401	. . . . 5 ⊢ (3...4) = (3...(3 + 1))
25		fzpr 13547	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
26	3, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)}
27		3p1e4 12333	. . . . . 6 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	preq2i 4704	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
29	24, 26, 28	3eqtri 2757	. . . 4 ⊢ (3...4) = {3, 4}
30	22, 29	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...4) = {3, 4}
31	21, 30	uneq12i 4132	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
32	20, 31	eqtri 2753	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3915  {cpr 4594  {ctp 4596   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   ≤ cle 11216  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476

This theorem is referenced by:  prm23lt5  16792  usgrexmplvtx  29195