Theorem fz0to4untppr 13550

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12286	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12503	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12528	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11138	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12229	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12254	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11260	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12761	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1343	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12527	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		4z 12529	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		2re 12223	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		4re 12233	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
15		2lt4 12319	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
16	13, 14, 15	ltleii 11260	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
17		eluz2 12761	. . . 4 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1343	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
19		fzsplit2 13469	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)))
20	10, 18, 19	mp2an 693	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4))
21		fz0tp 13548	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
22	1	oveq1i 7370	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...4) = (3...4)
23		df-4 12214	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
24	23	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ (3...4) = (3...(3 + 1))
25		fzpr 13499	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
26	3, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)}
27		3p1e4 12289	. . . . . 6 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	preq2i 4695	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
29	24, 26, 28	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (3...4) = {3, 4}
30	22, 29	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...4) = {3, 4}
31	21, 30	uneq12i 4119	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
32	20, 31	eqtri 2760	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3900  {cpr 4583  {ctp 4585   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   ≤ cle 11171  2c2 12204  3c3 12205  4c4 12206  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  ...cfz 13427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428

This theorem is referenced by:  prm23lt5  16746  usgrexmplvtx  29338