Theorem fz0to4untppr 13660

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.) (Proof shortened by AV, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p1e3 12384	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
2		0z 12604	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		3z 12629	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4		0re 11212	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		3re 12323	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		3pos 12351	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
7	4, 5, 6	ltleii 11335	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
8		eluz2 12870	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
9	2, 3, 7, 8	mpbir3an 1358	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
10	1, 9	eqeltri 2865	. . 3 ⊢ (2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
11		2z 12628	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		4z 12630	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		2re 12317	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		4re 12327	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
15		2lt4 12420	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
16	13, 14, 15	ltleii 11335	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
17		eluz2 12870	. . . 4 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
18	11, 12, 16, 17	mpbir3an 1358	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
19		fzsplit2 13579	. . 3 ⊢ (((2 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)))
20	10, 18, 19	mp2an 704	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4))
21		fz0tp 13658	. . 3 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
22	1	oveq1i 7423	. . . 4 ⊢ ((2 + 1)...4) = (3...4)
23		df-4 12307	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
24	23	oveq2i 7424	. . . . 5 ⊢ (3...4) = (3...(3 + 1))
25		fzpr 13609	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
26	3, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)}
27		3p1e4 12387	. . . . . 6 ⊢ (3 + 1) = 4
28	27	preq2i 4708	. . . . 5 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
29	24, 26, 28	3eqtri 2796	. . . 4 ⊢ (3...4) = {3, 4}
30	22, 29	eqtri 2792	. . 3 ⊢ ((2 + 1)...4) = {3, 4}
31	21, 30	uneq12i 4128	. 2 ⊢ ((0...2) ∪ ((2 + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
32	20, 31	eqtri 2792	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911  {cpr 4596  {ctp 4598   class class class wbr 5113  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  0cc0 11102  1c1 11103   + caddc 11105   ≤ cle 11246  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12864  ...cfz 13537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-fz 13538

This theorem is referenced by:  prm23lt5  16876  usgrexmplvtx  29554