MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzmn 12875
Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluzmn ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁)))

Proof of Theorem eluzmn
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 simpr 483 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
32nn0zd 12630 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
41, 3zsubcld 12717 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
51zred 12712 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
62nn0red 12579 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
75, 6readdcld 11284 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
8 nn0addge1 12564 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
95, 8sylancom 586 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
105, 7, 6, 9lesub1dd 11871 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
115recnd 11283 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
126recnd 11283 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
1311, 12pncand 11613 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
1410, 13breqtrd 5171 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ 𝑀)
15 eluz2 12874 . 2 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁)) ↔ ((𝑀𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁) ≤ 𝑀))
164, 1, 14, 15syl3anbrc 1340 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2099   class class class wbr 5145  cfv 6546  (class class class)co 7416  cr 11148   + caddc 11152  cle 11290  cmin 11485  0cn0 12518  cz 12604  cuz 12868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869
This theorem is referenced by:  prmdvdsbc  16723  freshmansdream  21568  crctcshwlkn0lem2  29742  clwwlkccatlem  29919  clwwlkinwwlk  29970  signsvfn  34441  fsum2dsub  34466
  Copyright terms: Public domain W3C validator