Theorem eluzmn 12864

Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzmn	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))

Proof of Theorem eluzmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12619	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	1, 3	zsubcld 12707	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
5	1	zred 12702	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
6	2	nn0red 12568	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7	5, 6	readdcld 11269	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
8		nn0addge1 12552	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
9	5, 8	sylancom 588	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
10	5, 7, 6, 9	lesub1dd 11858	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑁) ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
11	5	recnd 11268	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
12	6	recnd 11268	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
13	11, 12	pncand 11600	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
14	10, 13	breqtrd 5150	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑁) ≤ 𝑀)
15		eluz2 12863	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)) ↔ ((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ≤ 𝑀))
16	4, 1, 14, 15	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133   + caddc 11137   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858

This theorem is referenced by:  prmdvdsbc  16750  freshmansdream  21540  crctcshwlkn0lem2  29798  clwwlkccatlem  29975  clwwlkinwwlk  30026  signsvfn  34619  fsum2dsub  34644