Theorem eluzuzle 12802

Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzuzle	⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))

Proof of Theorem eluzuzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12799	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
2		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
4		zre 12533	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		zre 12533	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		zre 12533	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
12		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
14	5, 8, 11, 12, 13	letrd 11331	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
15		eluz2 12799	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
16	2, 3, 14, 15	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
17	16	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
18	1, 17	biimtrid 242	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  ℝcr 11067   ≤ cle 11209  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  uzuzle23  12843  uzuzle24  12844  uzuzle34  12845  eluz2nn  12847  setsstruct  17146  wwlksubclwwlk  29987  smonoord  47372  wtgoldbnnsum4prm  47803  bgoldbnnsum3prm  47805