Theorem eluzuzle 12866

Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzuzle	⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))

Proof of Theorem eluzuzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12863	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
2		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
4		zre 12597	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		zre 12597	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		zre 12597	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
12		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
14	5, 8, 11, 12, 13	letrd 11397	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
15		eluz2 12863	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
16	2, 3, 14, 15	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
17	16	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
18	1, 17	biimtrid 242	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  ℝcr 11133   ≤ cle 11275  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-neg 11474  df-z 12594  df-uz 12858

This theorem is referenced by:  eluz2nn  12903  eluz4eluz2  12904  eluz4eluz3  12905  uzuzle23  12910  eluzge3nn  12911  setsstruct  17200  wwlksubclwwlk  30044  smonoord  47365  wtgoldbnnsum4prm  47796  bgoldbnnsum3prm  47798