MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzuzle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzuzle 12447
Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluzuzle ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))

Proof of Theorem eluzuzle
StepHypRef Expression
1 eluz2 12444 . 2 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))
2 simpll 767 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 simpr2 1197 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
4 zre 12180 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
54ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 zre 12180 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
763ad2ant1 1135 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
87adantl 485 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 zre 12180 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
1093ad2ant2 1136 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
1110adantl 485 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
12 simplr 769 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵𝐴)
13 simpr3 1198 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐴𝐶)
145, 8, 11, 12, 13letrd 10989 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵𝐶)
15 eluz2 12444 . . . 4 (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐶))
162, 3, 14, 15syl3anbrc 1345 . . 3 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵))
1716ex 416 . 2 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
181, 17syl5bi 245 1 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089  wcel 2110   class class class wbr 5053  cfv 6380  cr 10728  cle 10868  cz 12176  cuz 12438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-neg 11065  df-z 12177  df-uz 12439
This theorem is referenced by:  eluz2nn  12480  eluz4eluz2  12481  uzuzle23  12485  eluzge3nn  12486  setsstruct  16729  wwlksubclwwlk  28141  smonoord  44496  wtgoldbnnsum4prm  44927  bgoldbnnsum3prm  44929
  Copyright terms: Public domain W3C validator