Theorem eluzuzle 12520

Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzuzle	⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))

Proof of Theorem eluzuzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12517	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
2		simpll 763	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		simpr2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
4		zre 12253	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		zre 12253	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		zre 12253	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
12		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13		simpr3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
14	5, 8, 11, 12, 13	letrd 11062	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
15		eluz2 12517	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
16	2, 3, 14, 15	syl3anbrc 1341	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
17	16	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
18	1, 17	syl5bi 241	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  ℝcr 10801   ≤ cle 10941  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  eluz2nn  12553  eluz4eluz2  12554  uzuzle23  12558  eluzge3nn  12559  setsstruct  16805  wwlksubclwwlk  28323  smonoord  44711  wtgoldbnnsum4prm  45142  bgoldbnnsum3prm  45144