MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin01gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin01gt0 16135
Description: The sine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 25-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sin01gt0 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))

Proof of Theorem sin01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 11263 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
2 1re 11216 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3 elioc2 13389 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1)))
41, 2, 3mp2an 690 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1))
54simp1bi 1145 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 3nn0 12492 . . . . . 6 3 ∈ β„•0
7 reexpcl 14046 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
85, 6, 7sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9 3re 12294 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
10 3ne0 12320 . . . . . 6 3 β‰  0
11 redivcl 11935 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 β‰  0) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
129, 10, 11mp3an23 1453 . . . . 5 ((𝐴↑3) ∈ ℝ β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
138, 12syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
14 3z 12597 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„€
15 expgt0 14063 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < (𝐴↑3))
1614, 15mp3an2 1449 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < (𝐴↑3))
17163adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1) β†’ 0 < (𝐴↑3))
184, 17sylbi 216 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (𝐴↑3))
19 0lt1 11738 . . . . . . . 8 0 < 1
202, 19pm3.2i 471 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
21 3pos 12319 . . . . . . . 8 0 < 3
229, 21pm3.2i 471 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
23 1lt3 12387 . . . . . . . 8 1 < 3
24 ltdiv2 12102 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) β†’ (1 < 3 ↔ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
2523, 24mpbii 232 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) β†’ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
2620, 22, 25mp3an12 1451 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3)) β†’ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
278, 18, 26syl2anc 584 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
288recnd 11244 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ∈ β„‚)
2928div1d 11984 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 1) = (𝐴↑3))
3027, 29breqtrd 5174 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) < (𝐴↑3))
31 1nn0 12490 . . . . . . 7 1 ∈ β„•0
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 1 ∈ β„•0)
33 1le3 12426 . . . . . . . 8 1 ≀ 3
34 1z 12594 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„€
3534eluz1i 12832 . . . . . . . 8 (3 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ↔ (3 ∈ β„€ ∧ 1 ≀ 3))
3614, 33, 35mpbir2an 709 . . . . . . 7 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
384simp2bi 1146 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < 𝐴)
39 0re 11218 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
40 ltle 11304 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
4139, 5, 40sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
4238, 41mpd 15 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 ≀ 𝐴)
434simp3bi 1147 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ≀ 1)
445, 32, 37, 42, 43leexp2rd 14220 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ≀ (𝐴↑1))
455recnd 11244 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4645exp1d 14108 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑1) = 𝐴)
4744, 46breqtrd 5174 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ≀ 𝐴)
4813, 8, 5, 30, 47ltletrd 11376 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) < 𝐴)
4913, 5posdifd 11803 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴↑3) / 3) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3))))
5048, 49mpbid 231 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)))
51 sin01bnd 16130 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))
5251simpld 495 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄))
535, 13resubcld 11644 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ)
545resincld 16088 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ)
55 lttr 11292 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ((0 < (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄)) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄)))
5639, 53, 54, 55mp3an2i 1466 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((0 < (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄)) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄)))
5750, 52, 56mp2and 697 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  3c3 12270  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  (,]cioc 13327  β†‘cexp 14029  sincsin 16009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015
This theorem is referenced by:  sin02gt0  16137  sincos1sgn  16138  sincos4thpi  26030
  Copyright terms: Public domain W3C validator