MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin01gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin01gt0 16133
Description: The sine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 25-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sin01gt0 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))

Proof of Theorem sin01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 11261 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
2 1re 11214 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
3 elioc2 13387 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1)))
41, 2, 3mp2an 691 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1))
54simp1bi 1146 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 3nn0 12490 . . . . . 6 3 ∈ β„•0
7 reexpcl 14044 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
85, 6, 7sylancl 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9 3re 12292 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
10 3ne0 12318 . . . . . 6 3 β‰  0
11 redivcl 11933 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 β‰  0) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
129, 10, 11mp3an23 1454 . . . . 5 ((𝐴↑3) ∈ ℝ β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
138, 12syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
14 3z 12595 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„€
15 expgt0 14061 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < (𝐴↑3))
1614, 15mp3an2 1450 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < (𝐴↑3))
17163adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1) β†’ 0 < (𝐴↑3))
184, 17sylbi 216 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (𝐴↑3))
19 0lt1 11736 . . . . . . . 8 0 < 1
202, 19pm3.2i 472 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
21 3pos 12317 . . . . . . . 8 0 < 3
229, 21pm3.2i 472 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
23 1lt3 12385 . . . . . . . 8 1 < 3
24 ltdiv2 12100 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) β†’ (1 < 3 ↔ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
2523, 24mpbii 232 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) β†’ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
2620, 22, 25mp3an12 1452 . . . . . 6 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3)) β†’ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
278, 18, 26syl2anc 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
288recnd 11242 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ∈ β„‚)
2928div1d 11982 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 1) = (𝐴↑3))
3027, 29breqtrd 5175 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) < (𝐴↑3))
31 1nn0 12488 . . . . . . 7 1 ∈ β„•0
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 1 ∈ β„•0)
33 1le3 12424 . . . . . . . 8 1 ≀ 3
34 1z 12592 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„€
3534eluz1i 12830 . . . . . . . 8 (3 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ↔ (3 ∈ β„€ ∧ 1 ≀ 3))
3614, 33, 35mpbir2an 710 . . . . . . 7 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
384simp2bi 1147 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < 𝐴)
39 0re 11216 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
40 ltle 11302 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
4139, 5, 40sylancr 588 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
4238, 41mpd 15 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 ≀ 𝐴)
434simp3bi 1148 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ≀ 1)
445, 32, 37, 42, 43leexp2rd 14218 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ≀ (𝐴↑1))
455recnd 11242 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4645exp1d 14106 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑1) = 𝐴)
4744, 46breqtrd 5175 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ≀ 𝐴)
4813, 8, 5, 30, 47ltletrd 11374 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) < 𝐴)
4913, 5posdifd 11801 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴↑3) / 3) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3))))
5048, 49mpbid 231 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)))
51 sin01bnd 16128 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))
5251simpld 496 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄))
535, 13resubcld 11642 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ)
545resincld 16086 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ)
55 lttr 11290 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ((0 < (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄)) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄)))
5639, 53, 54, 55mp3an2i 1467 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((0 < (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄)) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄)))
5750, 52, 56mp2and 698 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  3c3 12268  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  (,]cioc 13325  β†‘cexp 14027  sincsin 16007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013
This theorem is referenced by:  sin02gt0  16135  sincos1sgn  16136  sincos4thpi  26023
  Copyright terms: Public domain W3C validator