MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzaddiOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzaddiOLD 12879
Description: Obsolete version of eluzaddi 12878 as of 7-Feb-2025. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eluzsubi.1 𝑀 ∈ ℤ
eluzsubi.2 𝐾 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
eluzaddiOLD (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))

Proof of Theorem eluzaddiOLD
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12857 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 eluzsubi.2 . . 3 𝐾 ∈ ℤ
3 zaddcl 12627 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
41, 2, 3sylancl 584 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
5 eluzsubi.1 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ
65eluz1i 12855 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
7 zre 12587 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
85zrei 12589 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℝ
92zrei 12589 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℝ
10 leadd1 11707 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
118, 9, 10mp3an13 1448 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
127, 11syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
1312biimpa 475 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
146, 13sylbi 216 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
15 zaddcl 12627 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
165, 2, 15mp2an 690 . . 3 (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ
1716eluz1i 12855 . 2 ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ ((𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
184, 14, 17sylanbrc 581 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098   class class class wbr 5144  cfv 6543  (class class class)co 7413  cr 11132   + caddc 11136  cle 11274  cz 12583  cuz 12847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator