Theorem eluzaddiOLD 12897

Description: Obsolete version of eluzaddi 12896 as of 7-Feb-2025. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
eluzsubi.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
eluzsubi.2	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
eluzaddiOLD	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))

Proof of Theorem eluzaddiOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12875	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		eluzsubi.2	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
3		zaddcl 12645	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	sylancl 584	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
5		eluzsubi.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
6	5	eluz1i 12873	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
7		zre 12605	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8	5	zrei 12607	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
9	2	zrei 12607	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
10		leadd1 11720	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
11	8, 9, 10	mp3an13 1449	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
12	7, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
13	12	biimpa 475	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
14	6, 13	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
15		zaddcl 12645	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
16	5, 2, 15	mp2an 690	. . 3 ⊢ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ
17	16	eluz1i 12873	. 2 ⊢ ((𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ ((𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
18	4, 14, 17	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℝcr 11145   + caddc 11149   ≤ cle 11287  ℤcz 12601  ℤ_≥cuz 12865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12256  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866

This theorem is referenced by: (None)