Theorem ackval42 49777

Description: The Ackermann function at (4,2). (Contributed by AV, 9-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval42	⊢ ((Ack‘4)‘2) = ((2↑;;;;65536) − 3)

Proof of Theorem ackval42

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12400	. . . 4 ⊢ 4 = (3 + 1)
2	1	fveq2i 6886	. . 3 ⊢ (Ack‘4) = (Ack‘(3 + 1))
3		df-2 12398	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
4	2, 3	fveq12i 6889	. 2 ⊢ ((Ack‘4)‘2) = ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1))
5		3nn0 12617	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1nn0 12615	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		ackvalsucsucval 49769	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)))
8	5, 6, 7	mp2an 705	. 2 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1))
9		3p1e4 12480	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
10	9	fveq2i 6886	. . . . . 6 ⊢ (Ack‘(3 + 1)) = (Ack‘4)
11	10	fveq1i 6884	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘1) = ((Ack‘4)‘1)
12		ackval41a 49775	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)
13	11, 12	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘1) = ((2↑;16) − 3)
14	13	fveq2i 6886	. . 3 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)) = ((Ack‘3)‘((2↑;16) − 3))
15		2cn 12411	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		6nn0 12620	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17	6, 16	deccl 12822	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
18		expcl 14215	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ;16 ∈ ℕ0) → (2↑;16) ∈ ℂ)
19	15, 17, 18	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (2↑;16) ∈ ℂ
20		3cn 12417	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
21		ackval3 49764	. . . . 5 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
22		oveq1 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((2↑;16) − 3) → (𝑛 + 3) = (((2↑;16) − 3) + 3))
23		npcan 11559	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (((2↑;16) − 3) + 3) = (2↑;16))
24	22, 23	sylan9eqr 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑;16) − 3)) → (𝑛 + 3) = (2↑;16))
25	24	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑;16) − 3)) → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑(2↑;16)))
26	25	oveq1d 7433	. . . . 5 ⊢ ((((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑;16) − 3)) → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑(2↑;16)) − 3))
27		3re 12416	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
28		4re 12420	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
29		3lt4 12512	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
30	27, 28, 29	ltleii 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≤ 4
31		sq2 14333	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) = 4
32	30, 31	breqtrri 5132	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≤ (2↑2)
33		2re 12410	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
34		1le2 12547	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
35	17	nn0zi 12714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℤ
36		1nn 12339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
37		2nn0 12616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38		9re 12435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℝ
39		2lt9 12543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 9
40	33, 38, 39	ltleii 11426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 9
41	36, 16, 37, 40	declei 12848	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≤ ;16
42		2z 12721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
43	42	eluz1i 12966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;16 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (;16 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;16))
44	35, 41, 43	mpbir2an 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ;16 ∈ (ℤ≥‘2)
45		leexp2a 14308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ ;16 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑2) ≤ (2↑;16))
46	33, 34, 44, 45	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑2) ≤ (2↑;16)
47		4nn0 12618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
48	31, 47	eqeltri 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) ∈ ℕ0
49	48	nn0rei 12610	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) ∈ ℝ
50	37, 17	nn0expcli 14224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑;16) ∈ ℕ0
51	50	nn0rei 12610	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑;16) ∈ ℝ
52	27, 49, 51	letri 11432	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ≤ (2↑2) ∧ (2↑2) ≤ (2↑;16)) → 3 ≤ (2↑;16))
53	32, 46, 52	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≤ (2↑;16)
54		nn0sub 12649	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (2↑;16) ∈ ℕ0) → (3 ≤ (2↑;16) ↔ ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0))
55	5, 50, 54	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (3 ≤ (2↑;16) ↔ ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0)
56	53, 55	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0
57	56	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0)
58		ovexd 7453	. . . . 5 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2↑(2↑;16)) − 3) ∈ V)
59	21, 26, 57, 58	fvmptd2 7000	. . . 4 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((Ack‘3)‘((2↑;16) − 3)) = ((2↑(2↑;16)) − 3))
60	19, 20, 59	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((Ack‘3)‘((2↑;16) − 3)) = ((2↑(2↑;16)) − 3)
61		2exp16 17261	. . . . 5 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
62	61	oveq2i 7429	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑;16)) = (2↑;;;;65536)
63	62	oveq1i 7428	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑;16)) − 3) = ((2↑;;;;65536) − 3)
64	14, 60, 63	3eqtri 2788	. 2 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)) = ((2↑;;;;65536) − 3)
65	4, 8, 64	3eqtri 2788	1 ⊢ ((Ack‘4)‘2) = ((2↑;;;;65536) − 3)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  1c1 11194   + caddc 11196   ≤ cle 11337   − cmin 11534  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  5c5 12393  6c6 12394  9c9 12397  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ;cdc 12807  ℤ_≥cuz 12958  ↑cexp 14197  Ackcack 49739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-seq 14138  df-exp 14198  df-itco 49740  df-ack 49741

This theorem is used by:  ackval42a  49778