Theorem ackval42 49354

Description: The Ackermann function at (4,2). (Contributed by AV, 9-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval42	⊢ ((Ack‘4)‘2) = ((2↑;;;;65536) − 3)

Proof of Theorem ackval42

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12301	. . . 4 ⊢ 4 = (3 + 1)
2	1	fveq2i 6882	. . 3 ⊢ (Ack‘4) = (Ack‘(3 + 1))
3		df-2 12299	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
4	2, 3	fveq12i 6885	. 2 ⊢ ((Ack‘4)‘2) = ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1))
5		3nn0 12518	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1nn0 12516	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		ackvalsucsucval 49346	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)))
8	5, 6, 7	mp2an 704	. 2 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1))
9		3p1e4 12381	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
10	9	fveq2i 6882	. . . . . 6 ⊢ (Ack‘(3 + 1)) = (Ack‘4)
11	10	fveq1i 6880	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘1) = ((Ack‘4)‘1)
12		ackval41a 49352	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)
13	11, 12	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘1) = ((2↑;16) − 3)
14	13	fveq2i 6882	. . 3 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)) = ((Ack‘3)‘((2↑;16) − 3))
15		2cn 12312	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		6nn0 12521	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17	6, 16	deccl 12722	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
18		expcl 14111	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ;16 ∈ ℕ0) → (2↑;16) ∈ ℂ)
19	15, 17, 18	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (2↑;16) ∈ ℂ
20		3cn 12318	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
21		ackval3 49341	. . . . 5 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
22		oveq1 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((2↑;16) − 3) → (𝑛 + 3) = (((2↑;16) − 3) + 3))
23		npcan 11462	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (((2↑;16) − 3) + 3) = (2↑;16))
24	22, 23	sylan9eqr 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑;16) − 3)) → (𝑛 + 3) = (2↑;16))
25	24	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑;16) − 3)) → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑(2↑;16)))
26	25	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ ((((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑;16) − 3)) → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑(2↑;16)) − 3))
27		3re 12317	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
28		4re 12321	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
29		3lt4 12413	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
30	27, 28, 29	ltleii 11329	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≤ 4
31		sq2 14229	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) = 4
32	30, 31	breqtrri 5139	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≤ (2↑2)
33		2re 12311	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
34		1le2 12448	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
35	17	nn0zi 12615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℤ
36		1nn 12240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
37		2nn0 12517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38		9re 12336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℝ
39		2lt9 12444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 9
40	33, 38, 39	ltleii 11329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 9
41	36, 16, 37, 40	declei 12748	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≤ ;16
42		2z 12622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
43	42	eluz1i 12866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;16 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (;16 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;16))
44	35, 41, 43	mpbir2an 723	. . . . . . . . 9 ⊢ ;16 ∈ (ℤ≥‘2)
45		leexp2a 14204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ ;16 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑2) ≤ (2↑;16))
46	33, 34, 44, 45	mp3an 1487	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑2) ≤ (2↑;16)
47		4nn0 12519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
48	31, 47	eqeltri 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) ∈ ℕ0
49	48	nn0rei 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) ∈ ℝ
50	37, 17	nn0expcli 14120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑;16) ∈ ℕ0
51	50	nn0rei 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑;16) ∈ ℝ
52	27, 49, 51	letri 11335	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ≤ (2↑2) ∧ (2↑2) ≤ (2↑;16)) → 3 ≤ (2↑;16))
53	32, 46, 52	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≤ (2↑;16)
54		nn0sub 12550	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (2↑;16) ∈ ℕ0) → (3 ≤ (2↑;16) ↔ ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0))
55	5, 50, 54	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (3 ≤ (2↑;16) ↔ ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0)
56	53, 55	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0
57	56	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0)
58		ovexd 7443	. . . . 5 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2↑(2↑;16)) − 3) ∈ V)
59	21, 26, 57, 58	fvmptd2 6996	. . . 4 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((Ack‘3)‘((2↑;16) − 3)) = ((2↑(2↑;16)) − 3))
60	19, 20, 59	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((Ack‘3)‘((2↑;16) − 3)) = ((2↑(2↑;16)) − 3)
61		2exp16 17146	. . . . 5 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
62	61	oveq2i 7419	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑;16)) = (2↑;;;;65536)
63	62	oveq1i 7418	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑;16)) − 3) = ((2↑;;;;65536) − 3)
64	14, 60, 63	3eqtri 2796	. 2 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)) = ((2↑;;;;65536) − 3)
65	4, 8, 64	3eqtri 2796	1 ⊢ ((Ack‘4)‘2) = ((2↑;;;;65536) − 3)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  1c1 11097   + caddc 11099   ≤ cle 11240   − cmin 11437  2c2 12291  3c3 12292  4c4 12293  5c5 12294  6c6 12295  9c9 12298  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587  ;cdc 12707  ℤ_≥cuz 12858  ↑cexp 14093  Ackcack 49316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14034  df-exp 14094  df-itco 49317  df-ack 49318

This theorem is referenced by:  ackval42a  49355