Theorem ackval42 48689

Description: The Ackermann function at (4,2). (Contributed by AV, 9-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval42	⊢ ((Ack‘4)‘2) = ((2↑;;;;65536) − 3)

Proof of Theorem ackval42

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12258	. . . 4 ⊢ 4 = (3 + 1)
2	1	fveq2i 6864	. . 3 ⊢ (Ack‘4) = (Ack‘(3 + 1))
3		df-2 12256	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
4	2, 3	fveq12i 6867	. 2 ⊢ ((Ack‘4)‘2) = ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1))
5		3nn0 12467	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1nn0 12465	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		ackvalsucsucval 48681	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)))
8	5, 6, 7	mp2an 692	. 2 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1))
9		3p1e4 12333	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
10	9	fveq2i 6864	. . . . . 6 ⊢ (Ack‘(3 + 1)) = (Ack‘4)
11	10	fveq1i 6862	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘1) = ((Ack‘4)‘1)
12		ackval41a 48687	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)
13	11, 12	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘1) = ((2↑;16) − 3)
14	13	fveq2i 6864	. . 3 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)) = ((Ack‘3)‘((2↑;16) − 3))
15		2cn 12268	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		6nn0 12470	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17	6, 16	deccl 12671	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
18		expcl 14051	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ;16 ∈ ℕ0) → (2↑;16) ∈ ℂ)
19	15, 17, 18	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2↑;16) ∈ ℂ
20		3cn 12274	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
21		ackval3 48676	. . . . 5 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
22		oveq1 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((2↑;16) − 3) → (𝑛 + 3) = (((2↑;16) − 3) + 3))
23		npcan 11437	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (((2↑;16) − 3) + 3) = (2↑;16))
24	22, 23	sylan9eqr 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑;16) − 3)) → (𝑛 + 3) = (2↑;16))
25	24	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑;16) − 3)) → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑(2↑;16)))
26	25	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ ((((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑;16) − 3)) → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑(2↑;16)) − 3))
27		3re 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
28		4re 12277	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
29		3lt4 12362	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
30	27, 28, 29	ltleii 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≤ 4
31		sq2 14169	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) = 4
32	30, 31	breqtrri 5137	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≤ (2↑2)
33		2re 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
34		1le2 12397	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
35	17	nn0zi 12565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℤ
36		1nn 12204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
37		2nn0 12466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38		9re 12292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℝ
39		2lt9 12393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 9
40	33, 38, 39	ltleii 11304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 9
41	36, 16, 37, 40	declei 12692	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≤ ;16
42		2z 12572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
43	42	eluz1i 12808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;16 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (;16 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;16))
44	35, 41, 43	mpbir2an 711	. . . . . . . . 9 ⊢ ;16 ∈ (ℤ≥‘2)
45		leexp2a 14144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ ;16 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑2) ≤ (2↑;16))
46	33, 34, 44, 45	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑2) ≤ (2↑;16)
47		4nn0 12468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
48	31, 47	eqeltri 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) ∈ ℕ0
49	48	nn0rei 12460	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) ∈ ℝ
50	37, 17	nn0expcli 14060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑;16) ∈ ℕ0
51	50	nn0rei 12460	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑;16) ∈ ℝ
52	27, 49, 51	letri 11310	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ≤ (2↑2) ∧ (2↑2) ≤ (2↑;16)) → 3 ≤ (2↑;16))
53	32, 46, 52	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≤ (2↑;16)
54		nn0sub 12499	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (2↑;16) ∈ ℕ0) → (3 ≤ (2↑;16) ↔ ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0))
55	5, 50, 54	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (3 ≤ (2↑;16) ↔ ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0)
56	53, 55	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0
57	56	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0)
58		ovexd 7425	. . . . 5 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2↑(2↑;16)) − 3) ∈ V)
59	21, 26, 57, 58	fvmptd2 6979	. . . 4 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((Ack‘3)‘((2↑;16) − 3)) = ((2↑(2↑;16)) − 3))
60	19, 20, 59	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((Ack‘3)‘((2↑;16) − 3)) = ((2↑(2↑;16)) − 3)
61		2exp16 17068	. . . . 5 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
62	61	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑;16)) = (2↑;;;;65536)
63	62	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑;16)) − 3) = ((2↑;;;;65536) − 3)
64	14, 60, 63	3eqtri 2757	. 2 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)) = ((2↑;;;;65536) − 3)
65	4, 8, 64	3eqtri 2757	1 ⊢ ((Ack‘4)‘2) = ((2↑;;;;65536) − 3)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   ≤ cle 11216   − cmin 11412  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  6c6 12252  9c9 12255  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ;cdc 12656  ℤ_≥cuz 12800  ↑cexp 14033  Ackcack 48651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-itco 48652  df-ack 48653

This theorem is referenced by:  ackval42a  48690