Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval42 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval42 45107
 Description: The Ackermann function at (4,2). (Contributed by AV, 9-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval42 ((Ack‘4)‘2) = ((2↑65536) − 3)

Proof of Theorem ackval42
StepHypRef Expression
1 df-4 11694 . . . 4 4 = (3 + 1)
21fveq2i 6652 . . 3 (Ack‘4) = (Ack‘(3 + 1))
3 df-2 11692 . . 3 2 = (1 + 1)
42, 3fveq12i 6655 . 2 ((Ack‘4)‘2) = ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1))
5 3nn0 11907 . . 3 3 ∈ ℕ0
6 1nn0 11905 . . 3 1 ∈ ℕ0
7 ackvalsucsucval 45099 . . 3 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)))
85, 6, 7mp2an 691 . 2 ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1))
9 3p1e4 11774 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
109fveq2i 6652 . . . . . 6 (Ack‘(3 + 1)) = (Ack‘4)
1110fveq1i 6650 . . . . 5 ((Ack‘(3 + 1))‘1) = ((Ack‘4)‘1)
12 ackval41a 45105 . . . . 5 ((Ack‘4)‘1) = ((2↑16) − 3)
1311, 12eqtri 2824 . . . 4 ((Ack‘(3 + 1))‘1) = ((2↑16) − 3)
1413fveq2i 6652 . . 3 ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)) = ((Ack‘3)‘((2↑16) − 3))
15 2cn 11704 . . . . 5 2 ∈ ℂ
16 6nn0 11910 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
176, 16deccl 12105 . . . . 5 16 ∈ ℕ0
18 expcl 13447 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ 16 ∈ ℕ0) → (2↑16) ∈ ℂ)
1915, 17, 18mp2an 691 . . . 4 (2↑16) ∈ ℂ
20 3cn 11710 . . . 4 3 ∈ ℂ
21 ackval3 45094 . . . . 5 (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
22 oveq1 7146 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((2↑16) − 3) → (𝑛 + 3) = (((2↑16) − 3) + 3))
23 npcan 10888 . . . . . . . 8 (((2↑16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (((2↑16) − 3) + 3) = (2↑16))
2422, 23sylan9eqr 2858 . . . . . . 7 ((((2↑16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑16) − 3)) → (𝑛 + 3) = (2↑16))
2524oveq2d 7155 . . . . . 6 ((((2↑16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑16) − 3)) → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑(2↑16)))
2625oveq1d 7154 . . . . 5 ((((2↑16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑16) − 3)) → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑(2↑16)) − 3))
27 3re 11709 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
28 4re 11713 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
29 3lt4 11803 . . . . . . . . . 10 3 < 4
3027, 28, 29ltleii 10756 . . . . . . . . 9 3 ≤ 4
31 sq2 13560 . . . . . . . . 9 (2↑2) = 4
3230, 31breqtrri 5060 . . . . . . . 8 3 ≤ (2↑2)
33 2re 11703 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
34 1le2 11838 . . . . . . . . 9 1 ≤ 2
3517nn0zi 11999 . . . . . . . . . 10 16 ∈ ℤ
36 1nn 11640 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
37 2nn0 11906 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
38 9re 11728 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℝ
39 2lt9 11834 . . . . . . . . . . . 12 2 < 9
4033, 38, 39ltleii 10756 . . . . . . . . . . 11 2 ≤ 9
4136, 16, 37, 40declei 12126 . . . . . . . . . 10 2 ≤ 16
42 2z 12006 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
4342eluz1i 12243 . . . . . . . . . 10 (16 ∈ (ℤ‘2) ↔ (16 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 16))
4435, 41, 43mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 16 ∈ (ℤ‘2)
45 leexp2a 13536 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 16 ∈ (ℤ‘2)) → (2↑2) ≤ (2↑16))
4633, 34, 44, 45mp3an 1458 . . . . . . . 8 (2↑2) ≤ (2↑16)
47 4nn0 11908 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
4831, 47eqeltri 2889 . . . . . . . . . 10 (2↑2) ∈ ℕ0
4948nn0rei 11900 . . . . . . . . 9 (2↑2) ∈ ℝ
5037, 17nn0expcli 13455 . . . . . . . . . 10 (2↑16) ∈ ℕ0
5150nn0rei 11900 . . . . . . . . 9 (2↑16) ∈ ℝ
5227, 49, 51letri 10762 . . . . . . . 8 ((3 ≤ (2↑2) ∧ (2↑2) ≤ (2↑16)) → 3 ≤ (2↑16))
5332, 46, 52mp2an 691 . . . . . . 7 3 ≤ (2↑16)
54 nn0sub 11939 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (2↑16) ∈ ℕ0) → (3 ≤ (2↑16) ↔ ((2↑16) − 3) ∈ ℕ0))
555, 50, 54mp2an 691 . . . . . . 7 (3 ≤ (2↑16) ↔ ((2↑16) − 3) ∈ ℕ0)
5653, 55mpbi 233 . . . . . 6 ((2↑16) − 3) ∈ ℕ0
5756a1i 11 . . . . 5 (((2↑16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2↑16) − 3) ∈ ℕ0)
58 ovexd 7174 . . . . 5 (((2↑16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2↑(2↑16)) − 3) ∈ V)
5921, 26, 57, 58fvmptd2 6757 . . . 4 (((2↑16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((Ack‘3)‘((2↑16) − 3)) = ((2↑(2↑16)) − 3))
6019, 20, 59mp2an 691 . . 3 ((Ack‘3)‘((2↑16) − 3)) = ((2↑(2↑16)) − 3)
61 2exp16 16420 . . . . 5 (2↑16) = 65536
6261oveq2i 7150 . . . 4 (2↑(2↑16)) = (2↑65536)
6362oveq1i 7149 . . 3 ((2↑(2↑16)) − 3) = ((2↑65536) − 3)
6414, 60, 633eqtri 2828 . 2 ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)) = ((2↑65536) − 3)
654, 8, 643eqtri 2828 1 ((Ack‘4)‘2) = ((2↑65536) − 3)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  1c1 10531   + caddc 10533   ≤ cle 10669   − cmin 10863  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  5c5 11687  6c6 11688  9c9 11691  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ;cdc 12090  ℤ≥cuz 12235  ↑cexp 13429  Ackcack 45069 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-itco 45070  df-ack 45071 This theorem is referenced by:  ackval42a  45108
 Copyright terms: Public domain W3C validator