Theorem ackval42 45994

Description: The Ackermann function at (4,2). (Contributed by AV, 9-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval42	⊢ ((Ack‘4)‘2) = ((2↑;;;;65536) − 3)

Proof of Theorem ackval42

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12021	. . . 4 ⊢ 4 = (3 + 1)
2	1	fveq2i 6771	. . 3 ⊢ (Ack‘4) = (Ack‘(3 + 1))
3		df-2 12019	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
4	2, 3	fveq12i 6774	. 2 ⊢ ((Ack‘4)‘2) = ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1))
5		3nn0 12234	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1nn0 12232	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		ackvalsucsucval 45986	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)))
8	5, 6, 7	mp2an 688	. 2 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1))
9		3p1e4 12101	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
10	9	fveq2i 6771	. . . . . 6 ⊢ (Ack‘(3 + 1)) = (Ack‘4)
11	10	fveq1i 6769	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘1) = ((Ack‘4)‘1)
12		ackval41a 45992	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)
13	11, 12	eqtri 2767	. . . 4 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘1) = ((2↑;16) − 3)
14	13	fveq2i 6771	. . 3 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)) = ((Ack‘3)‘((2↑;16) − 3))
15		2cn 12031	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		6nn0 12237	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17	6, 16	deccl 12434	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
18		expcl 13781	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ;16 ∈ ℕ0) → (2↑;16) ∈ ℂ)
19	15, 17, 18	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (2↑;16) ∈ ℂ
20		3cn 12037	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
21		ackval3 45981	. . . . 5 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
22		oveq1 7275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((2↑;16) − 3) → (𝑛 + 3) = (((2↑;16) − 3) + 3))
23		npcan 11213	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (((2↑;16) − 3) + 3) = (2↑;16))
24	22, 23	sylan9eqr 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑;16) − 3)) → (𝑛 + 3) = (2↑;16))
25	24	oveq2d 7284	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑;16) − 3)) → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑(2↑;16)))
26	25	oveq1d 7283	. . . . 5 ⊢ ((((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑;16) − 3)) → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑(2↑;16)) − 3))
27		3re 12036	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
28		4re 12040	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
29		3lt4 12130	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
30	27, 28, 29	ltleii 11081	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≤ 4
31		sq2 13895	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) = 4
32	30, 31	breqtrri 5105	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≤ (2↑2)
33		2re 12030	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
34		1le2 12165	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
35	17	nn0zi 12328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℤ
36		1nn 11967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
37		2nn0 12233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38		9re 12055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℝ
39		2lt9 12161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 9
40	33, 38, 39	ltleii 11081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 9
41	36, 16, 37, 40	declei 12455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≤ ;16
42		2z 12335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
43	42	eluz1i 12572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;16 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (;16 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;16))
44	35, 41, 43	mpbir2an 707	. . . . . . . . 9 ⊢ ;16 ∈ (ℤ≥‘2)
45		leexp2a 13871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ ;16 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑2) ≤ (2↑;16))
46	33, 34, 44, 45	mp3an 1459	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑2) ≤ (2↑;16)
47		4nn0 12235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
48	31, 47	eqeltri 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) ∈ ℕ0
49	48	nn0rei 12227	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) ∈ ℝ
50	37, 17	nn0expcli 13790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑;16) ∈ ℕ0
51	50	nn0rei 12227	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑;16) ∈ ℝ
52	27, 49, 51	letri 11087	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ≤ (2↑2) ∧ (2↑2) ≤ (2↑;16)) → 3 ≤ (2↑;16))
53	32, 46, 52	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≤ (2↑;16)
54		nn0sub 12266	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (2↑;16) ∈ ℕ0) → (3 ≤ (2↑;16) ↔ ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0))
55	5, 50, 54	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ (3 ≤ (2↑;16) ↔ ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0)
56	53, 55	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0
57	56	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0)
58		ovexd 7303	. . . . 5 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2↑(2↑;16)) − 3) ∈ V)
59	21, 26, 57, 58	fvmptd2 6877	. . . 4 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((Ack‘3)‘((2↑;16) − 3)) = ((2↑(2↑;16)) − 3))
60	19, 20, 59	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((Ack‘3)‘((2↑;16) − 3)) = ((2↑(2↑;16)) − 3)
61		2exp16 16773	. . . . 5 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
62	61	oveq2i 7279	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑;16)) = (2↑;;;;65536)
63	62	oveq1i 7278	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑;16)) − 3) = ((2↑;;;;65536) − 3)
64	14, 60, 63	3eqtri 2771	. 2 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)) = ((2↑;;;;65536) − 3)
65	4, 8, 64	3eqtri 2771	1 ⊢ ((Ack‘4)‘2) = ((2↑;;;;65536) − 3)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  ℝcr 10854  1c1 10856   + caddc 10858   ≤ cle 10994   − cmin 11188  2c2 12011  3c3 12012  4c4 12013  5c5 12014  6c6 12015  9c9 12018  ℕ₀cn0 12216  ℤcz 12302  ;cdc 12419  ℤ_≥cuz 12564  ↑cexp 13763  Ackcack 45956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-rp 12713  df-seq 13703  df-exp 13764  df-itco 45957  df-ack 45958

This theorem is referenced by:  ackval42a  45995