Theorem ackval42 48676

Description: The Ackermann function at (4,2). (Contributed by AV, 9-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval42	⊢ ((Ack‘4)‘2) = ((2↑;;;;65536) − 3)

Proof of Theorem ackval42

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12305	. . . 4 ⊢ 4 = (3 + 1)
2	1	fveq2i 6879	. . 3 ⊢ (Ack‘4) = (Ack‘(3 + 1))
3		df-2 12303	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
4	2, 3	fveq12i 6882	. 2 ⊢ ((Ack‘4)‘2) = ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1))
5		3nn0 12519	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		1nn0 12517	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		ackvalsucsucval 48668	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)))
8	5, 6, 7	mp2an 692	. 2 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘(1 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1))
9		3p1e4 12385	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
10	9	fveq2i 6879	. . . . . 6 ⊢ (Ack‘(3 + 1)) = (Ack‘4)
11	10	fveq1i 6877	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘1) = ((Ack‘4)‘1)
12		ackval41a 48674	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)
13	11, 12	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘1) = ((2↑;16) − 3)
14	13	fveq2i 6879	. . 3 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)) = ((Ack‘3)‘((2↑;16) − 3))
15		2cn 12315	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		6nn0 12522	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17	6, 16	deccl 12723	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
18		expcl 14097	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ;16 ∈ ℕ0) → (2↑;16) ∈ ℂ)
19	15, 17, 18	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (2↑;16) ∈ ℂ
20		3cn 12321	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
21		ackval3 48663	. . . . 5 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
22		oveq1 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ((2↑;16) − 3) → (𝑛 + 3) = (((2↑;16) − 3) + 3))
23		npcan 11491	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (((2↑;16) − 3) + 3) = (2↑;16))
24	22, 23	sylan9eqr 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑;16) − 3)) → (𝑛 + 3) = (2↑;16))
25	24	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑;16) − 3)) → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑(2↑;16)))
26	25	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ ((((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = ((2↑;16) − 3)) → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑(2↑;16)) − 3))
27		3re 12320	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
28		4re 12324	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
29		3lt4 12414	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
30	27, 28, 29	ltleii 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≤ 4
31		sq2 14215	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) = 4
32	30, 31	breqtrri 5146	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≤ (2↑2)
33		2re 12314	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
34		1le2 12449	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 2
35	17	nn0zi 12617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℤ
36		1nn 12251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
37		2nn0 12518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38		9re 12339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℝ
39		2lt9 12445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 9
40	33, 38, 39	ltleii 11358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≤ 9
41	36, 16, 37, 40	declei 12744	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≤ ;16
42		2z 12624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
43	42	eluz1i 12860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;16 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (;16 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ;16))
44	35, 41, 43	mpbir2an 711	. . . . . . . . 9 ⊢ ;16 ∈ (ℤ≥‘2)
45		leexp2a 14190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ ;16 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2↑2) ≤ (2↑;16))
46	33, 34, 44, 45	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑2) ≤ (2↑;16)
47		4nn0 12520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
48	31, 47	eqeltri 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) ∈ ℕ0
49	48	nn0rei 12512	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) ∈ ℝ
50	37, 17	nn0expcli 14106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑;16) ∈ ℕ0
51	50	nn0rei 12512	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑;16) ∈ ℝ
52	27, 49, 51	letri 11364	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ≤ (2↑2) ∧ (2↑2) ≤ (2↑;16)) → 3 ≤ (2↑;16))
53	32, 46, 52	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≤ (2↑;16)
54		nn0sub 12551	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (2↑;16) ∈ ℕ0) → (3 ≤ (2↑;16) ↔ ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0))
55	5, 50, 54	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (3 ≤ (2↑;16) ↔ ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0)
56	53, 55	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0
57	56	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2↑;16) − 3) ∈ ℕ0)
58		ovexd 7440	. . . . 5 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((2↑(2↑;16)) − 3) ∈ V)
59	21, 26, 57, 58	fvmptd2 6994	. . . 4 ⊢ (((2↑;16) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((Ack‘3)‘((2↑;16) − 3)) = ((2↑(2↑;16)) − 3))
60	19, 20, 59	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((Ack‘3)‘((2↑;16) − 3)) = ((2↑(2↑;16)) − 3)
61		2exp16 17110	. . . . 5 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
62	61	oveq2i 7416	. . . 4 ⊢ (2↑(2↑;16)) = (2↑;;;;65536)
63	62	oveq1i 7415	. . 3 ⊢ ((2↑(2↑;16)) − 3) = ((2↑;;;;65536) − 3)
64	14, 60, 63	3eqtri 2762	. 2 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘1)) = ((2↑;;;;65536) − 3)
65	4, 8, 64	3eqtri 2762	1 ⊢ ((Ack‘4)‘2) = ((2↑;;;;65536) − 3)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  1c1 11130   + caddc 11132   ≤ cle 11270   − cmin 11466  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  5c5 12298  6c6 12299  9c9 12302  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ;cdc 12708  ℤ_≥cuz 12852  ↑cexp 14079  Ackcack 48638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-seq 14020  df-exp 14080  df-itco 48639  df-ack 48640

This theorem is referenced by:  ackval42a  48677