Theorem sin01bnd 16221

Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sin01bnd	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))

Proof of Theorem sin01bnd

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1re 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		elioc2 13450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		3nn0 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		reexpcl 14119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9		6nn 12355	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
10		nndivre 12307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
11	8, 9, 10	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
12	5, 11	resubcld 11691	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
14		ax-icn 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
15	5	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		mulcl 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
18		4nn0 12545	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
20	19	eftlcl 16143	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
21	17, 18, 20	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
22	21	imcld 15234	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℂ)
24	19	resin4p 16174	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
25	5, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
26	13, 23, 25	mvrladdd 11676	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) = (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
27	26	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) = (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
28	23	abscld 15475	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ∈ ℝ)
29	21	abscld 15475	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
30		absimle 15348	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
31	21, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
32		reexpcl 14119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
33	5, 18, 32	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
34		nndivre 12307	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
35	33, 9, 34	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
36	19	ef01bndlem 16220	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
37	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ ℕ0)
38		4z 12651	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
39		3re 12346	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
40		4re 12350	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
41		3lt4 12440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
42	39, 40, 41	ltleii 11384	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≤ 4
43		3z 12650	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
44	43	eluz1i 12886	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
45	38, 42, 44	mpbir2an 711	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ (ℤ≥‘3))
47	4	simp2bi 1147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
48		0re 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
49		ltle 11349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
50	48, 5, 49	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
51	47, 50	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
52	4	simp3bi 1148	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
53	5, 37, 46, 51, 52	leexp2rd 14294	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3))
54		6re 12356	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 6 ∈ ℝ)
56		6pos 12376	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 6
57	56	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 6)
58		lediv1 12133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
59	33, 8, 55, 57, 58	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
60	53, 59	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6))
61	29, 35, 11, 36, 60	ltletrd 11421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑3) / 6))
62	28, 29, 11, 31, 61	lelttrd 11419	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) < ((𝐴↑3) / 6))
63	27, 62	eqbrtrd 5165	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6))
64	5	resincld 16179	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
65	64, 12, 11	absdifltd 15472	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)))))
66	11	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
67	15, 66, 66	subsub4d 11651	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))))
68	8	recnd 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
69		3cn 12347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
70		3ne0 12372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 0
71	69, 70	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
72		2cnne0 12476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
73		divdiv1 11978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
74	71, 72, 73	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℂ → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
75	68, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
76		3t2e6 12432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 2) = 6
77	76	oveq2i 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑3) / (3 · 2)) = ((𝐴↑3) / 6)
78	75, 77	eqtr2di 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) = (((𝐴↑3) / 3) / 2))
79	78, 78	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)))
80		3nn 12345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
81		nndivre 12307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
82	8, 80, 81	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
83	82	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℂ)
84	83	2halvesd 12512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)) = ((𝐴↑3) / 3))
85	79, 84	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((𝐴↑3) / 3))
86	85	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
87	67, 86	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
88	87	breq1d 5153	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ↔ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)))
89	15, 66	npcand 11624	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) = 𝐴)
90	89	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) ↔ (sin‘𝐴) < 𝐴))
91	88, 90	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6))) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
92	65, 91	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
93	63, 92	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  6c6 12325  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  (,]cioc 13388  ↑cexp 14102  !cfa 14312  ℑcim 15137  abscabs 15273  Σcsu 15722  sincsin 16099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105

This theorem is referenced by:  sinltx  16225  sin01gt0  16226  tangtx  26547  sinccvglem  35677