MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin01bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin01bnd 16221
Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sin01bnd (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))

Proof of Theorem sin01bnd
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11308 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
2 1re 11261 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3 elioc2 13450 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 692 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 1146 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 3nn0 12544 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
7 reexpcl 14119 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
85, 6, 7sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9 6nn 12355 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
10 nndivre 12307 . . . . . . . 8 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
118, 9, 10sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
125, 11resubcld 11691 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
1312recnd 11289 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
14 ax-icn 11214 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
155recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 mulcl 11239 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
1714, 15, 16sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
18 4nn0 12545 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
19 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2019eftlcl 16143 . . . . . . . 8 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2117, 18, 20sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2221imcld 15234 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
2322recnd 11289 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℂ)
2419resin4p 16174 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
255, 24syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
2613, 23, 25mvrladdd 11676 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) = (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
2726fveq2d 6910 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) = (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
2823abscld 15475 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ∈ ℝ)
2921abscld 15475 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
30 absimle 15348 . . . . 5 𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
3121, 30syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
32 reexpcl 14119 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
335, 18, 32sylancl 586 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
34 nndivre 12307 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3533, 9, 34sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3619ef01bndlem 16220 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
376a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ ℕ0)
38 4z 12651 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
39 3re 12346 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
40 4re 12350 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
41 3lt4 12440 . . . . . . . . . 10 3 < 4
4239, 40, 41ltleii 11384 . . . . . . . . 9 3 ≤ 4
43 3z 12650 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
4443eluz1i 12886 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
4538, 42, 44mpbir2an 711 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘3)
4645a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ (ℤ‘3))
474simp2bi 1147 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
48 0re 11263 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
49 ltle 11349 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5048, 5, 49sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5147, 50mpd 15 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
524simp3bi 1148 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
535, 37, 46, 51, 52leexp2rd 14294 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3))
54 6re 12356 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
5554a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 6 ∈ ℝ)
56 6pos 12376 . . . . . . . 8 0 < 6
5756a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 6)
58 lediv1 12133 . . . . . . 7 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
5933, 8, 55, 57, 58syl112anc 1376 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
6053, 59mpbid 232 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6))
6129, 35, 11, 36, 60ltletrd 11421 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑3) / 6))
6228, 29, 11, 31, 61lelttrd 11419 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) < ((𝐴↑3) / 6))
6327, 62eqbrtrd 5165 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6))
645resincld 16179 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
6564, 12, 11absdifltd 15472 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)))))
6611recnd 11289 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
6715, 66, 66subsub4d 11651 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))))
688recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
69 3cn 12347 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
70 3ne0 12372 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
7169, 70pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
72 2cnne0 12476 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
73 divdiv1 11978 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
7471, 72, 73mp3an23 1455 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴↑3) ∈ ℂ → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
7568, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
76 3t2e6 12432 . . . . . . . . . . 11 (3 · 2) = 6
7776oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑3) / (3 · 2)) = ((𝐴↑3) / 6)
7875, 77eqtr2di 2794 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) = (((𝐴↑3) / 3) / 2))
7978, 78oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)))
80 3nn 12345 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
81 nndivre 12307 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
828, 80, 81sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
8382recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℂ)
84832halvesd 12512 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)) = ((𝐴↑3) / 3))
8579, 84eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((𝐴↑3) / 3))
8685oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
8767, 86eqtrd 2777 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
8887breq1d 5153 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ↔ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)))
8915, 66npcand 11624 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) = 𝐴)
9089breq2d 5155 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) ↔ (sin‘𝐴) < 𝐴))
9188, 90anbi12d 632 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6))) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
9265, 91bitrd 279 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
9363, 92mpbid 232 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  6c6 12325  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  (,]cioc 13388  cexp 14102  !cfa 14312  cim 15137  abscabs 15273  Σcsu 15722  sincsin 16099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105
This theorem is referenced by:  sinltx  16225  sin01gt0  16226  tangtx  26547  sinccvglem  35677
  Copyright terms: Public domain W3C validator