Theorem sin01bnd 16112

Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sin01bnd	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))

Proof of Theorem sin01bnd

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11181	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1re 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		elioc2 13330	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		3nn0 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		reexpcl 14003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9		6nn 12235	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
10		nndivre 12187	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
11	8, 9, 10	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
12	5, 11	resubcld 11566	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
14		ax-icn 11087	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
15	5	recnd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		mulcl 11112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
18		4nn0 12421	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
20	19	eftlcl 16034	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
21	17, 18, 20	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
22	21	imcld 15120	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℂ)
24	19	resin4p 16065	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
25	5, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
26	13, 23, 25	mvrladdd 11551	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) = (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
27	26	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) = (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
28	23	abscld 15364	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ∈ ℝ)
29	21	abscld 15364	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
30		absimle 15234	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
31	21, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
32		reexpcl 14003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
33	5, 18, 32	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
34		nndivre 12187	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
35	33, 9, 34	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
36	19	ef01bndlem 16111	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
37	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ ℕ0)
38		4z 12527	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
39		3re 12226	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
40		4re 12230	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
41		3lt4 12315	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
42	39, 40, 41	ltleii 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≤ 4
43		3z 12526	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
44	43	eluz1i 12761	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
45	38, 42, 44	mpbir2an 711	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ (ℤ≥‘3))
47	4	simp2bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
48		0re 11136	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
49		ltle 11222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
50	48, 5, 49	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
51	47, 50	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
52	4	simp3bi 1147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
53	5, 37, 46, 51, 52	leexp2rd 14180	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3))
54		6re 12236	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 6 ∈ ℝ)
56		6pos 12256	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 6
57	56	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 6)
58		lediv1 12008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
59	33, 8, 55, 57, 58	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
60	53, 59	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6))
61	29, 35, 11, 36, 60	ltletrd 11294	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑3) / 6))
62	28, 29, 11, 31, 61	lelttrd 11292	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) < ((𝐴↑3) / 6))
63	27, 62	eqbrtrd 5117	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6))
64	5	resincld 16070	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
65	64, 12, 11	absdifltd 15361	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)))))
66	11	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
67	15, 66, 66	subsub4d 11524	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))))
68	8	recnd 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
69		3cn 12227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
70		3ne0 12252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 0
71	69, 70	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
72		2cnne0 12351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
73		divdiv1 11853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
74	71, 72, 73	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℂ → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
75	68, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
76		3t2e6 12307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 2) = 6
77	76	oveq2i 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑3) / (3 · 2)) = ((𝐴↑3) / 6)
78	75, 77	eqtr2di 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) = (((𝐴↑3) / 3) / 2))
79	78, 78	oveq12d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)))
80		3nn 12225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
81		nndivre 12187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
82	8, 80, 81	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
83	82	recnd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℂ)
84	83	2halvesd 12388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)) = ((𝐴↑3) / 3))
85	79, 84	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((𝐴↑3) / 3))
86	85	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
87	67, 86	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
88	87	breq1d 5105	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ↔ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)))
89	15, 66	npcand 11497	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) = 𝐴)
90	89	breq2d 5107	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) ↔ (sin‘𝐴) < 𝐴))
91	88, 90	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6))) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
92	65, 91	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
93	63, 92	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029  ici 11030   + caddc 11031   · cmul 11033  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  3c3 12202  4c4 12203  6c6 12205  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  (,]cioc 13267  ↑cexp 13986  !cfa 14198  ℑcim 15023  abscabs 15159  Σcsu 15611  sincsin 15988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994

This theorem is referenced by:  sinltx  16116  sin01gt0  16117  tangtx  26430  sinccvglem  35644