MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin01bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin01bnd 16135
Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sin01bnd (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))

Proof of Theorem sin01bnd
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11265 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
2 1re 11218 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3 elioc2 13393 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1)))
41, 2, 3mp2an 689 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1))
54simp1bi 1142 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 3nn0 12494 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„•0
7 reexpcl 14049 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
85, 6, 7sylancl 585 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9 6nn 12305 . . . . . . . 8 6 ∈ β„•
10 nndivre 12257 . . . . . . . 8 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ β„•) β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
118, 9, 10sylancl 585 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
125, 11resubcld 11646 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
1312recnd 11246 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ β„‚)
14 ax-icn 11171 . . . . . . . . 9 i ∈ β„‚
155recnd 11246 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
16 mulcl 11196 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
1714, 15, 16sylancr 586 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
18 4nn0 12495 . . . . . . . 8 4 ∈ β„•0
19 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
2019eftlcl 16057 . . . . . . . 8 (((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ 4 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2117, 18, 20sylancl 585 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2221imcld 15148 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2322recnd 11246 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
2419resin4p 16088 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))))
255, 24syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (sinβ€˜π΄) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))))
2613, 23, 25mvrladdd 11631 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6))) = (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
2726fveq2d 6889 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) = (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))))
2823abscld 15389 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2921abscld 15389 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
30 absimle 15262 . . . . 5 (Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
3121, 30syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
32 reexpcl 14049 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑4) ∈ ℝ)
335, 18, 32sylancl 585 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑4) ∈ ℝ)
34 nndivre 12257 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ β„•) β†’ ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3533, 9, 34sylancl 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3619ef01bndlem 16134 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) < ((𝐴↑4) / 6))
376a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 3 ∈ β„•0)
38 4z 12600 . . . . . . . . 9 4 ∈ β„€
39 3re 12296 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
40 4re 12300 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
41 3lt4 12390 . . . . . . . . . 10 3 < 4
4239, 40, 41ltleii 11341 . . . . . . . . 9 3 ≀ 4
43 3z 12599 . . . . . . . . . 10 3 ∈ β„€
4443eluz1i 12834 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ↔ (4 ∈ β„€ ∧ 3 ≀ 4))
4538, 42, 44mpbir2an 708 . . . . . . . 8 4 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)
4645a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 4 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
474simp2bi 1143 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < 𝐴)
48 0re 11220 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
49 ltle 11306 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
5048, 5, 49sylancr 586 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
5147, 50mpd 15 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 ≀ 𝐴)
524simp3bi 1144 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ≀ 1)
535, 37, 46, 51, 52leexp2rd 14223 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑4) ≀ (𝐴↑3))
54 6re 12306 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
5554a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 6 ∈ ℝ)
56 6pos 12326 . . . . . . . 8 0 < 6
5756a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < 6)
58 lediv1 12083 . . . . . . 7 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) β†’ ((𝐴↑4) ≀ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≀ ((𝐴↑3) / 6)))
5933, 8, 55, 57, 58syl112anc 1371 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑4) ≀ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≀ ((𝐴↑3) / 6)))
6053, 59mpbid 231 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑4) / 6) ≀ ((𝐴↑3) / 6))
6129, 35, 11, 36, 60ltletrd 11378 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) < ((𝐴↑3) / 6))
6228, 29, 11, 31, 61lelttrd 11376 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) < ((𝐴↑3) / 6))
6327, 62eqbrtrd 5163 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6))
645resincld 16093 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6564, 12, 11absdifltd 15386 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ (((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)))))
6611recnd 11246 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ β„‚)
6715, 66, 66subsub4d 11606 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 βˆ’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))))
688recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ∈ β„‚)
69 3cn 12297 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ β„‚
70 3ne0 12322 . . . . . . . . . . . . 13 3 β‰  0
7169, 70pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (3 ∈ β„‚ ∧ 3 β‰  0)
72 2cnne0 12426 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
73 divdiv1 11929 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴↑3) ∈ β„‚ ∧ (3 ∈ β„‚ ∧ 3 β‰  0) ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)))
7471, 72, 73mp3an23 1449 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴↑3) ∈ β„‚ β†’ (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)))
7568, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)))
76 3t2e6 12382 . . . . . . . . . . 11 (3 Β· 2) = 6
7776oveq2i 7416 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)) = ((𝐴↑3) / 6)
7875, 77eqtr2di 2783 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 6) = (((𝐴↑3) / 3) / 2))
7978, 78oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)))
80 3nn 12295 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ β„•
81 nndivre 12257 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
828, 80, 81sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
8382recnd 11246 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ β„‚)
84832halvesd 12462 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)) = ((𝐴↑3) / 3))
8579, 84eqtrd 2766 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((𝐴↑3) / 3))
8685oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))) = (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)))
8767, 86eqtrd 2766 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)))
8887breq1d 5151 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) < (sinβ€˜π΄) ↔ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄)))
8915, 66npcand 11579 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) = 𝐴)
9089breq2d 5153 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((sinβ€˜π΄) < ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) ↔ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))
9188, 90anbi12d 630 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6))) ↔ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴)))
9265, 91bitrd 279 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴)))
9363, 92mpbid 231 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  6c6 12275  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  (,]cioc 13331  β†‘cexp 14032  !cfa 14238  β„‘cim 15051  abscabs 15187  Ξ£csu 15638  sincsin 16013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019
This theorem is referenced by:  sinltx  16139  sin01gt0  16140  tangtx  26395  sinccvglem  35185
  Copyright terms: Public domain W3C validator