MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin01bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin01bnd 16161
Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sin01bnd (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))

Proof of Theorem sin01bnd
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11291 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
2 1re 11244 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3 elioc2 13419 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1)))
41, 2, 3mp2an 690 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1))
54simp1bi 1142 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 3nn0 12520 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„•0
7 reexpcl 14075 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
85, 6, 7sylancl 584 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9 6nn 12331 . . . . . . . 8 6 ∈ β„•
10 nndivre 12283 . . . . . . . 8 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ β„•) β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
118, 9, 10sylancl 584 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
125, 11resubcld 11672 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
1312recnd 11272 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ β„‚)
14 ax-icn 11197 . . . . . . . . 9 i ∈ β„‚
155recnd 11272 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
16 mulcl 11222 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
1714, 15, 16sylancr 585 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
18 4nn0 12521 . . . . . . . 8 4 ∈ β„•0
19 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
2019eftlcl 16083 . . . . . . . 8 (((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ 4 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2117, 18, 20sylancl 584 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2221imcld 15174 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2322recnd 11272 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
2419resin4p 16114 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))))
255, 24syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (sinβ€˜π΄) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))))
2613, 23, 25mvrladdd 11657 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6))) = (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
2726fveq2d 6896 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) = (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))))
2823abscld 15415 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2921abscld 15415 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
30 absimle 15288 . . . . 5 (Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
3121, 30syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
32 reexpcl 14075 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑4) ∈ ℝ)
335, 18, 32sylancl 584 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑4) ∈ ℝ)
34 nndivre 12283 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ β„•) β†’ ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3533, 9, 34sylancl 584 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3619ef01bndlem 16160 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) < ((𝐴↑4) / 6))
376a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 3 ∈ β„•0)
38 4z 12626 . . . . . . . . 9 4 ∈ β„€
39 3re 12322 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
40 4re 12326 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
41 3lt4 12416 . . . . . . . . . 10 3 < 4
4239, 40, 41ltleii 11367 . . . . . . . . 9 3 ≀ 4
43 3z 12625 . . . . . . . . . 10 3 ∈ β„€
4443eluz1i 12860 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ↔ (4 ∈ β„€ ∧ 3 ≀ 4))
4538, 42, 44mpbir2an 709 . . . . . . . 8 4 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)
4645a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 4 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
474simp2bi 1143 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < 𝐴)
48 0re 11246 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
49 ltle 11332 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
5048, 5, 49sylancr 585 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
5147, 50mpd 15 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 ≀ 𝐴)
524simp3bi 1144 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ≀ 1)
535, 37, 46, 51, 52leexp2rd 14249 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑4) ≀ (𝐴↑3))
54 6re 12332 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
5554a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 6 ∈ ℝ)
56 6pos 12352 . . . . . . . 8 0 < 6
5756a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < 6)
58 lediv1 12109 . . . . . . 7 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) β†’ ((𝐴↑4) ≀ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≀ ((𝐴↑3) / 6)))
5933, 8, 55, 57, 58syl112anc 1371 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑4) ≀ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≀ ((𝐴↑3) / 6)))
6053, 59mpbid 231 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑4) / 6) ≀ ((𝐴↑3) / 6))
6129, 35, 11, 36, 60ltletrd 11404 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) < ((𝐴↑3) / 6))
6228, 29, 11, 31, 61lelttrd 11402 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) < ((𝐴↑3) / 6))
6327, 62eqbrtrd 5165 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6))
645resincld 16119 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6564, 12, 11absdifltd 15412 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ (((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)))))
6611recnd 11272 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ β„‚)
6715, 66, 66subsub4d 11632 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 βˆ’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))))
688recnd 11272 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ∈ β„‚)
69 3cn 12323 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ β„‚
70 3ne0 12348 . . . . . . . . . . . . 13 3 β‰  0
7169, 70pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . 12 (3 ∈ β„‚ ∧ 3 β‰  0)
72 2cnne0 12452 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
73 divdiv1 11955 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴↑3) ∈ β„‚ ∧ (3 ∈ β„‚ ∧ 3 β‰  0) ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)))
7471, 72, 73mp3an23 1449 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴↑3) ∈ β„‚ β†’ (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)))
7568, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)))
76 3t2e6 12408 . . . . . . . . . . 11 (3 Β· 2) = 6
7776oveq2i 7427 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)) = ((𝐴↑3) / 6)
7875, 77eqtr2di 2782 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 6) = (((𝐴↑3) / 3) / 2))
7978, 78oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)))
80 3nn 12321 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ β„•
81 nndivre 12283 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
828, 80, 81sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
8382recnd 11272 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ β„‚)
84832halvesd 12488 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)) = ((𝐴↑3) / 3))
8579, 84eqtrd 2765 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((𝐴↑3) / 3))
8685oveq2d 7432 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))) = (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)))
8767, 86eqtrd 2765 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)))
8887breq1d 5153 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) < (sinβ€˜π΄) ↔ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄)))
8915, 66npcand 11605 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) = 𝐴)
9089breq2d 5155 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((sinβ€˜π΄) < ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) ↔ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))
9188, 90anbi12d 630 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6))) ↔ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴)))
9265, 91bitrd 278 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴)))
9363, 92mpbid 231 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139  ici 11140   + caddc 11141   Β· cmul 11143  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  β„•cn 12242  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  6c6 12301  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  (,]cioc 13357  β†‘cexp 14058  !cfa 14264  β„‘cim 15077  abscabs 15213  Ξ£csu 15664  sincsin 16039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045
This theorem is referenced by:  sinltx  16165  sin01gt0  16166  tangtx  26458  sinccvglem  35333
  Copyright terms: Public domain W3C validator