MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin01bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin01bnd 16074
Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sin01bnd (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))

Proof of Theorem sin01bnd
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 11209 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
2 1re 11162 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3 elioc2 13334 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1)))
41, 2, 3mp2an 691 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1))
54simp1bi 1146 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 3nn0 12438 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„•0
7 reexpcl 13991 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
85, 6, 7sylancl 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9 6nn 12249 . . . . . . . 8 6 ∈ β„•
10 nndivre 12201 . . . . . . . 8 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ β„•) β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
118, 9, 10sylancl 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
125, 11resubcld 11590 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
1312recnd 11190 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ β„‚)
14 ax-icn 11117 . . . . . . . . 9 i ∈ β„‚
155recnd 11190 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
16 mulcl 11142 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
1714, 15, 16sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
18 4nn0 12439 . . . . . . . 8 4 ∈ β„•0
19 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
2019eftlcl 15996 . . . . . . . 8 (((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ 4 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2117, 18, 20sylancl 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2221imcld 15087 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2322recnd 11190 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
2419resin4p 16027 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))))
255, 24syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (sinβ€˜π΄) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))))
2613, 23, 25mvrladdd 11575 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6))) = (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
2726fveq2d 6851 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) = (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))))
2823abscld 15328 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2921abscld 15328 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
30 absimle 15201 . . . . 5 (Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
3121, 30syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
32 reexpcl 13991 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑4) ∈ ℝ)
335, 18, 32sylancl 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑4) ∈ ℝ)
34 nndivre 12201 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ β„•) β†’ ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3533, 9, 34sylancl 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3619ef01bndlem 16073 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) < ((𝐴↑4) / 6))
376a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 3 ∈ β„•0)
38 4z 12544 . . . . . . . . 9 4 ∈ β„€
39 3re 12240 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
40 4re 12244 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
41 3lt4 12334 . . . . . . . . . 10 3 < 4
4239, 40, 41ltleii 11285 . . . . . . . . 9 3 ≀ 4
43 3z 12543 . . . . . . . . . 10 3 ∈ β„€
4443eluz1i 12778 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ↔ (4 ∈ β„€ ∧ 3 ≀ 4))
4538, 42, 44mpbir2an 710 . . . . . . . 8 4 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)
4645a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 4 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
474simp2bi 1147 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < 𝐴)
48 0re 11164 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
49 ltle 11250 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
5048, 5, 49sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
5147, 50mpd 15 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 ≀ 𝐴)
524simp3bi 1148 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ≀ 1)
535, 37, 46, 51, 52leexp2rd 14165 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑4) ≀ (𝐴↑3))
54 6re 12250 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
5554a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 6 ∈ ℝ)
56 6pos 12270 . . . . . . . 8 0 < 6
5756a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < 6)
58 lediv1 12027 . . . . . . 7 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) β†’ ((𝐴↑4) ≀ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≀ ((𝐴↑3) / 6)))
5933, 8, 55, 57, 58syl112anc 1375 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑4) ≀ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≀ ((𝐴↑3) / 6)))
6053, 59mpbid 231 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑4) / 6) ≀ ((𝐴↑3) / 6))
6129, 35, 11, 36, 60ltletrd 11322 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) < ((𝐴↑3) / 6))
6228, 29, 11, 31, 61lelttrd 11320 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) < ((𝐴↑3) / 6))
6327, 62eqbrtrd 5132 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6))
645resincld 16032 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6564, 12, 11absdifltd 15325 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ (((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)))))
6611recnd 11190 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ β„‚)
6715, 66, 66subsub4d 11550 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 βˆ’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))))
688recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ∈ β„‚)
69 3cn 12241 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ β„‚
70 3ne0 12266 . . . . . . . . . . . . 13 3 β‰  0
7169, 70pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . 12 (3 ∈ β„‚ ∧ 3 β‰  0)
72 2cnne0 12370 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
73 divdiv1 11873 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴↑3) ∈ β„‚ ∧ (3 ∈ β„‚ ∧ 3 β‰  0) ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)))
7471, 72, 73mp3an23 1454 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴↑3) ∈ β„‚ β†’ (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)))
7568, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)))
76 3t2e6 12326 . . . . . . . . . . 11 (3 Β· 2) = 6
7776oveq2i 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)) = ((𝐴↑3) / 6)
7875, 77eqtr2di 2794 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 6) = (((𝐴↑3) / 3) / 2))
7978, 78oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)))
80 3nn 12239 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ β„•
81 nndivre 12201 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
828, 80, 81sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
8382recnd 11190 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ β„‚)
84832halvesd 12406 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)) = ((𝐴↑3) / 3))
8579, 84eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((𝐴↑3) / 3))
8685oveq2d 7378 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))) = (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)))
8767, 86eqtrd 2777 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)))
8887breq1d 5120 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) < (sinβ€˜π΄) ↔ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄)))
8915, 66npcand 11523 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) = 𝐴)
9089breq2d 5122 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((sinβ€˜π΄) < ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) ↔ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))
9188, 90anbi12d 632 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6))) ↔ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴)))
9265, 91bitrd 279 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴)))
9363, 92mpbid 231 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  6c6 12219  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  (,]cioc 13272  β†‘cexp 13974  !cfa 14180  β„‘cim 14990  abscabs 15126  Ξ£csu 15577  sincsin 15953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959
This theorem is referenced by:  sinltx  16078  sin01gt0  16079  tangtx  25878  sinccvglem  34300
  Copyright terms: Public domain W3C validator