MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin01bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin01bnd 15631
Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sin01bnd (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))

Proof of Theorem sin01bnd
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 10767 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
2 1re 10720 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3 elioc2 12885 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 692 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 1146 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 3nn0 11995 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
7 reexpcl 13539 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
85, 6, 7sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9 6nn 11806 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
10 nndivre 11758 . . . . . . . 8 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
118, 9, 10sylancl 589 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
125, 11resubcld 11147 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
1312recnd 10748 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
14 ax-icn 10675 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
155recnd 10748 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 mulcl 10700 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
1714, 15, 16sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
18 4nn0 11996 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
19 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2019eftlcl 15553 . . . . . . . 8 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2117, 18, 20sylancl 589 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2221imcld 14645 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
2322recnd 10748 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℂ)
2419resin4p 15584 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
255, 24syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
2613, 23, 25mvrladdd 11132 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) = (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
2726fveq2d 6679 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) = (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
2823abscld 14887 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ∈ ℝ)
2921abscld 14887 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
30 absimle 14760 . . . . 5 𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
3121, 30syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
32 reexpcl 13539 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
335, 18, 32sylancl 589 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
34 nndivre 11758 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3533, 9, 34sylancl 589 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3619ef01bndlem 15630 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
376a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ ℕ0)
38 4z 12098 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
39 3re 11797 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
40 4re 11801 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
41 3lt4 11891 . . . . . . . . . 10 3 < 4
4239, 40, 41ltleii 10842 . . . . . . . . 9 3 ≤ 4
43 3z 12097 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
4443eluz1i 12333 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
4538, 42, 44mpbir2an 711 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘3)
4645a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ (ℤ‘3))
474simp2bi 1147 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
48 0re 10722 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
49 ltle 10808 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5048, 5, 49sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5147, 50mpd 15 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
524simp3bi 1148 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
535, 37, 46, 51, 52leexp2rd 13711 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3))
54 6re 11807 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
5554a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 6 ∈ ℝ)
56 6pos 11827 . . . . . . . 8 0 < 6
5756a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 6)
58 lediv1 11584 . . . . . . 7 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
5933, 8, 55, 57, 58syl112anc 1375 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
6053, 59mpbid 235 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6))
6129, 35, 11, 36, 60ltletrd 10879 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑3) / 6))
6228, 29, 11, 31, 61lelttrd 10877 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) < ((𝐴↑3) / 6))
6327, 62eqbrtrd 5053 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6))
645resincld 15589 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
6564, 12, 11absdifltd 14884 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)))))
6611recnd 10748 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
6715, 66, 66subsub4d 11107 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))))
688recnd 10748 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
69 3cn 11798 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
70 3ne0 11823 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
7169, 70pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . 12 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
72 2cnne0 11927 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
73 divdiv1 11430 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
7471, 72, 73mp3an23 1454 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴↑3) ∈ ℂ → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
7568, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
76 3t2e6 11883 . . . . . . . . . . 11 (3 · 2) = 6
7776oveq2i 7182 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑3) / (3 · 2)) = ((𝐴↑3) / 6)
7875, 77eqtr2di 2790 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) = (((𝐴↑3) / 3) / 2))
7978, 78oveq12d 7189 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)))
80 3nn 11796 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
81 nndivre 11758 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
828, 80, 81sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
8382recnd 10748 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℂ)
84832halvesd 11963 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)) = ((𝐴↑3) / 3))
8579, 84eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((𝐴↑3) / 3))
8685oveq2d 7187 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
8767, 86eqtrd 2773 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
8887breq1d 5041 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ↔ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)))
8915, 66npcand 11080 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) = 𝐴)
9089breq2d 5043 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) ↔ (sin‘𝐴) < 𝐴))
9188, 90anbi12d 634 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6))) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
9265, 91bitrd 282 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
9363, 92mpbid 235 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934   class class class wbr 5031  cmpt 5111  cfv 6340  (class class class)co 7171  cc 10614  cr 10615  0cc0 10616  1c1 10617  ici 10618   + caddc 10619   · cmul 10621  *cxr 10753   < clt 10754  cle 10755  cmin 10949   / cdiv 11376  cn 11717  2c2 11772  3c3 11773  4c4 11774  6c6 11776  0cn0 11977  cz 12063  cuz 12325  (,]cioc 12823  cexp 13522  !cfa 13726  cim 14548  abscabs 14684  Σcsu 15136  sincsin 15510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-inf2 9178  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-pre-sup 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-er 8321  df-pm 8441  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-sup 8980  df-inf 8981  df-oi 9048  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-div 11377  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-n0 11978  df-z 12064  df-uz 12326  df-rp 12474  df-ioc 12827  df-ico 12828  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-fl 13254  df-seq 13462  df-exp 13523  df-fac 13727  df-hash 13784  df-shft 14517  df-cj 14549  df-re 14550  df-im 14551  df-sqrt 14685  df-abs 14686  df-limsup 14919  df-clim 14936  df-rlim 14937  df-sum 15137  df-ef 15514  df-sin 15516
This theorem is referenced by:  sinltx  15635  sin01gt0  15636  tangtx  25250  sinccvglem  33201
  Copyright terms: Public domain W3C validator