MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sin01bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sin01bnd 15286
Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sin01bnd (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))

Proof of Theorem sin01bnd
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 10402 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
2 1re 10355 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3 elioc2 12523 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 685 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 1181 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 eqid 2824 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
76resin4p 15239 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
98eqcomd 2830 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) = (sin‘𝐴))
105resincld 15244 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
1110recnd 10384 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
12 3nn0 11637 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ0
13 reexpcl 13170 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
145, 12, 13sylancl 582 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
15 6nn 11442 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
16 nndivre 11391 . . . . . . . . 9 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
1714, 15, 16sylancl 582 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
185, 17resubcld 10781 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
1918recnd 10384 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
20 ax-icn 10310 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
215recnd 10384 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 mulcl 10335 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
2320, 21, 22sylancr 583 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24 4nn0 11638 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
256eftlcl 15208 . . . . . . . . 9 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2623, 24, 25sylancl 582 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2726imcld 14311 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
2827recnd 10384 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℂ)
2911, 19, 28subaddd 10730 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) = (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) = (sin‘𝐴)))
309, 29mpbird 249 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) = (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
3130fveq2d 6436 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) = (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
3228abscld 14551 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ∈ ℝ)
3326abscld 14551 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
34 absimle 14425 . . . . 5 𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
3526, 34syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
36 reexpcl 13170 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
375, 24, 36sylancl 582 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
38 nndivre 11391 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3937, 15, 38sylancl 582 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
406ef01bndlem 15285 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
4112a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ ℕ0)
42 4z 11738 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
43 3re 11430 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
44 4re 11435 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
45 3lt4 11531 . . . . . . . . . 10 3 < 4
4643, 44, 45ltleii 10478 . . . . . . . . 9 3 ≤ 4
47 3nn 11429 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
4847nnzi 11728 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
4948eluz1i 11975 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
5042, 46, 49mpbir2an 704 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘3)
5150a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ (ℤ‘3))
524simp2bi 1182 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
53 0re 10357 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
54 ltle 10444 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5553, 5, 54sylancr 583 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5652, 55mpd 15 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
574simp3bi 1183 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
585, 41, 51, 56, 57leexp2rd 13337 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3))
59 6re 11443 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 6 ∈ ℝ)
61 6pos 11467 . . . . . . . 8 0 < 6
6261a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 6)
63 lediv1 11217 . . . . . . 7 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
6437, 14, 60, 62, 63syl112anc 1499 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
6558, 64mpbid 224 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6))
6633, 39, 17, 40, 65ltletrd 10515 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑3) / 6))
6732, 33, 17, 35, 66lelttrd 10513 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) < ((𝐴↑3) / 6))
6831, 67eqbrtrd 4894 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6))
6910, 18, 17absdifltd 14548 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)))))
7017recnd 10384 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
7121, 70, 70subsub4d 10743 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))))
7214recnd 10384 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
73 3cn 11431 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
74 3ne0 11463 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
7573, 74pm3.2i 464 . . . . . . . . . . . 12 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
76 2cnne0 11567 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
77 divdiv1 11061 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
7875, 76, 77mp3an23 1583 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴↑3) ∈ ℂ → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
7972, 78syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
80 3t2e6 11523 . . . . . . . . . . 11 (3 · 2) = 6
8180oveq2i 6915 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑3) / (3 · 2)) = ((𝐴↑3) / 6)
8279, 81syl6req 2877 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) = (((𝐴↑3) / 3) / 2))
8382, 82oveq12d 6922 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)))
84 nndivre 11391 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
8514, 47, 84sylancl 582 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
8685recnd 10384 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℂ)
87862halvesd 11603 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)) = ((𝐴↑3) / 3))
8883, 87eqtrd 2860 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((𝐴↑3) / 3))
8988oveq2d 6920 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
9071, 89eqtrd 2860 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
9190breq1d 4882 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ↔ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)))
9221, 70npcand 10716 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) = 𝐴)
9392breq2d 4884 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) ↔ (sin‘𝐴) < 𝐴))
9491, 93anbi12d 626 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6))) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
9569, 94bitrd 271 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
9668, 95mpbid 224 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2998   class class class wbr 4872  cmpt 4951  cfv 6122  (class class class)co 6904  cc 10249  cr 10250  0cc0 10251  1c1 10252  ici 10253   + caddc 10254   · cmul 10256  *cxr 10389   < clt 10390  cle 10391  cmin 10584   / cdiv 11008  cn 11349  2c2 11405  3c3 11406  4c4 11407  6c6 11409  0cn0 11617  cz 11703  cuz 11967  (,]cioc 12463  cexp 13153  !cfa 13352  cim 14214  abscabs 14350  Σcsu 14792  sincsin 15165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-pm 8124  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-rp 12112  df-ioc 12467  df-ico 12468  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-seq 13095  df-exp 13154  df-fac 13353  df-hash 13410  df-shft 14183  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-limsup 14578  df-clim 14595  df-rlim 14596  df-sum 14793  df-ef 15169  df-sin 15171
This theorem is referenced by:  sinltx  15290  sin01gt0  15291  tangtx  24656  sinccvglem  32109
  Copyright terms: Public domain W3C validator