Theorem sin01bnd 16067

Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sin01bnd	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))

Proof of Theorem sin01bnd

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1re 11155	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		elioc2 13327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		3nn0 12431	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		reexpcl 13984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9		6nn 12242	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ
10		nndivre 12194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
11	8, 9, 10	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
12	5, 11	resubcld 11583	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
14		ax-icn 11110	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
15	5	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		mulcl 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
18		4nn0 12432	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
20	19	eftlcl 15989	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
21	17, 18, 20	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
22	21	imcld 15080	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℂ)
24	19	resin4p 16020	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
25	5, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
26	13, 23, 25	mvrladdd 11568	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) = (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
27	26	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) = (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
28	23	abscld 15321	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ∈ ℝ)
29	21	abscld 15321	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
30		absimle 15194	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
31	21, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
32		reexpcl 13984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
33	5, 18, 32	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
34		nndivre 12194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
35	33, 9, 34	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
36	19	ef01bndlem 16066	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
37	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ ℕ0)
38		4z 12537	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
39		3re 12233	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
40		4re 12237	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
41		3lt4 12327	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
42	39, 40, 41	ltleii 11278	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≤ 4
43		3z 12536	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
44	43	eluz1i 12771	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
45	38, 42, 44	mpbir2an 709	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ (ℤ≥‘3))
47	4	simp2bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
48		0re 11157	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
49		ltle 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
50	48, 5, 49	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
51	47, 50	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
52	4	simp3bi 1147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
53	5, 37, 46, 51, 52	leexp2rd 14158	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3))
54		6re 12243	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 6 ∈ ℝ)
56		6pos 12263	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 6
57	56	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 6)
58		lediv1 12020	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
59	33, 8, 55, 57, 58	syl112anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
60	53, 59	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6))
61	29, 35, 11, 36, 60	ltletrd 11315	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑3) / 6))
62	28, 29, 11, 31, 61	lelttrd 11313	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) < ((𝐴↑3) / 6))
63	27, 62	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6))
64	5	resincld 16025	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
65	64, 12, 11	absdifltd 15318	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)))))
66	11	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
67	15, 66, 66	subsub4d 11543	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))))
68	8	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
69		3cn 12234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
70		3ne0 12259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 0
71	69, 70	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
72		2cnne0 12363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
73		divdiv1 11866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
74	71, 72, 73	mp3an23 1453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℂ → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
75	68, 74	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
76		3t2e6 12319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 2) = 6
77	76	oveq2i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑3) / (3 · 2)) = ((𝐴↑3) / 6)
78	75, 77	eqtr2di 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) = (((𝐴↑3) / 3) / 2))
79	78, 78	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)))
80		3nn 12232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
81		nndivre 12194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
82	8, 80, 81	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
83	82	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℂ)
84	83	2halvesd 12399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)) = ((𝐴↑3) / 3))
85	79, 84	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((𝐴↑3) / 3))
86	85	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
87	67, 86	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
88	87	breq1d 5115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ↔ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)))
89	15, 66	npcand 11516	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) = 𝐴)
90	89	breq2d 5117	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) ↔ (sin‘𝐴) < 𝐴))
91	88, 90	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6))) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
92	65, 91	bitrd 278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
93	63, 92	mpbid 231	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  6c6 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  (,]cioc 13265  ↑cexp 13967  !cfa 14173  ℑcim 14983  abscabs 15119  Σcsu 15570  sincsin 15946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952

This theorem is referenced by:  sinltx  16071  sin01gt0  16072  tangtx  25862  sinccvglem  34260