Theorem jm2.20nn 38990

Description: Lemma 2.20 of [JonesMatijasevic] p. 696, the "first step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.20nn	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ↔ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀))

Proof of Theorem jm2.20nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		nnz 11820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		frmy 38907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
5	4	fovcl 7097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
6	1, 3, 5	syl2anc 576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 11904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
8	7	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
9	8	sqvald 13325	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
10		zsqcl 13312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
12	11	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
13		frmx 38906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
14	13	fovcl 7097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
15	1, 3, 14	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 11901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
17	16	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
18	7	sqvald 13325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
19	18	adantr 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
20		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
21	19, 20	eqbrtrrd 4954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
22		nnz 11820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	3ad2ant2 1114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
24	4	fovcl 7097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
25	1, 23, 24	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
26		muldvds1 15497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
27	6, 6, 25, 26	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
28	27	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
29	21, 28	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
30		simpl1 1171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
31	3	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32	23	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		jm2.19 38986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
35	29, 34	mpbird 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ∥ 𝑀)
36		simpl2 1172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
37		simpl3 1173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
38		nndivdvds 15479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
39	36, 37, 38	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
40	35, 39	mpbid 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ)
41		nnm1nn0 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
43		zexpcl 13262	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
44	17, 42, 43	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
45	40	nnzd 11902	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
46	6	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
47	45, 46	zmulcld 11909	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
48	25	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
49		nncn 11450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
50	49	3ad2ant2 1114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
51		nncn 11450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
52	51	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
53		nnne0 11477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
54	53	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
55	50, 52, 54	divcan2d 11221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
56	55	oveq2d 6994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
57	56, 25	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) ∈ ℤ)
58	57	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) ∈ ℤ)
59	44, 46	zmulcld 11909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
60	45, 59	zmulcld 11909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
61	58, 60	zsubcld 11908	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ)
62		3nn0 11730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ0
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 3 ∈ ℕ0)
64		zexpcl 13262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
65	6, 63, 64	syl2anc 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
66	65	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
67		2nn0 11729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
69		3z 11831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℤ
70		2re 11517	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
71		3re 11523	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℝ
72		2lt3 11622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 3
73	70, 71, 72	ltleii 10565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≤ 3
74		2z 11830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
75	74	eluz1i 12069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
76	69, 73, 75	mpbir2an 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 3 ∈ (ℤ≥‘2))
78		dvdsexp 15540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
79	6, 68, 77, 78	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
80	79	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
81		jm2.23 38989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
82	30, 31, 40, 81	syl3anc 1351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
83		dvdstr 15509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
84	83	imp 398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
85	12, 66, 61, 80, 82, 84	syl32anc 1358	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
86		dvds2sub 15507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))))
87	86	imp 398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
88	12, 48, 61, 20, 85, 87	syl32anc 1358	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
89	55	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
90	89	oveq2d 6994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
91	90	oveq1d 6993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
92	91	oveq2d 6994	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
93	25	zcnd 11904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
94	93	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
95	60	zcnd 11904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℂ)
96	94, 95	nncand 10805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
97	45	zcnd 11904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
98	44	zcnd 11904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
99	97, 98, 8	mul12d 10651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
100	96, 99	eqtrd 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
101	92, 100	eqtrd 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
102	88, 101	breqtrd 4956	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
103		gcdcom 15725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)))
104	6, 16, 103	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)))
105		jm2.19lem1 38982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)) = 1)
106	1, 3, 105	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)) = 1)
107	104, 106	eqtrd 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1)
108	107	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1)
109	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 2 ∈ ℕ0)
110		rpexp12i 15925	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (2 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1 → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1))
111	46, 17, 109, 42, 110	syl112anc 1354	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1 → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1))
112	108, 111	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1)
113		coprmdvds 15856	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
114	113	imp 398	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
115	12, 44, 47, 102, 112, 114	syl32anc 1358	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
116	9, 115	eqbrtrrd 4954	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
117		rmy0 38922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
118	117	3ad2ant1 1113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
119		nngt0 11474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
120	119	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
121		0zd 11808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
122		ltrmy 38945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
123	1, 121, 3, 122	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
124	120, 123	mpbid 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
125	118, 124	eqbrtrrd 4954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
126		elnnz 11806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁)))
127	6, 125, 126	sylanbrc 575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ)
128		nnne0 11477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ → (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)
129	127, 128	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)
130	129	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)
131		dvdsmulcr 15502	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
132	46, 45, 46, 130, 131	syl112anc 1354	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
133	116, 132	mpbid 224	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁))
134	54	adantr 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ≠ 0)
135		dvdscmulr 15501	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
136	46, 45, 31, 134, 135	syl112anc 1354	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
137	133, 136	mpbird 249	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)))
138	137, 89	breqtrd 4956	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀)
139	11	adantr 473	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
140	3, 6	zmulcld 11909	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
141	4	fovcl 7097	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
142	1, 140, 141	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
143	142	adantr 473	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
144	25	adantr 473	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
145		nnm1nn0 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ → ((𝐴 Yrm 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
146	127, 145	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
147		zexpcl 13262	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
148	16, 146, 147	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
149		dvdsmul2 15495	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
150	148, 11, 149	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
151	18	oveq2d 6994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
152	148	zcnd 11904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
153	152, 7, 7	mul12d 10651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
154	151, 153	eqtrd 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
155	150, 154	breqtrd 4956	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
156	148, 6	zmulcld 11909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
157	6, 156	zmulcld 11909	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
158	142, 157	zsubcld 11908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ)
159		jm2.23 38989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
160	1, 3, 127, 159	syl3anc 1351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
161		dvdstr 15509	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
162	161	imp 398	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
163	11, 65, 158, 79, 160, 162	syl32anc 1358	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
164		dvdssub2 15514	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
165	11, 142, 157, 163, 164	syl31anc 1353	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
166	155, 165	mpbird 249	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))))
167	166	adantr 473	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))))
168		simpr 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀)
169		simpl1 1171	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
170	140	adantr 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
171	23	adantr 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
172		jm2.19 38986	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
173	169, 170, 171, 172	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
174	168, 173	mpbid 224	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
175		dvdstr 15509	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
176	175	imp 398	. . 3 ⊢ (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
177	139, 143, 144, 167, 174, 176	syl32anc 1358	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
178	138, 177	impbida 788	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ↔ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967   class class class wbr 4930  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  ℂcc 10335  0cc0 10337  1c1 10338   · cmul 10342   < clt 10476   ≤ cle 10477   − cmin 10672   / cdiv 11100  ℕcn 11441  2c2 11498  3c3 11499  ℕ₀cn0 11710  ℤcz 11796  ℤ_≥cuz 12061  ↑cexp 13247   ∥ cdvds 15470   gcd cgcd 15706   X_rm crmx 38893   Y_rm crmy 38894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415  ax-addf 10416  ax-mulf 10417

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-omul 7912  df-er 8091  df-map 8210  df-pm 8211  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-fi 8672  df-sup 8703  df-inf 8704  df-oi 8771  df-card 9164  df-acn 9167  df-cda 9390  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-xnn0 11783  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-q 12166  df-rp 12208  df-xneg 12327  df-xadd 12328  df-xmul 12329  df-ioo 12561  df-ioc 12562  df-ico 12563  df-icc 12564  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-fl 12980  df-mod 13056  df-seq 13188  df-exp 13248  df-fac 13452  df-bc 13481  df-hash 13509  df-shft 14290  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-limsup 14692  df-clim 14709  df-rlim 14710  df-sum 14907  df-ef 15284  df-sin 15286  df-cos 15287  df-pi 15289  df-dvds 15471  df-gcd 15707  df-prm 15875  df-numer 15934  df-denom 15935  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-starv 16439  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-unif 16447  df-hom 16448  df-cco 16449  df-rest 16555  df-topn 16556  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-topgen 16576  df-pt 16577  df-prds 16580  df-xrs 16634  df-qtop 16639  df-imas 16640  df-xps 16642  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-submnd 17807  df-mulg 18015  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-psmet 20242  df-xmet 20243  df-met 20244  df-bl 20245  df-mopn 20246  df-fbas 20247  df-fg 20248  df-cnfld 20251  df-top 21209  df-topon 21226  df-topsp 21248  df-bases 21261  df-cld 21334  df-ntr 21335  df-cls 21336  df-nei 21413  df-lp 21451  df-perf 21452  df-cn 21542  df-cnp 21543  df-haus 21630  df-tx 21877  df-hmeo 22070  df-fil 22161  df-fm 22253  df-flim 22254  df-flf 22255  df-xms 22636  df-ms 22637  df-tms 22638  df-cncf 23192  df-limc 24170  df-dv 24171  df-log 24844  df-squarenn 38834  df-pell1qr 38835  df-pell14qr 38836  df-pell1234qr 38837  df-pellfund 38838  df-rmx 38895  df-rmy 38896

This theorem is referenced by:  jm2.27a  38998  jm2.27c  39000