Theorem jm2.20nn 43534

Description: Lemma 2.20 of [JonesMatijasevic] p. 696, the "first step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.20nn	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ↔ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀))

Proof of Theorem jm2.20nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		nnz 12582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant3 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		frmy 43451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
5	4	fovcl 7518	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
6	1, 3, 5	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
8	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
9	8	sqvald 14149	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
10		zsqcl 14135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
12	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
13		frmx 43450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
14	13	fovcl 7518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
15	1, 3, 14	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 12586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
17	16	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
18	7	sqvald 14149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
19	18	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
20		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
21	19, 20	eqbrtrrd 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
22		nnz 12582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	3ad2ant2 1146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
24	4	fovcl 7518	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
25	1, 23, 24	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
26		muldvds1 16304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
27	6, 6, 25, 26	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
28	27	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
29	21, 28	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
30		simpl1 1204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
31	3	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32	23	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		jm2.19 43530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
35	29, 34	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ∥ 𝑀)
36		simpl2 1205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
37		simpl3 1206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
38		nndivdvds 16285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
39	36, 37, 38	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
40	35, 39	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ)
41		nnm1nn0 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
43		zexpcl 14082	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
44	17, 42, 43	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
45	40	nnzd 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
46	6	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
47	45, 46	zmulcld 12676	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
48	25	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
49		nncn 12211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
50	49	3ad2ant2 1146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
51		nncn 12211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
52	51	3ad2ant3 1147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
53		nnne0 12240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
54	53	3ad2ant3 1147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
55	50, 52, 54	divcan2d 11962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
56	55	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
57	56, 25	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) ∈ ℤ)
58	57	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) ∈ ℤ)
59	44, 46	zmulcld 12676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
60	45, 59	zmulcld 12676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
61	58, 60	zsubcld 12675	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ)
62		3nn0 12492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ0
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 3 ∈ ℕ0)
64		zexpcl 14082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
65	6, 63, 64	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
66	65	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
67		2nn0 12491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
69		3z 12597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℤ
70		2le3 12385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≤ 3
71		2z 12596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
72	71	eluz1i 12840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
73	69, 70, 72	mpbir2an 721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 3 ∈ (ℤ≥‘2))
75		dvdsexp 16352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
76	6, 68, 74, 75	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
77	76	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
78		jm2.23 43533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
79	30, 31, 40, 78	syl3anc 1389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
80	12, 66, 61, 77, 79	dvdstrd 16319	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
81		dvds2sub 16315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))))
82	81	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
83	12, 48, 61, 20, 80, 82	syl32anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
84	55	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
85	84	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
86	85	oveq1d 7405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
87	86	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
88	25	zcnd 12671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
89	88	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
90	60	zcnd 12671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℂ)
91	89, 90	nncand 11540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
92	45	zcnd 12671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
93	44	zcnd 12671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
94	92, 93, 8	mul12d 11385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
95	91, 94	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
96	87, 95	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
97	83, 96	breqtrd 5123	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
98	6, 16	gcdcomd 16538	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)))
99		jm2.19lem1 43526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)) = 1)
100	1, 3, 99	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)) = 1)
101	98, 100	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1)
102	101	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1)
103	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 2 ∈ ℕ0)
104		rpexp12i 16749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (2 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1 → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1))
105	46, 17, 103, 42, 104	syl112anc 1392	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1 → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1))
106	102, 105	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1)
107		coprmdvds 16677	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
108	107	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
109	12, 44, 47, 97, 106, 108	syl32anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
110	9, 109	eqbrtrrd 5121	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
111		rmy0 43466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
112	111	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
113		nngt0 12237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
114	113	3ad2ant3 1147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
115		0zd 12573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
116		ltrmy 43489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
117	1, 115, 3, 116	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
118	114, 117	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
119	112, 118	eqbrtrrd 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
120		elnnz 12571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁)))
121	6, 119, 120	sylanbrc 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ)
122		nnne0 12240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ → (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)
123	121, 122	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)
124	123	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)
125		dvdsmulcr 16309	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
126	46, 45, 46, 124, 125	syl112anc 1392	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
127	110, 126	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁))
128	54	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ≠ 0)
129		dvdscmulr 16308	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
130	46, 45, 31, 128, 129	syl112anc 1392	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
131	127, 130	mpbird 259	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)))
132	131, 84	breqtrd 5123	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀)
133	11	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
134	3, 6	zmulcld 12676	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
135	4	fovcl 7518	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
136	1, 134, 135	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
137	136	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
138	25	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
139		nnm1nn0 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ → ((𝐴 Yrm 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
140	121, 139	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
141		zexpcl 14082	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
142	16, 140, 141	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
143		dvdsmul2 16302	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
144	142, 11, 143	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
145	18	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
146	142	zcnd 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
147	146, 7, 7	mul12d 11385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
148	145, 147	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
149	144, 148	breqtrd 5123	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
150	142, 6	zmulcld 12676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
151	6, 150	zmulcld 12676	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
152	136, 151	zsubcld 12675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ)
153		jm2.23 43533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
154	1, 3, 121, 153	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
155	11, 65, 152, 76, 154	dvdstrd 16319	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
156		dvdssub2 16325	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
157	11, 136, 151, 155, 156	syl31anc 1391	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
158	149, 157	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))))
159	158	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))))
160		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀)
161		simpl1 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
162	134	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
163	23	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
164		jm2.19 43530	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
165	161, 162, 163, 164	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
166	160, 165	mpbid 234	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
167	133, 137, 138, 159, 166	dvdstrd 16319	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
168	132, 167	impbida 810	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ↔ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℂcc 11064  0cc0 11066  1c1 11067   · cmul 11071   < clt 11209   ≤ cle 11210   − cmin 11407   / cdiv 11837  ℕcn 12203  2c2 12265  3c3 12266  ℕ₀cn0 12474  ℤcz 12561  ℤ_≥cuz 12832  ↑cexp 14067   ∥ cdvds 16276   gcd cgcd 16518   X_rm crmx 43437   Y_rm crmy 43438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144  ax-addf 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-oadd 8434  df-omul 8435  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-fi 9350  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-card 9890  df-acn 9893  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-xnn0 12548  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-q 12943  df-rp 12987  df-xneg 13107  df-xadd 13108  df-xmul 13109  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fac 14280  df-bc 14309  df-hash 14337  df-shft 15073  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15488  df-clim 15505  df-rlim 15506  df-sum 15704  df-ef 16087  df-sin 16089  df-cos 16090  df-pi 16092  df-dvds 16277  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-numer 16760  df-denom 16761  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17522  df-qtop 17527  df-imas 17528  df-xps 17530  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-mulg 19100  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-psmet 21403  df-xmet 21404  df-met 21405  df-bl 21406  df-mopn 21407  df-fbas 21408  df-fg 21409  df-cnfld 21412  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-bases 22993  df-cld 23066  df-ntr 23067  df-cls 23068  df-nei 23145  df-lp 23183  df-perf 23184  df-cn 23274  df-cnp 23275  df-haus 23362  df-tx 23609  df-hmeo 23802  df-fil 23893  df-fm 23985  df-flim 23986  df-flf 23987  df-xms 24367  df-ms 24368  df-tms 24369  df-cncf 24927  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26608  df-squarenn 43378  df-pell1qr 43379  df-pell14qr 43380  df-pell1234qr 43381  df-pellfund 43382  df-rmx 43439  df-rmy 43440

This theorem is referenced by:  jm2.27a  43542  jm2.27c  43544