Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.20nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.20nn 41324
Description: Lemma 2.20 of [JonesMatijasevic] p. 696, the "first step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.20nn ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀) ↔ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀))

Proof of Theorem jm2.20nn
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2 nnz 12521 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
323ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4 frmy 41241 . . . . . . . . . . 11 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
54fovcl 7485 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
61, 3, 5syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
76zcnd 12609 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚)
87adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚)
98sqvald 14049 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
10 zsqcl 14035 . . . . . . . . 9 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€)
116, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€)
1211adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€)
13 frmx 41240 . . . . . . . . . . . 12 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
1413fovcl 7485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
151, 3, 14syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
1615nn0zd 12526 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
1716adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
187sqvald 14049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
1918adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
20 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀))
2119, 20eqbrtrrd 5130 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀))
22 nnz 12521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
23223ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
244fovcl 7485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
251, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
26 muldvds1 16164 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)))
276, 6, 25, 26syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)))
2827adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)))
2921, 28mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀))
30 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
313adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3223adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
33 jm2.19 41320 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑁 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑁 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)))
3529, 34mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 𝑁 βˆ₯ 𝑀)
36 simpl2 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
37 simpl3 1194 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
38 nndivdvds 16146 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„•))
3936, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑁 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„•))
4035, 39mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„•)
41 nnm1nn0 12455 . . . . . . . . 9 ((𝑀 / 𝑁) ∈ β„• β†’ ((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
43 zexpcl 13983 . . . . . . . 8 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ ((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4417, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4540nnzd 12527 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„€)
466adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
4745, 46zmulcld 12614 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€)
4825adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
49 nncn 12162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
50493ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
51 nncn 12162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
52513ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
53 nnne0 12188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
54533ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 β‰  0)
5550, 52, 54divcan2d 11934 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
5655oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
5756, 25eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) ∈ β„€)
5857adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) ∈ β„€)
5944, 46zmulcld 12614 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€)
6045, 59zmulcld 12614 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„€)
6158, 60zsubcld 12613 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ β„€)
62 3nn0 12432 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ β„•0
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 3 ∈ β„•0)
64 zexpcl 13983 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ β„€)
656, 63, 64syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ β„€)
6665adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ β„€)
67 2nn0 12431 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•0
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„•0)
69 3z 12537 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ β„€
70 2re 12228 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
71 3re 12234 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℝ
72 2lt3 12326 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < 3
7370, 71, 72ltleii 11279 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≀ 3
74 2z 12536 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„€
7574eluz1i 12772 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (3 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 3))
7669, 73, 75mpbir2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
78 dvdsexp 16211 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„•0 ∧ 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
796, 68, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
8079adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
81 jm2.23 41323 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
8230, 31, 40, 81syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
8312, 66, 61, 80, 82dvdstrd 16178 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
84 dvds2sub 16174 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ β„€) β†’ ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))))
8584imp 408 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))))
8612, 48, 61, 20, 83, 85syl32anc 1379 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))))
8755adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
8887oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
8988oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) = ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
9089oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))) = ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))))
9125zcnd 12609 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚)
9291adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚)
9360zcnd 12609 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„‚)
9492, 93nncand 11518 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))) = ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
9545zcnd 12609 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„‚)
9644zcnd 12609 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
9795, 96, 8mul12d 11365 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
9894, 97eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
9990, 98eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
10086, 99breqtrd 5132 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
1016, 16gcdcomd 16395 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)))
102 jm2.19lem1 41316 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)) = 1)
1031, 3, 102syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)) = 1)
104101, 103eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1)
105104adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1)
10667a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 2 ∈ β„•0)
107 rpexp12i 16601 . . . . . . . . 9 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (2 ∈ β„•0 ∧ ((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1 β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1))) = 1))
10846, 17, 106, 42, 107syl112anc 1375 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1 β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1))) = 1))
109105, 108mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1))) = 1)
110 coprmdvds 16530 . . . . . . . 8 ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€) β†’ ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1))) = 1) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
111110imp 408 . . . . . . 7 (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1))) = 1)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
11212, 44, 47, 100, 109, 111syl32anc 1379 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
1139, 112eqbrtrrd 5130 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
114 rmy0 41256 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
1151143ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
116 nngt0 12185 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑁)
1171163ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑁)
118 0zd 12512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„€)
119 ltrmy 41279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
1201, 118, 3, 119syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
121117, 120mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
122115, 121eqbrtrrd 5130 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
123 elnnz 12510 . . . . . . . . 9 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„• ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁)))
1246, 122, 123sylanbrc 584 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•)
125 nnne0 12188 . . . . . . . 8 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„• β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) β‰  0)
126124, 125syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) β‰  0)
127126adantr 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) β‰  0)
128 dvdsmulcr 16169 . . . . . 6 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) β‰  0)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝑀 / 𝑁)))
12946, 45, 46, 127, 128syl112anc 1375 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝑀 / 𝑁)))
130113, 129mpbid 231 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝑀 / 𝑁))
13154adantr 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 𝑁 β‰  0)
132 dvdscmulr 16168 . . . . 5 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ ((𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝑀 / 𝑁)))
13346, 45, 31, 131, 132syl112anc 1375 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝑀 / 𝑁)))
134130, 133mpbird 257 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁)))
135134, 87breqtrd 5132 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀)
13611adantr 482 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€)
1373, 6zmulcld 12614 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€)
1384fovcl 7485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„€)
1391, 137, 138syl2anc 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„€)
140139adantr 482 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„€)
14125adantr 482 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
142 nnm1nn0 12455 . . . . . . . . 9 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„• β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
143124, 142syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
144 zexpcl 13983 . . . . . . . 8 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
14516, 143, 144syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
146 dvdsmul2 16162 . . . . . . 7 ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
147145, 11, 146syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
14818oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
149145zcnd 12609 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
150149, 7, 7mul12d 11365 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
151148, 150eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
152147, 151breqtrd 5132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
153145, 6zmulcld 12614 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€)
1546, 153zmulcld 12614 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„€)
155139, 154zsubcld 12613 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ β„€)
156 jm2.23 41323 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
1571, 3, 124, 156syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
15811, 65, 155, 79, 157dvdstrd 16178 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
159 dvdssub2 16184 . . . . . 6 (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
16011, 139, 154, 158, 159syl31anc 1374 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
161152, 160mpbird 257 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
162161adantr 482 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
163 simpr 486 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀)
164 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
165137adantr 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€)
16623adantr 482 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
167 jm2.19 41320 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)))
168164, 165, 166, 167syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ ((𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)))
169163, 168mpbid 231 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀))
170136, 140, 141, 162, 169dvdstrd 16178 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀))
171135, 170impbida 800 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀) ↔ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   Β· cmul 11057   < clt 11190   ≀ cle 11191   βˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  β„•cn 12154  2c2 12209  3c3 12210  β„•0cn0 12414  β„€cz 12500  β„€β‰₯cuz 12764  β†‘cexp 13968   βˆ₯ cdvds 16137   gcd cgcd 16375   Xrm crmx 41226   Yrm crmy 41227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-card 9876  df-acn 9879  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-fac 14175  df-bc 14204  df-hash 14232  df-shft 14953  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-limsup 15354  df-clim 15371  df-rlim 15372  df-sum 15572  df-ef 15951  df-sin 15953  df-cos 15954  df-pi 15956  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-numer 16611  df-denom 16612  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-rest 17305  df-topn 17306  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-topgen 17326  df-pt 17327  df-prds 17330  df-xrs 17385  df-qtop 17390  df-imas 17391  df-xps 17393  df-mre 17467  df-mrc 17468  df-acs 17470  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-mulg 18874  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-fbas 20796  df-fg 20797  df-cnfld 20800  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-cld 22373  df-ntr 22374  df-cls 22375  df-nei 22452  df-lp 22490  df-perf 22491  df-cn 22581  df-cnp 22582  df-haus 22669  df-tx 22916  df-hmeo 23109  df-fil 23200  df-fm 23292  df-flim 23293  df-flf 23294  df-xms 23676  df-ms 23677  df-tms 23678  df-cncf 24244  df-limc 25233  df-dv 25234  df-log 25915  df-squarenn 41167  df-pell1qr 41168  df-pell14qr 41169  df-pell1234qr 41170  df-pellfund 41171  df-rmx 41228  df-rmy 41229
This theorem is referenced by:  jm2.27a  41332  jm2.27c  41334
  Copyright terms: Public domain W3C validator