jm2.20nn - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem jm2.20nn 41721

Description: Lemma 2.20 of [JonesMatijasevic] p. 696, the "first step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
jm2.20nn	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀) ↔ (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀))

**Proof of Theorem jm2.20nn**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		nnz 12575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		frmy 41638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
5	4	fovcl 7533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
6	1, 3, 5	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℂ)
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℂ)
9	8	sqvald 14104	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
10		zsqcl 14090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
13		frmx 41637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ X_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℕ₀
14	13	fovcl 7533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℕ₀)
15	1, 3, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℕ₀)
16	15	nn0zd 12580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ)
18	7	sqvald 14104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
20		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀))
21	19, 20	eqbrtrrd 5171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀))
22		nnz 12575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
24	4	fovcl 7533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
25	1, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
26		muldvds1 16220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)))
27	6, 6, 25, 26	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)))
29	21, 28	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀))
30		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
31	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		jm2.19 41717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)))
35	29, 34	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → 𝑁 ∥ 𝑀)
36		simpl2 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
37		simpl3 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
38		nndivdvds 16202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
39	36, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
40	35, 39	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ)
41		nnm1nn0 12509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀)
43		zexpcl 14038	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀) → ((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
44	17, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
45	40	nnzd 12581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
46	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
47	45, 46	zmulcld 12668	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℤ)
48	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
49		nncn 12216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
50	49	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
51		nncn 12216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
52	51	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
53		nnne0 12242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
54	53	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
55	50, 52, 54	divcan2d 11988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
56	55	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) = (𝐴 Y_rm 𝑀))
57	56, 25	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) ∈ ℤ)
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) ∈ ℤ)
59	44, 46	zmulcld 12668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℤ)
60	45, 59	zmulcld 12668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℤ)
61	58, 60	zsubcld 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∈ ℤ)
62		3nn0 12486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 3 ∈ ℕ₀)
64		zexpcl 14038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ₀) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
65	6, 63, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
67		2nn0 12485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ₀)
69		3z 12591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℤ
70		2re 12282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
71		3re 12288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℝ
72		2lt3 12380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 3
73	70, 71, 72	ltleii 11333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≤ 3
74		2z 12590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
75	74	eluz1i 12826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
76	69, 73, 75	mpbir2an 709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ (ℤ_≥‘2)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 3 ∈ (ℤ_≥‘2))
78		dvdsexp 16267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ₀ ∧ 3 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑3))
79	6, 68, 77, 78	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑3))
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑3))
81		jm2.23 41720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
82	30, 31, 40, 81	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
83	12, 66, 61, 80, 82	dvdstrd 16234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
84		dvds2sub 16230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∈ ℤ) → ((((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝑀) − ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))))
85	84	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝑀) − ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))))
86	12, 48, 61, 20, 83, 85	syl32anc 1378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝑀) − ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))))
87	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
88	87	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) = (𝐴 Y_rm 𝑀))
89	88	oveq1d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) = ((𝐴 Y_rm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
90	89	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) − ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))) = ((𝐴 Y_rm 𝑀) − ((𝐴 Y_rm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))))
91	25	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℂ)
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℂ)
93	60	zcnd 12663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℂ)
94	92, 93	nncand 11572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) − ((𝐴 Y_rm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))) = ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
95	45	zcnd 12663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
96	44	zcnd 12663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
97	95, 96, 8	mul12d 11419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
98	94, 97	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) − ((𝐴 Y_rm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))) = (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
99	90, 98	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) − ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))) = (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
100	86, 99	breqtrd 5173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
101	6, 16	gcdcomd 16451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁) gcd (𝐴 X_rm 𝑁)) = ((𝐴 X_rm 𝑁) gcd (𝐴 Y_rm 𝑁)))
102		jm2.19lem1 41713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) gcd (𝐴 Y_rm 𝑁)) = 1)
103	1, 3, 102	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) gcd (𝐴 Y_rm 𝑁)) = 1)
104	101, 103	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁) gcd (𝐴 X_rm 𝑁)) = 1)
105	104	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁) gcd (𝐴 X_rm 𝑁)) = 1)
106	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → 2 ∈ ℕ₀)
107		rpexp12i 16657	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (2 ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀)) → (((𝐴 Y_rm 𝑁) gcd (𝐴 X_rm 𝑁)) = 1 → (((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1))
108	46, 17, 106, 42, 107	syl112anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (((𝐴 Y_rm 𝑁) gcd (𝐴 X_rm 𝑁)) = 1 → (((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1))
109	105, 108	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1)
110		coprmdvds 16586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℤ) → ((((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∧ (((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
111	110	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∧ (((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
112	12, 44, 47, 100, 109, 111	syl32anc 1378	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
113	9, 112	eqbrtrrd 5171	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
114		rmy0 41653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 Y_rm 0) = 0)
115	114	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm 0) = 0)
116		nngt0 12239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
117	116	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
118		0zd 12566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
119		ltrmy 41676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Y_rm 0) < (𝐴 Y_rm 𝑁)))
120	1, 118, 3, 119	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Y_rm 0) < (𝐴 Y_rm 𝑁)))
121	117, 120	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm 0) < (𝐴 Y_rm 𝑁))
122	115, 121	eqbrtrrd 5171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Y_rm 𝑁))
123		elnnz 12564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 Y_rm 𝑁)))
124	6, 122, 123	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℕ)
125		nnne0 12242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℕ → (𝐴 Y_rm 𝑁) ≠ 0)
126	124, 125	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ≠ 0)
127	126	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ≠ 0)
128		dvdsmulcr 16225	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑁) ≠ 0)) → (((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ↔ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
129	46, 45, 46, 127, 128	syl112anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ↔ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
130	113, 129	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁))
131	54	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → 𝑁 ≠ 0)
132		dvdscmulr 16224	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ↔ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
133	46, 45, 31, 131, 132	syl112anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → ((𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ↔ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
134	130, 133	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)))
135	134, 87	breqtrd 5173	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀)
136	11	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
137	3, 6	zmulcld 12668	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℤ)
138	4	fovcl 7533	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℤ)
139	1, 137, 138	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℤ)
140	139	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℤ)
141	25	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
142		nnm1nn0 12509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℕ → ((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀)
143	124, 142	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀)
144		zexpcl 14038	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀) → ((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
145	16, 143, 144	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
146		dvdsmul2 16218	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∈ ℤ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)))
147	145, 11, 146	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)))
148	18	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)) = (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
149	145	zcnd 12663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
150	149, 7, 7	mul12d 11419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
151	148, 150	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)) = ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
152	147, 151	breqtrd 5173	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
153	145, 6	zmulcld 12668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℤ)
154	6, 153	zmulcld 12668	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℤ)
155	139, 154	zsubcld 12667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))) − ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) ∈ ℤ)
156		jm2.23 41720	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))) − ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
157	1, 3, 124, 156	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))) − ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
158	11, 65, 155, 79, 157	dvdstrd 16234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))) − ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
159		dvdssub2 16240	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))) − ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))) → (((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
160	11, 139, 154, 158, 159	syl31anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝑁) · (((𝐴 X_rm 𝑁)↑((𝐴 Y_rm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
161	152, 160	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
162	161	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
163		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀)
164		simpl1 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
165	137	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℤ)
166	23	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
167		jm2.19 41717	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)))
168	164, 165, 166, 167	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀)))
169	163, 168	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝐴 Y_rm (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀))
170	136, 140, 141, 162, 169	dvdstrd 16234	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀))
171	135, 170	impbida 799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Y_rm 𝑀) ↔ (𝑁 · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∥ 𝑀))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 class class class wbr 5147 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 ℂcc 11104 0cc0 11106 1c1 11107 · cmul 11111 < clt 11244 ≤ cle 11245 − cmin 11440 / cdiv 11867 ℕcn 12208 2c2 12263 3c3 12264 ℕ₀cn0 12468 ℤcz 12554 ℤ_≥cuz 12818 ↑cexp 14023 ∥ cdvds 16193 gcd cgcd 16431 X_rm crmx 41623 Y_rm crmy 41624

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-inf2 9632 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 ax-addf 11185 ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-tp 4632 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7666 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-oadd 8466 df-omul 8467 df-er 8699 df-map 8818 df-pm 8819 df-ixp 8888 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-fsupp 9358 df-fi 9402 df-sup 9433 df-inf 9434 df-oi 9501 df-card 9930 df-acn 9933 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-4 12273 df-5 12274 df-6 12275 df-7 12276 df-8 12277 df-9 12278 df-n0 12469 df-xnn0 12541 df-z 12555 df-dec 12674 df-uz 12819 df-q 12929 df-rp 12971 df-xneg 13088 df-xadd 13089 df-xmul 13090 df-ioo 13324 df-ioc 13325 df-ico 13326 df-icc 13327 df-fz 13481 df-fzo 13624 df-fl 13753 df-mod 13831 df-seq 13963 df-exp 14024 df-fac 14230 df-bc 14259 df-hash 14287 df-shft 15010 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-sqrt 15178 df-abs 15179 df-limsup 15411 df-clim 15428 df-rlim 15429 df-sum 15629 df-ef 16007 df-sin 16009 df-cos 16010 df-pi 16012 df-dvds 16194 df-gcd 16432 df-prm 16605 df-numer 16667 df-denom 16668 df-struct 17076 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17141 df-ress 17170 df-plusg 17206 df-mulr 17207 df-starv 17208 df-sca 17209 df-vsca 17210 df-ip 17211 df-tset 17212 df-ple 17213 df-ds 17215 df-unif 17216 df-hom 17217 df-cco 17218 df-rest 17364 df-topn 17365 df-0g 17383 df-gsum 17384 df-topgen 17385 df-pt 17386 df-prds 17389 df-xrs 17444 df-qtop 17449 df-imas 17450 df-xps 17452 df-mre 17526 df-mrc 17527 df-acs 17529 df-mgm 18557 df-sgrp 18606 df-mnd 18622 df-submnd 18668 df-mulg 18945 df-cntz 19175 df-cmn 19644 df-psmet 20928 df-xmet 20929 df-met 20930 df-bl 20931 df-mopn 20932 df-fbas 20933 df-fg 20934 df-cnfld 20937 df-top 22387 df-topon 22404 df-topsp 22426 df-bases 22440 df-cld 22514 df-ntr 22515 df-cls 22516 df-nei 22593 df-lp 22631 df-perf 22632 df-cn 22722 df-cnp 22723 df-haus 22810 df-tx 23057 df-hmeo 23250 df-fil 23341 df-fm 23433 df-flim 23434 df-flf 23435 df-xms 23817 df-ms 23818 df-tms 23819 df-cncf 24385 df-limc 25374 df-dv 25375 df-log 26056 df-squarenn 41564 df-pell1qr 41565 df-pell14qr 41566 df-pell1234qr 41567 df-pellfund 41568 df-rmx 41625 df-rmy 41626

This theorem is referenced by: jm2.27a 41729 jm2.27c 41731

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