Theorem jm2.20nn 40819

Description: Lemma 2.20 of [JonesMatijasevic] p. 696, the "first step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.20nn	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ↔ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀))

Proof of Theorem jm2.20nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		nnz 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		frmy 40736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
5	4	fovcl 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
6	1, 3, 5	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
9	8	sqvald 13861	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
10		zsqcl 13848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
13		frmx 40735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
14	13	fovcl 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
15	1, 3, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 12424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
18	7	sqvald 13861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
20		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
21	19, 20	eqbrtrrd 5098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
22		nnz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
24	4	fovcl 7402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
25	1, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
26		muldvds1 15990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
27	6, 6, 25, 26	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
29	21, 28	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
30		simpl1 1190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
31	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		jm2.19 40815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
35	29, 34	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ∥ 𝑀)
36		simpl2 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
37		simpl3 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
38		nndivdvds 15972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
39	36, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
40	35, 39	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ)
41		nnm1nn0 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
43		zexpcl 13797	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
44	17, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
45	40	nnzd 12425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
46	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
47	45, 46	zmulcld 12432	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
48	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
49		nncn 11981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
50	49	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
51		nncn 11981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
52	51	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
53		nnne0 12007	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
54	53	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
55	50, 52, 54	divcan2d 11753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
56	55	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
57	56, 25	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) ∈ ℤ)
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) ∈ ℤ)
59	44, 46	zmulcld 12432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
60	45, 59	zmulcld 12432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
61	58, 60	zsubcld 12431	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ)
62		3nn0 12251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ0
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 3 ∈ ℕ0)
64		zexpcl 13797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
65	6, 63, 64	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
67		2nn0 12250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
69		3z 12353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℤ
70		2re 12047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
71		3re 12053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℝ
72		2lt3 12145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 3
73	70, 71, 72	ltleii 11098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≤ 3
74		2z 12352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
75	74	eluz1i 12590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
76	69, 73, 75	mpbir2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 3 ∈ (ℤ≥‘2))
78		dvdsexp 16037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
79	6, 68, 77, 78	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
81		jm2.23 40818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
82	30, 31, 40, 81	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
83	12, 66, 61, 80, 82	dvdstrd 16004	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
84		dvds2sub 16000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))))
85	84	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
86	12, 48, 61, 20, 83, 85	syl32anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
87	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
88	87	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
89	88	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
90	89	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
91	25	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
93	60	zcnd 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℂ)
94	92, 93	nncand 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
95	45	zcnd 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
96	44	zcnd 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
97	95, 96, 8	mul12d 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
98	94, 97	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
99	90, 98	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
100	86, 99	breqtrd 5100	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
101	6, 16	gcdcomd 16221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)))
102		jm2.19lem1 40811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)) = 1)
103	1, 3, 102	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)) = 1)
104	101, 103	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1)
105	104	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1)
106	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 2 ∈ ℕ0)
107		rpexp12i 16429	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (2 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1 → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1))
108	46, 17, 106, 42, 107	syl112anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1 → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1))
109	105, 108	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1)
110		coprmdvds 16358	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
111	110	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
112	12, 44, 47, 100, 109, 111	syl32anc 1377	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
113	9, 112	eqbrtrrd 5098	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
114		rmy0 40751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
115	114	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
116		nngt0 12004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
117	116	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
118		0zd 12331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
119		ltrmy 40774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
120	1, 118, 3, 119	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
121	117, 120	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
122	115, 121	eqbrtrrd 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
123		elnnz 12329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁)))
124	6, 122, 123	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ)
125		nnne0 12007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ → (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)
126	124, 125	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)
127	126	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)
128		dvdsmulcr 15995	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
129	46, 45, 46, 127, 128	syl112anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
130	113, 129	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁))
131	54	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ≠ 0)
132		dvdscmulr 15994	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
133	46, 45, 31, 131, 132	syl112anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
134	130, 133	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)))
135	134, 87	breqtrd 5100	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀)
136	11	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
137	3, 6	zmulcld 12432	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
138	4	fovcl 7402	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
139	1, 137, 138	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
140	139	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
141	25	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
142		nnm1nn0 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ → ((𝐴 Yrm 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
143	124, 142	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
144		zexpcl 13797	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
145	16, 143, 144	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
146		dvdsmul2 15988	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
147	145, 11, 146	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
148	18	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
149	145	zcnd 12427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
150	149, 7, 7	mul12d 11184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
151	148, 150	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
152	147, 151	breqtrd 5100	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
153	145, 6	zmulcld 12432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
154	6, 153	zmulcld 12432	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
155	139, 154	zsubcld 12431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ)
156		jm2.23 40818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
157	1, 3, 124, 156	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
158	11, 65, 155, 79, 157	dvdstrd 16004	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
159		dvdssub2 16010	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
160	11, 139, 154, 158, 159	syl31anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
161	152, 160	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))))
162	161	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))))
163		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀)
164		simpl1 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
165	137	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
166	23	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
167		jm2.19 40815	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
168	164, 165, 166, 167	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
169	163, 168	mpbid 231	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
170	136, 140, 141, 162, 169	dvdstrd 16004	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
171	135, 170	impbida 798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ↔ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ↑cexp 13782   ∥ cdvds 15963   gcd cgcd 16201   X_rm crmx 40722   Y_rm crmy 40723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-numer 16439  df-denom 16440  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-squarenn 40663  df-pell1qr 40664  df-pell14qr 40665  df-pell1234qr 40666  df-pellfund 40667  df-rmx 40724  df-rmy 40725

This theorem is referenced by:  jm2.27a  40827  jm2.27c  40829