Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.20nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.20nn 41721
Description: Lemma 2.20 of [JonesMatijasevic] p. 696, the "first step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.20nn ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀) ↔ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀))

Proof of Theorem jm2.20nn
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2 nnz 12575 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
323ad2ant3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4 frmy 41638 . . . . . . . . . . 11 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
54fovcl 7533 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
61, 3, 5syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
76zcnd 12663 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚)
87adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚)
98sqvald 14104 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
10 zsqcl 14090 . . . . . . . . 9 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€)
116, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€)
1211adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€)
13 frmx 41637 . . . . . . . . . . . 12 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
1413fovcl 7533 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
151, 3, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
1615nn0zd 12580 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
1716adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
187sqvald 14104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
20 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀))
2119, 20eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀))
22 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„€)
23223ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
244fovcl 7533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
251, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
26 muldvds1 16220 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)))
276, 6, 25, 26syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)))
2921, 28mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀))
30 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
313adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3223adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
33 jm2.19 41717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑁 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑁 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)))
3529, 34mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 𝑁 βˆ₯ 𝑀)
36 simpl2 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
37 simpl3 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
38 nndivdvds 16202 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„•))
3936, 37, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑁 βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„•))
4035, 39mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„•)
41 nnm1nn0 12509 . . . . . . . . 9 ((𝑀 / 𝑁) ∈ β„• β†’ ((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
43 zexpcl 14038 . . . . . . . 8 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ ((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4417, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4540nnzd 12581 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„€)
466adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
4745, 46zmulcld 12668 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€)
4825adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
49 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
50493ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
51 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
52513ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
53 nnne0 12242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
54533ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 β‰  0)
5550, 52, 54divcan2d 11988 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
5655oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
5756, 25eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) ∈ β„€)
5857adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) ∈ β„€)
5944, 46zmulcld 12668 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€)
6045, 59zmulcld 12668 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„€)
6158, 60zsubcld 12667 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ β„€)
62 3nn0 12486 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ β„•0
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 3 ∈ β„•0)
64 zexpcl 14038 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ β„€)
656, 63, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ β„€)
6665adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ β„€)
67 2nn0 12485 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•0
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ β„•0)
69 3z 12591 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ β„€
70 2re 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
71 3re 12288 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℝ
72 2lt3 12380 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < 3
7370, 71, 72ltleii 11333 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≀ 3
74 2z 12590 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„€
7574eluz1i 12826 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (3 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 3))
7669, 73, 75mpbir2an 709 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
78 dvdsexp 16267 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„•0 ∧ 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
796, 68, 77, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
8079adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
81 jm2.23 41720 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
8230, 31, 40, 81syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
8312, 66, 61, 80, 82dvdstrd 16234 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
84 dvds2sub 16230 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ β„€) β†’ ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))))
8584imp 407 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))))
8612, 48, 61, 20, 83, 85syl32anc 1378 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))))
8755adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
8887oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
8988oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) = ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
9089oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))) = ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))))
9125zcnd 12663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚)
9291adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚)
9360zcnd 12663 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„‚)
9492, 93nncand 11572 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))) = ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
9545zcnd 12663 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„‚)
9644zcnd 12663 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
9795, 96, 8mul12d 11419 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
9894, 97eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
9990, 98eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁))) βˆ’ ((𝑀 / 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
10086, 99breqtrd 5173 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
1016, 16gcdcomd 16451 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)))
102 jm2.19lem1 41713 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)) = 1)
1031, 3, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)) = 1)
104101, 103eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1)
105104adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1)
10667a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 2 ∈ β„•0)
107 rpexp12i 16657 . . . . . . . . 9 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (2 ∈ β„•0 ∧ ((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1 β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1))) = 1))
10846, 17, 106, 42, 107syl112anc 1374 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1 β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1))) = 1))
109105, 108mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1))) = 1)
110 coprmdvds 16586 . . . . . . . 8 ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€) β†’ ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1))) = 1) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
111110imp 407 . . . . . . 7 (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) βˆ’ 1))) = 1)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
11212, 44, 47, 100, 109, 111syl32anc 1378 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
1139, 112eqbrtrrd 5171 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
114 rmy0 41653 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
1151143ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
116 nngt0 12239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑁)
1171163ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑁)
118 0zd 12566 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„€)
119 ltrmy 41676 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
1201, 118, 3, 119syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
121117, 120mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
122115, 121eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
123 elnnz 12564 . . . . . . . . 9 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„• ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁)))
1246, 122, 123sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•)
125 nnne0 12242 . . . . . . . 8 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„• β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) β‰  0)
126124, 125syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) β‰  0)
127126adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) β‰  0)
128 dvdsmulcr 16225 . . . . . 6 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) β‰  0)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝑀 / 𝑁)))
12946, 45, 46, 127, 128syl112anc 1374 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ ((𝑀 / 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝑀 / 𝑁)))
130113, 129mpbid 231 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝑀 / 𝑁))
13154adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ 𝑁 β‰  0)
132 dvdscmulr 16224 . . . . 5 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 β‰  0)) β†’ ((𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝑀 / 𝑁)))
13346, 45, 31, 131, 132syl112anc 1374 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ ((𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) βˆ₯ (𝑀 / 𝑁)))
134130, 133mpbird 256 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ (𝑁 Β· (𝑀 / 𝑁)))
135134, 87breqtrd 5173 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀)
13611adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€)
1373, 6zmulcld 12668 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€)
1384fovcl 7533 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„€)
1391, 137, 138syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„€)
140139adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„€)
14125adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
142 nnm1nn0 12509 . . . . . . . . 9 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„• β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
143124, 142syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
144 zexpcl 14038 . . . . . . . 8 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
14516, 143, 144syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
146 dvdsmul2 16218 . . . . . . 7 ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
147145, 11, 146syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
14818oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
149145zcnd 12663 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
150149, 7, 7mul12d 11419 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
151148, 150eqtrd 2772 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
152147, 151breqtrd 5173 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
153145, 6zmulcld 12668 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€)
1546, 153zmulcld 12668 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„€)
155139, 154zsubcld 12667 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ β„€)
156 jm2.23 41720 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
1571, 3, 124, 156syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
15811, 65, 155, 79, 157dvdstrd 16234 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
159 dvdssub2 16240 . . . . . 6 (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
16011, 139, 154, 158, 159syl31anc 1373 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
161152, 160mpbird 256 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
162161adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
163 simpr 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀)
164 simpl1 1191 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
165137adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€)
16623adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
167 jm2.19 41717 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)))
168164, 165, 166, 167syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ ((𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀)))
169163, 168mpbid 231 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀))
170136, 140, 141, 162, 169dvdstrd 16234 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀))
171135, 170impbida 799 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑀) ↔ (𝑁 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ₯ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β†‘cexp 14023   βˆ₯ cdvds 16193   gcd cgcd 16431   Xrm crmx 41623   Yrm crmy 41624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-numer 16667  df-denom 16668  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-squarenn 41564  df-pell1qr 41565  df-pell14qr 41566  df-pell1234qr 41567  df-pellfund 41568  df-rmx 41625  df-rmy 41626
This theorem is referenced by:  jm2.27a  41729  jm2.27c  41731
  Copyright terms: Public domain W3C validator