Theorem jm2.20nn 42954

Description: Lemma 2.20 of [JonesMatijasevic] p. 696, the "first step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.20nn	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ↔ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀))

Proof of Theorem jm2.20nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		nnz 12660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		frmy 42871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
5	4	fovcl 7578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
6	1, 3, 5	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
9	8	sqvald 14193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
10		zsqcl 14179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
13		frmx 42870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
14	13	fovcl 7578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
15	1, 3, 14	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 12665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
18	7	sqvald 14193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
20		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
21	19, 20	eqbrtrrd 5190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
22		nnz 12660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
23	22	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
24	4	fovcl 7578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
25	1, 23, 24	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
26		muldvds1 16329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
27	6, 6, 25, 26	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
29	21, 28	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
30		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
31	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		jm2.19 42950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
35	29, 34	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ∥ 𝑀)
36		simpl2 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
37		simpl3 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
38		nndivdvds 16311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
39	36, 37, 38	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
40	35, 39	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ)
41		nnm1nn0 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
43		zexpcl 14127	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
44	17, 42, 43	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
45	40	nnzd 12666	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
46	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
47	45, 46	zmulcld 12753	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
48	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
49		nncn 12301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
50	49	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
51		nncn 12301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
52	51	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
53		nnne0 12327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
54	53	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
55	50, 52, 54	divcan2d 12072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
56	55	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
57	56, 25	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) ∈ ℤ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) ∈ ℤ)
59	44, 46	zmulcld 12753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
60	45, 59	zmulcld 12753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
61	58, 60	zsubcld 12752	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ)
62		3nn0 12571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℕ0
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 3 ∈ ℕ0)
64		zexpcl 14127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
65	6, 63, 64	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
67		2nn0 12570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
69		3z 12676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℤ
70		2re 12367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
71		3re 12373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℝ
72		2lt3 12465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 3
73	70, 71, 72	ltleii 11413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≤ 3
74		2z 12675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
75	74	eluz1i 12911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
76	69, 73, 75	mpbir2an 710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 3 ∈ (ℤ≥‘2))
78		dvdsexp 16376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
79	6, 68, 77, 78	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))
81		jm2.23 42953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
82	30, 31, 40, 81	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
83	12, 66, 61, 80, 82	dvdstrd 16343	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
84		dvds2sub 16339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))))
85	84	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
86	12, 48, 61, 20, 83, 85	syl32anc 1378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
87	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
88	87	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) = (𝐴 Yrm 𝑀))
89	88	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
90	89	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))))
91	25	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
93	60	zcnd 12748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℂ)
94	92, 93	nncand 11652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
95	45	zcnd 12748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
96	44	zcnd 12748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
97	95, 96, 8	mul12d 11499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
98	94, 97	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
99	90, 98	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) − ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝑀 / 𝑁))) − ((𝑀 / 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
100	86, 99	breqtrd 5192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
101	6, 16	gcdcomd 16560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)))
102		jm2.19lem1 42946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)) = 1)
103	1, 3, 102	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) gcd (𝐴 Yrm 𝑁)) = 1)
104	101, 103	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1)
105	104	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1)
106	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 2 ∈ ℕ0)
107		rpexp12i 16771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (2 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑀 / 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1 → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1))
108	46, 17, 106, 42, 107	syl112anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) gcd (𝐴 Xrm 𝑁)) = 1 → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1))
109	105, 108	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1)
110		coprmdvds 16700	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
111	110	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1)) · ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) gcd ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝑀 / 𝑁) − 1))) = 1)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
112	12, 44, 47, 100, 109, 111	syl32anc 1378	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
113	9, 112	eqbrtrrd 5190	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
114		rmy0 42886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
115	114	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
116		nngt0 12324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
117	116	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
118		0zd 12651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
119		ltrmy 42909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
120	1, 118, 3, 119	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
121	117, 120	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
122	115, 121	eqbrtrrd 5190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
123		elnnz 12649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁)))
124	6, 122, 123	sylanbrc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ)
125		nnne0 12327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ → (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)
126	124, 125	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)
127	126	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)
128		dvdsmulcr 16334	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ≠ 0)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
129	46, 45, 46, 127, 128	syl112anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ ((𝑀 / 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
130	113, 129	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁))
131	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → 𝑁 ≠ 0)
132		dvdscmulr 16333	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
133	46, 45, 31, 131, 132	syl112anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) ∥ (𝑀 / 𝑁)))
134	130, 133	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)))
135	134, 87	breqtrd 5192	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀)
136	11	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ)
137	3, 6	zmulcld 12753	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
138	4	fovcl 7578	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
139	1, 137, 138	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
140	139	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
141	25	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
142		nnm1nn0 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ → ((𝐴 Yrm 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
143	124, 142	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
144		zexpcl 14127	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) − 1) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
145	16, 143, 144	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℤ)
146		dvdsmul2 16327	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
147	145, 11, 146	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
148	18	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
149	145	zcnd 12748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
150	149, 7, 7	mul12d 11499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
151	148, 150	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
152	147, 151	breqtrd 5192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
153	145, 6	zmulcld 12753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
154	6, 153	zmulcld 12753	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
155	139, 154	zsubcld 12752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) ∈ ℤ)
156		jm2.23 42953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
157	1, 3, 124, 156	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
158	11, 65, 155, 79, 157	dvdstrd 16343	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
159		dvdssub2 16349	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) − ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
160	11, 139, 154, 158, 159	syl31anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑((𝐴 Yrm 𝑁) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
161	152, 160	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))))
162	161	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))))
163		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀)
164		simpl1 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
165	137	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
166	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
167		jm2.19 42950	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
168	164, 165, 166, 167	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀)))
169	163, 168	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
170	136, 140, 141, 162, 169	dvdstrd 16343	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀))
171	135, 170	impbida 800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑀) ↔ (𝑁 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∥ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ↑cexp 14112   ∥ cdvds 16302   gcd cgcd 16540   X_rm crmx 42856   Y_rm crmy 42857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-numer 16782  df-denom 16783  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-squarenn 42797  df-pell1qr 42798  df-pell14qr 42799  df-pell1234qr 42800  df-pellfund 42801  df-rmx 42858  df-rmy 42859

This theorem is referenced by:  jm2.27a  42962  jm2.27c  42964