MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef01bndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef01bndlem 16134
Description: Lemma for sin01bnd 16135 and cos01bnd 16136. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
ef01bnd.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
ef01bndlem (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) < ((๐ดโ†‘4) / 6))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘›,๐ด   ๐‘˜,๐น
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem ef01bndlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11171 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
2 0xr 11265 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„*
3 1re 11218 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
4 elioc2 13393 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)))
52, 3, 4mp2an 689 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))
65simp1bi 1142 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
76recnd 11246 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8 mulcl 11196 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
91, 7, 8sylancr 586 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
10 4nn0 12495 . . . 4 4 โˆˆ โ„•0
11 ef01bnd.1 . . . . 5 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
1211eftlcl 16057 . . . 4 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
139, 10, 12sylancl 585 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1413abscld 15389 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
15 reexpcl 14049 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„)
166, 10, 15sylancl 585 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„)
17 4re 12300 . . . . 5 4 โˆˆ โ„
1817, 3readdcli 11233 . . . 4 (4 + 1) โˆˆ โ„
19 faccl 14248 . . . . . 6 (4 โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜4) โˆˆ โ„•)
2010, 19ax-mp 5 . . . . 5 (!โ€˜4) โˆˆ โ„•
21 4nn 12299 . . . . 5 4 โˆˆ โ„•
2220, 21nnmulcli 12241 . . . 4 ((!โ€˜4) ยท 4) โˆˆ โ„•
23 nndivre 12257 . . . 4 (((4 + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜4) ยท 4) โˆˆ โ„•) โ†’ ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„)
2418, 22, 23mp2an 689 . . 3 ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„
25 remulcl 11197 . . 3 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) โˆˆ โ„)
2616, 24, 25sylancl 585 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) โˆˆ โ„)
27 6nn 12305 . . 3 6 โˆˆ โ„•
28 nndivre 12257 . . 3 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 6 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) โˆˆ โ„)
2916, 27, 28sylancl 585 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) โˆˆ โ„)
30 eqid 2726 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
31 eqid 2726 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) / (!โ€˜4)) ยท ((1 / (4 + 1))โ†‘๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) / (!โ€˜4)) ยท ((1 / (4 + 1))โ†‘๐‘›)))
3221a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 4 โˆˆ โ„•)
33 absmul 15247 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)))
341, 7, 33sylancr 586 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)))
35 absi 15239 . . . . . . . 8 (absโ€˜i) = 1
3635oveq1i 7415 . . . . . . 7 ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)) = (1 ยท (absโ€˜๐ด))
375simp2bi 1143 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < ๐ด)
386, 37elrpd 13019 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
39 rpre 12988 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
40 rpge0 12993 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
4139, 40absidd 15375 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
4238, 41syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
4342oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 ยท (absโ€˜๐ด)) = (1 ยท ๐ด))
4436, 43eqtrid 2778 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)) = (1 ยท ๐ด))
457mullidd 11236 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
4634, 44, 453eqtrd 2770 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) = ๐ด)
475simp3bi 1144 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
4846, 47eqbrtrd 5163 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) โ‰ค 1)
4911, 30, 31, 32, 9, 48eftlub 16059 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))))
5046oveq1d 7420 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) = (๐ดโ†‘4))
5150oveq1d 7420 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) = ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))))
5249, 51breqtrd 5167 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))))
53 3pos 12321 . . . . . . . . 9 0 < 3
54 0re 11220 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
55 3re 12296 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„
56 5re 12303 . . . . . . . . . 10 5 โˆˆ โ„
5754, 55, 56ltadd1i 11772 . . . . . . . . 9 (0 < 3 โ†” (0 + 5) < (3 + 5))
5853, 57mpbi 229 . . . . . . . 8 (0 + 5) < (3 + 5)
59 5cn 12304 . . . . . . . . 9 5 โˆˆ โ„‚
6059addlidi 11406 . . . . . . . 8 (0 + 5) = 5
61 cu2 14169 . . . . . . . . 9 (2โ†‘3) = 8
62 5p3e8 12373 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
63 3cn 12297 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„‚
6459, 63addcomi 11409 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = (3 + 5)
6561, 62, 643eqtr2ri 2761 . . . . . . . 8 (3 + 5) = (2โ†‘3)
6658, 60, 653brtr3i 5170 . . . . . . 7 5 < (2โ†‘3)
67 2re 12290 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
68 1le2 12425 . . . . . . . 8 1 โ‰ค 2
69 4z 12600 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„ค
70 3lt4 12390 . . . . . . . . . 10 3 < 4
7155, 17, 70ltleii 11341 . . . . . . . . 9 3 โ‰ค 4
72 3z 12599 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„ค
7372eluz1i 12834 . . . . . . . . 9 (4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” (4 โˆˆ โ„ค โˆง 3 โ‰ค 4))
7469, 71, 73mpbir2an 708 . . . . . . . 8 4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)
75 leexp2a 14142 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค 2 โˆง 4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2โ†‘3) โ‰ค (2โ†‘4))
7667, 68, 74, 75mp3an 1457 . . . . . . 7 (2โ†‘3) โ‰ค (2โ†‘4)
77 8re 12312 . . . . . . . . 9 8 โˆˆ โ„
7861, 77eqeltri 2823 . . . . . . . 8 (2โ†‘3) โˆˆ โ„
79 2nn 12289 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•
80 nnexpcl 14045 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„• โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘4) โˆˆ โ„•)
8179, 10, 80mp2an 689 . . . . . . . . 9 (2โ†‘4) โˆˆ โ„•
8281nnrei 12225 . . . . . . . 8 (2โ†‘4) โˆˆ โ„
8356, 78, 82ltletri 11346 . . . . . . 7 ((5 < (2โ†‘3) โˆง (2โ†‘3) โ‰ค (2โ†‘4)) โ†’ 5 < (2โ†‘4))
8466, 76, 83mp2an 689 . . . . . 6 5 < (2โ†‘4)
85 6re 12306 . . . . . . . 8 6 โˆˆ โ„
8685, 82remulcli 11234 . . . . . . 7 (6 ยท (2โ†‘4)) โˆˆ โ„
87 6pos 12326 . . . . . . . 8 0 < 6
8881nngt0i 12255 . . . . . . . 8 0 < (2โ†‘4)
8985, 82, 87, 88mulgt0ii 11351 . . . . . . 7 0 < (6 ยท (2โ†‘4))
9056, 82, 86, 89ltdiv1ii 12147 . . . . . 6 (5 < (2โ†‘4) โ†” (5 / (6 ยท (2โ†‘4))) < ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4))))
9184, 90mpbi 229 . . . . 5 (5 / (6 ยท (2โ†‘4))) < ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4)))
92 df-5 12282 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
93 df-4 12281 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
9493fveq2i 6888 . . . . . . . . . 10 (!โ€˜4) = (!โ€˜(3 + 1))
95 3nn0 12494 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„•0
96 facp1 14243 . . . . . . . . . . 11 (3 โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(3 + 1)) = ((!โ€˜3) ยท (3 + 1)))
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!โ€˜(3 + 1)) = ((!โ€˜3) ยท (3 + 1))
98 sq2 14166 . . . . . . . . . . . 12 (2โ†‘2) = 4
9998, 93eqtr2i 2755 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = (2โ†‘2)
10099oveq2i 7416 . . . . . . . . . 10 ((!โ€˜3) ยท (3 + 1)) = ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2))
10194, 97, 1003eqtri 2758 . . . . . . . . 9 (!โ€˜4) = ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2))
102101oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((!โ€˜4) ยท (2โ†‘2)) = (((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2)) ยท (2โ†‘2))
10398oveq2i 7416 . . . . . . . 8 ((!โ€˜4) ยท (2โ†‘2)) = ((!โ€˜4) ยท 4)
104 fac3 14245 . . . . . . . . . 10 (!โ€˜3) = 6
105 6cn 12307 . . . . . . . . . 10 6 โˆˆ โ„‚
106104, 105eqeltri 2823 . . . . . . . . 9 (!โ€˜3) โˆˆ โ„‚
10717recni 11232 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„‚
10898, 107eqeltri 2823 . . . . . . . . 9 (2โ†‘2) โˆˆ โ„‚
109106, 108, 108mulassi 11229 . . . . . . . 8 (((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2)) ยท (2โ†‘2)) = ((!โ€˜3) ยท ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
110102, 103, 1093eqtr3i 2762 . . . . . . 7 ((!โ€˜4) ยท 4) = ((!โ€˜3) ยท ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
111 2p2e4 12351 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
112111oveq2i 7416 . . . . . . . . 9 (2โ†‘(2 + 2)) = (2โ†‘4)
113 2cn 12291 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„‚
114 2nn0 12493 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
115 expadd 14075 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0 โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2 + 2)) = ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
116113, 114, 114, 115mp3an 1457 . . . . . . . . 9 (2โ†‘(2 + 2)) = ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2))
117112, 116eqtr3i 2756 . . . . . . . 8 (2โ†‘4) = ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2))
118117oveq2i 7416 . . . . . . 7 ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘4)) = ((!โ€˜3) ยท ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
119104oveq1i 7415 . . . . . . 7 ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘4)) = (6 ยท (2โ†‘4))
120110, 118, 1193eqtr2ri 2761 . . . . . 6 (6 ยท (2โ†‘4)) = ((!โ€˜4) ยท 4)
12192, 120oveq12i 7417 . . . . 5 (5 / (6 ยท (2โ†‘4))) = ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))
12281nncni 12226 . . . . . . . 8 (2โ†‘4) โˆˆ โ„‚
123122mullidi 11223 . . . . . . 7 (1 ยท (2โ†‘4)) = (2โ†‘4)
124123oveq1i 7415 . . . . . 6 ((1 ยท (2โ†‘4)) / (6 ยท (2โ†‘4))) = ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4)))
12581nnne0i 12256 . . . . . . . . 9 (2โ†‘4) โ‰  0
126122, 125dividi 11951 . . . . . . . 8 ((2โ†‘4) / (2โ†‘4)) = 1
127126oveq2i 7416 . . . . . . 7 ((1 / 6) ยท ((2โ†‘4) / (2โ†‘4))) = ((1 / 6) ยท 1)
128 ax-1cn 11170 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
12985, 87gt0ne0ii 11754 . . . . . . . 8 6 โ‰  0
130128, 105, 122, 122, 129, 125divmuldivi 11978 . . . . . . 7 ((1 / 6) ยท ((2โ†‘4) / (2โ†‘4))) = ((1 ยท (2โ†‘4)) / (6 ยท (2โ†‘4)))
13185, 129rereccli 11983 . . . . . . . . 9 (1 / 6) โˆˆ โ„
132131recni 11232 . . . . . . . 8 (1 / 6) โˆˆ โ„‚
133132mulridi 11222 . . . . . . 7 ((1 / 6) ยท 1) = (1 / 6)
134127, 130, 1333eqtr3i 2762 . . . . . 6 ((1 ยท (2โ†‘4)) / (6 ยท (2โ†‘4))) = (1 / 6)
135124, 134eqtr3i 2756 . . . . 5 ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4))) = (1 / 6)
13691, 121, 1353brtr3i 5170 . . . 4 ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6)
137 rpexpcl 14051 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 4 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+)
13838, 69, 137sylancl 585 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+)
139 elrp 12982 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+ โ†” ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘4)))
140 ltmul2 12069 . . . . . . 7 ((((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„ โˆง (1 / 6) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘4))) โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
14124, 131, 140mp3an12 1447 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘4)) โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
142139, 141sylbi 216 . . . . 5 ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+ โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
143138, 142syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
144136, 143mpbii 232 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
14516recnd 11246 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
146 divrec 11892 . . . . 5 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) = ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
147105, 129, 146mp3an23 1449 . . . 4 ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) = ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
148145, 147syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) = ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
149144, 148breqtrrd 5169 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) / 6))
15014, 26, 29, 52, 149lelttrd 11376 1 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) < ((๐ดโ†‘4) / 6))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  8c8 12277  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12980  (,]cioc 13331  โ†‘cexp 14032  !cfa 14238  abscabs 15187  ฮฃcsu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  sin01bnd  16135  cos01bnd  16136
  Copyright terms: Public domain W3C validator