MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef01bndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef01bndlem 16073
Description: Lemma for sin01bnd 16074 and cos01bnd 16075. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
ef01bnd.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
ef01bndlem (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) < ((๐ดโ†‘4) / 6))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘›,๐ด   ๐‘˜,๐น
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem ef01bndlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11117 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
2 0xr 11209 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„*
3 1re 11162 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
4 elioc2 13334 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)))
52, 3, 4mp2an 691 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))
65simp1bi 1146 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
76recnd 11190 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8 mulcl 11142 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
91, 7, 8sylancr 588 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
10 4nn0 12439 . . . 4 4 โˆˆ โ„•0
11 ef01bnd.1 . . . . 5 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
1211eftlcl 15996 . . . 4 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
139, 10, 12sylancl 587 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1413abscld 15328 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
15 reexpcl 13991 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„)
166, 10, 15sylancl 587 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„)
17 4re 12244 . . . . 5 4 โˆˆ โ„
1817, 3readdcli 11177 . . . 4 (4 + 1) โˆˆ โ„
19 faccl 14190 . . . . . 6 (4 โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜4) โˆˆ โ„•)
2010, 19ax-mp 5 . . . . 5 (!โ€˜4) โˆˆ โ„•
21 4nn 12243 . . . . 5 4 โˆˆ โ„•
2220, 21nnmulcli 12185 . . . 4 ((!โ€˜4) ยท 4) โˆˆ โ„•
23 nndivre 12201 . . . 4 (((4 + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜4) ยท 4) โˆˆ โ„•) โ†’ ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„)
2418, 22, 23mp2an 691 . . 3 ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„
25 remulcl 11143 . . 3 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) โˆˆ โ„)
2616, 24, 25sylancl 587 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) โˆˆ โ„)
27 6nn 12249 . . 3 6 โˆˆ โ„•
28 nndivre 12201 . . 3 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 6 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) โˆˆ โ„)
2916, 27, 28sylancl 587 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) โˆˆ โ„)
30 eqid 2737 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
31 eqid 2737 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) / (!โ€˜4)) ยท ((1 / (4 + 1))โ†‘๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) / (!โ€˜4)) ยท ((1 / (4 + 1))โ†‘๐‘›)))
3221a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 4 โˆˆ โ„•)
33 absmul 15186 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)))
341, 7, 33sylancr 588 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)))
35 absi 15178 . . . . . . . 8 (absโ€˜i) = 1
3635oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)) = (1 ยท (absโ€˜๐ด))
375simp2bi 1147 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < ๐ด)
386, 37elrpd 12961 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
39 rpre 12930 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
40 rpge0 12935 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
4139, 40absidd 15314 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
4238, 41syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
4342oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 ยท (absโ€˜๐ด)) = (1 ยท ๐ด))
4436, 43eqtrid 2789 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)) = (1 ยท ๐ด))
457mulid2d 11180 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
4634, 44, 453eqtrd 2781 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) = ๐ด)
475simp3bi 1148 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
4846, 47eqbrtrd 5132 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) โ‰ค 1)
4911, 30, 31, 32, 9, 48eftlub 15998 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))))
5046oveq1d 7377 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) = (๐ดโ†‘4))
5150oveq1d 7377 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) = ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))))
5249, 51breqtrd 5136 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))))
53 3pos 12265 . . . . . . . . 9 0 < 3
54 0re 11164 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
55 3re 12240 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„
56 5re 12247 . . . . . . . . . 10 5 โˆˆ โ„
5754, 55, 56ltadd1i 11716 . . . . . . . . 9 (0 < 3 โ†” (0 + 5) < (3 + 5))
5853, 57mpbi 229 . . . . . . . 8 (0 + 5) < (3 + 5)
59 5cn 12248 . . . . . . . . 9 5 โˆˆ โ„‚
6059addid2i 11350 . . . . . . . 8 (0 + 5) = 5
61 cu2 14111 . . . . . . . . 9 (2โ†‘3) = 8
62 5p3e8 12317 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
63 3cn 12241 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„‚
6459, 63addcomi 11353 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = (3 + 5)
6561, 62, 643eqtr2ri 2772 . . . . . . . 8 (3 + 5) = (2โ†‘3)
6658, 60, 653brtr3i 5139 . . . . . . 7 5 < (2โ†‘3)
67 2re 12234 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
68 1le2 12369 . . . . . . . 8 1 โ‰ค 2
69 4z 12544 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„ค
70 3lt4 12334 . . . . . . . . . 10 3 < 4
7155, 17, 70ltleii 11285 . . . . . . . . 9 3 โ‰ค 4
72 3z 12543 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„ค
7372eluz1i 12778 . . . . . . . . 9 (4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” (4 โˆˆ โ„ค โˆง 3 โ‰ค 4))
7469, 71, 73mpbir2an 710 . . . . . . . 8 4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)
75 leexp2a 14084 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค 2 โˆง 4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2โ†‘3) โ‰ค (2โ†‘4))
7667, 68, 74, 75mp3an 1462 . . . . . . 7 (2โ†‘3) โ‰ค (2โ†‘4)
77 8re 12256 . . . . . . . . 9 8 โˆˆ โ„
7861, 77eqeltri 2834 . . . . . . . 8 (2โ†‘3) โˆˆ โ„
79 2nn 12233 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•
80 nnexpcl 13987 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„• โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘4) โˆˆ โ„•)
8179, 10, 80mp2an 691 . . . . . . . . 9 (2โ†‘4) โˆˆ โ„•
8281nnrei 12169 . . . . . . . 8 (2โ†‘4) โˆˆ โ„
8356, 78, 82ltletri 11290 . . . . . . 7 ((5 < (2โ†‘3) โˆง (2โ†‘3) โ‰ค (2โ†‘4)) โ†’ 5 < (2โ†‘4))
8466, 76, 83mp2an 691 . . . . . 6 5 < (2โ†‘4)
85 6re 12250 . . . . . . . 8 6 โˆˆ โ„
8685, 82remulcli 11178 . . . . . . 7 (6 ยท (2โ†‘4)) โˆˆ โ„
87 6pos 12270 . . . . . . . 8 0 < 6
8881nngt0i 12199 . . . . . . . 8 0 < (2โ†‘4)
8985, 82, 87, 88mulgt0ii 11295 . . . . . . 7 0 < (6 ยท (2โ†‘4))
9056, 82, 86, 89ltdiv1ii 12091 . . . . . 6 (5 < (2โ†‘4) โ†” (5 / (6 ยท (2โ†‘4))) < ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4))))
9184, 90mpbi 229 . . . . 5 (5 / (6 ยท (2โ†‘4))) < ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4)))
92 df-5 12226 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
93 df-4 12225 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
9493fveq2i 6850 . . . . . . . . . 10 (!โ€˜4) = (!โ€˜(3 + 1))
95 3nn0 12438 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„•0
96 facp1 14185 . . . . . . . . . . 11 (3 โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(3 + 1)) = ((!โ€˜3) ยท (3 + 1)))
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!โ€˜(3 + 1)) = ((!โ€˜3) ยท (3 + 1))
98 sq2 14108 . . . . . . . . . . . 12 (2โ†‘2) = 4
9998, 93eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = (2โ†‘2)
10099oveq2i 7373 . . . . . . . . . 10 ((!โ€˜3) ยท (3 + 1)) = ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2))
10194, 97, 1003eqtri 2769 . . . . . . . . 9 (!โ€˜4) = ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2))
102101oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((!โ€˜4) ยท (2โ†‘2)) = (((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2)) ยท (2โ†‘2))
10398oveq2i 7373 . . . . . . . 8 ((!โ€˜4) ยท (2โ†‘2)) = ((!โ€˜4) ยท 4)
104 fac3 14187 . . . . . . . . . 10 (!โ€˜3) = 6
105 6cn 12251 . . . . . . . . . 10 6 โˆˆ โ„‚
106104, 105eqeltri 2834 . . . . . . . . 9 (!โ€˜3) โˆˆ โ„‚
10717recni 11176 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„‚
10898, 107eqeltri 2834 . . . . . . . . 9 (2โ†‘2) โˆˆ โ„‚
109106, 108, 108mulassi 11173 . . . . . . . 8 (((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2)) ยท (2โ†‘2)) = ((!โ€˜3) ยท ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
110102, 103, 1093eqtr3i 2773 . . . . . . 7 ((!โ€˜4) ยท 4) = ((!โ€˜3) ยท ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
111 2p2e4 12295 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
112111oveq2i 7373 . . . . . . . . 9 (2โ†‘(2 + 2)) = (2โ†‘4)
113 2cn 12235 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„‚
114 2nn0 12437 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
115 expadd 14017 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0 โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2 + 2)) = ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
116113, 114, 114, 115mp3an 1462 . . . . . . . . 9 (2โ†‘(2 + 2)) = ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2))
117112, 116eqtr3i 2767 . . . . . . . 8 (2โ†‘4) = ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2))
118117oveq2i 7373 . . . . . . 7 ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘4)) = ((!โ€˜3) ยท ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
119104oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘4)) = (6 ยท (2โ†‘4))
120110, 118, 1193eqtr2ri 2772 . . . . . 6 (6 ยท (2โ†‘4)) = ((!โ€˜4) ยท 4)
12192, 120oveq12i 7374 . . . . 5 (5 / (6 ยท (2โ†‘4))) = ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))
12281nncni 12170 . . . . . . . 8 (2โ†‘4) โˆˆ โ„‚
123122mulid2i 11167 . . . . . . 7 (1 ยท (2โ†‘4)) = (2โ†‘4)
124123oveq1i 7372 . . . . . 6 ((1 ยท (2โ†‘4)) / (6 ยท (2โ†‘4))) = ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4)))
12581nnne0i 12200 . . . . . . . . 9 (2โ†‘4) โ‰  0
126122, 125dividi 11895 . . . . . . . 8 ((2โ†‘4) / (2โ†‘4)) = 1
127126oveq2i 7373 . . . . . . 7 ((1 / 6) ยท ((2โ†‘4) / (2โ†‘4))) = ((1 / 6) ยท 1)
128 ax-1cn 11116 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
12985, 87gt0ne0ii 11698 . . . . . . . 8 6 โ‰  0
130128, 105, 122, 122, 129, 125divmuldivi 11922 . . . . . . 7 ((1 / 6) ยท ((2โ†‘4) / (2โ†‘4))) = ((1 ยท (2โ†‘4)) / (6 ยท (2โ†‘4)))
13185, 129rereccli 11927 . . . . . . . . 9 (1 / 6) โˆˆ โ„
132131recni 11176 . . . . . . . 8 (1 / 6) โˆˆ โ„‚
133132mulid1i 11166 . . . . . . 7 ((1 / 6) ยท 1) = (1 / 6)
134127, 130, 1333eqtr3i 2773 . . . . . 6 ((1 ยท (2โ†‘4)) / (6 ยท (2โ†‘4))) = (1 / 6)
135124, 134eqtr3i 2767 . . . . 5 ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4))) = (1 / 6)
13691, 121, 1353brtr3i 5139 . . . 4 ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6)
137 rpexpcl 13993 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 4 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+)
13838, 69, 137sylancl 587 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+)
139 elrp 12924 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+ โ†” ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘4)))
140 ltmul2 12013 . . . . . . 7 ((((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„ โˆง (1 / 6) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘4))) โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
14124, 131, 140mp3an12 1452 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘4)) โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
142139, 141sylbi 216 . . . . 5 ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+ โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
143138, 142syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
144136, 143mpbii 232 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
14516recnd 11190 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
146 divrec 11836 . . . . 5 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) = ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
147105, 129, 146mp3an23 1454 . . . 4 ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) = ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
148145, 147syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) = ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
149144, 148breqtrrd 5138 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) / 6))
15014, 26, 29, 52, 149lelttrd 11320 1 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) < ((๐ดโ†‘4) / 6))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„*cxr 11195   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  8c8 12221  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  (,]cioc 13272  โ†‘cexp 13974  !cfa 14180  abscabs 15126  ฮฃcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  sin01bnd  16074  cos01bnd  16075
  Copyright terms: Public domain W3C validator