MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef01bndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef01bndlem 16158
Description: Lemma for sin01bnd 16159 and cos01bnd 16160. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
ef01bnd.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
ef01bndlem (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) < ((๐ดโ†‘4) / 6))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘›,๐ด   ๐‘˜,๐น
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem ef01bndlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11195 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
2 0xr 11289 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„*
3 1re 11242 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
4 elioc2 13417 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1)))
52, 3, 4mp2an 690 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1))
65simp1bi 1142 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
76recnd 11270 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8 mulcl 11220 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
91, 7, 8sylancr 585 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
10 4nn0 12519 . . . 4 4 โˆˆ โ„•0
11 ef01bnd.1 . . . . 5 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((i ยท ๐ด)โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
1211eftlcl 16081 . . . 4 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
139, 10, 12sylancl 584 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1413abscld 15413 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
15 reexpcl 14073 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„)
166, 10, 15sylancl 584 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„)
17 4re 12324 . . . . 5 4 โˆˆ โ„
1817, 3readdcli 11257 . . . 4 (4 + 1) โˆˆ โ„
19 faccl 14272 . . . . . 6 (4 โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜4) โˆˆ โ„•)
2010, 19ax-mp 5 . . . . 5 (!โ€˜4) โˆˆ โ„•
21 4nn 12323 . . . . 5 4 โˆˆ โ„•
2220, 21nnmulcli 12265 . . . 4 ((!โ€˜4) ยท 4) โˆˆ โ„•
23 nndivre 12281 . . . 4 (((4 + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜4) ยท 4) โˆˆ โ„•) โ†’ ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„)
2418, 22, 23mp2an 690 . . 3 ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„
25 remulcl 11221 . . 3 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) โˆˆ โ„)
2616, 24, 25sylancl 584 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) โˆˆ โ„)
27 6nn 12329 . . 3 6 โˆˆ โ„•
28 nndivre 12281 . . 3 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 6 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) โˆˆ โ„)
2916, 27, 28sylancl 584 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) โˆˆ โ„)
30 eqid 2725 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
31 eqid 2725 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) / (!โ€˜4)) ยท ((1 / (4 + 1))โ†‘๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) / (!โ€˜4)) ยท ((1 / (4 + 1))โ†‘๐‘›)))
3221a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 4 โˆˆ โ„•)
33 absmul 15271 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)))
341, 7, 33sylancr 585 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) = ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)))
35 absi 15263 . . . . . . . 8 (absโ€˜i) = 1
3635oveq1i 7425 . . . . . . 7 ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)) = (1 ยท (absโ€˜๐ด))
375simp2bi 1143 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ 0 < ๐ด)
386, 37elrpd 13043 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
39 rpre 13012 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
40 rpge0 13017 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
4139, 40absidd 15399 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
4238, 41syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜๐ด) = ๐ด)
4342oveq2d 7431 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 ยท (absโ€˜๐ด)) = (1 ยท ๐ด))
4436, 43eqtrid 2777 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((absโ€˜i) ยท (absโ€˜๐ด)) = (1 ยท ๐ด))
457mullidd 11260 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
4634, 44, 453eqtrd 2769 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) = ๐ด)
475simp3bi 1144 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
4846, 47eqbrtrd 5165 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜(i ยท ๐ด)) โ‰ค 1)
4911, 30, 31, 32, 9, 48eftlub 16083 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))))
5046oveq1d 7430 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) = (๐ดโ†‘4))
5150oveq1d 7430 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((absโ€˜(i ยท ๐ด))โ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) = ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))))
5249, 51breqtrd 5169 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))))
53 3pos 12345 . . . . . . . . 9 0 < 3
54 0re 11244 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
55 3re 12320 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„
56 5re 12327 . . . . . . . . . 10 5 โˆˆ โ„
5754, 55, 56ltadd1i 11796 . . . . . . . . 9 (0 < 3 โ†” (0 + 5) < (3 + 5))
5853, 57mpbi 229 . . . . . . . 8 (0 + 5) < (3 + 5)
59 5cn 12328 . . . . . . . . 9 5 โˆˆ โ„‚
6059addlidi 11430 . . . . . . . 8 (0 + 5) = 5
61 cu2 14193 . . . . . . . . 9 (2โ†‘3) = 8
62 5p3e8 12397 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
63 3cn 12321 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„‚
6459, 63addcomi 11433 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = (3 + 5)
6561, 62, 643eqtr2ri 2760 . . . . . . . 8 (3 + 5) = (2โ†‘3)
6658, 60, 653brtr3i 5172 . . . . . . 7 5 < (2โ†‘3)
67 2re 12314 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
68 1le2 12449 . . . . . . . 8 1 โ‰ค 2
69 4z 12624 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„ค
70 3lt4 12414 . . . . . . . . . 10 3 < 4
7155, 17, 70ltleii 11365 . . . . . . . . 9 3 โ‰ค 4
72 3z 12623 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„ค
7372eluz1i 12858 . . . . . . . . 9 (4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†” (4 โˆˆ โ„ค โˆง 3 โ‰ค 4))
7469, 71, 73mpbir2an 709 . . . . . . . 8 4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)
75 leexp2a 14166 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค 2 โˆง 4 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)) โ†’ (2โ†‘3) โ‰ค (2โ†‘4))
7667, 68, 74, 75mp3an 1457 . . . . . . 7 (2โ†‘3) โ‰ค (2โ†‘4)
77 8re 12336 . . . . . . . . 9 8 โˆˆ โ„
7861, 77eqeltri 2821 . . . . . . . 8 (2โ†‘3) โˆˆ โ„
79 2nn 12313 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•
80 nnexpcl 14069 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„• โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘4) โˆˆ โ„•)
8179, 10, 80mp2an 690 . . . . . . . . 9 (2โ†‘4) โˆˆ โ„•
8281nnrei 12249 . . . . . . . 8 (2โ†‘4) โˆˆ โ„
8356, 78, 82ltletri 11370 . . . . . . 7 ((5 < (2โ†‘3) โˆง (2โ†‘3) โ‰ค (2โ†‘4)) โ†’ 5 < (2โ†‘4))
8466, 76, 83mp2an 690 . . . . . 6 5 < (2โ†‘4)
85 6re 12330 . . . . . . . 8 6 โˆˆ โ„
8685, 82remulcli 11258 . . . . . . 7 (6 ยท (2โ†‘4)) โˆˆ โ„
87 6pos 12350 . . . . . . . 8 0 < 6
8881nngt0i 12279 . . . . . . . 8 0 < (2โ†‘4)
8985, 82, 87, 88mulgt0ii 11375 . . . . . . 7 0 < (6 ยท (2โ†‘4))
9056, 82, 86, 89ltdiv1ii 12171 . . . . . 6 (5 < (2โ†‘4) โ†” (5 / (6 ยท (2โ†‘4))) < ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4))))
9184, 90mpbi 229 . . . . 5 (5 / (6 ยท (2โ†‘4))) < ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4)))
92 df-5 12306 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
93 df-4 12305 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
9493fveq2i 6894 . . . . . . . . . 10 (!โ€˜4) = (!โ€˜(3 + 1))
95 3nn0 12518 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„•0
96 facp1 14267 . . . . . . . . . . 11 (3 โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(3 + 1)) = ((!โ€˜3) ยท (3 + 1)))
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!โ€˜(3 + 1)) = ((!โ€˜3) ยท (3 + 1))
98 sq2 14190 . . . . . . . . . . . 12 (2โ†‘2) = 4
9998, 93eqtr2i 2754 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = (2โ†‘2)
10099oveq2i 7426 . . . . . . . . . 10 ((!โ€˜3) ยท (3 + 1)) = ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2))
10194, 97, 1003eqtri 2757 . . . . . . . . 9 (!โ€˜4) = ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2))
102101oveq1i 7425 . . . . . . . 8 ((!โ€˜4) ยท (2โ†‘2)) = (((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2)) ยท (2โ†‘2))
10398oveq2i 7426 . . . . . . . 8 ((!โ€˜4) ยท (2โ†‘2)) = ((!โ€˜4) ยท 4)
104 fac3 14269 . . . . . . . . . 10 (!โ€˜3) = 6
105 6cn 12331 . . . . . . . . . 10 6 โˆˆ โ„‚
106104, 105eqeltri 2821 . . . . . . . . 9 (!โ€˜3) โˆˆ โ„‚
10717recni 11256 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„‚
10898, 107eqeltri 2821 . . . . . . . . 9 (2โ†‘2) โˆˆ โ„‚
109106, 108, 108mulassi 11253 . . . . . . . 8 (((!โ€˜3) ยท (2โ†‘2)) ยท (2โ†‘2)) = ((!โ€˜3) ยท ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
110102, 103, 1093eqtr3i 2761 . . . . . . 7 ((!โ€˜4) ยท 4) = ((!โ€˜3) ยท ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
111 2p2e4 12375 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
112111oveq2i 7426 . . . . . . . . 9 (2โ†‘(2 + 2)) = (2โ†‘4)
113 2cn 12315 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„‚
114 2nn0 12517 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
115 expadd 14099 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„•0 โˆง 2 โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(2 + 2)) = ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
116113, 114, 114, 115mp3an 1457 . . . . . . . . 9 (2โ†‘(2 + 2)) = ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2))
117112, 116eqtr3i 2755 . . . . . . . 8 (2โ†‘4) = ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2))
118117oveq2i 7426 . . . . . . 7 ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘4)) = ((!โ€˜3) ยท ((2โ†‘2) ยท (2โ†‘2)))
119104oveq1i 7425 . . . . . . 7 ((!โ€˜3) ยท (2โ†‘4)) = (6 ยท (2โ†‘4))
120110, 118, 1193eqtr2ri 2760 . . . . . 6 (6 ยท (2โ†‘4)) = ((!โ€˜4) ยท 4)
12192, 120oveq12i 7427 . . . . 5 (5 / (6 ยท (2โ†‘4))) = ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))
12281nncni 12250 . . . . . . . 8 (2โ†‘4) โˆˆ โ„‚
123122mullidi 11247 . . . . . . 7 (1 ยท (2โ†‘4)) = (2โ†‘4)
124123oveq1i 7425 . . . . . 6 ((1 ยท (2โ†‘4)) / (6 ยท (2โ†‘4))) = ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4)))
12581nnne0i 12280 . . . . . . . . 9 (2โ†‘4) โ‰  0
126122, 125dividi 11975 . . . . . . . 8 ((2โ†‘4) / (2โ†‘4)) = 1
127126oveq2i 7426 . . . . . . 7 ((1 / 6) ยท ((2โ†‘4) / (2โ†‘4))) = ((1 / 6) ยท 1)
128 ax-1cn 11194 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
12985, 87gt0ne0ii 11778 . . . . . . . 8 6 โ‰  0
130128, 105, 122, 122, 129, 125divmuldivi 12002 . . . . . . 7 ((1 / 6) ยท ((2โ†‘4) / (2โ†‘4))) = ((1 ยท (2โ†‘4)) / (6 ยท (2โ†‘4)))
13185, 129rereccli 12007 . . . . . . . . 9 (1 / 6) โˆˆ โ„
132131recni 11256 . . . . . . . 8 (1 / 6) โˆˆ โ„‚
133132mulridi 11246 . . . . . . 7 ((1 / 6) ยท 1) = (1 / 6)
134127, 130, 1333eqtr3i 2761 . . . . . 6 ((1 ยท (2โ†‘4)) / (6 ยท (2โ†‘4))) = (1 / 6)
135124, 134eqtr3i 2755 . . . . 5 ((2โ†‘4) / (6 ยท (2โ†‘4))) = (1 / 6)
13691, 121, 1353brtr3i 5172 . . . 4 ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6)
137 rpexpcl 14075 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 4 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+)
13838, 69, 137sylancl 584 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+)
139 elrp 13006 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+ โ†” ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘4)))
140 ltmul2 12093 . . . . . . 7 ((((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) โˆˆ โ„ โˆง (1 / 6) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘4))) โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
14124, 131, 140mp3an12 1447 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ดโ†‘4)) โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
142139, 141sylbi 216 . . . . 5 ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„+ โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
143138, 142syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4)) < (1 / 6) โ†” ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6))))
144136, 143mpbii 232 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
14516recnd 11270 . . . 4 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
146 divrec 11916 . . . . 5 (((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โˆˆ โ„‚ โˆง 6 โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) = ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
147105, 129, 146mp3an23 1449 . . . 4 ((๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) = ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
148145, 147syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) / 6) = ((๐ดโ†‘4) ยท (1 / 6)))
149144, 148breqtrrd 5171 . 2 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ ((๐ดโ†‘4) ยท ((4 + 1) / ((!โ€˜4) ยท 4))) < ((๐ดโ†‘4) / 6))
15014, 26, 29, 52, 149lelttrd 11400 1 (๐ด โˆˆ (0(,]1) โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)(๐นโ€˜๐‘˜)) < ((๐ดโ†‘4) / 6))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  โ„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137  ici 11138   + caddc 11139   ยท cmul 11141  โ„*cxr 11275   < clt 11276   โ‰ค cle 11277   / cdiv 11899  โ„•cn 12240  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  5c5 12298  6c6 12299  8c8 12301  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  โ„คโ‰ฅcuz 12850  โ„+crp 13004  (,]cioc 13355  โ†‘cexp 14056  !cfa 14262  abscabs 15211  ฮฃcsu 15662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663
This theorem is referenced by:  sin01bnd  16159  cos01bnd  16160
  Copyright terms: Public domain W3C validator