Theorem ef01bndlem 16200

Description: Lemma for sin01bnd 16201 and cos01bnd 16202. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
ef01bnd.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef01bndlem	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef01bndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11186	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		0xr 11280	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		1re 11233	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		elioc2 13424	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
6	5	simp1bi 1145	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11261	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		mulcl 11211	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9	1, 7, 8	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		4nn0 12518	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
11		ef01bnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
12	11	eftlcl 16123	. . . 4 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	9, 10, 12	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	abscld 15453	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
15		reexpcl 14094	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
16	6, 10, 15	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
17		4re 12322	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
18	17, 3	readdcli 11248	. . . 4 ⊢ (4 + 1) ∈ ℝ
19		faccl 14299	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘4) ∈ ℕ)
20	10, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘4) ∈ ℕ
21		4nn 12321	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
22	20, 21	nnmulcli 12263	. . . 4 ⊢ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ
23		nndivre 12279	. . . 4 ⊢ (((4 + 1) ∈ ℝ ∧ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ) → ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ)
24	18, 22, 23	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ
25		remulcl 11212	. . 3 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
26	16, 24, 25	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
27		6nn 12327	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
28		nndivre 12279	. . 3 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
29	16, 27, 28	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
30		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
31		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛)))
32	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ ℕ)
33		absmul 15311	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
34	1, 7, 33	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
35		absi 15303	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘i) = 1
36	35	oveq1i 7413	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
37	5	simp2bi 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
38	6, 37	elrpd 13046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39		rpre 13015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
40		rpge0 13020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
41	39, 40	absidd 15439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘𝐴) = 𝐴)
42	38, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
43	42	oveq2d 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
44	36, 43	eqtrid 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
45	7	mullidd 11251	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
46	34, 44, 45	3eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = 𝐴)
47	5	simp3bi 1147	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
48	46, 47	eqbrtrd 5141	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) ≤ 1)
49	11, 30, 31, 32, 9, 48	eftlub 16125	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
50	46	oveq1d 7418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘(i · 𝐴))↑4) = (𝐴↑4))
51	50	oveq1d 7418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) = ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
52	49, 51	breqtrd 5145	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ≤ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
53		3pos 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
54		0re 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
55		3re 12318	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		5re 12325	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
57	54, 55, 56	ltadd1i 11789	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < 3 ↔ (0 + 5) < (3 + 5))
58	53, 57	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 5) < (3 + 5)
59		5cn 12326	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
60	59	addlidi 11421	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 5) = 5
61		cu2 14216	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑3) = 8
62		5p3e8 12395	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 3) = 8
63		3cn 12319	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
64	59, 63	addcomi 11424	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 3) = (3 + 5)
65	61, 62, 64	3eqtr2ri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 5) = (2↑3)
66	58, 60, 65	3brtr3i 5148	. . . . . . 7 ⊢ 5 < (2↑3)
67		2re 12312	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
68		1le2 12447	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 2
69		4z 12624	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
70		3lt4 12412	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
71	55, 17, 70	ltleii 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≤ 4
72		3z 12623	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
73	72	eluz1i 12858	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
74	69, 71, 73	mpbir2an 711	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
75		leexp2a 14188	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑3) ≤ (2↑4))
76	67, 68, 74, 75	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) ≤ (2↑4)
77		8re 12334	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℝ
78	61, 77	eqeltri 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑3) ∈ ℝ
79		2nn 12311	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
80		nnexpcl 14090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
81	79, 10, 80	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ
82	81	nnrei 12247	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) ∈ ℝ
83	56, 78, 82	ltletri 11361	. . . . . . 7 ⊢ ((5 < (2↑3) ∧ (2↑3) ≤ (2↑4)) → 5 < (2↑4))
84	66, 76, 83	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ 5 < (2↑4)
85		6re 12328	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
86	85, 82	remulcli 11249	. . . . . . 7 ⊢ (6 · (2↑4)) ∈ ℝ
87		6pos 12348	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 6
88	81	nngt0i 12277	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (2↑4)
89	85, 82, 87, 88	mulgt0ii 11366	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (6 · (2↑4))
90	56, 82, 86, 89	ltdiv1ii 12169	. . . . . 6 ⊢ (5 < (2↑4) ↔ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4))))
91	84, 90	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
92		df-5 12304	. . . . . 6 ⊢ 5 = (4 + 1)
93		df-4 12303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
94	93	fveq2i 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
95		3nn0 12517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
96		facp1 14294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
98		sq2 14213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
99	98, 93	eqtr2i 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 1) = (2↑2)
100	99	oveq2i 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘3) · (3 + 1)) = ((!‘3) · (2↑2))
101	94, 97, 100	3eqtri 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · (2↑2))
102	101	oveq1i 7413	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘4) · (2↑2)) = (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2))
103	98	oveq2i 7414	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘4) · (2↑2)) = ((!‘4) · 4)
104		fac3 14296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘3) = 6
105		6cn 12329	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
106	104, 105	eqeltri 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
107	17	recni 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
108	98, 107	eqeltri 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
109	106, 108, 108	mulassi 11244	. . . . . . . 8 ⊢ (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
110	102, 103, 109	3eqtr3i 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘4) · 4) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
111		2p2e4 12373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 2) = 4
112	111	oveq2i 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑(2 + 2)) = (2↑4)
113		2cn 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
114		2nn0 12516	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
115		expadd 14120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2)))
116	113, 114, 114, 115	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2))
117	112, 116	eqtr3i 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) = ((2↑2) · (2↑2))
118	117	oveq2i 7414	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘3) · (2↑4)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
119	104	oveq1i 7413	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘3) · (2↑4)) = (6 · (2↑4))
120	110, 118, 119	3eqtr2ri 2765	. . . . . 6 ⊢ (6 · (2↑4)) = ((!‘4) · 4)
121	92, 120	oveq12i 7415	. . . . 5 ⊢ (5 / (6 · (2↑4))) = ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))
122	81	nncni 12248	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) ∈ ℂ
123	122	mullidi 11238	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (2↑4)) = (2↑4)
124	123	oveq1i 7413	. . . . . 6 ⊢ ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
125	81	nnne0i 12278	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑4) ≠ 0
126	122, 125	dividi 11972	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑4) / (2↑4)) = 1
127	126	oveq2i 7414	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 / 6) · 1)
128		ax-1cn 11185	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
129	85, 87	gt0ne0ii 11771	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ≠ 0
130	128, 105, 122, 122, 129, 125	divmuldivi 11999	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4)))
131	85, 129	rereccli 12004	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 6) ∈ ℝ
132	131	recni 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
133	132	mulridi 11237	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · 1) = (1 / 6)
134	127, 130, 133	3eqtr3i 2766	. . . . . 6 ⊢ ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
135	124, 134	eqtr3i 2760	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
136	91, 121, 135	3brtr3i 5148	. . . 4 ⊢ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6)
137		rpexpcl 14096	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
138	38, 69, 137	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
139		elrp 13008	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)))
140		ltmul2 12090	. . . . . . 7 ⊢ ((((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 6) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4))) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
141	24, 131, 140	mp3an12 1453	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
142	139, 141	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
143	138, 142	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
144	136, 143	mpbii 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
145	16	recnd 11261	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
146		divrec 11910	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
147	105, 129, 146	mp3an23 1455	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℂ → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
148	145, 147	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
149	144, 148	breqtrrd 5147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) / 6))
150	14, 26, 29, 52, 149	lelttrd 11391	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128  ici 11129   + caddc 11130   · cmul 11132  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268   / cdiv 11892  ℕcn 12238  2c2 12293  3c3 12294  4c4 12295  5c5 12296  6c6 12297  8c8 12299  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850  ℝ⁺crp 13006  (,]cioc 13361  ↑cexp 14077  !cfa 14289  abscabs 15251  Σcsu 15700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-seq 14018  df-exp 14078  df-fac 14290  df-hash 14347  df-shft 15084  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15485  df-clim 15502  df-rlim 15503  df-sum 15701

This theorem is referenced by:  sin01bnd  16201  cos01bnd  16202