MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef01bndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef01bndlem 15540
Description: Lemma for sin01bnd 15541 and cos01bnd 15542. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
ef01bnd.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef01bndlem (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef01bndlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10595 . . . . 5 i ∈ ℂ
2 0xr 10687 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
3 1re 10640 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 elioc2 12800 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
52, 3, 4mp2an 691 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
65simp1bi 1142 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 10668 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 mulcl 10620 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
91, 7, 8sylancr 590 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10 4nn0 11916 . . . 4 4 ∈ ℕ0
11 ef01bnd.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
1211eftlcl 15463 . . . 4 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
139, 10, 12sylancl 589 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413abscld 14799 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15 reexpcl 13454 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
166, 10, 15sylancl 589 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
17 4re 11721 . . . . 5 4 ∈ ℝ
1817, 3readdcli 10655 . . . 4 (4 + 1) ∈ ℝ
19 faccl 13651 . . . . . 6 (4 ∈ ℕ0 → (!‘4) ∈ ℕ)
2010, 19ax-mp 5 . . . . 5 (!‘4) ∈ ℕ
21 4nn 11720 . . . . 5 4 ∈ ℕ
2220, 21nnmulcli 11662 . . . 4 ((!‘4) · 4) ∈ ℕ
23 nndivre 11678 . . . 4 (((4 + 1) ∈ ℝ ∧ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ) → ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ)
2418, 22, 23mp2an 691 . . 3 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ
25 remulcl 10621 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancl 589 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
27 6nn 11726 . . 3 6 ∈ ℕ
28 nndivre 11678 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
2916, 27, 28sylancl 589 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
30 eqid 2824 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
31 eqid 2824 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛)))
3221a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ ℕ)
33 absmul 14657 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
341, 7, 33sylancr 590 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
35 absi 14649 . . . . . . . 8 (abs‘i) = 1
3635oveq1i 7160 . . . . . . 7 ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
375simp2bi 1143 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
386, 37elrpd 12428 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39 rpre 12397 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
40 rpge0 12402 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
4139, 40absidd 14785 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4238, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4342oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
4436, 43syl5eq 2871 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
457mulid2d 10658 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4634, 44, 453eqtrd 2863 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = 𝐴)
475simp3bi 1144 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
4846, 47eqbrtrd 5075 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) ≤ 1)
4911, 30, 31, 32, 9, 48eftlub 15465 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5046oveq1d 7165 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘(i · 𝐴))↑4) = (𝐴↑4))
5150oveq1d 7165 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) = ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5249, 51breqtrd 5079 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
53 3pos 11742 . . . . . . . . 9 0 < 3
54 0re 10642 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
55 3re 11717 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
56 5re 11724 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
5754, 55, 56ltadd1i 11193 . . . . . . . . 9 (0 < 3 ↔ (0 + 5) < (3 + 5))
5853, 57mpbi 233 . . . . . . . 8 (0 + 5) < (3 + 5)
59 5cn 11725 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
6059addid2i 10827 . . . . . . . 8 (0 + 5) = 5
61 cu2 13571 . . . . . . . . 9 (2↑3) = 8
62 5p3e8 11794 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
63 3cn 11718 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
6459, 63addcomi 10830 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = (3 + 5)
6561, 62, 643eqtr2ri 2854 . . . . . . . 8 (3 + 5) = (2↑3)
6658, 60, 653brtr3i 5082 . . . . . . 7 5 < (2↑3)
67 2re 11711 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
68 1le2 11846 . . . . . . . 8 1 ≤ 2
69 4z 12016 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
70 3lt4 11811 . . . . . . . . . 10 3 < 4
7155, 17, 70ltleii 10762 . . . . . . . . 9 3 ≤ 4
72 3z 12015 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
7372eluz1i 12251 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
7469, 71, 73mpbir2an 710 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘3)
75 leexp2a 13544 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 4 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑3) ≤ (2↑4))
7667, 68, 74, 75mp3an 1458 . . . . . . 7 (2↑3) ≤ (2↑4)
77 8re 11733 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℝ
7861, 77eqeltri 2912 . . . . . . . 8 (2↑3) ∈ ℝ
79 2nn 11710 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
80 nnexpcl 13450 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
8179, 10, 80mp2an 691 . . . . . . . . 9 (2↑4) ∈ ℕ
8281nnrei 11646 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℝ
8356, 78, 82ltletri 10767 . . . . . . 7 ((5 < (2↑3) ∧ (2↑3) ≤ (2↑4)) → 5 < (2↑4))
8466, 76, 83mp2an 691 . . . . . 6 5 < (2↑4)
85 6re 11727 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
8685, 82remulcli 10656 . . . . . . 7 (6 · (2↑4)) ∈ ℝ
87 6pos 11747 . . . . . . . 8 0 < 6
8881nngt0i 11676 . . . . . . . 8 0 < (2↑4)
8985, 82, 87, 88mulgt0ii 10772 . . . . . . 7 0 < (6 · (2↑4))
9056, 82, 86, 89ltdiv1ii 11568 . . . . . 6 (5 < (2↑4) ↔ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4))))
9184, 90mpbi 233 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
92 df-5 11703 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
93 df-4 11702 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
9493fveq2i 6665 . . . . . . . . . 10 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
95 3nn0 11915 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
96 facp1 13646 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
98 sq2 13568 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
9998, 93eqtr2i 2848 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = (2↑2)
10099oveq2i 7161 . . . . . . . . . 10 ((!‘3) · (3 + 1)) = ((!‘3) · (2↑2))
10194, 97, 1003eqtri 2851 . . . . . . . . 9 (!‘4) = ((!‘3) · (2↑2))
102101oveq1i 7160 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2))
10398oveq2i 7161 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = ((!‘4) · 4)
104 fac3 13648 . . . . . . . . . 10 (!‘3) = 6
105 6cn 11728 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
106104, 105eqeltri 2912 . . . . . . . . 9 (!‘3) ∈ ℂ
10717recni 10654 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
10898, 107eqeltri 2912 . . . . . . . . 9 (2↑2) ∈ ℂ
109106, 108, 108mulassi 10651 . . . . . . . 8 (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
110102, 103, 1093eqtr3i 2855 . . . . . . 7 ((!‘4) · 4) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
111 2p2e4 11772 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
112111oveq2i 7161 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = (2↑4)
113 2cn 11712 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
114 2nn0 11914 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
115 expadd 13479 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2)))
116113, 114, 114, 115mp3an 1458 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2))
117112, 116eqtr3i 2849 . . . . . . . 8 (2↑4) = ((2↑2) · (2↑2))
118117oveq2i 7161 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
119104oveq1i 7160 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = (6 · (2↑4))
120110, 118, 1193eqtr2ri 2854 . . . . . 6 (6 · (2↑4)) = ((!‘4) · 4)
12192, 120oveq12i 7162 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) = ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))
12281nncni 11647 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℂ
123122mulid2i 10645 . . . . . . 7 (1 · (2↑4)) = (2↑4)
124123oveq1i 7160 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
12581nnne0i 11677 . . . . . . . . 9 (2↑4) ≠ 0
126122, 125dividi 11372 . . . . . . . 8 ((2↑4) / (2↑4)) = 1
127126oveq2i 7161 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 / 6) · 1)
128 ax-1cn 10594 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
12985, 87gt0ne0ii 11175 . . . . . . . 8 6 ≠ 0
130128, 105, 122, 122, 129, 125divmuldivi 11399 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4)))
13185, 129rereccli 11404 . . . . . . . . 9 (1 / 6) ∈ ℝ
132131recni 10654 . . . . . . . 8 (1 / 6) ∈ ℂ
133132mulid1i 10644 . . . . . . 7 ((1 / 6) · 1) = (1 / 6)
134127, 130, 1333eqtr3i 2855 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
135124, 134eqtr3i 2849 . . . . 5 ((2↑4) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
13691, 121, 1353brtr3i 5082 . . . 4 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6)
137 rpexpcl 13456 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
13838, 69, 137sylancl 589 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
139 elrp 12391 . . . . . 6 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)))
140 ltmul2 11490 . . . . . . 7 ((((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 6) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4))) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
14124, 131, 140mp3an12 1448 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
142139, 141sylbi 220 . . . . 5 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
143138, 142syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
144136, 143mpbii 236 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
14516recnd 10668 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
146 divrec 11313 . . . . 5 (((𝐴↑4) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
147105, 129, 146mp3an23 1450 . . . 4 ((𝐴↑4) ∈ ℂ → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
148145, 147syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
149144, 148breqtrrd 5081 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) / 6))
15014, 26, 29, 52, 149lelttrd 10797 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5053  cmpt 5133  cfv 6344  (class class class)co 7150  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537  ici 10538   + caddc 10539   · cmul 10541  *cxr 10673   < clt 10674  cle 10675   / cdiv 11296  cn 11637  2c2 11692  3c3 11693  4c4 11694  5c5 11695  6c6 11696  8c8 11698  0cn0 11897  cz 11981  cuz 12243  +crp 12389  (,]cioc 12739  cexp 13437  !cfa 13641  abscabs 14596  Σcsu 15045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-pm 8406  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8904  df-inf 8905  df-oi 8972  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-rp 12390  df-ioc 12743  df-ico 12744  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-fl 13169  df-seq 13377  df-exp 13438  df-fac 13642  df-hash 13699  df-shft 14429  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-limsup 14831  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046
This theorem is referenced by:  sin01bnd  15541  cos01bnd  15542
  Copyright terms: Public domain W3C validator