Theorem ef01bndlem 15902

Description: Lemma for sin01bnd 15903 and cos01bnd 15904. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
ef01bnd.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef01bndlem	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef01bndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10939	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		0xr 11031	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		1re 10984	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		elioc2 13151	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
5	2, 3, 4	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
6	5	simp1bi 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11012	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		mulcl 10964	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9	1, 7, 8	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		4nn0 12261	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
11		ef01bnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
12	11	eftlcl 15825	. . . 4 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	9, 10, 12	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	abscld 15157	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
15		reexpcl 13808	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
16	6, 10, 15	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
17		4re 12066	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
18	17, 3	readdcli 10999	. . . 4 ⊢ (4 + 1) ∈ ℝ
19		faccl 14006	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘4) ∈ ℕ)
20	10, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘4) ∈ ℕ
21		4nn 12065	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
22	20, 21	nnmulcli 12007	. . . 4 ⊢ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ
23		nndivre 12023	. . . 4 ⊢ (((4 + 1) ∈ ℝ ∧ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ) → ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ)
24	18, 22, 23	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ
25		remulcl 10965	. . 3 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
26	16, 24, 25	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
27		6nn 12071	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
28		nndivre 12023	. . 3 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
29	16, 27, 28	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
30		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
31		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛)))
32	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ ℕ)
33		absmul 15015	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
34	1, 7, 33	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
35		absi 15007	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘i) = 1
36	35	oveq1i 7294	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
37	5	simp2bi 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
38	6, 37	elrpd 12778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39		rpre 12747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
40		rpge0 12752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
41	39, 40	absidd 15143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘𝐴) = 𝐴)
42	38, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
43	42	oveq2d 7300	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
44	36, 43	eqtrid 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
45	7	mulid2d 11002	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
46	34, 44, 45	3eqtrd 2783	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = 𝐴)
47	5	simp3bi 1146	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
48	46, 47	eqbrtrd 5097	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) ≤ 1)
49	11, 30, 31, 32, 9, 48	eftlub 15827	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
50	46	oveq1d 7299	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘(i · 𝐴))↑4) = (𝐴↑4))
51	50	oveq1d 7299	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) = ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
52	49, 51	breqtrd 5101	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ≤ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
53		3pos 12087	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
54		0re 10986	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
55		3re 12062	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		5re 12069	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
57	54, 55, 56	ltadd1i 11538	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < 3 ↔ (0 + 5) < (3 + 5))
58	53, 57	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 5) < (3 + 5)
59		5cn 12070	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
60	59	addid2i 11172	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 5) = 5
61		cu2 13926	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑3) = 8
62		5p3e8 12139	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 3) = 8
63		3cn 12063	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
64	59, 63	addcomi 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 3) = (3 + 5)
65	61, 62, 64	3eqtr2ri 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 5) = (2↑3)
66	58, 60, 65	3brtr3i 5104	. . . . . . 7 ⊢ 5 < (2↑3)
67		2re 12056	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
68		1le2 12191	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 2
69		4z 12363	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
70		3lt4 12156	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
71	55, 17, 70	ltleii 11107	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≤ 4
72		3z 12362	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
73	72	eluz1i 12599	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
74	69, 71, 73	mpbir2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
75		leexp2a 13899	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑3) ≤ (2↑4))
76	67, 68, 74, 75	mp3an 1460	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) ≤ (2↑4)
77		8re 12078	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℝ
78	61, 77	eqeltri 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑3) ∈ ℝ
79		2nn 12055	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
80		nnexpcl 13804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
81	79, 10, 80	mp2an 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ
82	81	nnrei 11991	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) ∈ ℝ
83	56, 78, 82	ltletri 11112	. . . . . . 7 ⊢ ((5 < (2↑3) ∧ (2↑3) ≤ (2↑4)) → 5 < (2↑4))
84	66, 76, 83	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ 5 < (2↑4)
85		6re 12072	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
86	85, 82	remulcli 11000	. . . . . . 7 ⊢ (6 · (2↑4)) ∈ ℝ
87		6pos 12092	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 6
88	81	nngt0i 12021	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (2↑4)
89	85, 82, 87, 88	mulgt0ii 11117	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (6 · (2↑4))
90	56, 82, 86, 89	ltdiv1ii 11913	. . . . . 6 ⊢ (5 < (2↑4) ↔ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4))))
91	84, 90	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
92		df-5 12048	. . . . . 6 ⊢ 5 = (4 + 1)
93		df-4 12047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
94	93	fveq2i 6786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
95		3nn0 12260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
96		facp1 14001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
98		sq2 13923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
99	98, 93	eqtr2i 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 1) = (2↑2)
100	99	oveq2i 7295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘3) · (3 + 1)) = ((!‘3) · (2↑2))
101	94, 97, 100	3eqtri 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · (2↑2))
102	101	oveq1i 7294	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘4) · (2↑2)) = (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2))
103	98	oveq2i 7295	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘4) · (2↑2)) = ((!‘4) · 4)
104		fac3 14003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘3) = 6
105		6cn 12073	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
106	104, 105	eqeltri 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
107	17	recni 10998	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
108	98, 107	eqeltri 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
109	106, 108, 108	mulassi 10995	. . . . . . . 8 ⊢ (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
110	102, 103, 109	3eqtr3i 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘4) · 4) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
111		2p2e4 12117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 2) = 4
112	111	oveq2i 7295	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑(2 + 2)) = (2↑4)
113		2cn 12057	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
114		2nn0 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
115		expadd 13834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2)))
116	113, 114, 114, 115	mp3an 1460	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2))
117	112, 116	eqtr3i 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) = ((2↑2) · (2↑2))
118	117	oveq2i 7295	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘3) · (2↑4)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
119	104	oveq1i 7294	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘3) · (2↑4)) = (6 · (2↑4))
120	110, 118, 119	3eqtr2ri 2774	. . . . . 6 ⊢ (6 · (2↑4)) = ((!‘4) · 4)
121	92, 120	oveq12i 7296	. . . . 5 ⊢ (5 / (6 · (2↑4))) = ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))
122	81	nncni 11992	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) ∈ ℂ
123	122	mulid2i 10989	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (2↑4)) = (2↑4)
124	123	oveq1i 7294	. . . . . 6 ⊢ ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
125	81	nnne0i 12022	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑4) ≠ 0
126	122, 125	dividi 11717	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑4) / (2↑4)) = 1
127	126	oveq2i 7295	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 / 6) · 1)
128		ax-1cn 10938	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
129	85, 87	gt0ne0ii 11520	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ≠ 0
130	128, 105, 122, 122, 129, 125	divmuldivi 11744	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4)))
131	85, 129	rereccli 11749	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 6) ∈ ℝ
132	131	recni 10998	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
133	132	mulid1i 10988	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · 1) = (1 / 6)
134	127, 130, 133	3eqtr3i 2775	. . . . . 6 ⊢ ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
135	124, 134	eqtr3i 2769	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
136	91, 121, 135	3brtr3i 5104	. . . 4 ⊢ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6)
137		rpexpcl 13810	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
138	38, 69, 137	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
139		elrp 12741	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)))
140		ltmul2 11835	. . . . . . 7 ⊢ ((((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 6) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4))) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
141	24, 131, 140	mp3an12 1450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
142	139, 141	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
143	138, 142	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
144	136, 143	mpbii 232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
145	16	recnd 11012	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
146		divrec 11658	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
147	105, 129, 146	mp3an23 1452	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℂ → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
148	145, 147	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
149	144, 148	breqtrrd 5103	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) / 6))
150	14, 26, 29, 52, 149	lelttrd 11142	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5158  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  ℝcr 10879  0cc0 10880  1c1 10881  ici 10882   + caddc 10883   · cmul 10885  ℝ^*cxr 11017   < clt 11018   ≤ cle 11019   / cdiv 11641  ℕcn 11982  2c2 12037  3c3 12038  4c4 12039  5c5 12040  6c6 12041  8c8 12043  ℕ₀cn0 12242  ℤcz 12328  ℤ_≥cuz 12591  ℝ⁺crp 12739  (,]cioc 13089  ↑cexp 13791  !cfa 13996  abscabs 14954  Σcsu 15406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-pm 8627  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-rp 12740  df-ioc 13093  df-ico 13094  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-seq 13731  df-exp 13792  df-fac 13997  df-hash 14054  df-shft 14787  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-limsup 15189  df-clim 15206  df-rlim 15207  df-sum 15407

This theorem is referenced by:  sin01bnd  15903  cos01bnd  15904