Theorem ef01bndlem 16142

Description: Lemma for sin01bnd 16143 and cos01bnd 16144. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
ef01bnd.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef01bndlem	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef01bndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11088	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		0xr 11183	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		1re 11135	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		elioc2 13353	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
5	2, 3, 4	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
6	5	simp1bi 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		mulcl 11113	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9	1, 7, 8	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		4nn0 12447	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
11		ef01bnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
12	11	eftlcl 16065	. . . 4 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	9, 10, 12	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	abscld 15392	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
15		reexpcl 14031	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
16	6, 10, 15	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
17		4re 12256	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
18	17, 3	readdcli 11151	. . . 4 ⊢ (4 + 1) ∈ ℝ
19		faccl 14236	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘4) ∈ ℕ)
20	10, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘4) ∈ ℕ
21		4nn 12255	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
22	20, 21	nnmulcli 12190	. . . 4 ⊢ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ
23		nndivre 12209	. . . 4 ⊢ (((4 + 1) ∈ ℝ ∧ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ) → ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ)
24	18, 22, 23	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ
25		remulcl 11114	. . 3 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
26	16, 24, 25	sylancl 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
27		6nn 12261	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
28		nndivre 12209	. . 3 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
29	16, 27, 28	sylancl 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
30		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
31		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛)))
32	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ ℕ)
33		absmul 15247	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
34	1, 7, 33	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
35		absi 15239	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘i) = 1
36	35	oveq1i 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
37	5	simp2bi 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
38	6, 37	elrpd 12974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39		rpre 12942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
40		rpge0 12947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
41	39, 40	absidd 15376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘𝐴) = 𝐴)
42	38, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
43	42	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
44	36, 43	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
45	7	mullidd 11154	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
46	34, 44, 45	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = 𝐴)
47	5	simp3bi 1148	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
48	46, 47	eqbrtrd 5108	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) ≤ 1)
49	11, 30, 31, 32, 9, 48	eftlub 16067	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
50	46	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘(i · 𝐴))↑4) = (𝐴↑4))
51	50	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) = ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
52	49, 51	breqtrd 5112	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ≤ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
53		3pos 12277	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
54		0re 11137	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
55		3re 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		5re 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
57	54, 55, 56	ltadd1i 11695	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < 3 ↔ (0 + 5) < (3 + 5))
58	53, 57	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 5) < (3 + 5)
59		5cn 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
60	59	addlidi 11325	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 5) = 5
61		cu2 14153	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑3) = 8
62		5p3e8 12324	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 3) = 8
63		3cn 12253	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
64	59, 63	addcomi 11328	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 3) = (3 + 5)
65	61, 62, 64	3eqtr2ri 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 5) = (2↑3)
66	58, 60, 65	3brtr3i 5115	. . . . . . 7 ⊢ 5 < (2↑3)
67		2re 12246	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
68		1le2 12376	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 2
69		4z 12552	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
70		3lt4 12341	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
71	55, 17, 70	ltleii 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≤ 4
72		3z 12551	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
73	72	eluz1i 12787	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
74	69, 71, 73	mpbir2an 712	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
75		leexp2a 14125	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑3) ≤ (2↑4))
76	67, 68, 74, 75	mp3an 1464	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) ≤ (2↑4)
77		8re 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℝ
78	61, 77	eqeltri 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑3) ∈ ℝ
79		2nn 12245	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
80		nnexpcl 14027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
81	79, 10, 80	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ
82	81	nnrei 12174	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) ∈ ℝ
83	56, 78, 82	ltletri 11265	. . . . . . 7 ⊢ ((5 < (2↑3) ∧ (2↑3) ≤ (2↑4)) → 5 < (2↑4))
84	66, 76, 83	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ 5 < (2↑4)
85		6re 12262	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
86	85, 82	remulcli 11152	. . . . . . 7 ⊢ (6 · (2↑4)) ∈ ℝ
87		6pos 12282	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 6
88	81	nngt0i 12207	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (2↑4)
89	85, 82, 87, 88	mulgt0ii 11270	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (6 · (2↑4))
90	56, 82, 86, 89	ltdiv1ii 12076	. . . . . 6 ⊢ (5 < (2↑4) ↔ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4))))
91	84, 90	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
92		df-5 12238	. . . . . 6 ⊢ 5 = (4 + 1)
93		df-4 12237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
94	93	fveq2i 6837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
95		3nn0 12446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
96		facp1 14231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
98		sq2 14150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
99	98, 93	eqtr2i 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 1) = (2↑2)
100	99	oveq2i 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘3) · (3 + 1)) = ((!‘3) · (2↑2))
101	94, 97, 100	3eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · (2↑2))
102	101	oveq1i 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘4) · (2↑2)) = (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2))
103	98	oveq2i 7371	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘4) · (2↑2)) = ((!‘4) · 4)
104		fac3 14233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘3) = 6
105		6cn 12263	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
106	104, 105	eqeltri 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
107	17	recni 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
108	98, 107	eqeltri 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
109	106, 108, 108	mulassi 11147	. . . . . . . 8 ⊢ (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
110	102, 103, 109	3eqtr3i 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘4) · 4) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
111		2p2e4 12302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 2) = 4
112	111	oveq2i 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑(2 + 2)) = (2↑4)
113		2cn 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
114		2nn0 12445	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
115		expadd 14057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2)))
116	113, 114, 114, 115	mp3an 1464	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2))
117	112, 116	eqtr3i 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) = ((2↑2) · (2↑2))
118	117	oveq2i 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘3) · (2↑4)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
119	104	oveq1i 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘3) · (2↑4)) = (6 · (2↑4))
120	110, 118, 119	3eqtr2ri 2767	. . . . . 6 ⊢ (6 · (2↑4)) = ((!‘4) · 4)
121	92, 120	oveq12i 7372	. . . . 5 ⊢ (5 / (6 · (2↑4))) = ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))
122	81	nncni 12175	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) ∈ ℂ
123	122	mullidi 11141	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (2↑4)) = (2↑4)
124	123	oveq1i 7370	. . . . . 6 ⊢ ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
125	81	nnne0i 12208	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑4) ≠ 0
126	122, 125	dividi 11879	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑4) / (2↑4)) = 1
127	126	oveq2i 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 / 6) · 1)
128		ax-1cn 11087	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
129	85, 87	gt0ne0ii 11677	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ≠ 0
130	128, 105, 122, 122, 129, 125	divmuldivi 11906	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4)))
131	85, 129	rereccli 11911	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 6) ∈ ℝ
132	131	recni 11150	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
133	132	mulridi 11140	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · 1) = (1 / 6)
134	127, 130, 133	3eqtr3i 2768	. . . . . 6 ⊢ ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
135	124, 134	eqtr3i 2762	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
136	91, 121, 135	3brtr3i 5115	. . . 4 ⊢ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6)
137		rpexpcl 14033	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
138	38, 69, 137	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
139		elrp 12935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)))
140		ltmul2 11997	. . . . . . 7 ⊢ ((((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 6) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4))) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
141	24, 131, 140	mp3an12 1454	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
142	139, 141	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
143	138, 142	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
144	136, 143	mpbii 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
145	16	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
146		divrec 11816	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
147	105, 129, 146	mp3an23 1456	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℂ → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
148	145, 147	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
149	144, 148	breqtrrd 5114	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) / 6))
150	14, 26, 29, 52, 149	lelttrd 11295	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  8c8 12233  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  (,]cioc 13290  ↑cexp 14014  !cfa 14226  abscabs 15187  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  sin01bnd  16143  cos01bnd  16144