Theorem ef01bndlem 15316

Description: Lemma for sin01bnd 15317 and cos01bnd 15318. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
ef01bnd.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ef01bndlem	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef01bndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10331	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		0xr 10423	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		1re 10376	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		elioc2 12548	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
5	2, 3, 4	mp2an 682	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
6	5	simp1bi 1136	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 10405	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		mulcl 10356	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9	1, 7, 8	sylancr 581	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10		4nn0 11663	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
11		ef01bnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
12	11	eftlcl 15239	. . . 4 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	9, 10, 12	sylancl 580	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	abscld 14583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
15		reexpcl 13195	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
16	6, 10, 15	sylancl 580	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
17		4re 11460	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
18	17, 3	readdcli 10392	. . . 4 ⊢ (4 + 1) ∈ ℝ
19		faccl 13388	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘4) ∈ ℕ)
20	10, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘4) ∈ ℕ
21		4nn 11459	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
22	20, 21	nnmulcli 11401	. . . 4 ⊢ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ
23		nndivre 11416	. . . 4 ⊢ (((4 + 1) ∈ ℝ ∧ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ) → ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ)
24	18, 22, 23	mp2an 682	. . 3 ⊢ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ
25		remulcl 10357	. . 3 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
26	16, 24, 25	sylancl 580	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
27		6nn 11467	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
28		nndivre 11416	. . 3 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
29	16, 27, 28	sylancl 580	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
30		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
31		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛)))
32	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ ℕ)
33		absmul 14441	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
34	1, 7, 33	sylancr 581	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
35		absi 14433	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘i) = 1
36	35	oveq1i 6932	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
37	5	simp2bi 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
38	6, 37	elrpd 12178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39		rpre 12145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
40		rpge0 12152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
41	39, 40	absidd 14569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘𝐴) = 𝐴)
42	38, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
43	42	oveq2d 6938	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
44	36, 43	syl5eq 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
45	7	mulid2d 10395	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
46	34, 44, 45	3eqtrd 2817	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = 𝐴)
47	5	simp3bi 1138	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
48	46, 47	eqbrtrd 4908	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) ≤ 1)
49	11, 30, 31, 32, 9, 48	eftlub 15241	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
50	46	oveq1d 6937	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘(i · 𝐴))↑4) = (𝐴↑4))
51	50	oveq1d 6937	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) = ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
52	49, 51	breqtrd 4912	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) ≤ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
53		3pos 11487	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
54		0re 10378	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
55		3re 11455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		5re 11464	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
57	54, 55, 56	ltadd1i 10929	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < 3 ↔ (0 + 5) < (3 + 5))
58	53, 57	mpbi 222	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 5) < (3 + 5)
59		5cn 11465	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
60	59	addid2i 10564	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 5) = 5
61		cu2 13282	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑3) = 8
62		5p3e8 11539	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 3) = 8
63		3cn 11456	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
64	59, 63	addcomi 10567	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 3) = (3 + 5)
65	61, 62, 64	3eqtr2ri 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 5) = (2↑3)
66	58, 60, 65	3brtr3i 4915	. . . . . . 7 ⊢ 5 < (2↑3)
67		2re 11449	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
68		1le2 11591	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 2
69		4z 11763	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
70		3lt4 11556	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
71	55, 17, 70	ltleii 10499	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≤ 4
72		3z 11762	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
73	72	eluz1i 12000	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
74	69, 71, 73	mpbir2an 701	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
75		leexp2a 13234	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘3)) → (2↑3) ≤ (2↑4))
76	67, 68, 74, 75	mp3an 1534	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) ≤ (2↑4)
77		8re 11476	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℝ
78	61, 77	eqeltri 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑3) ∈ ℝ
79		2nn 11448	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
80		nnexpcl 13191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
81	79, 10, 80	mp2an 682	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑4) ∈ ℕ
82	81	nnrei 11384	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) ∈ ℝ
83	56, 78, 82	ltletri 10504	. . . . . . 7 ⊢ ((5 < (2↑3) ∧ (2↑3) ≤ (2↑4)) → 5 < (2↑4))
84	66, 76, 83	mp2an 682	. . . . . 6 ⊢ 5 < (2↑4)
85		6re 11468	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
86	85, 82	remulcli 10393	. . . . . . 7 ⊢ (6 · (2↑4)) ∈ ℝ
87		6pos 11492	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 6
88	81	nngt0i 11414	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (2↑4)
89	85, 82, 87, 88	mulgt0ii 10509	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (6 · (2↑4))
90	56, 82, 86, 89	ltdiv1ii 11307	. . . . . 6 ⊢ (5 < (2↑4) ↔ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4))))
91	84, 90	mpbi 222	. . . . 5 ⊢ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
92		df-5 11441	. . . . . 6 ⊢ 5 = (4 + 1)
93		df-4 11440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (3 + 1)
94	93	fveq2i 6449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
95		3nn0 11662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
96		facp1 13383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
98		sq2 13279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
99	98, 93	eqtr2i 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 1) = (2↑2)
100	99	oveq2i 6933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((!‘3) · (3 + 1)) = ((!‘3) · (2↑2))
101	94, 97, 100	3eqtri 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · (2↑2))
102	101	oveq1i 6932	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘4) · (2↑2)) = (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2))
103	98	oveq2i 6933	. . . . . . . 8 ⊢ ((!‘4) · (2↑2)) = ((!‘4) · 4)
104		fac3 13385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (!‘3) = 6
105		6cn 11469	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
106	104, 105	eqeltri 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
107	17	recni 10391	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
108	98, 107	eqeltri 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) ∈ ℂ
109	106, 108, 108	mulassi 10388	. . . . . . . 8 ⊢ (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
110	102, 103, 109	3eqtr3i 2809	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘4) · 4) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
111		2p2e4 11517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 2) = 4
112	111	oveq2i 6933	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑(2 + 2)) = (2↑4)
113		2cn 11450	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
114		2nn0 11661	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
115		expadd 13220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2)))
116	113, 114, 114, 115	mp3an 1534	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2))
117	112, 116	eqtr3i 2803	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) = ((2↑2) · (2↑2))
118	117	oveq2i 6933	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘3) · (2↑4)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
119	104	oveq1i 6932	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘3) · (2↑4)) = (6 · (2↑4))
120	110, 118, 119	3eqtr2ri 2808	. . . . . 6 ⊢ (6 · (2↑4)) = ((!‘4) · 4)
121	92, 120	oveq12i 6934	. . . . 5 ⊢ (5 / (6 · (2↑4))) = ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))
122	81	nncni 11385	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑4) ∈ ℂ
123	122	mulid2i 10382	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (2↑4)) = (2↑4)
124	123	oveq1i 6932	. . . . . 6 ⊢ ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
125	81	nnne0i 11415	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑4) ≠ 0
126	122, 125	dividi 11108	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑4) / (2↑4)) = 1
127	126	oveq2i 6933	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 / 6) · 1)
128		ax-1cn 10330	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
129	85, 87	gt0ne0ii 10911	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ≠ 0
130	128, 105, 122, 122, 129, 125	divmuldivi 11135	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4)))
131	85, 129	rereccli 11140	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 6) ∈ ℝ
132	131	recni 10391	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
133	132	mulid1i 10381	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 6) · 1) = (1 / 6)
134	127, 130, 133	3eqtr3i 2809	. . . . . 6 ⊢ ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
135	124, 134	eqtr3i 2803	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
136	91, 121, 135	3brtr3i 4915	. . . 4 ⊢ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6)
137		rpexpcl 13197	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
138	38, 69, 137	sylancl 580	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
139		elrp 12139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)))
140		ltmul2 11228	. . . . . . 7 ⊢ ((((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 6) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4))) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
141	24, 131, 140	mp3an12 1524	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
142	139, 141	sylbi 209	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
143	138, 142	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
144	136, 143	mpbii 225	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
145	16	recnd 10405	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
146		divrec 11049	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
147	105, 129, 146	mp3an23 1526	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑4) ∈ ℂ → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
148	145, 147	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
149	144, 148	breqtrrd 4914	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) / 6))
150	14, 26, 29, 52, 149	lelttrd 10534	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273  ici 10274   + caddc 10275   · cmul 10277  ℝ^*cxr 10410   < clt 10411   ≤ cle 10412   / cdiv 11032  ℕcn 11374  2c2 11430  3c3 11431  4c4 11432  5c5 11433  6c6 11434  8c8 11436  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ℤ_≥cuz 11992  ℝ⁺crp 12137  (,]cioc 12488  ↑cexp 13178  !cfa 13378  abscabs 14381  Σcsu 14824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825

This theorem is referenced by:  sin01bnd  15317  cos01bnd  15318