MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef01bndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef01bndlem 15316
Description: Lemma for sin01bnd 15317 and cos01bnd 15318. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
ef01bnd.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef01bndlem (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef01bndlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10331 . . . . 5 i ∈ ℂ
2 0xr 10423 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
3 1re 10376 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 elioc2 12548 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
52, 3, 4mp2an 682 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
65simp1bi 1136 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 10405 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 mulcl 10356 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
91, 7, 8sylancr 581 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10 4nn0 11663 . . . 4 4 ∈ ℕ0
11 ef01bnd.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
1211eftlcl 15239 . . . 4 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
139, 10, 12sylancl 580 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413abscld 14583 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15 reexpcl 13195 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
166, 10, 15sylancl 580 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
17 4re 11460 . . . . 5 4 ∈ ℝ
1817, 3readdcli 10392 . . . 4 (4 + 1) ∈ ℝ
19 faccl 13388 . . . . . 6 (4 ∈ ℕ0 → (!‘4) ∈ ℕ)
2010, 19ax-mp 5 . . . . 5 (!‘4) ∈ ℕ
21 4nn 11459 . . . . 5 4 ∈ ℕ
2220, 21nnmulcli 11401 . . . 4 ((!‘4) · 4) ∈ ℕ
23 nndivre 11416 . . . 4 (((4 + 1) ∈ ℝ ∧ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ) → ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ)
2418, 22, 23mp2an 682 . . 3 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ
25 remulcl 10357 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancl 580 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
27 6nn 11467 . . 3 6 ∈ ℕ
28 nndivre 11416 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
2916, 27, 28sylancl 580 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
30 eqid 2777 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
31 eqid 2777 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛)))
3221a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ ℕ)
33 absmul 14441 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
341, 7, 33sylancr 581 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
35 absi 14433 . . . . . . . 8 (abs‘i) = 1
3635oveq1i 6932 . . . . . . 7 ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
375simp2bi 1137 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
386, 37elrpd 12178 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39 rpre 12145 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
40 rpge0 12152 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
4139, 40absidd 14569 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4238, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4342oveq2d 6938 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
4436, 43syl5eq 2825 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
457mulid2d 10395 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4634, 44, 453eqtrd 2817 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = 𝐴)
475simp3bi 1138 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
4846, 47eqbrtrd 4908 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) ≤ 1)
4911, 30, 31, 32, 9, 48eftlub 15241 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5046oveq1d 6937 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘(i · 𝐴))↑4) = (𝐴↑4))
5150oveq1d 6937 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) = ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5249, 51breqtrd 4912 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
53 3pos 11487 . . . . . . . . 9 0 < 3
54 0re 10378 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
55 3re 11455 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
56 5re 11464 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
5754, 55, 56ltadd1i 10929 . . . . . . . . 9 (0 < 3 ↔ (0 + 5) < (3 + 5))
5853, 57mpbi 222 . . . . . . . 8 (0 + 5) < (3 + 5)
59 5cn 11465 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
6059addid2i 10564 . . . . . . . 8 (0 + 5) = 5
61 cu2 13282 . . . . . . . . 9 (2↑3) = 8
62 5p3e8 11539 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
63 3cn 11456 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
6459, 63addcomi 10567 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = (3 + 5)
6561, 62, 643eqtr2ri 2808 . . . . . . . 8 (3 + 5) = (2↑3)
6658, 60, 653brtr3i 4915 . . . . . . 7 5 < (2↑3)
67 2re 11449 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
68 1le2 11591 . . . . . . . 8 1 ≤ 2
69 4z 11763 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
70 3lt4 11556 . . . . . . . . . 10 3 < 4
7155, 17, 70ltleii 10499 . . . . . . . . 9 3 ≤ 4
72 3z 11762 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
7372eluz1i 12000 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
7469, 71, 73mpbir2an 701 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘3)
75 leexp2a 13234 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 4 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑3) ≤ (2↑4))
7667, 68, 74, 75mp3an 1534 . . . . . . 7 (2↑3) ≤ (2↑4)
77 8re 11476 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℝ
7861, 77eqeltri 2854 . . . . . . . 8 (2↑3) ∈ ℝ
79 2nn 11448 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
80 nnexpcl 13191 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
8179, 10, 80mp2an 682 . . . . . . . . 9 (2↑4) ∈ ℕ
8281nnrei 11384 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℝ
8356, 78, 82ltletri 10504 . . . . . . 7 ((5 < (2↑3) ∧ (2↑3) ≤ (2↑4)) → 5 < (2↑4))
8466, 76, 83mp2an 682 . . . . . 6 5 < (2↑4)
85 6re 11468 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
8685, 82remulcli 10393 . . . . . . 7 (6 · (2↑4)) ∈ ℝ
87 6pos 11492 . . . . . . . 8 0 < 6
8881nngt0i 11414 . . . . . . . 8 0 < (2↑4)
8985, 82, 87, 88mulgt0ii 10509 . . . . . . 7 0 < (6 · (2↑4))
9056, 82, 86, 89ltdiv1ii 11307 . . . . . 6 (5 < (2↑4) ↔ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4))))
9184, 90mpbi 222 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
92 df-5 11441 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
93 df-4 11440 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
9493fveq2i 6449 . . . . . . . . . 10 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
95 3nn0 11662 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
96 facp1 13383 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
9795, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
98 sq2 13279 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
9998, 93eqtr2i 2802 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = (2↑2)
10099oveq2i 6933 . . . . . . . . . 10 ((!‘3) · (3 + 1)) = ((!‘3) · (2↑2))
10194, 97, 1003eqtri 2805 . . . . . . . . 9 (!‘4) = ((!‘3) · (2↑2))
102101oveq1i 6932 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2))
10398oveq2i 6933 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = ((!‘4) · 4)
104 fac3 13385 . . . . . . . . . 10 (!‘3) = 6
105 6cn 11469 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
106104, 105eqeltri 2854 . . . . . . . . 9 (!‘3) ∈ ℂ
10717recni 10391 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
10898, 107eqeltri 2854 . . . . . . . . 9 (2↑2) ∈ ℂ
109106, 108, 108mulassi 10388 . . . . . . . 8 (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
110102, 103, 1093eqtr3i 2809 . . . . . . 7 ((!‘4) · 4) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
111 2p2e4 11517 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
112111oveq2i 6933 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = (2↑4)
113 2cn 11450 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
114 2nn0 11661 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
115 expadd 13220 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2)))
116113, 114, 114, 115mp3an 1534 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2))
117112, 116eqtr3i 2803 . . . . . . . 8 (2↑4) = ((2↑2) · (2↑2))
118117oveq2i 6933 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
119104oveq1i 6932 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = (6 · (2↑4))
120110, 118, 1193eqtr2ri 2808 . . . . . 6 (6 · (2↑4)) = ((!‘4) · 4)
12192, 120oveq12i 6934 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) = ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))
12281nncni 11385 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℂ
123122mulid2i 10382 . . . . . . 7 (1 · (2↑4)) = (2↑4)
124123oveq1i 6932 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
12581nnne0i 11415 . . . . . . . . 9 (2↑4) ≠ 0
126122, 125dividi 11108 . . . . . . . 8 ((2↑4) / (2↑4)) = 1
127126oveq2i 6933 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 / 6) · 1)
128 ax-1cn 10330 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
12985, 87gt0ne0ii 10911 . . . . . . . 8 6 ≠ 0
130128, 105, 122, 122, 129, 125divmuldivi 11135 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4)))
13185, 129rereccli 11140 . . . . . . . . 9 (1 / 6) ∈ ℝ
132131recni 10391 . . . . . . . 8 (1 / 6) ∈ ℂ
133132mulid1i 10381 . . . . . . 7 ((1 / 6) · 1) = (1 / 6)
134127, 130, 1333eqtr3i 2809 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
135124, 134eqtr3i 2803 . . . . 5 ((2↑4) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
13691, 121, 1353brtr3i 4915 . . . 4 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6)
137 rpexpcl 13197 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
13838, 69, 137sylancl 580 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
139 elrp 12139 . . . . . 6 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)))
140 ltmul2 11228 . . . . . . 7 ((((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 6) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4))) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
14124, 131, 140mp3an12 1524 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
142139, 141sylbi 209 . . . . 5 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
143138, 142syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
144136, 143mpbii 225 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
14516recnd 10405 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
146 divrec 11049 . . . . 5 (((𝐴↑4) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
147105, 129, 146mp3an23 1526 . . . 4 ((𝐴↑4) ∈ ℂ → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
148145, 147syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
149144, 148breqtrrd 4914 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) / 6))
15014, 26, 29, 52, 149lelttrd 10534 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968   class class class wbr 4886  cmpt 4965  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273  ici 10274   + caddc 10275   · cmul 10277  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412   / cdiv 11032  cn 11374  2c2 11430  3c3 11431  4c4 11432  5c5 11433  6c6 11434  8c8 11436  0cn0 11642  cz 11728  cuz 11992  +crp 12137  (,]cioc 12488  cexp 13178  !cfa 13378  abscabs 14381  Σcsu 14824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825
This theorem is referenced by:  sin01bnd  15317  cos01bnd  15318
  Copyright terms: Public domain W3C validator