Theorem en2 9274

Description: A set equinumerous to ordinal 2 is an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
en2	⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem en2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8492	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2	1	onordi 6476	. 2 ⊢ Ord 1o
3		df-2o 8480	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
4		en1 9054	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1o ↔ ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
5	4	biimpi 219	. 2 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1o → ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
6		df-pr 4587	. . . 4 ⊢ {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
7	6	enp1ilem 9272	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
8	7	eximdv 1949	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → ∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
9	2, 3, 5, 8	enp1i 9273	1 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ∖ cdif 4045  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5102  1_oc1o 8472  2_oc2o 8473   ≈ cen 8973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-1o 8479  df-2o 8480  df-en 8977

This theorem is used by:  en3  9275  hash2pr  14617  pmtrrn2  19679  trsp2cyc  33730  en2pr  44641  pr2cv  44642