MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2 9315
Description: A set equinumerous to ordinal 2 is a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en2 (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem en2
StepHypRef Expression
1 1on 8518 . . 3 1o ∈ On
21onordi 6495 . 2 Ord 1o
3 df-2o 8507 . 2 2o = suc 1o
4 en1 9064 . . 3 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1o ↔ ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
54biimpi 216 . 2 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1o → ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
6 df-pr 4629 . . . 4 {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
76enp1ilem 9312 . . 3 (𝑥𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
87eximdv 1917 . 2 (𝑥𝐴 → (∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → ∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
92, 3, 5, 8enp1i 9313 1 (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  cdif 3948  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  1oc1o 8499  2oc2o 8500  cen 8982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-1o 8506  df-2o 8507  df-en 8986
This theorem is referenced by:  en3  9316  hash2pr  14508  pmtrrn2  19478  trsp2cyc  33143  en2pr  43560  pr2cv  43561
  Copyright terms: Public domain W3C validator