Theorem en2 9190

Description: A set equinumerous to ordinal 2 is an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
en2	⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem en2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8417	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2	1	onordi 6436	. 2 ⊢ Ord 1o
3		df-2o 8406	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
4		en1 8971	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1o ↔ ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
5	4	biimpi 216	. 2 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1o → ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
6		df-pr 4570	. . . 4 ⊢ {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
7	6	enp1ilem 9188	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
8	7	eximdv 1919	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → ∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
9	2, 3, 5, 8	enp1i 9189	1 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886  {csn 4567  {cpr 4569   class class class wbr 5085  1_oc1o 8398  2_oc2o 8399   ≈ cen 8890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-1o 8405  df-2o 8406  df-en 8894

This theorem is referenced by:  en3  9191  hash2pr  14431  pmtrrn2  19435  trsp2cyc  33184  en2pr  43974  pr2cv  43975