Theorem en2 9299

Description: A set equinumerous to ordinal 2 is an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
en2	⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem en2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8517	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2	1	onordi 6494	. 2 ⊢ Ord 1o
3		df-2o 8505	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
4		en1 9079	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1o ↔ ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
5	4	biimpi 219	. 2 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1o → ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
6		df-pr 4591	. . . 4 ⊢ {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
7	6	enp1ilem 9297	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
8	7	eximdv 1952	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → ∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
9	2, 3, 5, 8	enp1i 9298	1 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ∖ cdif 4048  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5106  1_oc1o 8497  2_oc2o 8498   ≈ cen 8998

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-1o 8504  df-2o 8505  df-en 9002

This theorem is used by:  en3  9300  hash2pr  14641  pmtrrn2  19704  trsp2cyc  33754  en2pr  44740  pr2cv  44741