Theorem en2 9232

Description: A set equinumerous to ordinal 2 is a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
en2	⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem en2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8448	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2	1	onordi 6447	. 2 ⊢ Ord 1o
3		df-2o 8437	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
4		en1 8997	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1o ↔ ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
5	4	biimpi 216	. 2 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1o → ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
6		df-pr 4594	. . . 4 ⊢ {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
7	6	enp1ilem 9229	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
8	7	eximdv 1917	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → ∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
9	2, 3, 5, 8	enp1i 9230	1 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3913  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5109  1_oc1o 8429  2_oc2o 8430   ≈ cen 8917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ord 6337  df-on 6338  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-1o 8436  df-2o 8437  df-en 8921

This theorem is referenced by:  en3  9233  hash2pr  14440  pmtrrn2  19396  trsp2cyc  33086  en2pr  43529  pr2cv  43530