Theorem en2 9313

Description: A set equinumerous to ordinal 2 is a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)

Assertion

Ref	Expression
en2	⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem en2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8517	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2	1	onordi 6497	. 2 ⊢ Ord 1o
3		df-2o 8506	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
4		en1 9063	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1o ↔ ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
5	4	biimpi 216	. 2 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1o → ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
6		df-pr 4634	. . . 4 ⊢ {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
7	6	enp1ilem 9310	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
8	7	eximdv 1915	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → ∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
9	2, 3, 5, 8	enp1i 9311	1 ⊢ (𝐴 ≈ 2o → ∃𝑥∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499   ≈ cen 8981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1o 8505  df-2o 8506  df-en 8985

This theorem is referenced by:  en3  9314  hash2pr  14505  pmtrrn2  19493  trsp2cyc  33126  en2pr  43537  pr2cv  43538