Theorem pmtrto1cl 32245

Description: Useful lemma for the following theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
pmtrto1cl.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtrto1cl	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑇‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran 𝑇)

Proof of Theorem pmtrto1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfzto1st.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
2		fzfi 13933	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2829	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ Fin
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ Fin)
5		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ ℕ)
6		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ 𝐷)
7	6, 1	eleqtrdi 2843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁))
8		elfz1b 13566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁))
9	7, 8	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → ((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁))
10	9	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	5	nnred 12223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ ℝ)
12		1red 11211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℝ)
13	11, 12	readdcld 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
14	10	nnred 12223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	11	lep1d 12141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
16	9	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ≤ 𝑁)
17	11, 13, 14, 15, 16	letrd 11367	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ≤ 𝑁)
18	5, 10, 17	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
19		elfz1b 13566	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
20	18, 19	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
21	20, 1	eleqtrrdi 2844	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ 𝐷)
22		prssi 4823	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ⊆ 𝐷)
23	21, 6, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ⊆ 𝐷)
24	11	ltp1d 12140	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
25	11, 24	ltned 11346	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ≠ (𝐾 + 1))
26		enpr2 9993	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷 ∧ 𝐾 ≠ (𝐾 + 1)) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ≈ 2o)
27	21, 6, 25, 26	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ≈ 2o)
28		pmtrto1cl.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
29		eqid 2732	. . 3 ⊢ ran 𝑇 = ran 𝑇
30	28, 29	pmtrrn 19319	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ {𝐾, (𝐾 + 1)} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐾, (𝐾 + 1)} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran 𝑇)
31	4, 23, 27, 30	syl3anc 1371	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑇‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3947  {cpr 4629   class class class wbr 5147  ran crn 5676  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  2_oc2o 8456   ≈ cen 8932  Fincfn 8935  1c1 11107   + caddc 11109   ≤ cle 11245  ℕcn 12208  ...cfz 13480  pmTrspcpmtr 19303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-pmtr 19304

This theorem is referenced by:  psgnfzto1stlem  32246  fzto1st  32249  psgnfzto1st  32251