Theorem pmtrto1cl 31497

Description: Useful lemma for the following theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
pmtrto1cl.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtrto1cl	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑇‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran 𝑇)

Proof of Theorem pmtrto1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfzto1st.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
2		fzfi 13771	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ Fin
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ Fin)
5		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ ℕ)
6		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ 𝐷)
7	6, 1	eleqtrdi 2847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁))
8		elfz1b 13404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁))
9	7, 8	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → ((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁))
10	9	simp2d 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	5	nnred 12067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ ℝ)
12		1red 11055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℝ)
13	11, 12	readdcld 11083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
14	10	nnred 12067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	11	lep1d 11985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
16	9	simp3d 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ≤ 𝑁)
17	11, 13, 14, 15, 16	letrd 11211	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ≤ 𝑁)
18	5, 10, 17	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
19		elfz1b 13404	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
20	18, 19	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
21	20, 1	eleqtrrdi 2848	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ 𝐷)
22		prssi 4765	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ⊆ 𝐷)
23	21, 6, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ⊆ 𝐷)
24	11	ltp1d 11984	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
25	11, 24	ltned 11190	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ≠ (𝐾 + 1))
26		enpr2 9837	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷 ∧ 𝐾 ≠ (𝐾 + 1)) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ≈ 2o)
27	21, 6, 25, 26	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ≈ 2o)
28		pmtrto1cl.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
29		eqid 2736	. . 3 ⊢ ran 𝑇 = ran 𝑇
30	28, 29	pmtrrn 19138	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ {𝐾, (𝐾 + 1)} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐾, (𝐾 + 1)} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran 𝑇)
31	4, 23, 27, 30	syl3anc 1370	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑇‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3896  {cpr 4572   class class class wbr 5086  ran crn 5608  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  2_oc2o 8339   ≈ cen 8779  Fincfn 8782  1c1 10951   + caddc 10953   ≤ cle 11089  ℕcn 12052  ...cfz 13318  pmTrspcpmtr 19122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-2o 8346  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-fz 13319  df-pmtr 19123

This theorem is referenced by:  psgnfzto1stlem  31498  fzto1st  31501  psgnfzto1st  31503