Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmtrto1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrto1cl 32912
Description: Useful lemma for the following theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfzto1st.d 𝐷 = (1...𝑁)
pmtrto1cl.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtrto1cl ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑇‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran 𝑇)

Proof of Theorem pmtrto1cl
StepHypRef Expression
1 psgnfzto1st.d . . . 4 𝐷 = (1...𝑁)
2 fzfi 13973 . . . 4 (1...𝑁) ∈ Fin
31, 2eqeltri 2821 . . 3 𝐷 ∈ Fin
43a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ Fin)
5 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ ℕ)
6 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ 𝐷)
76, 1eleqtrdi 2835 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁))
8 elfz1b 13605 . . . . . . . 8 ((𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁))
97, 8sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → ((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁))
109simp2d 1140 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
115nnred 12260 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ ℝ)
12 1red 11247 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℝ)
1311, 12readdcld 11275 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
1410nnred 12260 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℝ)
1511lep1d 12178 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
169simp3d 1141 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ≤ 𝑁)
1711, 13, 14, 15, 16letrd 11403 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾𝑁)
185, 10, 173jca 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁))
19 elfz1b 13605 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾𝑁))
2018, 19sylibr 233 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
2120, 1eleqtrrdi 2836 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾𝐷)
22 prssi 4826 . . 3 ((𝐾𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ⊆ 𝐷)
2321, 6, 22syl2anc 582 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ⊆ 𝐷)
2411ltp1d 12177 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
2511, 24ltned 11382 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ≠ (𝐾 + 1))
26 enpr2 10027 . . 3 ((𝐾𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷𝐾 ≠ (𝐾 + 1)) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ≈ 2o)
2721, 6, 25, 26syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ≈ 2o)
28 pmtrto1cl.t . . 3 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
29 eqid 2725 . . 3 ran 𝑇 = ran 𝑇
3028, 29pmtrrn 19424 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ {𝐾, (𝐾 + 1)} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐾, (𝐾 + 1)} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran 𝑇)
314, 23, 27, 30syl3anc 1368 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑇‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wss 3944  {cpr 4632   class class class wbr 5149  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  2oc2o 8481  cen 8961  Fincfn 8964  1c1 11141   + caddc 11143  cle 11281  cn 12245  ...cfz 13519  pmTrspcpmtr 19408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-pmtr 19409
This theorem is referenced by:  psgnfzto1stlem  32913  fzto1st  32916  psgnfzto1st  32918
  Copyright terms: Public domain W3C validator