Theorem pmtrto1cl 33419

Description: Useful lemma for the following theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfzto1st.d	⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
pmtrto1cl.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtrto1cl	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑇‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran 𝑇)

Proof of Theorem pmtrto1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnfzto1st.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (1...𝑁)
2		fzfi 14004	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2859	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ Fin
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ Fin)
5		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ ℕ)
6		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ 𝐷)
7	6, 1	eleqtrdi 2873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁))
8		elfz1b 13617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁))
9	7, 8	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → ((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁))
10	9	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	5	nnred 12243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ ℝ)
12		1red 11204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 1 ∈ ℝ)
13	11, 12	readdcld 11233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
14	10	nnred 12243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	11	lep1d 12141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ≤ (𝐾 + 1))
16	9	simp3d 1162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 + 1) ≤ 𝑁)
17	11, 13, 14, 15, 16	letrd 11362	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ≤ 𝑁)
18	5, 10, 17	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
19		elfz1b 13617	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
20	18, 19	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
21	20, 1	eleqtrrdi 2874	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ∈ 𝐷)
22		prssi 4787	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ⊆ 𝐷)
23	21, 6, 22	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ⊆ 𝐷)
24	11	ltp1d 12140	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
25	11, 24	ltned 11341	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → 𝐾 ≠ (𝐾 + 1))
26		enpr2 9984	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷 ∧ 𝐾 ≠ (𝐾 + 1)) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ≈ 2o)
27	21, 6, 25, 26	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → {𝐾, (𝐾 + 1)} ≈ 2o)
28		pmtrto1cl.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
29		eqid 2763	. . 3 ⊢ ran 𝑇 = ran 𝑇
30	28, 29	pmtrrn 19522	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ {𝐾, (𝐾 + 1)} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐾, (𝐾 + 1)} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran 𝑇)
31	4, 23, 27, 30	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝐷) → (𝑇‘{𝐾, (𝐾 + 1)}) ∈ ran 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3905  {cpr 4591   class class class wbr 5109  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  2_oc2o 8443   ≈ cen 8936  Fincfn 8939  1c1 11096   + caddc 11098   ≤ cle 11239  ℕcn 12228  ...cfz 13530  pmTrspcpmtr 19506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-pmtr 19507

This theorem is referenced by:  psgnfzto1stlem  33420  fzto1st  33423  psgnfzto1st  33425