MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pr2pwpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pr2pwpr 14491
Description: The set of subsets of a pair having length 2 is the set of the pair as singleton. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pr2pwpr ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} = {{𝐴, 𝐵}})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑝)   𝑊(𝑝)

Proof of Theorem pr2pwpr
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4605 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → 𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵})
2 prfi 9356 . . . . . . . . 9 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
3 ssfi 9202 . . . . . . . . 9 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ∈ Fin)
42, 3mpan 688 . . . . . . . 8 (𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵} → 𝑠 ∈ Fin)
5 hash2 14415 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘2o) = 2
65eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (♯‘2o)
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ Fin → 2 = (♯‘2o))
87eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = 2 ↔ (♯‘𝑠) = (♯‘2o)))
9 2onn 8662 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ ω
10 nnfi 9195 . . . . . . . . . . . . 13 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 2o ∈ Fin
12 hashen 14357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘𝑠) = (♯‘2o) ↔ 𝑠 ≈ 2o))
1311, 12mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = (♯‘2o) ↔ 𝑠 ≈ 2o))
148, 13bitrd 278 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = 2 ↔ 𝑠 ≈ 2o))
15 hash2pwpr 14488 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑠) = 2 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})
1615a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑠) = 2 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
1716ex 411 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑠) = 2 → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})))
1814, 17biimtrrdi 253 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ Fin → (𝑠 ≈ 2o → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
1918com23 86 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ Fin → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
204, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
211, 20mpcom 38 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})))
2221imp 405 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
2322com12 32 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
24 prex 5429 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐴, 𝐵} ∈ V
2524prid2 4763 . . . . . . . . . . . 12 {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
2726olcd 872 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅, {𝐴}} ∨ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
28 elun 4146 . . . . . . . . . 10 ({𝐴, 𝐵} ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅, {𝐴}} ∨ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
2927, 28sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
30 pwpr 4900 . . . . . . . . 9 𝒫 {𝐴, 𝐵} = ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
3129, 30eleqtrrdi 2837 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
3231adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
33 eleq1 2814 . . . . . . . 8 (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}))
3433adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}))
3532, 34mpbird 256 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
36 enpr2 10036 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
3736adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
38 breq1 5147 . . . . . . . 8 (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
3938adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ≈ 2o ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
4037, 39mpbird 256 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ≈ 2o)
4135, 40jca 510 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o))
4241ex 411 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o)))
4323, 42impbid 211 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o) ↔ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
44 breq1 5147 . . . 4 (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 ≈ 2o𝑠 ≈ 2o))
4544elrab 3681 . . 3 (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o))
46 velsn 4640 . . 3 (𝑠 ∈ {{𝐴, 𝐵}} ↔ 𝑠 = {𝐴, 𝐵})
4743, 45, 463bitr4g 313 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} ↔ 𝑠 ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
4847eqrdv 2724 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} = {{𝐴, 𝐵}})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  {crab 3420  cun 3945  wss 3947  c0 4323  𝒫 cpw 4598  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5144  cfv 6544  ωcom 7866  2oc2o 8480  cen 8961  Fincfn 8964  2c2 12311  chash 14340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9935  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-fz 13531  df-hash 14341
This theorem is referenced by:  pmtrprfval  19479
  Copyright terms: Public domain W3C validator