Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pr2pwpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pr2pwpr 13850
 Description: The set of subsets of a pair having length 2 is the set of the pair as singleton. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pr2pwpr ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} = {{𝐴, 𝐵}})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑝)   𝑊(𝑝)

Proof of Theorem pr2pwpr
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4508 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → 𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵})
2 prfi 8792 . . . . . . . . 9 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
3 ssfi 8737 . . . . . . . . 9 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ∈ Fin)
42, 3mpan 689 . . . . . . . 8 (𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵} → 𝑠 ∈ Fin)
5 hash2 13779 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘2o) = 2
65eqcomi 2807 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (♯‘2o)
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ Fin → 2 = (♯‘2o))
87eqeq2d 2809 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = 2 ↔ (♯‘𝑠) = (♯‘2o)))
9 2onn 8264 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ ω
10 nnfi 8711 . . . . . . . . . . . . 13 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 2o ∈ Fin
12 hashen 13720 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘𝑠) = (♯‘2o) ↔ 𝑠 ≈ 2o))
1311, 12mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = (♯‘2o) ↔ 𝑠 ≈ 2o))
148, 13bitrd 282 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = 2 ↔ 𝑠 ≈ 2o))
15 hash2pwpr 13847 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑠) = 2 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})
1615a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑠) = 2 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
1716ex 416 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑠) = 2 → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})))
1814, 17syl6bir 257 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ Fin → (𝑠 ≈ 2o → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
1918com23 86 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ Fin → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
204, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
211, 20mpcom 38 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})))
2221imp 410 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
2322com12 32 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
24 prex 5301 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐴, 𝐵} ∈ V
2524prid2 4661 . . . . . . . . . . . 12 {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
2726olcd 871 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅, {𝐴}} ∨ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
28 elun 4078 . . . . . . . . . 10 ({𝐴, 𝐵} ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅, {𝐴}} ∨ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
2927, 28sylibr 237 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
30 pwpr 4797 . . . . . . . . 9 𝒫 {𝐴, 𝐵} = ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
3129, 30eleqtrrdi 2901 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
3231adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
33 eleq1 2877 . . . . . . . 8 (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}))
3433adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}))
3532, 34mpbird 260 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
36 pr2nelem 9430 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
3736adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
38 breq1 5036 . . . . . . . 8 (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
3938adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ≈ 2o ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
4037, 39mpbird 260 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ≈ 2o)
4135, 40jca 515 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o))
4241ex 416 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o)))
4323, 42impbid 215 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o) ↔ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
44 breq1 5036 . . . 4 (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 ≈ 2o𝑠 ≈ 2o))
4544elrab 3629 . . 3 (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o))
46 velsn 4543 . . 3 (𝑠 ∈ {{𝐴, 𝐵}} ↔ 𝑠 = {𝐴, 𝐵})
4743, 45, 463bitr4g 317 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} ↔ 𝑠 ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
4847eqrdv 2796 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} = {{𝐴, 𝐵}})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {crab 3110   ∪ cun 3880   ⊆ wss 3882  ∅c0 4245  𝒫 cpw 4499  {csn 4527  {cpr 4529   class class class wbr 5033  ‘cfv 6329  ωcom 7570  2oc2o 8094   ≈ cen 8504  Fincfn 8507  2c2 11695  ♯chash 13703 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11987  df-uz 12249  df-fz 12903  df-hash 13704 This theorem is referenced by:  pmtrprfval  18625
 Copyright terms: Public domain W3C validator