Theorem pr2pwpr 14045

Description: The set of subsets of a pair having length 2 is the set of the pair as singleton. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pr2pwpr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} = {{𝐴, 𝐵}})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑝)   𝑊(𝑝)

Proof of Theorem pr2pwpr

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → 𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵})
2		prfi 8946	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
3		ssfi 8851	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ∈ Fin)
4	2, 3	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵} → 𝑠 ∈ Fin)
5		hash2 13972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘2o) = 2
6	5	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (♯‘2o)
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → 2 = (♯‘2o))
8	7	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = 2 ↔ (♯‘𝑠) = (♯‘2o)))
9		2onn 8368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ∈ ω
10		nnfi 8845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o ∈ Fin
12		hashen 13913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘𝑠) = (♯‘2o) ↔ 𝑠 ≈ 2o))
13	11, 12	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = (♯‘2o) ↔ 𝑠 ≈ 2o))
14	8, 13	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = 2 ↔ 𝑠 ≈ 2o))
15		hash2pwpr 14042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑠) = 2 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})
16	15	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑠) = 2 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
17	16	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑠) = 2 → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})))
18	14, 17	syl6bir 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → (𝑠 ≈ 2o → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
19	18	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
20	4, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
21	1, 20	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})))
22	21	imp 410	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
23	22	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
24		prex 5325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
25	24	prid2 4679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
27	26	olcd 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅, {𝐴}} ∨ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
28		elun 4063	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅, {𝐴}} ∨ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
29	27, 28	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
30		pwpr 4813	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {𝐴, 𝐵} = ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
31	29, 30	eleqtrrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
32	31	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
33		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}))
34	33	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}))
35	32, 34	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
36		pr2nelem 9618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
37	36	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
38		breq1 5056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
39	38	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ≈ 2o ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
40	37, 39	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ≈ 2o)
41	35, 40	jca 515	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o))
42	41	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o)))
43	23, 42	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o) ↔ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
44		breq1 5056	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 ≈ 2o ↔ 𝑠 ≈ 2o))
45	44	elrab 3602	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o))
46		velsn 4557	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ {{𝐴, 𝐵}} ↔ 𝑠 = {𝐴, 𝐵})
47	43, 45, 46	3bitr4g 317	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} ↔ 𝑠 ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
48	47	eqrdv 2735	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} = {{𝐴, 𝐵}})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  {crab 3065   ∪ cun 3864   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  𝒫 cpw 4513  {csn 4541  {cpr 4543   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  ωcom 7644  2_oc2o 8196   ≈ cen 8623  Fincfn 8626  2c2 11885  ♯chash 13896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-hash 13897

This theorem is referenced by:  pmtrprfval  18879