Theorem pr2pwpr 14400

Description: The set of subsets of a pair having length 2 is the set of the pair as singleton. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pr2pwpr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} = {{𝐴, 𝐵}})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑝)   𝑊(𝑝)

Proof of Theorem pr2pwpr

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4559	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → 𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵})
2		prfi 9222	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
3		ssfi 9095	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ∈ Fin)
4	2, 3	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵} → 𝑠 ∈ Fin)
5		hash2 14326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘2o) = 2
6	5	eqcomi 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (♯‘2o)
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → 2 = (♯‘2o))
8	7	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = 2 ↔ (♯‘𝑠) = (♯‘2o)))
9		2onn 8568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ∈ ω
10		nnfi 9090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o ∈ Fin
12		hashen 14268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘𝑠) = (♯‘2o) ↔ 𝑠 ≈ 2o))
13	11, 12	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = (♯‘2o) ↔ 𝑠 ≈ 2o))
14	8, 13	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = 2 ↔ 𝑠 ≈ 2o))
15		hash2pwpr 14397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑠) = 2 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})
16	15	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑠) = 2 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
17	16	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑠) = 2 → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})))
18	14, 17	biimtrrdi 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → (𝑠 ≈ 2o → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
19	18	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
20	4, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
21	1, 20	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})))
22	21	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
23	22	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
24		prex 5380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
25	24	prid2 4718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
27	26	olcd 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅, {𝐴}} ∨ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
28		elun 4103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅, {𝐴}} ∨ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
29	27, 28	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
30		pwpr 4855	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {𝐴, 𝐵} = ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
31	29, 30	eleqtrrdi 2845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
32	31	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
33		eleq1 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}))
34	33	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}))
35	32, 34	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
36		enpr2 9912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
37	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
38		breq1 5099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
39	38	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ≈ 2o ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
40	37, 39	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ≈ 2o)
41	35, 40	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o))
42	41	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o)))
43	23, 42	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o) ↔ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
44		breq1 5099	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 ≈ 2o ↔ 𝑠 ≈ 2o))
45	44	elrab 3644	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o))
46		velsn 4594	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ {{𝐴, 𝐵}} ↔ 𝑠 = {𝐴, 𝐵})
47	43, 45, 46	3bitr4g 314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} ↔ 𝑠 ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
48	47	eqrdv 2732	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} = {{𝐴, 𝐵}})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  {crab 3397   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  {csn 4578  {cpr 4580   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  ωcom 7806  2_oc2o 8389   ≈ cen 8878  Fincfn 8881  2c2 12198  ♯chash 14251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-hash 14252

This theorem is referenced by:  pmtrprfval  19414