Theorem pr2pwpr 14298

Description: The set of subsets of a pair having length 2 is the set of the pair as singleton. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pr2pwpr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} = {{𝐴, 𝐵}})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑝)   𝑊(𝑝)

Proof of Theorem pr2pwpr

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4559	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → 𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵})
2		prfi 9192	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
3		ssfi 9043	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ∈ Fin)
4	2, 3	mpan 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵} → 𝑠 ∈ Fin)
5		hash2 14225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯‘2o) = 2
6	5	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 = (♯‘2o)
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → 2 = (♯‘2o))
8	7	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = 2 ↔ (♯‘𝑠) = (♯‘2o)))
9		2onn 8548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ∈ ω
10		nnfi 9037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o ∈ Fin
12		hashen 14167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘𝑠) = (♯‘2o) ↔ 𝑠 ≈ 2o))
13	11, 12	mpan2 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = (♯‘2o) ↔ 𝑠 ≈ 2o))
14	8, 13	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = 2 ↔ 𝑠 ≈ 2o))
15		hash2pwpr 14295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑠) = 2 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})
16	15	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑠) = 2 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
17	16	ex 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑠) = 2 → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})))
18	14, 17	syl6bir 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → (𝑠 ≈ 2o → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
19	18	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ Fin → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
20	4, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
21	1, 20	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})))
22	21	imp 408	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o) → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
23	22	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
24		prex 5382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
25	24	prid2 4716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
27	26	olcd 872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅, {𝐴}} ∨ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
28		elun 4100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅, {𝐴}} ∨ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
29	27, 28	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
30		pwpr 4851	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {𝐴, 𝐵} = ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
31	29, 30	eleqtrrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
32	31	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
33		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}))
34	33	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}))
35	32, 34	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
36		enpr2 9864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
37	36	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
38		breq1 5100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2o ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
39	38	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ≈ 2o ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2o))
40	37, 39	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ≈ 2o)
41	35, 40	jca 513	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o))
42	41	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o)))
43	23, 42	impbid 211	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o) ↔ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
44		breq1 5100	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 ≈ 2o ↔ 𝑠 ≈ 2o))
45	44	elrab 3638	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2o))
46		velsn 4594	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ {{𝐴, 𝐵}} ↔ 𝑠 = {𝐴, 𝐵})
47	43, 45, 46	3bitr4g 314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} ↔ 𝑠 ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
48	47	eqrdv 2735	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2o} = {{𝐴, 𝐵}})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  {crab 3404   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4552  {csn 4578  {cpr 4580   class class class wbr 5097  ‘cfv 6484  ωcom 7785  2_oc2o 8366   ≈ cen 8806  Fincfn 8809  2c2 12134  ♯chash 14150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-oadd 8376  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-dju 9763  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-fz 13346  df-hash 14151

This theorem is referenced by:  pmtrprfval  19192