Theorem pmtr3ncom 19448

Description: Transpositions over sets with at least 3 elements are not commutative, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtr3ncom.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtr3ncom	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem pmtr3ncom

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashge3el3dif 14447	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
2		simprl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		prssi 4759	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
5	4	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
6		simplll 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
7		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
8	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
9		simpr1 1201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
10		enpr2 9924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
13		pmtr3ncom.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
14		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝑇 = ran 𝑇
15	13, 14	pmtrrn 19430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
16	2, 5, 12, 15	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
17		prssi 4759	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
18	17	ad5ant23 765	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
19		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐷)
20		simpr3 1203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
21		enpr2 9924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
22	8, 19, 20, 21	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
24	13, 14	pmtrrn 19430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑦, 𝑧} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
25	2, 18, 23, 24	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
26		df-3an 1094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷))
27	26	biimpri 229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷))
28	27	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷))
29		simplr 774	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
30		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})
31		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) = (𝑇‘{𝑦, 𝑧})
32	13, 30, 31	pmtr3ncomlem2 19447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
33	2, 28, 29, 32	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
34		coeq2 5807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑔 ∘ 𝑓) = (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
35		coeq1 5806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑓 ∘ 𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔))
36	34, 35	neeq12d 2996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → ((𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔) ↔ (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔)))
37		coeq1 5806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) = ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
38		coeq2 5807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
39	37, 38	neeq12d 2996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) ↔ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))))
40	36, 39	rspc2ev 3580	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇 ∧ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇 ∧ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))
41	16, 25, 33, 40	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))
42	41	exp31 420	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))))
43	42	rexlimdva 3141	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))))
44	43	rexlimivv 3182	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔)))
45	1, 44	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890  {cpr 4564   class class class wbr 5079  ran crn 5626   ∘ ccom 5629  ‘cfv 6492  2_oc2o 8396   ≈ cen 8887   ≤ cle 11178  3c3 12235  ♯chash 14290  pmTrspcpmtr 19414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-hash 14291  df-pmtr 19415

This theorem is referenced by:  pgrpgt2nabl  48864