MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtr3ncom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtr3ncom 18582
Description: Transpositions over sets with at least 3 elements are not commutative, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtr3ncom.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtr3ncom ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem pmtr3ncom
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashge3el3dif 13829 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧))
2 simprl 769 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → 𝐷𝑉)
3 prssi 4730 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
43adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
54ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
6 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → 𝑥𝐷)
7 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦𝐷)
87adantr 483 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → 𝑦𝐷)
9 simpr1 1190 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → 𝑥𝑦)
10 pr2nelem 9408 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑦𝐷𝑥𝑦) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
116, 8, 9, 10syl3anc 1367 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
1211adantr 483 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
13 pmtr3ncom.t . . . . . . . 8 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
14 eqid 2820 . . . . . . . 8 ran 𝑇 = ran 𝑇
1513, 14pmtrrn 18564 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
162, 5, 12, 15syl3anc 1367 . . . . . 6 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
17 prssi 4730 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐷𝑧𝐷) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
1817ad5ant23 758 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
19 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → 𝑧𝐷)
20 simpr3 1192 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → 𝑦𝑧)
21 pr2nelem 9408 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐷𝑧𝐷𝑦𝑧) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
228, 19, 20, 21syl3anc 1367 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
2322adantr 483 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
2413, 14pmtrrn 18564 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑦, 𝑧} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
252, 18, 23, 24syl3anc 1367 . . . . . 6 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
26 df-3an 1085 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷) ↔ ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷))
2726biimpri 230 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) → (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷))
2827ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷))
29 simplr 767 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧))
30 eqid 2820 . . . . . . . 8 (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})
31 eqid 2820 . . . . . . . 8 (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) = (𝑇‘{𝑦, 𝑧})
3213, 30, 31pmtr3ncomlem2 18581 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
332, 28, 29, 32syl3anc 1367 . . . . . 6 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
34 coeq2 5705 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑔𝑓) = (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
35 coeq1 5704 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑓𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔))
3634, 35neeq12d 3067 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → ((𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔) ↔ (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔)))
37 coeq1 5704 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) = ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
38 coeq2 5705 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
3937, 38neeq12d 3067 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) ↔ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))))
4036, 39rspc2ev 3614 . . . . . 6 (((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇 ∧ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇 ∧ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))
4116, 25, 33, 40syl3anc 1367 . . . . 5 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))
4241exp31 422 . . . 4 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) → ((𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧) → ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))))
4342rexlimdva 3271 . . 3 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) → (∃𝑧𝐷 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧) → ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))))
4443rexlimivv 3279 . 2 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧) → ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔)))
451, 44mpcom 38 1 ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  wrex 3126  wss 3913  {cpr 4545   class class class wbr 5042  ran crn 5532  ccom 5535  cfv 6331  2oc2o 8074  cen 8484  cle 10654  3c3 11672  chash 13675  pmTrspcpmtr 18548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-dju 9308  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-xnn0 11947  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-hash 13676  df-pmtr 18549
This theorem is referenced by:  pgrpgt2nabl  44559
  Copyright terms: Public domain W3C validator