Theorem pmtr3ncom 18603

Description: Transpositions over sets with at least 3 elements are not commutative, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtr3ncom.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtr3ncom	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem pmtr3ncom

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashge3el3dif 13845	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
2		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		prssi 4754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
4	3	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
5	4	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
6		simplll 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
7		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
8	7	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
9		simpr1 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
10		pr2nelem 9430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
12	11	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
13		pmtr3ncom.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
14		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝑇 = ran 𝑇
15	13, 14	pmtrrn 18585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
16	2, 5, 12, 15	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
17		prssi 4754	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
18	17	ad5ant23 758	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
19		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐷)
20		simpr3 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
21		pr2nelem 9430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
22	8, 19, 20, 21	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
23	22	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
24	13, 14	pmtrrn 18585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑦, 𝑧} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
25	2, 18, 23, 24	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
26		df-3an 1085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷))
27	26	biimpri 230	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷))
28	27	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷))
29		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
30		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})
31		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) = (𝑇‘{𝑦, 𝑧})
32	13, 30, 31	pmtr3ncomlem2 18602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
33	2, 28, 29, 32	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
34		coeq2 5729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑔 ∘ 𝑓) = (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
35		coeq1 5728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑓 ∘ 𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔))
36	34, 35	neeq12d 3077	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → ((𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔) ↔ (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔)))
37		coeq1 5728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) = ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
38		coeq2 5729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
39	37, 38	neeq12d 3077	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) ↔ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))))
40	36, 39	rspc2ev 3635	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇 ∧ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇 ∧ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))
41	16, 25, 33, 40	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))
42	41	exp31 422	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))))
43	42	rexlimdva 3284	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))))
44	43	rexlimivv 3292	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔)))
45	1, 44	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936  {cpr 4569   class class class wbr 5066  ran crn 5556   ∘ ccom 5559  ‘cfv 6355  2_oc2o 8096   ≈ cen 8506   ≤ cle 10676  3c3 11694  ♯chash 13691  pmTrspcpmtr 18569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-hash 13692  df-pmtr 18570

This theorem is referenced by:  pgrpgt2nabl  44434