Theorem pmtr3ncom 19405

Description: Transpositions over sets with at least 3 elements are not commutative, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtr3ncom.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtr3ncom	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem pmtr3ncom

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashge3el3dif 14452	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
2		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		prssi 4785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
6		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
7		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
9		simpr1 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
10		enpr2 9955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
13		pmtr3ncom.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
14		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝑇 = ran 𝑇
15	13, 14	pmtrrn 19387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
16	2, 5, 12, 15	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
17		prssi 4785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
18	17	ad5ant23 759	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
19		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐷)
20		simpr3 1197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
21		enpr2 9955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
22	8, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
24	13, 14	pmtrrn 19387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑦, 𝑧} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
25	2, 18, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
26		df-3an 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷))
27	26	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷))
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷))
29		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
30		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})
31		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) = (𝑇‘{𝑦, 𝑧})
32	13, 30, 31	pmtr3ncomlem2 19404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
33	2, 28, 29, 32	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
34		coeq2 5822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑔 ∘ 𝑓) = (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
35		coeq1 5821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑓 ∘ 𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔))
36	34, 35	neeq12d 2986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → ((𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔) ↔ (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔)))
37		coeq1 5821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) = ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
38		coeq2 5822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
39	37, 38	neeq12d 2986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) ↔ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))))
40	36, 39	rspc2ev 3601	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇 ∧ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇 ∧ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))
41	16, 25, 33, 40	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))
42	41	exp31 419	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))))
43	42	rexlimdva 3134	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))))
44	43	rexlimivv 3179	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔)))
45	1, 44	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  {cpr 4591   class class class wbr 5107  ran crn 5639   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6511  2_oc2o 8428   ≈ cen 8915   ≤ cle 11209  3c3 12242  ♯chash 14295  pmTrspcpmtr 19371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-pmtr 19372

This theorem is referenced by:  pgrpgt2nabl  48354