MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtr3ncom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtr3ncom 19430
Description: Transpositions over sets with at least 3 elements are not commutative, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtr3ncom.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtr3ncom ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem pmtr3ncom
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashge3el3dif 14480 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧))
2 simprl 770 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → 𝐷𝑉)
3 prssi 4825 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
43adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
54ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
6 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → 𝑥𝐷)
7 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦𝐷)
87adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → 𝑦𝐷)
9 simpr1 1192 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → 𝑥𝑦)
10 enpr2 10026 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑦𝐷𝑥𝑦) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
116, 8, 9, 10syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
1211adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
13 pmtr3ncom.t . . . . . . . 8 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
14 eqid 2728 . . . . . . . 8 ran 𝑇 = ran 𝑇
1513, 14pmtrrn 19412 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
162, 5, 12, 15syl3anc 1369 . . . . . 6 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
17 prssi 4825 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐷𝑧𝐷) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
1817ad5ant23 759 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
19 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → 𝑧𝐷)
20 simpr3 1194 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → 𝑦𝑧)
21 enpr2 10026 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐷𝑧𝐷𝑦𝑧) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
228, 19, 20, 21syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
2322adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
2413, 14pmtrrn 19412 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑦, 𝑧} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
252, 18, 23, 24syl3anc 1369 . . . . . 6 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
26 df-3an 1087 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷) ↔ ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷))
2726biimpri 227 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) → (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷))
2827ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷))
29 simplr 768 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧))
30 eqid 2728 . . . . . . . 8 (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})
31 eqid 2728 . . . . . . . 8 (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) = (𝑇‘{𝑦, 𝑧})
3213, 30, 31pmtr3ncomlem2 19429 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
332, 28, 29, 32syl3anc 1369 . . . . . 6 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
34 coeq2 5861 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑔𝑓) = (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
35 coeq1 5860 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑓𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔))
3634, 35neeq12d 2999 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → ((𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔) ↔ (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔)))
37 coeq1 5860 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) = ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
38 coeq2 5861 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
3937, 38neeq12d 2999 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) ↔ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))))
4036, 39rspc2ev 3622 . . . . . 6 (((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇 ∧ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇 ∧ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))
4116, 25, 33, 40syl3anc 1369 . . . . 5 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))
4241exp31 419 . . . 4 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) → ((𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧) → ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))))
4342rexlimdva 3152 . . 3 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) → (∃𝑧𝐷 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧) → ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))))
4443rexlimivv 3196 . 2 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧) → ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔)))
451, 44mpcom 38 1 ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wrex 3067  wss 3947  {cpr 4631   class class class wbr 5148  ran crn 5679  ccom 5682  cfv 6548  2oc2o 8481  cen 8961  cle 11280  3c3 12299  chash 14322  pmTrspcpmtr 19396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-hash 14323  df-pmtr 19397
This theorem is referenced by:  pgrpgt2nabl  47430
  Copyright terms: Public domain W3C validator