Theorem pmtr3ncom 19083

Description: Transpositions over sets with at least 3 elements are not commutative, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtr3ncom.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtr3ncom	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem pmtr3ncom

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashge3el3dif 14200	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
2		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		prssi 4754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
5	4	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
6		simplll 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
7		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
8	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
9		simpr1 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
10		pr2nelem 9760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
13		pmtr3ncom.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
14		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝑇 = ran 𝑇
15	13, 14	pmtrrn 19065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
16	2, 5, 12, 15	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
17		prssi 4754	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
18	17	ad5ant23 757	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
19		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐷)
20		simpr3 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
21		pr2nelem 9760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
22	8, 19, 20, 21	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
24	13, 14	pmtrrn 19065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑦, 𝑧} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
25	2, 18, 23, 24	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
26		df-3an 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷))
27	26	biimpri 227	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷))
28	27	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷))
29		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
30		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})
31		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) = (𝑇‘{𝑦, 𝑧})
32	13, 30, 31	pmtr3ncomlem2 19082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
33	2, 28, 29, 32	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
34		coeq2 5767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑔 ∘ 𝑓) = (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
35		coeq1 5766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑓 ∘ 𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔))
36	34, 35	neeq12d 3005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → ((𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔) ↔ (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔)))
37		coeq1 5766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) = ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
38		coeq2 5767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
39	37, 38	neeq12d 3005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) ↔ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))))
40	36, 39	rspc2ev 3572	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇 ∧ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇 ∧ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))
41	16, 25, 33, 40	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))
42	41	exp31 420	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))))
43	42	rexlimdva 3213	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))))
44	43	rexlimivv 3221	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔)))
45	1, 44	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  {cpr 4563   class class class wbr 5074  ran crn 5590   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  2_oc2o 8291   ≈ cen 8730   ≤ cle 11010  3c3 12029  ♯chash 14044  pmTrspcpmtr 19049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-pmtr 19050

This theorem is referenced by:  pgrpgt2nabl  45702