Theorem pmtr3ncom 19404

Description: Transpositions over sets with at least 3 elements are not commutative, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtr3ncom.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtr3ncom	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem pmtr3ncom

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashge3el3dif 14410	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
2		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		prssi 4777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
6		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
7		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
9		simpr1 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
10		enpr2 9914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
13		pmtr3ncom.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
14		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ran 𝑇 = ran 𝑇
15	13, 14	pmtrrn 19386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
16	2, 5, 12, 15	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
17		prssi 4777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
18	17	ad5ant23 759	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
19		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐷)
20		simpr3 1197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
21		enpr2 9914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
22	8, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
24	13, 14	pmtrrn 19386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑦, 𝑧} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
25	2, 18, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
26		df-3an 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷))
27	26	biimpri 228	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷))
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷))
29		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
30		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})
31		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) = (𝑇‘{𝑦, 𝑧})
32	13, 30, 31	pmtr3ncomlem2 19403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
33	2, 28, 29, 32	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
34		coeq2 5807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑔 ∘ 𝑓) = (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
35		coeq1 5806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑓 ∘ 𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔))
36	34, 35	neeq12d 2993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → ((𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔) ↔ (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔)))
37		coeq1 5806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) = ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
38		coeq2 5807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
39	37, 38	neeq12d 2993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) ↔ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))))
40	36, 39	rspc2ev 3589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇 ∧ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇 ∧ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))
41	16, 25, 33, 40	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))
42	41	exp31 419	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))))
43	42	rexlimdva 3137	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))))
44	43	rexlimivv 3178	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 ∃𝑧 ∈ 𝐷 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔)))
45	1, 44	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇∃𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔 ∘ 𝑓) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  {cpr 4582   class class class wbr 5098  ran crn 5625   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  2_oc2o 8391   ≈ cen 8880   ≤ cle 11167  3c3 12201  ♯chash 14253  pmTrspcpmtr 19370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254  df-pmtr 19371

This theorem is referenced by:  pgrpgt2nabl  48612