MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtr3ncom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtr3ncom 19265
Description: Transpositions over sets with at least 3 elements are not commutative, see also the remark in [Rotman] p. 28. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtr3ncom.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtr3ncom ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓,𝑔   𝑇,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem pmtr3ncom
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashge3el3dif 14394 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧))
2 simprl 770 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → 𝐷𝑉)
3 prssi 4785 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
43adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
54ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷)
6 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → 𝑥𝐷)
7 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) → 𝑦𝐷)
87adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → 𝑦𝐷)
9 simpr1 1195 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → 𝑥𝑦)
10 enpr2 9946 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑦𝐷𝑥𝑦) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
116, 8, 9, 10syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
1211adantr 482 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑥, 𝑦} ≈ 2o)
13 pmtr3ncom.t . . . . . . . 8 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
14 eqid 2733 . . . . . . . 8 ran 𝑇 = ran 𝑇
1513, 14pmtrrn 19247 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑥, 𝑦} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
162, 5, 12, 15syl3anc 1372 . . . . . 6 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇)
17 prssi 4785 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐷𝑧𝐷) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
1817ad5ant23 759 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷)
19 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → 𝑧𝐷)
20 simpr3 1197 . . . . . . . . 9 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → 𝑦𝑧)
21 enpr2 9946 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐷𝑧𝐷𝑦𝑧) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
228, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
2322adantr 482 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → {𝑦, 𝑧} ≈ 2o)
2413, 14pmtrrn 19247 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑦, 𝑧} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑦, 𝑧} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
252, 18, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . 6 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇)
26 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷) ↔ ((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷))
2726biimpri 227 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) → (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷))
2827ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷))
29 simplr 768 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧))
30 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) = (𝑇‘{𝑥, 𝑦})
31 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) = (𝑇‘{𝑦, 𝑧})
3213, 30, 31pmtr3ncomlem2 19264 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
332, 28, 29, 32syl3anc 1372 . . . . . 6 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
34 coeq2 5818 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑔𝑓) = (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
35 coeq1 5817 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → (𝑓𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔))
3634, 35neeq12d 3002 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑇‘{𝑥, 𝑦}) → ((𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔) ↔ (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔)))
37 coeq1 5817 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → (𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) = ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})))
38 coeq2 5818 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) = ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧})))
3937, 38neeq12d 3002 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) → ((𝑔 ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ 𝑔) ↔ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))))
4036, 39rspc2ev 3594 . . . . . 6 (((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∈ ran 𝑇 ∧ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∈ ran 𝑇 ∧ ((𝑇‘{𝑦, 𝑧}) ∘ (𝑇‘{𝑥, 𝑦})) ≠ ((𝑇‘{𝑥, 𝑦}) ∘ (𝑇‘{𝑦, 𝑧}))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))
4116, 25, 33, 40syl3anc 1372 . . . . 5 (((((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) ∧ (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧)) ∧ (𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷))) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))
4241exp31 421 . . . 4 (((𝑥𝐷𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) → ((𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧) → ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))))
4342rexlimdva 3149 . . 3 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) → (∃𝑧𝐷 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧) → ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))))
4443rexlimivv 3193 . 2 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷𝑧𝐷 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧) → ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔)))
451, 44mpcom 38 1 ((𝐷𝑉 ∧ 3 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑓 ∈ ran 𝑇𝑔 ∈ ran 𝑇(𝑔𝑓) ≠ (𝑓𝑔))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wrex 3070  wss 3914  {cpr 4592   class class class wbr 5109  ran crn 5638  ccom 5641  cfv 6500  2oc2o 8410  cen 8886  cle 11198  3c3 12217  chash 14239  pmTrspcpmtr 19231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-hash 14240  df-pmtr 19232
This theorem is referenced by:  pgrpgt2nabl  46532
  Copyright terms: Public domain W3C validator