Theorem en2eqpr 9929

Description: Building a set with two elements. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2eqpr	⊢ ((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem en2eqpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 8578	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 9102	. . . . . 6 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ Fin
4		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 ≈ 2o)
5		enfii 9120	. . . . 5 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 2o) → 𝐶 ∈ Fin)
6	3, 4, 5	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
7		simpl2 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐶)
8		simpl3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐶)
9	7, 8	prssd 4765	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
10		enpr2 9926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
11	10	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
12	11	3adantl1 1168	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
13	4	ensymd 8952	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 2o ≈ 𝐶)
14		entr 8953	. . . . 5 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ∧ 2o ≈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
15	12, 13, 14	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
16		fisseneq 9173	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
17	6, 9, 15, 16	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
18	17	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
19	18	ex 412	1 ⊢ ((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3889  {cpr 4569   class class class wbr 5085  ωcom 7817  2_oc2o 8399   ≈ cen 8890  Fincfn 8893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-om 7818  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897

This theorem is referenced by:  isprm2lem  16650  en2top  22950