Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2eqpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2eqpr 9143
 Description: Building a set with two elements. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eqpr ((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem en2eqpr
StepHypRef Expression
1 2onn 7987 . . . . . 6 2o ∈ ω
2 nnfi 8422 . . . . . 6 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 2o ∈ Fin
4 simpl1 1248 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ≈ 2o)
5 enfii 8446 . . . . 5 ((2o ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 2o) → 𝐶 ∈ Fin)
63, 4, 5sylancr 583 . . . 4 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
7 simpl2 1250 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐶)
8 simpl3 1252 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐶)
9 prssi 4570 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
107, 8, 9syl2anc 581 . . . 4 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
11 pr2nelem 9140 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶𝐵𝐶𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
12113expa 1153 . . . . . 6 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
13123adantl1 1213 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
144ensymd 8273 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 2o𝐶)
15 entr 8274 . . . . 5 (({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ∧ 2o𝐶) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
1613, 14, 15syl2anc 581 . . . 4 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
17 fisseneq 8440 . . . 4 ((𝐶 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
186, 10, 16, 17syl3anc 1496 . . 3 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
1918eqcomd 2831 . 2 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
2019ex 403 1 ((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐶 = {𝐴, 𝐵}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999   ⊆ wss 3798  {cpr 4399   class class class wbr 4873  ωcom 7326  2oc2o 7820   ≈ cen 8219  Fincfn 8222 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-om 7327  df-1o 7826  df-2o 7827  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226 This theorem is referenced by:  isprm2lem  15766  en2top  21160
 Copyright terms: Public domain W3C validator