Theorem en2eqpr 9427

Description: Building a set with two elements. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2eqpr	⊢ ((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem en2eqpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 8260	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 8705	. . . . . 6 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ Fin
4		simpl1 1187	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 ≈ 2o)
5		enfii 8729	. . . . 5 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 2o) → 𝐶 ∈ Fin)
6	3, 4, 5	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
7		simpl2 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐶)
8		simpl3 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐶)
9	7, 8	prssd 4748	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
10		pr2nelem 9424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
11	10	3expa 1114	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
12	11	3adantl1 1162	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
13	4	ensymd 8554	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 2o ≈ 𝐶)
14		entr 8555	. . . . 5 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ∧ 2o ≈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
15	12, 13, 14	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
16		fisseneq 8723	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
17	6, 9, 15, 16	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
18	17	eqcomd 2827	. 2 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
19	18	ex 415	1 ⊢ ((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ⊆ wss 3935  {cpr 4562   class class class wbr 5058  ωcom 7574  2_oc2o 8090   ≈ cen 8500  Fincfn 8503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-om 7575  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507

This theorem is referenced by:  isprm2lem  16019  en2top  21587