MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2eqpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2eqpr 10045
Description: Building a set with two elements. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eqpr ((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem en2eqpr
StepHypRef Expression
1 2onn 8679 . . . . . 6 2o ∈ ω
2 nnfi 9206 . . . . . 6 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 2o ∈ Fin
4 simpl1 1190 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ≈ 2o)
5 enfii 9224 . . . . 5 ((2o ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 2o) → 𝐶 ∈ Fin)
63, 4, 5sylancr 587 . . . 4 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
7 simpl2 1191 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐶)
8 simpl3 1192 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐶)
97, 8prssd 4827 . . . 4 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
10 enpr2 10040 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶𝐵𝐶𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
11103expa 1117 . . . . . 6 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
12113adantl1 1165 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
134ensymd 9044 . . . . 5 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 2o𝐶)
14 entr 9045 . . . . 5 (({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ∧ 2o𝐶) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
1512, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
16 fisseneq 9291 . . . 4 ((𝐶 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
176, 9, 15, 16syl3anc 1370 . . 3 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
1817eqcomd 2741 . 2 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
1918ex 412 1 ((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐶 = {𝐴, 𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  {cpr 4633   class class class wbr 5148  ωcom 7887  2oc2o 8499  cen 8981  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988
This theorem is referenced by:  isprm2lem  16715  en2top  23008
  Copyright terms: Public domain W3C validator