Theorem en2eqpr 9843

Description: Building a set with two elements. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2eqpr	⊢ ((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem en2eqpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 8522	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 9011	. . . . . 6 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ Fin
4		simpl1 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 ≈ 2o)
5		enfii 9033	. . . . 5 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐶 ≈ 2o) → 𝐶 ∈ Fin)
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 ∈ Fin)
7		simpl2 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐶)
8		simpl3 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐶)
9	7, 8	prssd 4767	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
10		enpr2 9838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
11	10	3expa 1117	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
12	11	3adantl1 1165	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
13	4	ensymd 8845	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 2o ≈ 𝐶)
14		entr 8846	. . . . 5 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ∧ 2o ≈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶)
16		fisseneq 9101	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
17	6, 9, 15, 16	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
18	17	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
19	18	ex 413	1 ⊢ ((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941   ⊆ wss 3897  {cpr 4573   class class class wbr 5087  ωcom 7759  2_oc2o 8340   ≈ cen 8780  Fincfn 8783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-om 7760  df-1o 8346  df-2o 8347  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787

This theorem is referenced by:  isprm2lem  16463  en2top  22218