MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtr3ncomlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtr3ncomlem1 18592
Description: Lemma 1 for pmtr3ncom 18594. (Contributed by AV, 17-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtr3ncom.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtr3ncom.f 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
pmtr3ncom.g 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})
Assertion
Ref Expression
pmtr3ncomlem1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹𝐺)‘𝑋))

Proof of Theorem pmtr3ncomlem1
StepHypRef Expression
1 necom 3064 . . . . 5 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
21biimpi 219 . . . 4 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
323ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑍𝑌)
433ad2ant3 1132 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝑌)
5 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐷𝑉)
6 simp1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑋𝐷)
763ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑋𝐷)
8 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑌𝐷)
983ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑌𝐷)
107, 9prssd 4728 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
11 simp1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑋𝑌)
12113ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑋𝑌)
13 pr2nelem 9419 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
147, 9, 12, 13syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
15 pmtr3ncom.t . . . . . . . 8 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
1615pmtrf 18574 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷𝐷)
175, 10, 14, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷𝐷)
18 pmtr3ncom.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
1918feq1i 6485 . . . . . 6 (𝐹:𝐷𝐷 ↔ (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷𝐷)
2017, 19sylibr 237 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐹:𝐷𝐷)
2120ffnd 6495 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐹 Fn 𝐷)
22 fvco2 6740 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐷𝑋𝐷) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹𝑋)))
2321, 7, 22syl2anc 587 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹𝑋)))
2418fveq1i 6653 . . . . 5 (𝐹𝑋) = ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋)
257, 9, 123jca 1125 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌))
2615pmtrprfv 18572 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)
275, 25, 26syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)
2824, 27syl5eq 2869 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
2928fveq2d 6656 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐺‘(𝐹𝑋)) = (𝐺𝑌))
30 pmtr3ncom.g . . . . 5 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})
3130fveq1i 6653 . . . 4 (𝐺𝑌) = ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌)
32 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑍𝐷)
33323ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝐷)
34 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑌𝑍)
35343ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑌𝑍)
369, 33, 353jca 1125 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑌𝑍))
3715pmtrprfv 18572 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌) = 𝑍)
385, 36, 37syl2anc 587 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌) = 𝑍)
3931, 38syl5eq 2869 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐺𝑌) = 𝑍)
4023, 29, 393eqtrd 2861 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) = 𝑍)
418, 32prssd 4728 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷)
42413ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷)
43 pr2nelem 9419 . . . . . . 7 ((𝑌𝐷𝑍𝐷𝑌𝑍) → {𝑌, 𝑍} ≈ 2o)
449, 33, 35, 43syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑌, 𝑍} ≈ 2o)
4515pmtrf 18574 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑌, 𝑍} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑌, 𝑍}):𝐷𝐷)
4630feq1i 6485 . . . . . . 7 (𝐺:𝐷𝐷 ↔ (𝑇‘{𝑌, 𝑍}):𝐷𝐷)
4745, 46sylibr 237 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑌, 𝑍} ≈ 2o) → 𝐺:𝐷𝐷)
485, 42, 44, 47syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐺:𝐷𝐷)
4948ffnd 6495 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐺 Fn 𝐷)
50 fvco2 6740 . . . 4 ((𝐺 Fn 𝐷𝑋𝐷) → ((𝐹𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐺𝑋)))
5149, 7, 50syl2anc 587 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐹𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐺𝑋)))
5230fveq1i 6653 . . . . 5 (𝐺𝑋) = ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋)
53 id 22 . . . . . 6 (𝐷𝑉𝐷𝑉)
54 3anrot 1097 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ↔ (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑋𝐷))
5554biimpi 219 . . . . . 6 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑋𝐷))
56 3anrot 1097 . . . . . . 7 ((𝑌𝑍𝑌𝑋𝑍𝑋) ↔ (𝑌𝑋𝑍𝑋𝑌𝑍))
57 necom 3064 . . . . . . . 8 (𝑌𝑋𝑋𝑌)
58 necom 3064 . . . . . . . 8 (𝑍𝑋𝑋𝑍)
59 biid 264 . . . . . . . 8 (𝑌𝑍𝑌𝑍)
6057, 58, 593anbi123i 1152 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋𝑍𝑋𝑌𝑍) ↔ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍))
6156, 60sylbbr 239 . . . . . 6 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝑌𝑍𝑌𝑋𝑍𝑋))
6215pmtrprfv3 18573 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑋𝐷) ∧ (𝑌𝑍𝑌𝑋𝑍𝑋)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋) = 𝑋)
6353, 55, 61, 62syl3an 1157 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋) = 𝑋)
6452, 63syl5eq 2869 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐺𝑋) = 𝑋)
6564fveq2d 6656 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐹‘(𝐺𝑋)) = (𝐹𝑋))
6651, 65, 283eqtrd 2861 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐹𝐺)‘𝑋) = 𝑌)
674, 40, 663netr4d 3088 1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹𝐺)‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  wss 3908  {cpr 4541   class class class wbr 5042  ccom 5536   Fn wfn 6329  wf 6330  cfv 6334  2oc2o 8083  cen 8493  pmTrspcpmtr 18560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-om 7566  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pmtr 18561
This theorem is referenced by:  pmtr3ncomlem2  18593
  Copyright terms: Public domain W3C validator