MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtr3ncomlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtr3ncomlem1 18090
Description: Lemma 1 for pmtr3ncom 18092. (Contributed by AV, 17-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtr3ncom.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtr3ncom.f 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
pmtr3ncom.g 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})
Assertion
Ref Expression
pmtr3ncomlem1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹𝐺)‘𝑋))

Proof of Theorem pmtr3ncomlem1
StepHypRef Expression
1 necom 3031 . . . . 5 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
21biimpi 207 . . . 4 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
323ad2ant3 1158 . . 3 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑍𝑌)
433ad2ant3 1158 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝑌)
5 simp1 1159 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐷𝑉)
6 simp1 1159 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑋𝐷)
763ad2ant2 1157 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑋𝐷)
8 simp2 1160 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑌𝐷)
983ad2ant2 1157 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑌𝐷)
10 prssi 4542 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
117, 9, 10syl2anc 575 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
12 simp1 1159 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑋𝑌)
13123ad2ant3 1158 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑋𝑌)
147, 9, 133jca 1151 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌))
15 pr2nelem 9106 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜)
175, 11, 163jca 1151 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐷𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜))
18 pmtr3ncom.t . . . . . . . 8 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
1918pmtrf 18072 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜) → (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷𝐷)
2017, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷𝐷)
21 pmtr3ncom.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
2221feq1i 6243 . . . . . 6 (𝐹:𝐷𝐷 ↔ (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷𝐷)
2320, 22sylibr 225 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐹:𝐷𝐷)
2423ffnd 6253 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐹 Fn 𝐷)
25 fvco2 6490 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐷𝑋𝐷) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹𝑋)))
2624, 7, 25syl2anc 575 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹𝑋)))
2721fveq1i 6405 . . . . 5 (𝐹𝑋) = ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋)
2818pmtrprfv 18070 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)
295, 14, 28syl2anc 575 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)
3027, 29syl5eq 2852 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
3130fveq2d 6408 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐺‘(𝐹𝑋)) = (𝐺𝑌))
32 pmtr3ncom.g . . . . 5 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})
3332fveq1i 6405 . . . 4 (𝐺𝑌) = ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌)
34 simp3 1161 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑍𝐷)
35343ad2ant2 1157 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝐷)
36 simp3 1161 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑌𝑍)
37363ad2ant3 1158 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑌𝑍)
389, 35, 373jca 1151 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑌𝑍))
3918pmtrprfv 18070 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌) = 𝑍)
405, 38, 39syl2anc 575 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌) = 𝑍)
4133, 40syl5eq 2852 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐺𝑌) = 𝑍)
4226, 31, 413eqtrd 2844 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) = 𝑍)
43 prssi 4542 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝐷𝑍𝐷) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷)
448, 34, 43syl2anc 575 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷)
45443ad2ant2 1157 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷)
46 pr2nelem 9106 . . . . . . . 8 ((𝑌𝐷𝑍𝐷𝑌𝑍) → {𝑌, 𝑍} ≈ 2𝑜)
4738, 46syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑌, 𝑍} ≈ 2𝑜)
485, 45, 473jca 1151 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐷𝑉 ∧ {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑌, 𝑍} ≈ 2𝑜))
4918pmtrf 18072 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑌, 𝑍} ≈ 2𝑜) → (𝑇‘{𝑌, 𝑍}):𝐷𝐷)
5032feq1i 6243 . . . . . . 7 (𝐺:𝐷𝐷 ↔ (𝑇‘{𝑌, 𝑍}):𝐷𝐷)
5149, 50sylibr 225 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑌, 𝑍} ≈ 2𝑜) → 𝐺:𝐷𝐷)
5248, 51syl 17 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐺:𝐷𝐷)
5352ffnd 6253 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐺 Fn 𝐷)
54 fvco2 6490 . . . 4 ((𝐺 Fn 𝐷𝑋𝐷) → ((𝐹𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐺𝑋)))
5553, 7, 54syl2anc 575 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐹𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐺𝑋)))
5632fveq1i 6405 . . . . 5 (𝐺𝑋) = ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋)
57 id 22 . . . . . 6 (𝐷𝑉𝐷𝑉)
58 3anrot 1115 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ↔ (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑋𝐷))
5958biimpi 207 . . . . . 6 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑋𝐷))
60 3anrot 1115 . . . . . . 7 ((𝑌𝑍𝑌𝑋𝑍𝑋) ↔ (𝑌𝑋𝑍𝑋𝑌𝑍))
61 necom 3031 . . . . . . . 8 (𝑌𝑋𝑋𝑌)
62 necom 3031 . . . . . . . 8 (𝑍𝑋𝑋𝑍)
63 biid 252 . . . . . . . 8 (𝑌𝑍𝑌𝑍)
6461, 62, 633anbi123i 1187 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋𝑍𝑋𝑌𝑍) ↔ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍))
6560, 64sylbbr 227 . . . . . 6 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝑌𝑍𝑌𝑋𝑍𝑋))
6618pmtrprfv3 18071 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑋𝐷) ∧ (𝑌𝑍𝑌𝑋𝑍𝑋)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋) = 𝑋)
6757, 59, 65, 66syl3an 1192 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋) = 𝑋)
6856, 67syl5eq 2852 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐺𝑋) = 𝑋)
6968fveq2d 6408 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐹‘(𝐺𝑋)) = (𝐹𝑋))
7055, 69, 303eqtrd 2844 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐹𝐺)‘𝑋) = 𝑌)
714, 42, 703netr4d 3055 1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹𝐺)‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wss 3769  {cpr 4372   class class class wbr 4844  ccom 5315   Fn wfn 6092  wf 6093  cfv 6097  2𝑜c2o 7786  cen 8185  pmTrspcpmtr 18058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-om 7292  df-1o 7792  df-2o 7793  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-pmtr 18059
This theorem is referenced by:  pmtr3ncomlem2  18091
  Copyright terms: Public domain W3C validator