Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtr3ncomlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtr3ncomlem1 18276
 Description: Lemma 1 for pmtr3ncom 18278. (Contributed by AV, 17-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtr3ncom.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtr3ncom.f 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
pmtr3ncom.g 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})
Assertion
Ref Expression
pmtr3ncomlem1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹𝐺)‘𝑋))

Proof of Theorem pmtr3ncomlem1
StepHypRef Expression
1 necom 3022 . . . . 5 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
21biimpi 208 . . . 4 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
323ad2ant3 1126 . . 3 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑍𝑌)
433ad2ant3 1126 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝑌)
5 simp1 1127 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐷𝑉)
6 simp1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑋𝐷)
763ad2ant2 1125 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑋𝐷)
8 simp2 1128 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑌𝐷)
983ad2ant2 1125 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑌𝐷)
107, 9prssd 4584 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
11 simp1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑋𝑌)
12113ad2ant3 1126 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑋𝑌)
13 pr2nelem 9160 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
147, 9, 12, 13syl3anc 1439 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
15 pmtr3ncom.t . . . . . . . 8 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
1615pmtrf 18258 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷𝐷)
175, 10, 14, 16syl3anc 1439 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷𝐷)
18 pmtr3ncom.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
1918feq1i 6282 . . . . . 6 (𝐹:𝐷𝐷 ↔ (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷𝐷)
2017, 19sylibr 226 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐹:𝐷𝐷)
2120ffnd 6292 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐹 Fn 𝐷)
22 fvco2 6533 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐷𝑋𝐷) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹𝑋)))
2321, 7, 22syl2anc 579 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹𝑋)))
2418fveq1i 6447 . . . . 5 (𝐹𝑋) = ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋)
257, 9, 123jca 1119 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌))
2615pmtrprfv 18256 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)
275, 25, 26syl2anc 579 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)
2824, 27syl5eq 2826 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
2928fveq2d 6450 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐺‘(𝐹𝑋)) = (𝐺𝑌))
30 pmtr3ncom.g . . . . 5 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})
3130fveq1i 6447 . . . 4 (𝐺𝑌) = ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌)
32 simp3 1129 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑍𝐷)
33323ad2ant2 1125 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝐷)
34 simp3 1129 . . . . . . 7 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑌𝑍)
35343ad2ant3 1126 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑌𝑍)
369, 33, 353jca 1119 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑌𝑍))
3715pmtrprfv 18256 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌) = 𝑍)
385, 36, 37syl2anc 579 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌) = 𝑍)
3931, 38syl5eq 2826 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐺𝑌) = 𝑍)
4023, 29, 393eqtrd 2818 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) = 𝑍)
418, 32prssd 4584 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷)
42413ad2ant2 1125 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷)
43 pr2nelem 9160 . . . . . . 7 ((𝑌𝐷𝑍𝐷𝑌𝑍) → {𝑌, 𝑍} ≈ 2o)
449, 33, 35, 43syl3anc 1439 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑌, 𝑍} ≈ 2o)
4515pmtrf 18258 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑌, 𝑍} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑌, 𝑍}):𝐷𝐷)
4630feq1i 6282 . . . . . . 7 (𝐺:𝐷𝐷 ↔ (𝑇‘{𝑌, 𝑍}):𝐷𝐷)
4745, 46sylibr 226 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑌, 𝑍} ≈ 2o) → 𝐺:𝐷𝐷)
485, 42, 44, 47syl3anc 1439 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐺:𝐷𝐷)
4948ffnd 6292 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐺 Fn 𝐷)
50 fvco2 6533 . . . 4 ((𝐺 Fn 𝐷𝑋𝐷) → ((𝐹𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐺𝑋)))
5149, 7, 50syl2anc 579 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐹𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐺𝑋)))
5230fveq1i 6447 . . . . 5 (𝐺𝑋) = ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋)
53 id 22 . . . . . 6 (𝐷𝑉𝐷𝑉)
54 3anrot 1085 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ↔ (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑋𝐷))
5554biimpi 208 . . . . . 6 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑋𝐷))
56 3anrot 1085 . . . . . . 7 ((𝑌𝑍𝑌𝑋𝑍𝑋) ↔ (𝑌𝑋𝑍𝑋𝑌𝑍))
57 necom 3022 . . . . . . . 8 (𝑌𝑋𝑋𝑌)
58 necom 3022 . . . . . . . 8 (𝑍𝑋𝑋𝑍)
59 biid 253 . . . . . . . 8 (𝑌𝑍𝑌𝑍)
6057, 58, 593anbi123i 1155 . . . . . . 7 ((𝑌𝑋𝑍𝑋𝑌𝑍) ↔ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍))
6156, 60sylbbr 228 . . . . . 6 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → (𝑌𝑍𝑌𝑋𝑍𝑋))
6215pmtrprfv3 18257 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑌𝐷𝑍𝐷𝑋𝐷) ∧ (𝑌𝑍𝑌𝑋𝑍𝑋)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋) = 𝑋)
6353, 55, 61, 62syl3an 1160 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋) = 𝑋)
6452, 63syl5eq 2826 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐺𝑋) = 𝑋)
6564fveq2d 6450 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → (𝐹‘(𝐺𝑋)) = (𝐹𝑋))
6651, 65, 283eqtrd 2818 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐹𝐺)‘𝑋) = 𝑌)
674, 40, 663netr4d 3046 1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝐺𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹𝐺)‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   ⊆ wss 3792  {cpr 4400   class class class wbr 4886   ∘ ccom 5359   Fn wfn 6130  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  2oc2o 7837   ≈ cen 8238  pmTrspcpmtr 18244 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-om 7344  df-1o 7843  df-2o 7844  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pmtr 18245 This theorem is referenced by:  pmtr3ncomlem2  18277
 Copyright terms: Public domain W3C validator