Theorem pmtr3ncomlem1 19410

Description: Lemma 1 for pmtr3ncom 19412. (Contributed by AV, 17-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtr3ncom.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtr3ncom.f	⊢ 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
pmtr3ncom.g	⊢ 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})

Assertion

Ref	Expression
pmtr3ncomlem1	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋))

Proof of Theorem pmtr3ncomlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 2979	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ≠ 𝑍 ↔ 𝑍 ≠ 𝑌)
2	1	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑌 ≠ 𝑍 → 𝑍 ≠ 𝑌)
3	2	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑍 ≠ 𝑌)
4	3	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ≠ 𝑌)
5		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
6		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ 𝐷)
7	6	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
8		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ 𝐷)
9	8	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝐷)
10	7, 9	prssd 4789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
11		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑌)
12	11	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
13		enpr2 9962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
14	7, 9, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
15		pmtr3ncom.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
16	15	pmtrf 19392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷⟶𝐷)
17	5, 10, 14, 16	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷⟶𝐷)
18		pmtr3ncom.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
19	18	feq1i 6682	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐷⟶𝐷 ↔ (𝑇‘{𝑋, 𝑌}):𝐷⟶𝐷)
20	17, 19	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
21	20	ffnd 6692	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝐹 Fn 𝐷)
22		fvco2 6961	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹‘𝑋)))
23	21, 7, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) = (𝐺‘(𝐹‘𝑋)))
24	18	fveq1i 6862	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑋) = ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋)
25	7, 9, 12	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
26	15	pmtrprfv 19390	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)
27	5, 25, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)
28	24, 27	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐹‘𝑋) = 𝑌)
29	28	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐺‘(𝐹‘𝑋)) = (𝐺‘𝑌))
30		pmtr3ncom.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})
31	30	fveq1i 6862	. . . 4 ⊢ (𝐺‘𝑌) = ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌)
32		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → 𝑍 ∈ 𝐷)
33	32	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐷)
34		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → 𝑌 ≠ 𝑍)
35	34	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
36	9, 33, 35	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍))
37	15	pmtrprfv 19390	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌) = 𝑍)
38	5, 36, 37	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑌) = 𝑍)
39	31, 38	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐺‘𝑌) = 𝑍)
40	23, 29, 39	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) = 𝑍)
41	8, 32	prssd 4789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷)
42	41	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷)
43		enpr2 9962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → {𝑌, 𝑍} ≈ 2o)
44	9, 33, 35, 43	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → {𝑌, 𝑍} ≈ 2o)
45	15	pmtrf 19392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑌, 𝑍} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝑌, 𝑍}):𝐷⟶𝐷)
46	30	feq1i 6682	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐷⟶𝐷 ↔ (𝑇‘{𝑌, 𝑍}):𝐷⟶𝐷)
47	45, 46	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝑌, 𝑍} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑌, 𝑍} ≈ 2o) → 𝐺:𝐷⟶𝐷)
48	5, 42, 44, 47	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝐺:𝐷⟶𝐷)
49	48	ffnd 6692	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → 𝐺 Fn 𝐷)
50		fvco2 6961	. . . 4 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐺‘𝑋)))
51	49, 7, 50	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(𝐺‘𝑋)))
52	30	fveq1i 6862	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝑋) = ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋)
53		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ 𝑉)
54		3anrot 1099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ↔ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
55	54	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) → (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
56		3anrot 1099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋 ∧ 𝑍 ≠ 𝑋) ↔ (𝑌 ≠ 𝑋 ∧ 𝑍 ≠ 𝑋 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍))
57		necom 2979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ≠ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌)
58		necom 2979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ≠ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 𝑍)
59		biid 261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ≠ 𝑍 ↔ 𝑌 ≠ 𝑍)
60	57, 58, 59	3anbi123i 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ≠ 𝑋 ∧ 𝑍 ≠ 𝑋 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) ↔ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍))
61	56, 60	sylbbr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → (𝑌 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋 ∧ 𝑍 ≠ 𝑋))
62	15	pmtrprfv3 19391	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) ∧ (𝑌 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋 ∧ 𝑍 ≠ 𝑋)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋) = 𝑋)
63	53, 55, 61, 62	syl3an 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝑇‘{𝑌, 𝑍})‘𝑋) = 𝑋)
64	52, 63	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐺‘𝑋) = 𝑋)
65	64	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐹‘(𝐺‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
66	51, 65, 28	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) = 𝑌)
67	4, 40, 66	3netr4d 3003	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3917  {cpr 4594   class class class wbr 5110   ∘ ccom 5645   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  2_oc2o 8431   ≈ cen 8918  pmTrspcpmtr 19378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1o 8437  df-2o 8438  df-en 8922  df-pmtr 19379

This theorem is referenced by:  pmtr3ncomlem2  19411