Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | wrd0 14433 |
. . . . 5
β’ β
β Word πΆ |
2 | 1 | a1i 11 |
. . . 4
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β β
β Word πΆ) |
3 | | simpr 486 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β§ π = β
) β π = β
) |
4 | 3 | oveq2d 7374 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β§ π = β
) β (π Ξ£g π) = (π Ξ£g
β
)) |
5 | 4 | eqeq2d 2744 |
. . . 4
β’ ((((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β§ π = β
) β ((πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g π) β (πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g
β
))) |
6 | | cyc3genpmlem.e |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΈ = (πββ¨βπΌπ½ββ©)) |
7 | | cyc3genpm.m |
. . . . . . . . . 10
β’ π = (toCycβπ·) |
8 | | cyc3genpmlem.d |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π· β π) |
9 | | cyc3genpmlem.i |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΌ β π·) |
10 | | cyc3genpmlem.j |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π½ β π·) |
11 | | cyc3genpmlem.1 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΌ β π½) |
12 | | cyc3genpm.s |
. . . . . . . . . 10
β’ π = (SymGrpβπ·) |
13 | 7, 8, 9, 10, 11, 12 | cycpm2cl 32018 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (πββ¨βπΌπ½ββ©) β (Baseβπ)) |
14 | 6, 13 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . 8
β’ (π β πΈ β (Baseβπ)) |
15 | | cyc3genpmlem.f |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΉ = (πββ¨βπΎπΏββ©)) |
16 | | cyc3genpmlem.k |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΎ β π·) |
17 | | cyc3genpmlem.l |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΏ β π·) |
18 | | cyc3genpmlem.2 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΎ β πΏ) |
19 | 7, 8, 16, 17, 18, 12 | cycpm2cl 32018 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (πββ¨βπΎπΏββ©) β (Baseβπ)) |
20 | 15, 19 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . 8
β’ (π β πΉ β (Baseβπ)) |
21 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . 9
β’
(Baseβπ) =
(Baseβπ) |
22 | | cyc3genpmlem.t |
. . . . . . . . 9
β’ Β· =
(+gβπ) |
23 | 12, 21, 22 | symgov 19170 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΈ β (Baseβπ) β§ πΉ β (Baseβπ)) β (πΈ Β· πΉ) = (πΈ β πΉ)) |
24 | 14, 20, 23 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (π β (πΈ Β· πΉ) = (πΈ β πΉ)) |
25 | 24 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πΈ Β· πΉ) = (πΈ β πΉ)) |
26 | 6 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΈ = (πββ¨βπΌπ½ββ©)) |
27 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
β’
(pmTrspβπ·) =
(pmTrspβπ·) |
28 | 7, 8, 9, 10, 11, 27 | cycpm2tr 32017 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (πββ¨βπΌπ½ββ©) = ((pmTrspβπ·)β{πΌ, π½})) |
29 | 28 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΌπ½ββ©) = ((pmTrspβπ·)β{πΌ, π½})) |
30 | 26, 29 | eqtrd 2773 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΈ = ((pmTrspβπ·)β{πΌ, π½})) |
31 | 7, 8, 16, 17, 18, 27 | cycpm2tr 32017 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (πββ¨βπΎπΏββ©) = ((pmTrspβπ·)β{πΎ, πΏ})) |
32 | 31 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΎπΏββ©) = ((pmTrspβπ·)β{πΎ, πΏ})) |
33 | 15 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΉ = (πββ¨βπΎπΏββ©)) |
34 | 9 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΌ β π·) |
35 | 10 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β π½ β π·) |
36 | 11 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΌ β π½) |
37 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΌ β {πΎ, πΏ}) |
38 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β π½ β {πΎ, πΏ}) |
39 | 37, 38 | prssd 4783 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β {πΌ, π½} β {πΎ, πΏ}) |
40 | | ssprsseq 4786 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΌ β π· β§ π½ β π· β§ πΌ β π½) β ({πΌ, π½} β {πΎ, πΏ} β {πΌ, π½} = {πΎ, πΏ})) |
41 | 40 | biimpa 478 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΌ β π· β§ π½ β π· β§ πΌ β π½) β§ {πΌ, π½} β {πΎ, πΏ}) β {πΌ, π½} = {πΎ, πΏ}) |
42 | 34, 35, 36, 39, 41 | syl31anc 1374 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β {πΌ, π½} = {πΎ, πΏ}) |
43 | 42 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((pmTrspβπ·)β{πΌ, π½}) = ((pmTrspβπ·)β{πΎ, πΏ})) |
44 | 32, 33, 43 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΉ = ((pmTrspβπ·)β{πΌ, π½})) |
45 | 30, 44 | coeq12d 5821 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πΈ β πΉ) = (((pmTrspβπ·)β{πΌ, π½}) β ((pmTrspβπ·)β{πΌ, π½}))) |
46 | 8 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β π· β π) |
47 | 34, 35 | prssd 4783 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β {πΌ, π½} β π·) |
48 | | enpr2 9943 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΌ β π· β§ π½ β π· β§ πΌ β π½) β {πΌ, π½} β 2o) |
49 | 34, 35, 36, 48 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β {πΌ, π½} β 2o) |
50 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . 9
β’ ran
(pmTrspβπ·) = ran
(pmTrspβπ·) |
51 | 27, 50 | pmtrrn 19244 |
. . . . . . . 8
β’ ((π· β π β§ {πΌ, π½} β π· β§ {πΌ, π½} β 2o) β
((pmTrspβπ·)β{πΌ, π½}) β ran (pmTrspβπ·)) |
52 | 46, 47, 49, 51 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((pmTrspβπ·)β{πΌ, π½}) β ran (pmTrspβπ·)) |
53 | 27, 50 | pmtrfinv 19248 |
. . . . . . 7
β’
(((pmTrspβπ·)β{πΌ, π½}) β ran (pmTrspβπ·) β (((pmTrspβπ·)β{πΌ, π½}) β ((pmTrspβπ·)β{πΌ, π½})) = ( I βΎ π·)) |
54 | 52, 53 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β (((pmTrspβπ·)β{πΌ, π½}) β ((pmTrspβπ·)β{πΌ, π½})) = ( I βΎ π·)) |
55 | 25, 45, 54 | 3eqtrd 2777 |
. . . . 5
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πΈ Β· πΉ) = ( I βΎ π·)) |
56 | 12 | symgid 19188 |
. . . . . . 7
β’ (π· β π β ( I βΎ π·) = (0gβπ)) |
57 | 46, 56 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β ( I βΎ π·) = (0gβπ)) |
58 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’
(0gβπ) = (0gβπ) |
59 | 58 | gsum0 18544 |
. . . . . 6
β’ (π Ξ£g
β
) = (0gβπ) |
60 | 57, 59 | eqtr4di 2791 |
. . . . 5
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β ( I βΎ π·) = (π Ξ£g
β
)) |
61 | 55, 60 | eqtrd 2773 |
. . . 4
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g
β
)) |
62 | 2, 5, 61 | rspcedvd 3582 |
. . 3
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β βπ β Word πΆ(πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g π)) |
63 | 8 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β π· β π) |
64 | 9 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΌ β π·) |
65 | 16, 17 | prssd 4783 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β {πΎ, πΏ} β π·) |
66 | 65 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β {πΎ, πΏ} β π·) |
67 | | simplr 768 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΌ β {πΎ, πΏ}) |
68 | | enpr2 9943 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β π· β§ πΏ β π· β§ πΎ β πΏ) β {πΎ, πΏ} β 2o) |
69 | 16, 17, 18, 68 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β {πΎ, πΏ} β 2o) |
70 | 69 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β {πΎ, πΏ} β 2o) |
71 | | unidifsnel 31505 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΌ β {πΎ, πΏ} β§ {πΎ, πΏ} β 2o) β βͺ ({πΎ,
πΏ} β {πΌ}) β {πΎ, πΏ}) |
72 | 67, 70, 71 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β βͺ
({πΎ, πΏ} β {πΌ}) β {πΎ, πΏ}) |
73 | 66, 72 | sseldd 3946 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β βͺ
({πΎ, πΏ} β {πΌ}) β π·) |
74 | 10 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β π½ β π·) |
75 | | unidifsnne 31506 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΌ β {πΎ, πΏ} β§ {πΎ, πΏ} β 2o) β βͺ ({πΎ,
πΏ} β {πΌ}) β πΌ) |
76 | 67, 70, 75 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β βͺ
({πΎ, πΏ} β {πΌ}) β πΌ) |
77 | 76 | necomd 2996 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΌ β βͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})) |
78 | | nelne2 3039 |
. . . . . . . 8
β’ ((βͺ ({πΎ,
πΏ} β {πΌ}) β {πΎ, πΏ} β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β βͺ
({πΎ, πΏ} β {πΌ}) β π½) |
79 | 72, 78 | sylancom 589 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β βͺ
({πΎ, πΏ} β {πΌ}) β π½) |
80 | 11 | necomd 2996 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π½ β πΌ) |
81 | 80 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β π½ β πΌ) |
82 | 7, 12, 63, 64, 73, 74, 77, 79, 81 | cycpm3cl2 32034 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©) β (π β (β‘β― β {3}))) |
83 | | cyc3genpm.t |
. . . . . 6
β’ πΆ = (π β (β‘β― β {3})) |
84 | 82, 83 | eleqtrrdi 2845 |
. . . . 5
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©) β πΆ) |
85 | 84 | s1cld 14497 |
. . . 4
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β β¨β(πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©)ββ© β Word
πΆ) |
86 | | simpr 486 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β§ π = β¨β(πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©)ββ©) β π = β¨β(πββ¨βπΌβͺ
({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©)ββ©) |
87 | 86 | oveq2d 7374 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β§ π = β¨β(πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©)ββ©) β (π Ξ£g
π) = (π Ξ£g
β¨β(πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©)ββ©)) |
88 | 87 | eqeq2d 2744 |
. . . 4
β’ ((((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β§ π = β¨β(πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©)ββ©) β ((πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g π) β (πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g
β¨β(πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©)ββ©))) |
89 | 7, 12, 63, 64, 73, 74, 77, 79, 81, 22 | cyc3co2 32038 |
. . . . 5
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©) = ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})ββ©))) |
90 | 7, 12, 63, 64, 73, 74, 77, 79, 81 | cycpm3cl 32033 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©) β (Baseβπ)) |
91 | 21 | gsumws1 18653 |
. . . . . 6
β’ ((πββ¨βπΌβͺ
({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©) β (Baseβπ) β (π Ξ£g
β¨β(πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©)ββ©) = (πββ¨βπΌβͺ
({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©)) |
92 | 90, 91 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (π Ξ£g
β¨β(πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©)ββ©) = (πββ¨βπΌβͺ
({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©)) |
93 | 6 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΈ = (πββ¨βπΌπ½ββ©)) |
94 | | en2eleq 9949 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΌ β {πΎ, πΏ} β§ {πΎ, πΏ} β 2o) β {πΎ, πΏ} = {πΌ, βͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})}) |
95 | 67, 70, 94 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β {πΎ, πΏ} = {πΌ, βͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})}) |
96 | 95 | fveq2d 6847 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((pmTrspβπ·)β{πΎ, πΏ}) = ((pmTrspβπ·)β{πΌ, βͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})})) |
97 | 15, 31 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . 8
β’ (π β πΉ = ((pmTrspβπ·)β{πΎ, πΏ})) |
98 | 97 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΉ = ((pmTrspβπ·)β{πΎ, πΏ})) |
99 | 7, 63, 64, 73, 77, 27 | cycpm2tr 32017 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})ββ©) = ((pmTrspβπ·)β{πΌ, βͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})})) |
100 | 96, 98, 99 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΉ = (πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})ββ©)) |
101 | 93, 100 | oveq12d 7376 |
. . . . 5
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πΈ Β· πΉ) = ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})ββ©))) |
102 | 89, 92, 101 | 3eqtr4rd 2784 |
. . . 4
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g
β¨β(πββ¨βπΌβͺ ({πΎ, πΏ} β {πΌ})π½ββ©)ββ©)) |
103 | 85, 88, 102 | rspcedvd 3582 |
. . 3
β’ (((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β βπ β Word πΆ(πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g π)) |
104 | 62, 103 | pm2.61dan 812 |
. 2
β’ ((π β§ πΌ β {πΎ, πΏ}) β βπ β Word πΆ(πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g π)) |
105 | 8 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β π· β π) |
106 | 10 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β π½ β π·) |
107 | 65 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β {πΎ, πΏ} β π·) |
108 | | simpr 486 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β π½ β {πΎ, πΏ}) |
109 | 69 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β {πΎ, πΏ} β 2o) |
110 | | unidifsnel 31505 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π½ β {πΎ, πΏ} β§ {πΎ, πΏ} β 2o) β βͺ ({πΎ,
πΏ} β {π½}) β {πΎ, πΏ}) |
111 | 108, 109,
110 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β βͺ
({πΎ, πΏ} β {π½}) β {πΎ, πΏ}) |
112 | 107, 111 | sseldd 3946 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β βͺ
({πΎ, πΏ} β {π½}) β π·) |
113 | 9 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΌ β π·) |
114 | | unidifsnne 31506 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π½ β {πΎ, πΏ} β§ {πΎ, πΏ} β 2o) β βͺ ({πΎ,
πΏ} β {π½}) β π½) |
115 | 108, 109,
114 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β βͺ
({πΎ, πΏ} β {π½}) β π½) |
116 | 115 | necomd 2996 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β π½ β βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})) |
117 | | simplr 768 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) |
118 | | nelne2 3039 |
. . . . . . . 8
β’ ((βͺ ({πΎ,
πΏ} β {π½}) β {πΎ, πΏ} β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β βͺ
({πΎ, πΏ} β {π½}) β πΌ) |
119 | 111, 117,
118 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β βͺ
({πΎ, πΏ} β {π½}) β πΌ) |
120 | 11 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΌ β π½) |
121 | 7, 12, 105, 106, 112, 113, 116, 119, 120 | cycpm3cl2 32034 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©) β (π β (β‘β― β {3}))) |
122 | 121, 83 | eleqtrrdi 2845 |
. . . . 5
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©) β πΆ) |
123 | 122 | s1cld 14497 |
. . . 4
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β β¨β(πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©)ββ© β Word
πΆ) |
124 | | simpr 486 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β§ π = β¨β(πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©)ββ©) β π = β¨β(πββ¨βπ½βͺ
({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©)ββ©) |
125 | 124 | oveq2d 7374 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β§ π = β¨β(πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©)ββ©) β (π Ξ£g
π) = (π Ξ£g
β¨β(πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©)ββ©)) |
126 | 125 | eqeq2d 2744 |
. . . 4
β’ ((((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β§ π = β¨β(πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©)ββ©) β ((πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g π) β (πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g
β¨β(πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©)ββ©))) |
127 | 7, 12, 105, 106, 112, 113, 116, 119, 120, 22 | cyc3co2 32038 |
. . . . 5
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©) = ((πββ¨βπ½πΌββ©) Β· (πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})ββ©))) |
128 | 7, 12, 105, 106, 112, 113, 116, 119, 120 | cycpm3cl 32033 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©) β (Baseβπ)) |
129 | 21 | gsumws1 18653 |
. . . . . 6
β’ ((πββ¨βπ½βͺ
({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©) β (Baseβπ) β (π Ξ£g
β¨β(πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©)ββ©) = (πββ¨βπ½βͺ
({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©)) |
130 | 128, 129 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β (π Ξ£g
β¨β(πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©)ββ©) = (πββ¨βπ½βͺ
({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©)) |
131 | | prcom 4694 |
. . . . . . . . . 10
β’ {πΌ, π½} = {π½, πΌ} |
132 | 131 | fveq2i 6846 |
. . . . . . . . 9
β’
((pmTrspβπ·)β{πΌ, π½}) = ((pmTrspβπ·)β{π½, πΌ}) |
133 | 7, 8, 10, 9, 80, 27 | cycpm2tr 32017 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (πββ¨βπ½πΌββ©) = ((pmTrspβπ·)β{π½, πΌ})) |
134 | 132, 28, 133 | 3eqtr4a 2799 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (πββ¨βπΌπ½ββ©) = (πββ¨βπ½πΌββ©)) |
135 | 6, 134 | eqtrd 2773 |
. . . . . . 7
β’ (π β πΈ = (πββ¨βπ½πΌββ©)) |
136 | 135 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΈ = (πββ¨βπ½πΌββ©)) |
137 | | en2eleq 9949 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π½ β {πΎ, πΏ} β§ {πΎ, πΏ} β 2o) β {πΎ, πΏ} = {π½, βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})}) |
138 | 108, 109,
137 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β {πΎ, πΏ} = {π½, βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})}) |
139 | 138 | fveq2d 6847 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((pmTrspβπ·)β{πΎ, πΏ}) = ((pmTrspβπ·)β{π½, βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})})) |
140 | 97 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΉ = ((pmTrspβπ·)β{πΎ, πΏ})) |
141 | 7, 105, 106, 112, 116, 27 | cycpm2tr 32017 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})ββ©) = ((pmTrspβπ·)β{π½, βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})})) |
142 | 139, 140,
141 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΉ = (πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})ββ©)) |
143 | 136, 142 | oveq12d 7376 |
. . . . 5
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πΈ Β· πΉ) = ((πββ¨βπ½πΌββ©) Β· (πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})ββ©))) |
144 | 127, 130,
143 | 3eqtr4rd 2784 |
. . . 4
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g
β¨β(πββ¨βπ½βͺ ({πΎ, πΏ} β {π½})πΌββ©)ββ©)) |
145 | 123, 126,
144 | rspcedvd 3582 |
. . 3
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ π½ β {πΎ, πΏ}) β βπ β Word πΆ(πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g π)) |
146 | 8 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β π· β π) |
147 | 10 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β π½ β π·) |
148 | 16 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΎ β π·) |
149 | 9 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΌ β π·) |
150 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) |
151 | 147, 150 | nelpr1 4615 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β π½ β πΎ) |
152 | | prid1g 4722 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΎ β π· β πΎ β {πΎ, πΏ}) |
153 | 16, 152 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΎ β {πΎ, πΏ}) |
154 | 153 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΎ β {πΎ, πΏ}) |
155 | | simplr 768 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) |
156 | | nelne2 3039 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β {πΎ, πΏ} β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β πΎ β πΌ) |
157 | 154, 155,
156 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΎ β πΌ) |
158 | 11 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΌ β π½) |
159 | 7, 12, 146, 147, 148, 149, 151, 157, 158 | cycpm3cl2 32034 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπ½πΎπΌββ©) β (π β (β‘β― β {3}))) |
160 | 159, 83 | eleqtrrdi 2845 |
. . . . 5
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπ½πΎπΌββ©) β πΆ) |
161 | 17 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΏ β π·) |
162 | 18 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΎ β πΏ) |
163 | | prid2g 4723 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΏ β π· β πΏ β {πΎ, πΏ}) |
164 | 161, 163 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΏ β {πΎ, πΏ}) |
165 | | nelne2 3039 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΏ β {πΎ, πΏ} β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΏ β π½) |
166 | 164, 165 | sylancom 589 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΏ β π½) |
167 | 7, 12, 146, 148, 161, 147, 162, 166, 151 | cycpm3cl2 32034 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΎπΏπ½ββ©) β (π β (β‘β― β {3}))) |
168 | 167, 83 | eleqtrrdi 2845 |
. . . . 5
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΎπΏπ½ββ©) β πΆ) |
169 | 160, 168 | s2cld 14766 |
. . . 4
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β β¨β(πββ¨βπ½πΎπΌββ©)(πββ¨βπΎπΏπ½ββ©)ββ© β Word
πΆ) |
170 | | simpr 486 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β§ π = β¨β(πββ¨βπ½πΎπΌββ©)(πββ¨βπΎπΏπ½ββ©)ββ©) β π = β¨β(πββ¨βπ½πΎπΌββ©)(πββ¨βπΎπΏπ½ββ©)ββ©) |
171 | 170 | oveq2d 7374 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β§ π = β¨β(πββ¨βπ½πΎπΌββ©)(πββ¨βπΎπΏπ½ββ©)ββ©) β (π Ξ£g
π) = (π Ξ£g
β¨β(πββ¨βπ½πΎπΌββ©)(πββ¨βπΎπΏπ½ββ©)ββ©)) |
172 | 171 | eqeq2d 2744 |
. . . 4
β’ ((((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β§ π = β¨β(πββ¨βπ½πΎπΌββ©)(πββ¨βπΎπΏπ½ββ©)ββ©) β ((πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g π) β (πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g
β¨β(πββ¨βπ½πΎπΌββ©)(πββ¨βπΎπΏπ½ββ©)ββ©))) |
173 | 146, 56 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ( I βΎ π·) = (0gβπ)) |
174 | 173 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (( I βΎ π·) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)) =
((0gβπ)
Β·
(πββ¨βπΎπΏββ©))) |
175 | 12 | symggrp 19187 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π· β π β π β Grp) |
176 | 8, 175 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β Grp) |
177 | 176 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β π β Grp) |
178 | 19 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΎπΏββ©) β (Baseβπ)) |
179 | 21, 22, 58 | grplid 18785 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β Grp β§ (πββ¨βπΎπΏββ©) β (Baseβπ)) β
((0gβπ)
Β·
(πββ¨βπΎπΏββ©)) = (πββ¨βπΎπΏββ©)) |
180 | 177, 178,
179 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((0gβπ) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)) = (πββ¨βπΎπΏββ©)) |
181 | 174, 180 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (( I βΎ π·) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)) = (πββ¨βπΎπΏββ©)) |
182 | 181 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (( I βΎ π·) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©))) = ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©))) |
183 | 13 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΌπ½ββ©) β (Baseβπ)) |
184 | 7, 146, 147, 148, 151, 27 | cycpm2tr 32017 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπ½πΎββ©) = ((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ})) |
185 | 50, 12, 21 | symgtrf 19256 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ran
(pmTrspβπ·) β
(Baseβπ) |
186 | 10, 16 | prssd 4783 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β {π½, πΎ} β π·) |
187 | 186 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β {π½, πΎ} β π·) |
188 | | enpr2 9943 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π½ β π· β§ πΎ β π· β§ π½ β πΎ) β {π½, πΎ} β 2o) |
189 | 147, 148,
151, 188 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β {π½, πΎ} β 2o) |
190 | 27, 50 | pmtrrn 19244 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π· β π β§ {π½, πΎ} β π· β§ {π½, πΎ} β 2o) β
((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}) β ran (pmTrspβπ·)) |
191 | 146, 187,
189, 190 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}) β ran (pmTrspβπ·)) |
192 | 185, 191 | sselid 3943 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}) β (Baseβπ)) |
193 | 184, 192 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπ½πΎββ©) β (Baseβπ)) |
194 | 151 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β πΎ β π½) |
195 | 7, 146, 148, 147, 194, 27 | cycpm2tr 32017 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΎπ½ββ©) = ((pmTrspβπ·)β{πΎ, π½})) |
196 | | prcom 4694 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ {π½, πΎ} = {πΎ, π½} |
197 | 196 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β {π½, πΎ} = {πΎ, π½}) |
198 | 197 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}) = ((pmTrspβπ·)β{πΎ, π½})) |
199 | 195, 198 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΎπ½ββ©) = ((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ})) |
200 | 199, 192 | eqeltrd 2834 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΎπ½ββ©) β (Baseβπ)) |
201 | 21, 22 | grpcl 18761 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β Grp β§ (πββ¨βπΎπ½ββ©) β (Baseβπ) β§ (πββ¨βπΎπΏββ©) β (Baseβπ)) β ((πββ¨βπΎπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)) β (Baseβπ)) |
202 | 177, 200,
178, 201 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((πββ¨βπΎπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)) β (Baseβπ)) |
203 | 21, 22 | grpass 18762 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β Grp β§ ((πββ¨βπΌπ½ββ©) β (Baseβπ) β§ (πββ¨βπ½πΎββ©) β (Baseβπ) β§ ((πββ¨βπΎπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)) β (Baseβπ))) β (((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (πββ¨βπ½πΎββ©)) Β· ((πββ¨βπΎπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©))) = ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· ((πββ¨βπ½πΎββ©) Β· ((πββ¨βπΎπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©))))) |
204 | 177, 183,
193, 202, 203 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (πββ¨βπ½πΎββ©)) Β· ((πββ¨βπΎπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©))) = ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· ((πββ¨βπ½πΎββ©) Β· ((πββ¨βπΎπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©))))) |
205 | 21, 22 | grpass 18762 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β Grp β§ ((πββ¨βπ½πΎββ©) β (Baseβπ) β§ (πββ¨βπΎπ½ββ©) β (Baseβπ) β§ (πββ¨βπΎπΏββ©) β (Baseβπ))) β (((πββ¨βπ½πΎββ©) Β· (πββ¨βπΎπ½ββ©)) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)) = ((πββ¨βπ½πΎββ©) Β· ((πββ¨βπΎπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)))) |
206 | 177, 193,
200, 178, 205 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (((πββ¨βπ½πΎββ©) Β· (πββ¨βπΎπ½ββ©)) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)) = ((πββ¨βπ½πΎββ©) Β· ((πββ¨βπΎπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)))) |
207 | 206 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (((πββ¨βπ½πΎββ©) Β· (πββ¨βπΎπ½ββ©)) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©))) = ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· ((πββ¨βπ½πΎββ©) Β· ((πββ¨βπΎπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©))))) |
208 | 184, 199 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((πββ¨βπ½πΎββ©) Β· (πββ¨βπΎπ½ββ©)) = (((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}) Β·
((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}))) |
209 | 12, 21, 22 | symgov 19170 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
((((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}) β (Baseβπ) β§ ((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}) β (Baseβπ)) β (((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}) Β·
((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ})) = (((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}) β ((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}))) |
210 | 192, 192,
209 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}) Β·
((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ})) = (((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}) β ((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}))) |
211 | 27, 50 | pmtrfinv 19248 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}) β ran (pmTrspβπ·) β (((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}) β ((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ})) = ( I βΎ π·)) |
212 | 191, 211 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ}) β ((pmTrspβπ·)β{π½, πΎ})) = ( I βΎ π·)) |
213 | 208, 210,
212 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((πββ¨βπ½πΎββ©) Β· (πββ¨βπΎπ½ββ©)) = ( I βΎ π·)) |
214 | 213 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (((πββ¨βπ½πΎββ©) Β· (πββ¨βπΎπ½ββ©)) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)) = (( I βΎ π·) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©))) |
215 | 214 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (((πββ¨βπ½πΎββ©) Β· (πββ¨βπΎπ½ββ©)) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©))) = ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (( I βΎ π·) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)))) |
216 | 204, 207,
215 | 3eqtr2rd 2780 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (( I βΎ π·) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©))) = (((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (πββ¨βπ½πΎββ©)) Β· ((πββ¨βπΎπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)))) |
217 | 182, 216 | eqtr3d 2775 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)) = (((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (πββ¨βπ½πΎββ©)) Β· ((πββ¨βπΎπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)))) |
218 | 6, 15 | oveq12d 7376 |
. . . . . . 7
β’ (π β (πΈ Β· πΉ) = ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©))) |
219 | 218 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πΈ Β· πΉ) = ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©))) |
220 | 7, 12, 146, 147, 148, 149, 151, 157, 158, 22 | cyc3co2 32038 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπ½πΎπΌββ©) = ((πββ¨βπ½πΌββ©) Β· (πββ¨βπ½πΎββ©))) |
221 | 134 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (πββ¨βπ½πΎββ©)) = ((πββ¨βπ½πΌββ©) Β· (πββ¨βπ½πΎββ©))) |
222 | 221 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (πββ¨βπ½πΎββ©)) = ((πββ¨βπ½πΌββ©) Β· (πββ¨βπ½πΎββ©))) |
223 | 220, 222 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπ½πΎπΌββ©) = ((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (πββ¨βπ½πΎββ©))) |
224 | 7, 12, 146, 148, 161, 147, 162, 166, 151, 22 | cyc3co2 32038 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΎπΏπ½ββ©) = ((πββ¨βπΎπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©))) |
225 | 223, 224 | oveq12d 7376 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β ((πββ¨βπ½πΎπΌββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏπ½ββ©)) = (((πββ¨βπΌπ½ββ©) Β· (πββ¨βπ½πΎββ©)) Β· ((πββ¨βπΎπ½ββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏββ©)))) |
226 | 217, 219,
225 | 3eqtr4d 2783 |
. . . . 5
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πΈ Β· πΉ) = ((πββ¨βπ½πΎπΌββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏπ½ββ©))) |
227 | 176 | grpmndd 18765 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β Mnd) |
228 | 227 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β π β Mnd) |
229 | 7, 12, 146, 147, 148, 149, 151, 157, 158 | cycpm3cl 32033 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπ½πΎπΌββ©) β (Baseβπ)) |
230 | 224, 202 | eqeltrd 2834 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πββ¨βπΎπΏπ½ββ©) β (Baseβπ)) |
231 | 21, 22 | gsumws2 18657 |
. . . . . 6
β’ ((π β Mnd β§ (πββ¨βπ½πΎπΌββ©) β (Baseβπ) β§ (πββ¨βπΎπΏπ½ββ©) β (Baseβπ)) β (π Ξ£g
β¨β(πββ¨βπ½πΎπΌββ©)(πββ¨βπΎπΏπ½ββ©)ββ©) = ((πββ¨βπ½πΎπΌββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏπ½ββ©))) |
232 | 228, 229,
230, 231 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (π Ξ£g
β¨β(πββ¨βπ½πΎπΌββ©)(πββ¨βπΎπΏπ½ββ©)ββ©) = ((πββ¨βπ½πΎπΌββ©) Β· (πββ¨βπΎπΏπ½ββ©))) |
233 | 226, 232 | eqtr4d 2776 |
. . . 4
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β (πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g
β¨β(πββ¨βπ½πΎπΌββ©)(πββ¨βπΎπΏπ½ββ©)ββ©)) |
234 | 169, 172,
233 | rspcedvd 3582 |
. . 3
β’ (((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β§ Β¬ π½ β {πΎ, πΏ}) β βπ β Word πΆ(πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g π)) |
235 | 145, 234 | pm2.61dan 812 |
. 2
β’ ((π β§ Β¬ πΌ β {πΎ, πΏ}) β βπ β Word πΆ(πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g π)) |
236 | 104, 235 | pm2.61dan 812 |
1
β’ (π β βπ β Word πΆ(πΈ Β· πΉ) = (π Ξ£g π)) |