Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc3genpmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc3genpmlem 32000
Description: Lemma for cyc3genpm 32001. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cyc3genpm.t 𝐶 = (𝑀 “ (♯ “ {3}))
cyc3genpm.a 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
cyc3genpm.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
cyc3genpm.n 𝑁 = (♯‘𝐷)
cyc3genpm.m 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
cyc3genpmlem.t · = (+g𝑆)
cyc3genpmlem.i (𝜑𝐼𝐷)
cyc3genpmlem.j (𝜑𝐽𝐷)
cyc3genpmlem.k (𝜑𝐾𝐷)
cyc3genpmlem.l (𝜑𝐿𝐷)
cyc3genpmlem.e (𝜑𝐸 = (𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩))
cyc3genpmlem.f (𝜑𝐹 = (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))
cyc3genpmlem.d (𝜑𝐷𝑉)
cyc3genpmlem.1 (𝜑𝐼𝐽)
cyc3genpmlem.2 (𝜑𝐾𝐿)
Assertion
Ref Expression
cyc3genpmlem (𝜑 → ∃𝑐 ∈ Word 𝐶(𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg 𝑐))
Distinct variable groups:   · ,𝑐   𝐶,𝑐   𝐷,𝑐   𝐸,𝑐   𝐹,𝑐   𝐼,𝑐   𝐽,𝑐   𝐾,𝑐   𝐿,𝑐   𝑀,𝑐   𝑆,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝑁(𝑐)   𝑉(𝑐)

Proof of Theorem cyc3genpmlem
StepHypRef Expression
1 wrd0 14427 . . . . 5 ∅ ∈ Word 𝐶
21a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ∅ ∈ Word 𝐶)
3 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = ∅) → 𝑐 = ∅)
43oveq2d 7373 . . . . 5 ((((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = ∅) → (𝑆 Σg 𝑐) = (𝑆 Σg ∅))
54eqeq2d 2747 . . . 4 ((((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = ∅) → ((𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg 𝑐) ↔ (𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg ∅)))
6 cyc3genpmlem.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 = (𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩))
7 cyc3genpm.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (toCyc‘𝐷)
8 cyc3genpmlem.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷𝑉)
9 cyc3genpmlem.i . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼𝐷)
10 cyc3genpmlem.j . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽𝐷)
11 cyc3genpmlem.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼𝐽)
12 cyc3genpm.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
137, 8, 9, 10, 11, 12cycpm2cl 31969 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) ∈ (Base‘𝑆))
146, 13eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (Base‘𝑆))
15 cyc3genpmlem.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))
16 cyc3genpmlem.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾𝐷)
17 cyc3genpmlem.l . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿𝐷)
18 cyc3genpmlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾𝐿)
197, 8, 16, 17, 18, 12cycpm2cl 31969 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩) ∈ (Base‘𝑆))
2015, 19eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘𝑆))
21 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
22 cyc3genpmlem.t . . . . . . . . 9 · = (+g𝑆)
2312, 21, 22symgov 19165 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐸 · 𝐹) = (𝐸𝐹))
2414, 20, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 · 𝐹) = (𝐸𝐹))
2524ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝐸 · 𝐹) = (𝐸𝐹))
266ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐸 = (𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩))
27 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
287, 8, 9, 10, 11, 27cycpm2tr 31968 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, 𝐽}))
2928ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, 𝐽}))
3026, 29eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐸 = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, 𝐽}))
317, 8, 16, 17, 18, 27cycpm2tr 31968 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, 𝐿}))
3231ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, 𝐿}))
3315ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐹 = (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))
349ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐼𝐷)
3510ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐽𝐷)
3611ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐼𝐽)
37 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿})
38 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿})
3937, 38prssd 4782 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → {𝐼, 𝐽} ⊆ {𝐾, 𝐿})
40 ssprsseq 4785 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝐷𝐽𝐷𝐼𝐽) → ({𝐼, 𝐽} ⊆ {𝐾, 𝐿} ↔ {𝐼, 𝐽} = {𝐾, 𝐿}))
4140biimpa 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝐷𝐽𝐷𝐼𝐽) ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ {𝐾, 𝐿}) → {𝐼, 𝐽} = {𝐾, 𝐿})
4234, 35, 36, 39, 41syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → {𝐼, 𝐽} = {𝐾, 𝐿})
4342fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, 𝐽}) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, 𝐿}))
4432, 33, 433eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐹 = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, 𝐽}))
4530, 44coeq12d 5820 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝐸𝐹) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, 𝐽})))
468ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐷𝑉)
4734, 35prssd 4782 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
48 enpr2 9938 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝐷𝐽𝐷𝐼𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
4934, 35, 36, 48syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
50 eqid 2736 . . . . . . . . 9 ran (pmTrsp‘𝐷) = ran (pmTrsp‘𝐷)
5127, 50pmtrrn 19239 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
5246, 47, 49, 51syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
5327, 50pmtrfinv 19243 . . . . . . 7 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, 𝐽})) = ( I ↾ 𝐷))
5452, 53syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, 𝐽}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, 𝐽})) = ( I ↾ 𝐷))
5525, 45, 543eqtrd 2780 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝐸 · 𝐹) = ( I ↾ 𝐷))
5612symgid 19183 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝑆))
5746, 56syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝑆))
58 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝑆) = (0g𝑆)
5958gsum0 18539 . . . . . 6 (𝑆 Σg ∅) = (0g𝑆)
6057, 59eqtr4di 2794 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ( I ↾ 𝐷) = (𝑆 Σg ∅))
6155, 60eqtrd 2776 . . . 4 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg ∅))
622, 5, 61rspcedvd 3583 . . 3 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ∃𝑐 ∈ Word 𝐶(𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg 𝑐))
638ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐷𝑉)
649ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐼𝐷)
6516, 17prssd 4782 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐾, 𝐿} ⊆ 𝐷)
6665ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → {𝐾, 𝐿} ⊆ 𝐷)
67 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿})
68 enpr2 9938 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝐷𝐿𝐷𝐾𝐿) → {𝐾, 𝐿} ≈ 2o)
6916, 17, 18, 68syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐾, 𝐿} ≈ 2o)
7069ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → {𝐾, 𝐿} ≈ 2o)
71 unidifsnel 31462 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ {𝐾, 𝐿} ≈ 2o) → ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼}) ∈ {𝐾, 𝐿})
7267, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼}) ∈ {𝐾, 𝐿})
7366, 72sseldd 3945 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼}) ∈ 𝐷)
7410ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐽𝐷)
75 unidifsnne 31463 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ {𝐾, 𝐿} ≈ 2o) → ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼}) ≠ 𝐼)
7667, 70, 75syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼}) ≠ 𝐼)
7776necomd 2999 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼}))
78 nelne2 3042 . . . . . . . 8 (( ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼}) ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼}) ≠ 𝐽)
7972, 78sylancom 588 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼}) ≠ 𝐽)
8011necomd 2999 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽𝐼)
8180ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐽𝐼)
827, 12, 63, 64, 73, 74, 77, 79, 81cycpm3cl2 31985 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩) ∈ (𝑀 “ (♯ “ {3})))
83 cyc3genpm.t . . . . . 6 𝐶 = (𝑀 “ (♯ “ {3}))
8482, 83eleqtrrdi 2849 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩) ∈ 𝐶)
8584s1cld 14491 . . . 4 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ⟨“(𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩)”⟩ ∈ Word 𝐶)
86 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = ⟨“(𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩)”⟩) → 𝑐 = ⟨“(𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩)”⟩)
8786oveq2d 7373 . . . . 5 ((((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = ⟨“(𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩)”⟩) → (𝑆 Σg 𝑐) = (𝑆 Σg ⟨“(𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩)”⟩))
8887eqeq2d 2747 . . . 4 ((((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = ⟨“(𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩)”⟩) → ((𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg 𝑐) ↔ (𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg ⟨“(𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩)”⟩)))
897, 12, 63, 64, 73, 74, 77, 79, 81, 22cyc3co2 31989 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩) = ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})”⟩)))
907, 12, 63, 64, 73, 74, 77, 79, 81cycpm3cl 31984 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩) ∈ (Base‘𝑆))
9121gsumws1 18648 . . . . . 6 ((𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩) ∈ (Base‘𝑆) → (𝑆 Σg ⟨“(𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩)”⟩) = (𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩))
9290, 91syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑆 Σg ⟨“(𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩)”⟩) = (𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩))
936ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐸 = (𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩))
94 en2eleq 9944 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ {𝐾, 𝐿} ≈ 2o) → {𝐾, 𝐿} = {𝐼, ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})})
9567, 70, 94syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → {𝐾, 𝐿} = {𝐼, ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})})
9695fveq2d 6846 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, 𝐿}) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})}))
9715, 31eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, 𝐿}))
9897ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐹 = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, 𝐿}))
997, 63, 64, 73, 77, 27cycpm2tr 31968 . . . . . . 7 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})}))
10096, 98, 993eqtr4d 2786 . . . . . 6 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐹 = (𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})”⟩))
10193, 100oveq12d 7375 . . . . 5 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝐸 · 𝐹) = ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})”⟩)))
10289, 92, 1013eqtr4rd 2787 . . . 4 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg ⟨“(𝑀‘⟨“𝐼 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐼})𝐽”⟩)”⟩))
10385, 88, 102rspcedvd 3583 . . 3 (((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ∃𝑐 ∈ Word 𝐶(𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg 𝑐))
10462, 103pm2.61dan 811 . 2 ((𝜑𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ∃𝑐 ∈ Word 𝐶(𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg 𝑐))
1058ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐷𝑉)
10610ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐽𝐷)
10765ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → {𝐾, 𝐿} ⊆ 𝐷)
108 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿})
10969ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → {𝐾, 𝐿} ≈ 2o)
110 unidifsnel 31462 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ {𝐾, 𝐿} ≈ 2o) → ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽}) ∈ {𝐾, 𝐿})
111108, 109, 110syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽}) ∈ {𝐾, 𝐿})
112107, 111sseldd 3945 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽}) ∈ 𝐷)
1139ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐼𝐷)
114 unidifsnne 31463 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ {𝐾, 𝐿} ≈ 2o) → ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽}) ≠ 𝐽)
115108, 109, 114syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽}) ≠ 𝐽)
116115necomd 2999 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽}))
117 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿})
118 nelne2 3042 . . . . . . . 8 (( ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽}) ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽}) ≠ 𝐼)
119111, 117, 118syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽}) ≠ 𝐼)
12011ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐼𝐽)
1217, 12, 105, 106, 112, 113, 116, 119, 120cycpm3cl2 31985 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩) ∈ (𝑀 “ (♯ “ {3})))
122121, 83eleqtrrdi 2849 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩) ∈ 𝐶)
123122s1cld 14491 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩)”⟩ ∈ Word 𝐶)
124 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩)”⟩) → 𝑐 = ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩)”⟩)
125124oveq2d 7373 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩)”⟩) → (𝑆 Σg 𝑐) = (𝑆 Σg ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩)”⟩))
126125eqeq2d 2747 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩)”⟩) → ((𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg 𝑐) ↔ (𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩)”⟩)))
1277, 12, 105, 106, 112, 113, 116, 119, 120, 22cyc3co2 31989 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩) = ((𝑀‘⟨“𝐽𝐼”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})”⟩)))
1287, 12, 105, 106, 112, 113, 116, 119, 120cycpm3cl 31984 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩) ∈ (Base‘𝑆))
12921gsumws1 18648 . . . . . 6 ((𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩) ∈ (Base‘𝑆) → (𝑆 Σg ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩)”⟩) = (𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩))
130128, 129syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑆 Σg ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩)”⟩) = (𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩))
131 prcom 4693 . . . . . . . . . 10 {𝐼, 𝐽} = {𝐽, 𝐼}
132131fveq2i 6845 . . . . . . . . 9 ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐼, 𝐽}) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐼})
1337, 8, 10, 9, 80, 27cycpm2tr 31968 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘⟨“𝐽𝐼”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐼}))
134132, 28, 1333eqtr4a 2802 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑀‘⟨“𝐽𝐼”⟩))
1356, 134eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = (𝑀‘⟨“𝐽𝐼”⟩))
136135ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐸 = (𝑀‘⟨“𝐽𝐼”⟩))
137 en2eleq 9944 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ {𝐾, 𝐿} ≈ 2o) → {𝐾, 𝐿} = {𝐽, ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})})
138108, 109, 137syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → {𝐾, 𝐿} = {𝐽, ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})})
139138fveq2d 6846 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, 𝐿}) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})}))
14097ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐹 = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, 𝐿}))
1417, 105, 106, 112, 116, 27cycpm2tr 31968 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})}))
142139, 140, 1413eqtr4d 2786 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐹 = (𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})”⟩))
143136, 142oveq12d 7375 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝐸 · 𝐹) = ((𝑀‘⟨“𝐽𝐼”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})”⟩)))
144127, 130, 1433eqtr4rd 2787 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽 ({𝐾, 𝐿} ∖ {𝐽})𝐼”⟩)”⟩))
145123, 126, 144rspcedvd 3583 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ∃𝑐 ∈ Word 𝐶(𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg 𝑐))
1468ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐷𝑉)
14710ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐽𝐷)
14816ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐾𝐷)
1499ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐼𝐷)
150 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿})
151147, 150nelpr1 4614 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐽𝐾)
152 prid1g 4721 . . . . . . . . . 10 (𝐾𝐷𝐾 ∈ {𝐾, 𝐿})
15316, 152syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ {𝐾, 𝐿})
154153ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐾 ∈ {𝐾, 𝐿})
155 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿})
156 nelne2 3042 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐾𝐼)
157154, 155, 156syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐾𝐼)
15811ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐼𝐽)
1597, 12, 146, 147, 148, 149, 151, 157, 158cycpm3cl2 31985 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩) ∈ (𝑀 “ (♯ “ {3})))
160159, 83eleqtrrdi 2849 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩) ∈ 𝐶)
16117ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐿𝐷)
16218ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐾𝐿)
163 prid2g 4722 . . . . . . . . 9 (𝐿𝐷𝐿 ∈ {𝐾, 𝐿})
164161, 163syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐿 ∈ {𝐾, 𝐿})
165 nelne2 3042 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐿𝐽)
166164, 165sylancom 588 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐿𝐽)
1677, 12, 146, 148, 161, 147, 162, 166, 151cycpm3cl2 31985 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩) ∈ (𝑀 “ (♯ “ {3})))
168167, 83eleqtrrdi 2849 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩) ∈ 𝐶)
169160, 168s2cld 14760 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩)(𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩)”⟩ ∈ Word 𝐶)
170 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩)(𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩)”⟩) → 𝑐 = ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩)(𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩)”⟩)
171170oveq2d 7373 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩)(𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩)”⟩) → (𝑆 Σg 𝑐) = (𝑆 Σg ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩)(𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩)”⟩))
172171eqeq2d 2747 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩)(𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩)”⟩) → ((𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg 𝑐) ↔ (𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩)(𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩)”⟩)))
173146, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝑆))
174173oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (( I ↾ 𝐷) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)) = ((0g𝑆) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)))
17512symggrp 19182 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝑉𝑆 ∈ Grp)
1768, 175syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
177176ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝑆 ∈ Grp)
17819ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩) ∈ (Base‘𝑆))
17921, 22, 58grplid 18780 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩) ∈ (Base‘𝑆)) → ((0g𝑆) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)) = (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))
180177, 178, 179syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((0g𝑆) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)) = (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))
181174, 180eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (( I ↾ 𝐷) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)) = (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))
182181oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (( I ↾ 𝐷) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))) = ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)))
18313ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) ∈ (Base‘𝑆))
1847, 146, 147, 148, 151, 27cycpm2tr 31968 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}))
18550, 12, 21symgtrf 19251 . . . . . . . . . . 11 ran (pmTrsp‘𝐷) ⊆ (Base‘𝑆)
18610, 16prssd 4782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝐽, 𝐾} ⊆ 𝐷)
187186ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → {𝐽, 𝐾} ⊆ 𝐷)
188 enpr2 9938 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽𝐷𝐾𝐷𝐽𝐾) → {𝐽, 𝐾} ≈ 2o)
189147, 148, 151, 188syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → {𝐽, 𝐾} ≈ 2o)
19027, 50pmtrrn 19239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷𝑉 ∧ {𝐽, 𝐾} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐽, 𝐾} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
191146, 187, 189, 190syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
192185, 191sselid 3942 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}) ∈ (Base‘𝑆))
193184, 192eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) ∈ (Base‘𝑆))
194151necomd 2999 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝐾𝐽)
1957, 146, 148, 147, 194, 27cycpm2tr 31968 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, 𝐽}))
196 prcom 4693 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝐽, 𝐾} = {𝐾, 𝐽}
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → {𝐽, 𝐾} = {𝐾, 𝐽})
198197fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐾, 𝐽}))
199195, 198eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}))
200199, 192eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) ∈ (Base‘𝑆))
20121, 22grpcl 18756 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)) ∈ (Base‘𝑆))
202177, 200, 178, 201syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)) ∈ (Base‘𝑆))
20321, 22grpass 18757 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)) ∈ (Base‘𝑆))) → (((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩)) · ((𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))) = ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · ((𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) · ((𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)))))
204177, 183, 193, 202, 203syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩)) · ((𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))) = ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · ((𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) · ((𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)))))
20521, 22grpass 18757 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩) ∈ (Base‘𝑆))) → (((𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩)) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)) = ((𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) · ((𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))))
206177, 193, 200, 178, 205syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (((𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩)) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)) = ((𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) · ((𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))))
207206oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (((𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩)) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))) = ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · ((𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) · ((𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)))))
208184, 199oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩)) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}) · ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾})))
20912, 21, 22symgov 19165 . . . . . . . . . . . 12 ((((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}) ∈ (Base‘𝑆)) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}) · ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾})) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾})))
210192, 192, 209syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}) · ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾})) = (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾})))
21127, 50pmtrfinv 19243 . . . . . . . . . . . 12 (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾})) = ( I ↾ 𝐷))
212191, 211syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾}) ∘ ((pmTrsp‘𝐷)‘{𝐽, 𝐾})) = ( I ↾ 𝐷))
213208, 210, 2123eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩)) = ( I ↾ 𝐷))
214213oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (((𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩)) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)) = (( I ↾ 𝐷) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)))
215214oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (((𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩)) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))) = ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (( I ↾ 𝐷) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))))
216204, 207, 2153eqtr2rd 2783 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (( I ↾ 𝐷) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))) = (((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩)) · ((𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))))
217182, 216eqtr3d 2778 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)) = (((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩)) · ((𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))))
2186, 15oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 · 𝐹) = ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)))
219218ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝐸 · 𝐹) = ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)))
2207, 12, 146, 147, 148, 149, 151, 157, 158, 22cyc3co2 31989 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩) = ((𝑀‘⟨“𝐽𝐼”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩)))
221134oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩)) = ((𝑀‘⟨“𝐽𝐼”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩)))
222221ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩)) = ((𝑀‘⟨“𝐽𝐼”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩)))
223220, 222eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩) = ((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩)))
2247, 12, 146, 148, 161, 147, 162, 166, 151, 22cyc3co2 31989 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩) = ((𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩)))
225223, 224oveq12d 7375 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ((𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩)) = (((𝑀‘⟨“𝐼𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐽𝐾”⟩)) · ((𝑀‘⟨“𝐾𝐽”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿”⟩))))
226217, 219, 2253eqtr4d 2786 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝐸 · 𝐹) = ((𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩)))
227176grpmndd 18760 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Mnd)
228227ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → 𝑆 ∈ Mnd)
2297, 12, 146, 147, 148, 149, 151, 157, 158cycpm3cl 31984 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩) ∈ (Base‘𝑆))
230224, 202eqeltrd 2838 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩) ∈ (Base‘𝑆))
23121, 22gsumws2 18652 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩) ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑆 Σg ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩)(𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩)”⟩) = ((𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩)))
232228, 229, 230, 231syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝑆 Σg ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩)(𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩)”⟩) = ((𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩) · (𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩)))
233226, 232eqtr4d 2779 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → (𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg ⟨“(𝑀‘⟨“𝐽𝐾𝐼”⟩)(𝑀‘⟨“𝐾𝐿𝐽”⟩)”⟩))
234169, 172, 233rspcedvd 3583 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ ¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ∃𝑐 ∈ Word 𝐶(𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg 𝑐))
235145, 234pm2.61dan 811 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) → ∃𝑐 ∈ Word 𝐶(𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg 𝑐))
236104, 235pm2.61dan 811 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ Word 𝐶(𝐸 · 𝐹) = (𝑆 Σg 𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cdif 3907  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  {cpr 4588   cuni 4865   class class class wbr 5105   I cid 5530  ccnv 5632  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  ccom 5637  cfv 6496  (class class class)co 7357  2oc2o 8406  cen 8880  3c3 12209  chash 14230  Word cword 14402  ⟨“cs1 14483  ⟨“cs2 14730  ⟨“cs3 14731  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  SymGrpcsymg 19148  pmTrspcpmtr 19223  pmEvencevpm 19272  toCycctocyc 31955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-reg 9528  ax-ac2 10399  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-card 9875  df-ac 10052  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-csh 14677  df-s2 14737  df-s3 14738  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-tset 17152  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-tocyc 31956
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  32001
  Copyright terms: Public domain W3C validator