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Theorem cyc3genpmlem 32049
Description: Lemma for cyc3genpm 32050. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cyc3genpm.t 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {3}))
cyc3genpm.a 𝐴 = (pmEvenβ€˜π·)
cyc3genpm.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
cyc3genpm.n 𝑁 = (β™―β€˜π·)
cyc3genpm.m 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
cyc3genpmlem.t Β· = (+gβ€˜π‘†)
cyc3genpmlem.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
cyc3genpmlem.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
cyc3genpmlem.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
cyc3genpmlem.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐷)
cyc3genpmlem.e (πœ‘ β†’ 𝐸 = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))
cyc3genpmlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))
cyc3genpmlem.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cyc3genpmlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
cyc3genpmlem.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  𝐿)
Assertion
Ref Expression
cyc3genpmlem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ Word 𝐢(𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g 𝑐))
Distinct variable groups:   Β· ,𝑐   𝐢,𝑐   𝐷,𝑐   𝐸,𝑐   𝐹,𝑐   𝐼,𝑐   𝐽,𝑐   𝐾,𝑐   𝐿,𝑐   𝑀,𝑐   𝑆,𝑐   πœ‘,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝑁(𝑐)   𝑉(𝑐)

Proof of Theorem cyc3genpmlem
StepHypRef Expression
1 wrd0 14433 . . . . 5 βˆ… ∈ Word 𝐢
21a1i 11 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆ… ∈ Word 𝐢)
3 simpr 486 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = βˆ…) β†’ 𝑐 = βˆ…)
43oveq2d 7374 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = βˆ…) β†’ (𝑆 Ξ£g 𝑐) = (𝑆 Ξ£g βˆ…))
54eqeq2d 2744 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = βˆ…) β†’ ((𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g 𝑐) ↔ (𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g βˆ…)))
6 cyc3genpmlem.e . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))
7 cyc3genpm.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (toCycβ€˜π·)
8 cyc3genpmlem.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
9 cyc3genpmlem.i . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
10 cyc3genpmlem.j . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
11 cyc3genpmlem.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
12 cyc3genpm.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
137, 8, 9, 10, 11, 12cycpm2cl 32018 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
146, 13eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
15 cyc3genpmlem.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))
16 cyc3genpmlem.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
17 cyc3genpmlem.l . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐷)
18 cyc3genpmlem.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  𝐿)
197, 8, 16, 17, 18, 12cycpm2cl 32018 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2015, 19eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
21 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
22 cyc3genpmlem.t . . . . . . . . 9 Β· = (+gβ€˜π‘†)
2312, 21, 22symgov 19170 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (𝐸 Β· 𝐹) = (𝐸 ∘ 𝐹))
2414, 20, 23syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 Β· 𝐹) = (𝐸 ∘ 𝐹))
2524ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (𝐸 Β· 𝐹) = (𝐸 ∘ 𝐹))
266ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐸 = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))
27 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (pmTrspβ€˜π·) = (pmTrspβ€˜π·)
287, 8, 9, 10, 11, 27cycpm2tr 32017 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, 𝐽}))
2928ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, 𝐽}))
3026, 29eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐸 = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, 𝐽}))
317, 8, 16, 17, 18, 27cycpm2tr 32017 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐾, 𝐿}))
3231ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐾, 𝐿}))
3315ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐹 = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))
349ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
3510ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
3611ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
37 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿})
38 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿})
3937, 38prssd 4783 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ {𝐼, 𝐽} βŠ† {𝐾, 𝐿})
40 ssprsseq 4786 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ ({𝐼, 𝐽} βŠ† {𝐾, 𝐿} ↔ {𝐼, 𝐽} = {𝐾, 𝐿}))
4140biimpa 478 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 β‰  𝐽) ∧ {𝐼, 𝐽} βŠ† {𝐾, 𝐿}) β†’ {𝐼, 𝐽} = {𝐾, 𝐿})
4234, 35, 36, 39, 41syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ {𝐼, 𝐽} = {𝐾, 𝐿})
4342fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, 𝐽}) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐾, 𝐿}))
4432, 33, 433eqtr4d 2783 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐹 = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, 𝐽}))
4530, 44coeq12d 5821 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (𝐸 ∘ 𝐹) = (((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, 𝐽}) ∘ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, 𝐽})))
468ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
4734, 35prssd 4783 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ {𝐼, 𝐽} βŠ† 𝐷)
48 enpr2 9943 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ {𝐼, 𝐽} β‰ˆ 2o)
4934, 35, 36, 48syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ {𝐼, 𝐽} β‰ˆ 2o)
50 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ran (pmTrspβ€˜π·) = ran (pmTrspβ€˜π·)
5127, 50pmtrrn 19244 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} βŠ† 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} β‰ˆ 2o) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrspβ€˜π·))
5246, 47, 49, 51syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrspβ€˜π·))
5327, 50pmtrfinv 19248 . . . . . . 7 (((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, 𝐽}) ∈ ran (pmTrspβ€˜π·) β†’ (((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, 𝐽}) ∘ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, 𝐽})) = ( I β†Ύ 𝐷))
5452, 53syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, 𝐽}) ∘ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, 𝐽})) = ( I β†Ύ 𝐷))
5525, 45, 543eqtrd 2777 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (𝐸 Β· 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐷))
5612symgid 19188 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐷) = (0gβ€˜π‘†))
5746, 56syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ( I β†Ύ 𝐷) = (0gβ€˜π‘†))
58 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
5958gsum0 18544 . . . . . 6 (𝑆 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜π‘†)
6057, 59eqtr4di 2791 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ( I β†Ύ 𝐷) = (𝑆 Ξ£g βˆ…))
6155, 60eqtrd 2773 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g βˆ…))
622, 5, 61rspcedvd 3582 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ Word 𝐢(𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g 𝑐))
638ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
649ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
6516, 17prssd 4783 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝐾, 𝐿} βŠ† 𝐷)
6665ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ {𝐾, 𝐿} βŠ† 𝐷)
67 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿})
68 enpr2 9943 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝐿 ∈ 𝐷 ∧ 𝐾 β‰  𝐿) β†’ {𝐾, 𝐿} β‰ˆ 2o)
6916, 17, 18, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝐾, 𝐿} β‰ˆ 2o)
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ {𝐾, 𝐿} β‰ˆ 2o)
71 unidifsnel 31505 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ {𝐾, 𝐿} β‰ˆ 2o) β†’ βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼}) ∈ {𝐾, 𝐿})
7267, 70, 71syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼}) ∈ {𝐾, 𝐿})
7366, 72sseldd 3946 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼}) ∈ 𝐷)
7410ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
75 unidifsnne 31506 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ {𝐾, 𝐿} β‰ˆ 2o) β†’ βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼}) β‰  𝐼)
7667, 70, 75syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼}) β‰  𝐼)
7776necomd 2996 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐼 β‰  βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼}))
78 nelne2 3039 . . . . . . . 8 ((βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼}) ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼}) β‰  𝐽)
7972, 78sylancom 589 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼}) β‰  𝐽)
8011necomd 2996 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐼)
8180ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐽 β‰  𝐼)
827, 12, 63, 64, 73, 74, 77, 79, 81cycpm3cl2 32034 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©) ∈ (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {3})))
83 cyc3genpm.t . . . . . 6 𝐢 = (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {3}))
8482, 83eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©) ∈ 𝐢)
8584s1cld 14497 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©)β€βŸ© ∈ Word 𝐢)
86 simpr 486 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©)β€βŸ©) β†’ 𝑐 = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©)β€βŸ©)
8786oveq2d 7374 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©)β€βŸ©) β†’ (𝑆 Ξ£g 𝑐) = (𝑆 Ξ£g βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©)β€βŸ©))
8887eqeq2d 2744 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©)β€βŸ©) β†’ ((𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g 𝑐) ↔ (𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©)β€βŸ©)))
897, 12, 63, 64, 73, 74, 77, 79, 81, 22cyc3co2 32038 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})β€βŸ©)))
907, 12, 63, 64, 73, 74, 77, 79, 81cycpm3cl 32033 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
9121gsumws1 18653 . . . . . 6 ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†) β†’ (𝑆 Ξ£g βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©)β€βŸ©) = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©))
9290, 91syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (𝑆 Ξ£g βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©)β€βŸ©) = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©))
936ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐸 = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))
94 en2eleq 9949 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ {𝐾, 𝐿} β‰ˆ 2o) β†’ {𝐾, 𝐿} = {𝐼, βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})})
9567, 70, 94syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ {𝐾, 𝐿} = {𝐼, βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})})
9695fveq2d 6847 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐾, 𝐿}) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})}))
9715, 31eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐾, 𝐿}))
9897ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐹 = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐾, 𝐿}))
997, 63, 64, 73, 77, 27cycpm2tr 32017 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})β€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})}))
10096, 98, 993eqtr4d 2783 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐹 = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})β€βŸ©))
10193, 100oveq12d 7376 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (𝐸 Β· 𝐹) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})β€βŸ©)))
10289, 92, 1013eqtr4rd 2784 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌβˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐼})π½β€βŸ©)β€βŸ©))
10385, 88, 102rspcedvd 3582 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ Word 𝐢(𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g 𝑐))
10462, 103pm2.61dan 812 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ Word 𝐢(𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g 𝑐))
1058ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
10610ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
10765ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ {𝐾, 𝐿} βŠ† 𝐷)
108 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿})
10969ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ {𝐾, 𝐿} β‰ˆ 2o)
110 unidifsnel 31505 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ {𝐾, 𝐿} β‰ˆ 2o) β†’ βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽}) ∈ {𝐾, 𝐿})
111108, 109, 110syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽}) ∈ {𝐾, 𝐿})
112107, 111sseldd 3946 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽}) ∈ 𝐷)
1139ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
114 unidifsnne 31506 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ {𝐾, 𝐿} β‰ˆ 2o) β†’ βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽}) β‰  𝐽)
115108, 109, 114syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽}) β‰  𝐽)
116115necomd 2996 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐽 β‰  βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽}))
117 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿})
118 nelne2 3039 . . . . . . . 8 ((βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽}) ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽}) β‰  𝐼)
119111, 117, 118syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽}) β‰  𝐼)
12011ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
1217, 12, 105, 106, 112, 113, 116, 119, 120cycpm3cl2 32034 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©) ∈ (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {3})))
122121, 83eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©) ∈ 𝐢)
123122s1cld 14497 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©)β€βŸ© ∈ Word 𝐢)
124 simpr 486 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©)β€βŸ©) β†’ 𝑐 = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©)β€βŸ©)
125124oveq2d 7374 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©)β€βŸ©) β†’ (𝑆 Ξ£g 𝑐) = (𝑆 Ξ£g βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©)β€βŸ©))
126125eqeq2d 2744 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©)β€βŸ©) β†’ ((𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g 𝑐) ↔ (𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©)β€βŸ©)))
1277, 12, 105, 106, 112, 113, 116, 119, 120, 22cyc3co2 32038 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})β€βŸ©)))
1287, 12, 105, 106, 112, 113, 116, 119, 120cycpm3cl 32033 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
12921gsumws1 18653 . . . . . 6 ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†) β†’ (𝑆 Ξ£g βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©)β€βŸ©) = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©))
130128, 129syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (𝑆 Ξ£g βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©)β€βŸ©) = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©))
131 prcom 4694 . . . . . . . . . 10 {𝐼, 𝐽} = {𝐽, 𝐼}
132131fveq2i 6846 . . . . . . . . 9 ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐼, 𝐽}) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐼})
1337, 8, 10, 9, 80, 27cycpm2tr 32017 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐼}))
134132, 28, 1333eqtr4a 2799 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©))
1356, 134eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©))
136135ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐸 = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©))
137 en2eleq 9949 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ {𝐾, 𝐿} β‰ˆ 2o) β†’ {𝐾, 𝐿} = {𝐽, βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})})
138108, 109, 137syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ {𝐾, 𝐿} = {𝐽, βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})})
139138fveq2d 6847 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐾, 𝐿}) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})}))
14097ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐹 = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐾, 𝐿}))
1417, 105, 106, 112, 116, 27cycpm2tr 32017 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})β€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})}))
142139, 140, 1413eqtr4d 2783 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐹 = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})β€βŸ©))
143136, 142oveq12d 7376 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (𝐸 Β· 𝐹) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})β€βŸ©)))
144127, 130, 1433eqtr4rd 2784 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½βˆͺ ({𝐾, 𝐿} βˆ– {𝐽})πΌβ€βŸ©)β€βŸ©))
145123, 126, 144rspcedvd 3582 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ Word 𝐢(𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g 𝑐))
1468ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
14710ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
14816ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐾 ∈ 𝐷)
1499ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
150 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿})
151147, 150nelpr1 4615 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
152 prid1g 4722 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ 𝐷 β†’ 𝐾 ∈ {𝐾, 𝐿})
15316, 152syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ {𝐾, 𝐿})
154153ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐾 ∈ {𝐾, 𝐿})
155 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿})
156 nelne2 3039 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐾 β‰  𝐼)
157154, 155, 156syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐾 β‰  𝐼)
15811ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
1597, 12, 146, 147, 148, 149, 151, 157, 158cycpm3cl2 32034 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©) ∈ (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {3})))
160159, 83eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©) ∈ 𝐢)
16117ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐿 ∈ 𝐷)
16218ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐾 β‰  𝐿)
163 prid2g 4723 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ 𝐷 β†’ 𝐿 ∈ {𝐾, 𝐿})
164161, 163syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐿 ∈ {𝐾, 𝐿})
165 nelne2 3039 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ {𝐾, 𝐿} ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐿 β‰  𝐽)
166164, 165sylancom 589 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐿 β‰  𝐽)
1677, 12, 146, 148, 161, 147, 162, 166, 151cycpm3cl2 32034 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©) ∈ (𝑀 β€œ (β—‘β™― β€œ {3})))
168167, 83eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©) ∈ 𝐢)
169160, 168s2cld 14766 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©)(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©)β€βŸ© ∈ Word 𝐢)
170 simpr 486 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©)(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©)β€βŸ©) β†’ 𝑐 = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©)(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©)β€βŸ©)
171170oveq2d 7374 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©)(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©)β€βŸ©) β†’ (𝑆 Ξ£g 𝑐) = (𝑆 Ξ£g βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©)(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©)β€βŸ©))
172171eqeq2d 2744 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ 𝑐 = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©)(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©)β€βŸ©) β†’ ((𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g 𝑐) ↔ (𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©)(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©)β€βŸ©)))
173146, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ( I β†Ύ 𝐷) = (0gβ€˜π‘†))
174173oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (( I β†Ύ 𝐷) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)) = ((0gβ€˜π‘†) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)))
17512symggrp 19187 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝑆 ∈ Grp)
1768, 175syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Grp)
177176ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
17819ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
17921, 22, 58grplid 18785 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)) = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))
180177, 178, 179syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)) = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))
181174, 180eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (( I β†Ύ 𝐷) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)) = (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))
182181oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (( I β†Ύ 𝐷) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)))
18313ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
1847, 146, 147, 148, 151, 27cycpm2tr 32017 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}))
18550, 12, 21symgtrf 19256 . . . . . . . . . . 11 ran (pmTrspβ€˜π·) βŠ† (Baseβ€˜π‘†)
18610, 16prssd 4783 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ {𝐽, 𝐾} βŠ† 𝐷)
187186ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ {𝐽, 𝐾} βŠ† 𝐷)
188 enpr2 9943 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐾 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 β‰  𝐾) β†’ {𝐽, 𝐾} β‰ˆ 2o)
189147, 148, 151, 188syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ {𝐽, 𝐾} β‰ˆ 2o)
19027, 50pmtrrn 19244 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐽, 𝐾} βŠ† 𝐷 ∧ {𝐽, 𝐾} β‰ˆ 2o) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}) ∈ ran (pmTrspβ€˜π·))
191146, 187, 189, 190syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}) ∈ ran (pmTrspβ€˜π·))
192185, 191sselid 3943 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
193184, 192eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
194151necomd 2996 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝐾 β‰  𝐽)
1957, 146, 148, 147, 194, 27cycpm2tr 32017 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐾, 𝐽}))
196 prcom 4694 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝐽, 𝐾} = {𝐾, 𝐽}
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ {𝐽, 𝐾} = {𝐾, 𝐽})
198197fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐾, 𝐽}))
199195, 198eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}))
200199, 192eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
20121, 22grpcl 18761 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
202177, 200, 178, 201syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
20321, 22grpass 18762 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©)) Β· ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) Β· ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)))))
204177, 183, 193, 202, 203syl13anc 1373 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©)) Β· ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) Β· ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)))))
20521, 22grpass 18762 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Grp ∧ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©)) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) Β· ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))))
206177, 193, 200, 178, 205syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©)) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) Β· ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))))
207206oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©)) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) Β· ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)))))
208184, 199oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©)) = (((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}) Β· ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾})))
20912, 21, 22symgov 19170 . . . . . . . . . . . 12 ((((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}) Β· ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾})) = (((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}) ∘ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾})))
210192, 192, 209syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}) Β· ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾})) = (((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}) ∘ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾})))
21127, 50pmtrfinv 19248 . . . . . . . . . . . 12 (((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}) ∈ ran (pmTrspβ€˜π·) β†’ (((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}) ∘ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾})) = ( I β†Ύ 𝐷))
212191, 211syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾}) ∘ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{𝐽, 𝐾})) = ( I β†Ύ 𝐷))
213208, 210, 2123eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©)) = ( I β†Ύ 𝐷))
214213oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©)) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)) = (( I β†Ύ 𝐷) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)))
215214oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©)) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (( I β†Ύ 𝐷) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))))
216204, 207, 2153eqtr2rd 2780 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (( I β†Ύ 𝐷) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))) = (((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©)) Β· ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))))
217182, 216eqtr3d 2775 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)) = (((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©)) Β· ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))))
2186, 15oveq12d 7376 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 Β· 𝐹) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)))
219218ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (𝐸 Β· 𝐹) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)))
2207, 12, 146, 147, 148, 149, 151, 157, 158, 22cyc3co2 32038 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©)))
221134oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©)) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©)))
222221ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©)) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©)))
223220, 222eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©)))
2247, 12, 146, 148, 161, 147, 162, 166, 151, 22cyc3co2 32038 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©)))
225223, 224oveq12d 7376 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©)) = (((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©)) Β· ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπ½β€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏβ€βŸ©))))
226217, 219, 2253eqtr4d 2783 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (𝐸 Β· 𝐹) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©)))
227176grpmndd 18765 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
228227ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
2297, 12, 146, 147, 148, 149, 151, 157, 158cycpm3cl 32033 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
230224, 202eqeltrd 2834 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
23121, 22gsumws2 18657 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (𝑆 Ξ£g βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©)(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©)β€βŸ©) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©)))
232228, 229, 230, 231syl3anc 1372 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (𝑆 Ξ£g βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©)(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©)β€βŸ©) = ((π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©) Β· (π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©)))
233226, 232eqtr4d 2776 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ (𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g βŸ¨β€œ(π‘€β€˜βŸ¨β€œπ½πΎπΌβ€βŸ©)(π‘€β€˜βŸ¨β€œπΎπΏπ½β€βŸ©)β€βŸ©))
234169, 172, 233rspcedvd 3582 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) ∧ Β¬ 𝐽 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ Word 𝐢(𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g 𝑐))
235145, 234pm2.61dan 812 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐼 ∈ {𝐾, 𝐿}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ Word 𝐢(𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g 𝑐))
236104, 235pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ Word 𝐢(𝐸 Β· 𝐹) = (𝑆 Ξ£g 𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {csn 4587  {cpr 4589  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   I cid 5531  β—‘ccnv 5633  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  2oc2o 8407   β‰ˆ cen 8883  3c3 12214  β™―chash 14236  Word cword 14408  βŸ¨β€œcs1 14489  βŸ¨β€œcs2 14736  βŸ¨β€œcs3 14737  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561  Grpcgrp 18753  SymGrpcsymg 19153  pmTrspcpmtr 19228  pmEvencevpm 19277  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-reg 9533  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-csh 14683  df-s2 14743  df-s3 14744  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-tset 17157  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-efmnd 18684  df-grp 18756  df-symg 19154  df-pmtr 19229  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  32050
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