Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc3evpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc3evpm 30955
 Description: 3-Cycles are even permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cyc3evpm.t 𝐶 = ((toCyc‘𝐷) “ (♯ “ {3}))
cyc3evpm.a 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
cyc3evpm (𝐷 ∈ Fin → 𝐶𝐴)

Proof of Theorem cyc3evpm
Dummy variables 𝑝 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) ∧ ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = 𝑝) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = 𝑝)
2 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝐷 ∈ Fin)
3 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (toCyc‘𝐷) = (toCyc‘𝐷)
4 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3})))
54elin1d 4105 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
6 elrabi 3598 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
8 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑢𝑤 = 𝑢)
9 dmeq 5749 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
10 eqidd 2759 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑢𝐷 = 𝐷)
118, 9, 10f1eq123d 6599 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
1211elrab 3604 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
1312simprbi 500 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} → 𝑢:dom 𝑢1-1𝐷)
145, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢:dom 𝑢1-1𝐷)
15 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
163, 2, 7, 14, 15cycpmcl 30921 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)))
17 c0ex 10686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
1817tpid1 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ {0, 1, 2}
19 fzo0to3tp 13185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0..^3) = {0, 1, 2}
2018, 19eleqtrri 2851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ (0..^3)
214elin2d 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢 ∈ (♯ “ {3}))
22 hashf 13761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
23 ffn 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
24 elpreima 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (♯ Fn V → (𝑢 ∈ (♯ “ {3}) ↔ (𝑢 ∈ V ∧ (♯‘𝑢) ∈ {3})))
2522, 23, 24mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ (♯ “ {3}) ↔ (𝑢 ∈ V ∧ (♯‘𝑢) ∈ {3}))
2625simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ (♯ “ {3}) → (♯‘𝑢) ∈ {3})
27 elsni 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑢) ∈ {3} → (♯‘𝑢) = 3)
2821, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (♯‘𝑢) = 3)
2928oveq2d 7172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (0..^(♯‘𝑢)) = (0..^3))
3020, 29eleqtrrid 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑢)))
31 wrdsymbcl 13939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑢))) → (𝑢‘0) ∈ 𝐷)
327, 30, 31syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘0) ∈ 𝐷)
33 1ex 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ V
3433tpid2 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ {0, 1, 2}
3534, 19eleqtrri 2851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ (0..^3)
3635, 29eleqtrrid 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑢)))
37 wrdsymbcl 13939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝑢))) → (𝑢‘1) ∈ 𝐷)
387, 36, 37syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘1) ∈ 𝐷)
39 2ex 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ V
4039tpid3 4669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ {0, 1, 2}
4140, 19eleqtrri 2851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ (0..^3)
4241, 29eleqtrrid 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 2 ∈ (0..^(♯‘𝑢)))
43 wrdsymbcl 13939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 2 ∈ (0..^(♯‘𝑢))) → (𝑢‘2) ∈ 𝐷)
447, 42, 43syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘2) ∈ 𝐷)
4532, 38, 443jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((𝑢‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘2) ∈ 𝐷))
46 eqidd 2759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘0) = (𝑢‘0))
47 eqidd 2759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘1) = (𝑢‘1))
48 eqidd 2759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘2) = (𝑢‘2))
4946, 47, 483jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((𝑢‘0) = (𝑢‘0) ∧ (𝑢‘1) = (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘2) = (𝑢‘2)))
50 eqwrds3 14385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ ((𝑢‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘2) ∈ 𝐷)) → (𝑢 = ⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)(𝑢‘2)”⟩ ↔ ((♯‘𝑢) = 3 ∧ ((𝑢‘0) = (𝑢‘0) ∧ (𝑢‘1) = (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘2) = (𝑢‘2)))))
5150biimpar 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ ((𝑢‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘2) ∈ 𝐷)) ∧ ((♯‘𝑢) = 3 ∧ ((𝑢‘0) = (𝑢‘0) ∧ (𝑢‘1) = (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘2) = (𝑢‘2)))) → 𝑢 = ⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)(𝑢‘2)”⟩)
527, 45, 28, 49, 51syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢 = ⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)(𝑢‘2)”⟩)
5352fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)(𝑢‘2)”⟩))
54 wrddm 13933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑢 = (0..^(♯‘𝑢)))
557, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → dom 𝑢 = (0..^(♯‘𝑢)))
5655, 29eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → dom 𝑢 = (0..^3))
5756, 19eqtrdi 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → dom 𝑢 = {0, 1, 2})
58 f1eq2 6561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝑢 = {0, 1, 2} → (𝑢:dom 𝑢1-1𝐷𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷))
5958biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom 𝑢 = {0, 1, 2} ∧ 𝑢:dom 𝑢1-1𝐷) → 𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷)
6057, 14, 59syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷)
6117, 33, 393pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
62 0ne1 11758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≠ 1
63 0ne2 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≠ 2
64 1ne2 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ≠ 2
6562, 63, 643pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)
66 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {0, 1, 2} = {0, 1, 2}
6766f13dfv 7029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)) → (𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷 ↔ (𝑢:{0, 1, 2}⟶𝐷 ∧ ((𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2) ∧ (𝑢‘1) ≠ (𝑢‘2)))))
6861, 65, 67mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷 ↔ (𝑢:{0, 1, 2}⟶𝐷 ∧ ((𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2) ∧ (𝑢‘1) ≠ (𝑢‘2))))
6968simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷 → ((𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2) ∧ (𝑢‘1) ≠ (𝑢‘2)))
7060, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2) ∧ (𝑢‘1) ≠ (𝑢‘2)))
7170simp1d 1139 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1))
7270simp3d 1141 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘1) ≠ (𝑢‘2))
7370simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2))
7473necomd 3006 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘2) ≠ (𝑢‘0))
75 eqid 2758 . . . . . . . . . . . 12 (+g‘(SymGrp‘𝐷)) = (+g‘(SymGrp‘𝐷))
763, 15, 2, 32, 38, 44, 71, 72, 74, 75cyc3co2 30945 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)(𝑢‘2)”⟩) = (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)(+g‘(SymGrp‘𝐷))((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)))
773, 2, 32, 44, 73, 15cycpm2cl 30925 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)))
783, 2, 32, 38, 71, 15cycpm2cl 30925 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)))
79 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(SymGrp‘𝐷)) = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
8015, 79, 75symgov 18592 . . . . . . . . . . . 12 ((((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) ∧ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷))) → (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)(+g‘(SymGrp‘𝐷))((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)) = (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)))
8177, 78, 80syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)(+g‘(SymGrp‘𝐷))((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)) = (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)))
8253, 76, 813eqtrd 2797 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)))
8382fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘𝑢)) = ((pmSgn‘𝐷)‘(((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))))
84 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
8515, 84, 79psgnco 20361 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) ∧ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘(((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))) = (((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) · ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))))
862, 77, 78, 85syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmSgn‘𝐷)‘(((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))) = (((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) · ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))))
87 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
883, 2, 32, 44, 73, 87cycpm2tr 30924 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘2)}))
8932, 44prssd 4715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → {(𝑢‘0), (𝑢‘2)} ⊆ 𝐷)
90 pr2nelem 9477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘2) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2)) → {(𝑢‘0), (𝑢‘2)} ≈ 2o)
9132, 44, 73, 90syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → {(𝑢‘0), (𝑢‘2)} ≈ 2o)
92 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (pmTrsp‘𝐷) = ran (pmTrsp‘𝐷)
9387, 92pmtrrn 18665 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘2)} ⊆ 𝐷 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘2)} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘2)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
942, 89, 91, 93syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘2)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
9588, 94eqeltrd 2852 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
9615, 92, 84psgnpmtr 18718 . . . . . . . . . . . 12 (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) = -1)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) = -1)
983, 2, 32, 38, 71, 87cycpm2tr 30924 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘1)}))
9932, 38prssd 4715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ⊆ 𝐷)
100 pr2nelem 9477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1)) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ≈ 2o)
10132, 38, 71, 100syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ≈ 2o)
10287, 92pmtrrn 18665 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ⊆ 𝐷 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
1032, 99, 101, 102syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
10498, 103eqeltrd 2852 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
10515, 92, 84psgnpmtr 18718 . . . . . . . . . . . 12 (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)) = -1)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)) = -1)
10797, 106oveq12d 7174 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) · ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))) = (-1 · -1))
108 neg1mulneg1e1 11900 . . . . . . . . . 10 (-1 · -1) = 1
109107, 108eqtrdi 2809 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) · ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))) = 1)
11083, 86, 1093eqtrd 2797 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘𝑢)) = 1)
11115, 79, 84psgnevpmb 20365 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ Fin → (((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘𝑢)) = 1)))
112111biimpar 481 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘𝑢)) = 1)) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (pmEven‘𝐷))
1132, 16, 110, 112syl12anc 835 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (pmEven‘𝐷))
114 cyc3evpm.a . . . . . . 7 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
115113, 114eleqtrrdi 2863 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ 𝐴)
116115ad4ant13 750 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) ∧ ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = 𝑝) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ 𝐴)
1171, 116eqeltrrd 2853 . . . 4 ((((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) ∧ ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = 𝑝) → 𝑝𝐴)
118 nfcv 2919 . . . . 5 𝑢(toCyc‘𝐷)
1193, 15, 79tocycf 30922 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ Fin → (toCyc‘𝐷):{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)))
120119ffnd 6504 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → (toCyc‘𝐷) Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
121120adantr 484 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) → (toCyc‘𝐷) Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
122 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) → 𝑝𝐶)
123 cyc3evpm.t . . . . . 6 𝐶 = ((toCyc‘𝐷) “ (♯ “ {3}))
124122, 123eleqtrdi 2862 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) → 𝑝 ∈ ((toCyc‘𝐷) “ (♯ “ {3})))
125118, 121, 124fvelimad 6725 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) → ∃𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = 𝑝)
126117, 125r19.29a 3213 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) → 𝑝𝐴)
127126ex 416 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝑝𝐶𝑝𝐴))
128127ssrdv 3900 1 (𝐷 ∈ Fin → 𝐶𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  {crab 3074  Vcvv 3409   ∪ cun 3858   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  {csn 4525  {cpr 4527  {ctp 4529   class class class wbr 5036  ◡ccnv 5527  dom cdm 5528  ran crn 5529   “ cima 5531   ∘ ccom 5532   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  –1-1→wf1 6337  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  2oc2o 8112   ≈ cen 8537  Fincfn 8540  0cc0 10588  1c1 10589   · cmul 10593  +∞cpnf 10723  -cneg 10922  2c2 11742  3c3 11743  ℕ0cn0 11947  ..^cfzo 13095  ♯chash 13753  Word cword 13926  ⟨“cs2 14263  ⟨“cs3 14264  Basecbs 16554  +gcplusg 16636  SymGrpcsymg 18575  pmTrspcpmtr 18649  pmSgncpsgn 18697  pmEvencevpm 18698  toCycctocyc 30911 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-xnn0 12020  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-word 13927  df-lsw 13975  df-concat 13983  df-s1 14010  df-substr 14063  df-pfx 14093  df-splice 14172  df-reverse 14181  df-csh 14211  df-s2 14270  df-s3 14271  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-submnd 18036  df-efmnd 18113  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-subg 18356  df-ghm 18436  df-gim 18479  df-oppg 18554  df-symg 18576  df-pmtr 18650  df-psgn 18699  df-evpm 18700  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-cring 19381  df-oppr 19457  df-dvdsr 19475  df-unit 19476  df-invr 19506  df-dvr 19517  df-drng 19585  df-cnfld 20180  df-tocyc 30912 This theorem is referenced by:  cyc3genpm  30957
 Copyright terms: Public domain W3C validator