Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc3evpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc3evpm 33153
Description: 3-Cycles are even permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cyc3evpm.t 𝐶 = ((toCyc‘𝐷) “ (♯ “ {3}))
cyc3evpm.a 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
cyc3evpm (𝐷 ∈ Fin → 𝐶𝐴)

Proof of Theorem cyc3evpm
Dummy variables 𝑝 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) ∧ ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = 𝑝) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = 𝑝)
2 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝐷 ∈ Fin)
3 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (toCyc‘𝐷) = (toCyc‘𝐷)
4 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3})))
54elin1d 4214 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
6 elrabi 3690 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
8 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑢𝑤 = 𝑢)
9 dmeq 5917 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
10 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑢𝐷 = 𝐷)
118, 9, 10f1eq123d 6841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
1211elrab 3695 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
1312simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} → 𝑢:dom 𝑢1-1𝐷)
145, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢:dom 𝑢1-1𝐷)
15 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
163, 2, 7, 14, 15cycpmcl 33119 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)))
17 c0ex 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
1817tpid1 4773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ {0, 1, 2}
19 fzo0to3tp 13788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0..^3) = {0, 1, 2}
2018, 19eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ (0..^3)
214elin2d 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢 ∈ (♯ “ {3}))
22 hashf 14374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
23 ffn 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
24 elpreima 7078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (♯ Fn V → (𝑢 ∈ (♯ “ {3}) ↔ (𝑢 ∈ V ∧ (♯‘𝑢) ∈ {3})))
2522, 23, 24mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ (♯ “ {3}) ↔ (𝑢 ∈ V ∧ (♯‘𝑢) ∈ {3}))
2625simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ (♯ “ {3}) → (♯‘𝑢) ∈ {3})
27 elsni 4648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑢) ∈ {3} → (♯‘𝑢) = 3)
2821, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (♯‘𝑢) = 3)
2928oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (0..^(♯‘𝑢)) = (0..^3))
3020, 29eleqtrrid 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑢)))
31 wrdsymbcl 14562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑢))) → (𝑢‘0) ∈ 𝐷)
327, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘0) ∈ 𝐷)
33 1ex 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ V
3433tpid2 4775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ {0, 1, 2}
3534, 19eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ (0..^3)
3635, 29eleqtrrid 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑢)))
37 wrdsymbcl 14562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝑢))) → (𝑢‘1) ∈ 𝐷)
387, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘1) ∈ 𝐷)
39 2ex 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ V
4039tpid3 4778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ {0, 1, 2}
4140, 19eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ (0..^3)
4241, 29eleqtrrid 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 2 ∈ (0..^(♯‘𝑢)))
43 wrdsymbcl 14562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 2 ∈ (0..^(♯‘𝑢))) → (𝑢‘2) ∈ 𝐷)
447, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘2) ∈ 𝐷)
4532, 38, 443jca 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((𝑢‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘2) ∈ 𝐷))
46 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘0) = (𝑢‘0))
47 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘1) = (𝑢‘1))
48 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘2) = (𝑢‘2))
4946, 47, 483jca 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((𝑢‘0) = (𝑢‘0) ∧ (𝑢‘1) = (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘2) = (𝑢‘2)))
50 eqwrds3 14997 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ ((𝑢‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘2) ∈ 𝐷)) → (𝑢 = ⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)(𝑢‘2)”⟩ ↔ ((♯‘𝑢) = 3 ∧ ((𝑢‘0) = (𝑢‘0) ∧ (𝑢‘1) = (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘2) = (𝑢‘2)))))
5150biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ ((𝑢‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘2) ∈ 𝐷)) ∧ ((♯‘𝑢) = 3 ∧ ((𝑢‘0) = (𝑢‘0) ∧ (𝑢‘1) = (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘2) = (𝑢‘2)))) → 𝑢 = ⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)(𝑢‘2)”⟩)
527, 45, 28, 49, 51syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢 = ⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)(𝑢‘2)”⟩)
5352fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)(𝑢‘2)”⟩))
54 wrddm 14556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑢 = (0..^(♯‘𝑢)))
557, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → dom 𝑢 = (0..^(♯‘𝑢)))
5655, 29eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → dom 𝑢 = (0..^3))
5756, 19eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → dom 𝑢 = {0, 1, 2})
58 f1eq2 6801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝑢 = {0, 1, 2} → (𝑢:dom 𝑢1-1𝐷𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷))
5958biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom 𝑢 = {0, 1, 2} ∧ 𝑢:dom 𝑢1-1𝐷) → 𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷)
6057, 14, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷)
6117, 33, 393pm3.2i 1338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
62 0ne1 12335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≠ 1
63 0ne2 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≠ 2
64 1ne2 12472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ≠ 2
6562, 63, 643pm3.2i 1338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)
66 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {0, 1, 2} = {0, 1, 2}
6766f13dfv 7294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)) → (𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷 ↔ (𝑢:{0, 1, 2}⟶𝐷 ∧ ((𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2) ∧ (𝑢‘1) ≠ (𝑢‘2)))))
6861, 65, 67mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷 ↔ (𝑢:{0, 1, 2}⟶𝐷 ∧ ((𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2) ∧ (𝑢‘1) ≠ (𝑢‘2))))
6968simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷 → ((𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2) ∧ (𝑢‘1) ≠ (𝑢‘2)))
7060, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2) ∧ (𝑢‘1) ≠ (𝑢‘2)))
7170simp1d 1141 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1))
7270simp3d 1143 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘1) ≠ (𝑢‘2))
7370simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2))
7473necomd 2994 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘2) ≠ (𝑢‘0))
75 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (+g‘(SymGrp‘𝐷)) = (+g‘(SymGrp‘𝐷))
763, 15, 2, 32, 38, 44, 71, 72, 74, 75cyc3co2 33143 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)(𝑢‘2)”⟩) = (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)(+g‘(SymGrp‘𝐷))((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)))
773, 2, 32, 44, 73, 15cycpm2cl 33123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)))
783, 2, 32, 38, 71, 15cycpm2cl 33123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)))
79 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(SymGrp‘𝐷)) = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
8015, 79, 75symgov 19416 . . . . . . . . . . . 12 ((((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) ∧ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷))) → (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)(+g‘(SymGrp‘𝐷))((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)) = (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)))
8177, 78, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)(+g‘(SymGrp‘𝐷))((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)) = (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)))
8253, 76, 813eqtrd 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)))
8382fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘𝑢)) = ((pmSgn‘𝐷)‘(((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))))
84 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
8515, 84, 79psgnco 21619 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) ∧ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘(((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))) = (((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) · ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))))
862, 77, 78, 85syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmSgn‘𝐷)‘(((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))) = (((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) · ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))))
87 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
883, 2, 32, 44, 73, 87cycpm2tr 33122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘2)}))
8932, 44prssd 4827 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → {(𝑢‘0), (𝑢‘2)} ⊆ 𝐷)
90 enpr2 10040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘2) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2)) → {(𝑢‘0), (𝑢‘2)} ≈ 2o)
9132, 44, 73, 90syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → {(𝑢‘0), (𝑢‘2)} ≈ 2o)
92 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (pmTrsp‘𝐷) = ran (pmTrsp‘𝐷)
9387, 92pmtrrn 19490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘2)} ⊆ 𝐷 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘2)} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘2)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
942, 89, 91, 93syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘2)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
9588, 94eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
9615, 92, 84psgnpmtr 19543 . . . . . . . . . . . 12 (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) = -1)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) = -1)
983, 2, 32, 38, 71, 87cycpm2tr 33122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘1)}))
9932, 38prssd 4827 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ⊆ 𝐷)
100 enpr2 10040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1)) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ≈ 2o)
10132, 38, 71, 100syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ≈ 2o)
10287, 92pmtrrn 19490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ⊆ 𝐷 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
1032, 99, 101, 102syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
10498, 103eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
10515, 92, 84psgnpmtr 19543 . . . . . . . . . . . 12 (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)) = -1)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)) = -1)
10797, 106oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) · ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))) = (-1 · -1))
108 neg1mulneg1e1 12477 . . . . . . . . . 10 (-1 · -1) = 1
109107, 108eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) · ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))) = 1)
11083, 86, 1093eqtrd 2779 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘𝑢)) = 1)
11115, 79, 84psgnevpmb 21623 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ Fin → (((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘𝑢)) = 1)))
112111biimpar 477 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘𝑢)) = 1)) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (pmEven‘𝐷))
1132, 16, 110, 112syl12anc 837 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (pmEven‘𝐷))
114 cyc3evpm.a . . . . . . 7 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
115113, 114eleqtrrdi 2850 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ 𝐴)
116115ad4ant13 751 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) ∧ ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = 𝑝) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ 𝐴)
1171, 116eqeltrrd 2840 . . . 4 ((((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) ∧ ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = 𝑝) → 𝑝𝐴)
118 nfcv 2903 . . . . 5 𝑢(toCyc‘𝐷)
1193, 15, 79tocycf 33120 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ Fin → (toCyc‘𝐷):{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)))
120119ffnd 6738 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → (toCyc‘𝐷) Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
121120adantr 480 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) → (toCyc‘𝐷) Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
122 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) → 𝑝𝐶)
123 cyc3evpm.t . . . . . 6 𝐶 = ((toCyc‘𝐷) “ (♯ “ {3}))
124122, 123eleqtrdi 2849 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) → 𝑝 ∈ ((toCyc‘𝐷) “ (♯ “ {3})))
125118, 121, 124fvelimad 6976 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) → ∃𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = 𝑝)
126117, 125r19.29a 3160 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) → 𝑝𝐴)
127126ex 412 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝑝𝐶𝑝𝐴))
128127ssrdv 4001 1 (𝐷 ∈ Fin → 𝐶𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478  cun 3961  cin 3962  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  {ctp 4635   class class class wbr 5148  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  cima 5692  ccom 5693   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1wf1 6560  cfv 6563  (class class class)co 7431  2oc2o 8499  cen 8981  Fincfn 8984  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  -cneg 11491  2c2 12319  3c3 12320  0cn0 12524  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549  ⟨“cs2 14877  ⟨“cs3 14878  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  SymGrpcsymg 19401  pmTrspcpmtr 19474  pmSgncpsgn 19522  pmEvencevpm 19523  toCycctocyc 33109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-reverse 14794  df-csh 14824  df-s2 14884  df-s3 14885  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-oppg 19377  df-symg 19402  df-pmtr 19475  df-psgn 19524  df-evpm 19525  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-cnfld 21383  df-tocyc 33110
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  33155
  Copyright terms: Public domain W3C validator