Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc3evpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc3evpm 30707
Description: 3-Cycles are even permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cyc3evpm.t 𝐶 = ((toCyc‘𝐷) “ (♯ “ {3}))
cyc3evpm.a 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
cyc3evpm (𝐷 ∈ Fin → 𝐶𝐴)

Proof of Theorem cyc3evpm
Dummy variables 𝑝 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) ∧ ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = 𝑝) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = 𝑝)
2 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝐷 ∈ Fin)
3 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (toCyc‘𝐷) = (toCyc‘𝐷)
4 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3})))
54elin1d 4178 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
6 elrabi 3678 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢 ∈ Word 𝐷)
8 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑢𝑤 = 𝑢)
9 dmeq 5770 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑢 → dom 𝑤 = dom 𝑢)
10 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑢𝐷 = 𝐷)
118, 9, 10f1eq123d 6604 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑢 → (𝑤:dom 𝑤1-1𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
1211elrab 3683 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ↔ (𝑢 ∈ Word 𝐷𝑢:dom 𝑢1-1𝐷))
1312simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} → 𝑢:dom 𝑢1-1𝐷)
145, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢:dom 𝑢1-1𝐷)
15 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝐷) = (SymGrp‘𝐷)
163, 2, 7, 14, 15cycpmcl 30673 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)))
17 c0ex 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
1817tpid1 4702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ {0, 1, 2}
19 fzo0to3tp 13116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0..^3) = {0, 1, 2}
2018, 19eleqtrri 2916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ (0..^3)
214elin2d 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢 ∈ (♯ “ {3}))
22 hashf 13691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
23 ffn 6510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
24 elpreima 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (♯ Fn V → (𝑢 ∈ (♯ “ {3}) ↔ (𝑢 ∈ V ∧ (♯‘𝑢) ∈ {3})))
2522, 23, 24mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ (♯ “ {3}) ↔ (𝑢 ∈ V ∧ (♯‘𝑢) ∈ {3}))
2625simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ (♯ “ {3}) → (♯‘𝑢) ∈ {3})
27 elsni 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑢) ∈ {3} → (♯‘𝑢) = 3)
2821, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (♯‘𝑢) = 3)
2928oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (0..^(♯‘𝑢)) = (0..^3))
3020, 29eleqtrrid 2924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑢)))
31 wrdsymbcl 13868 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑢))) → (𝑢‘0) ∈ 𝐷)
327, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘0) ∈ 𝐷)
33 1ex 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ V
3433tpid2 4704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ {0, 1, 2}
3534, 19eleqtrri 2916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ (0..^3)
3635, 29eleqtrrid 2924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑢)))
37 wrdsymbcl 13868 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝑢))) → (𝑢‘1) ∈ 𝐷)
387, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘1) ∈ 𝐷)
39 2ex 11706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ V
4039tpid3 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ {0, 1, 2}
4140, 19eleqtrri 2916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ (0..^3)
4241, 29eleqtrrid 2924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 2 ∈ (0..^(♯‘𝑢)))
43 wrdsymbcl 13868 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ 2 ∈ (0..^(♯‘𝑢))) → (𝑢‘2) ∈ 𝐷)
447, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘2) ∈ 𝐷)
4532, 38, 443jca 1122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((𝑢‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘2) ∈ 𝐷))
46 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘0) = (𝑢‘0))
47 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘1) = (𝑢‘1))
48 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘2) = (𝑢‘2))
4946, 47, 483jca 1122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((𝑢‘0) = (𝑢‘0) ∧ (𝑢‘1) = (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘2) = (𝑢‘2)))
50 eqwrds3 14318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ ((𝑢‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘2) ∈ 𝐷)) → (𝑢 = ⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)(𝑢‘2)”⟩ ↔ ((♯‘𝑢) = 3 ∧ ((𝑢‘0) = (𝑢‘0) ∧ (𝑢‘1) = (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘2) = (𝑢‘2)))))
5150biimpar 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ Word 𝐷 ∧ ((𝑢‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘2) ∈ 𝐷)) ∧ ((♯‘𝑢) = 3 ∧ ((𝑢‘0) = (𝑢‘0) ∧ (𝑢‘1) = (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘2) = (𝑢‘2)))) → 𝑢 = ⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)(𝑢‘2)”⟩)
527, 45, 28, 49, 51syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢 = ⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)(𝑢‘2)”⟩)
5352fveq2d 6670 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)(𝑢‘2)”⟩))
54 wrddm 13861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ Word 𝐷 → dom 𝑢 = (0..^(♯‘𝑢)))
557, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → dom 𝑢 = (0..^(♯‘𝑢)))
5655, 29eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → dom 𝑢 = (0..^3))
5756, 19syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → dom 𝑢 = {0, 1, 2})
58 f1eq2 6567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝑢 = {0, 1, 2} → (𝑢:dom 𝑢1-1𝐷𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷))
5958biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom 𝑢 = {0, 1, 2} ∧ 𝑢:dom 𝑢1-1𝐷) → 𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷)
6057, 14, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → 𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷)
6117, 33, 393pm3.2i 1333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
62 0ne1 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≠ 1
63 0ne2 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≠ 2
64 1ne2 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ≠ 2
6562, 63, 643pm3.2i 1333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)
66 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {0, 1, 2} = {0, 1, 2}
6766f13dfv 7028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)) → (𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷 ↔ (𝑢:{0, 1, 2}⟶𝐷 ∧ ((𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2) ∧ (𝑢‘1) ≠ (𝑢‘2)))))
6861, 65, 67mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷 ↔ (𝑢:{0, 1, 2}⟶𝐷 ∧ ((𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2) ∧ (𝑢‘1) ≠ (𝑢‘2))))
6968simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢:{0, 1, 2}–1-1𝐷 → ((𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2) ∧ (𝑢‘1) ≠ (𝑢‘2)))
7060, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1) ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2) ∧ (𝑢‘1) ≠ (𝑢‘2)))
7170simp1d 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1))
7270simp3d 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘1) ≠ (𝑢‘2))
7370simp2d 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2))
7473necomd 3075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (𝑢‘2) ≠ (𝑢‘0))
75 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (+g‘(SymGrp‘𝐷)) = (+g‘(SymGrp‘𝐷))
763, 15, 2, 32, 38, 44, 71, 72, 74, 75cyc3co2 30697 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)(𝑢‘2)”⟩) = (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)(+g‘(SymGrp‘𝐷))((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)))
773, 2, 32, 44, 73, 15cycpm2cl 30677 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)))
783, 2, 32, 38, 71, 15cycpm2cl 30677 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)))
79 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(SymGrp‘𝐷)) = (Base‘(SymGrp‘𝐷))
8015, 79, 75symgov 18440 . . . . . . . . . . . 12 ((((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) ∧ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷))) → (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)(+g‘(SymGrp‘𝐷))((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)) = (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)))
8177, 78, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)(+g‘(SymGrp‘𝐷))((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)) = (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)))
8253, 76, 813eqtrd 2864 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)))
8382fveq2d 6670 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘𝑢)) = ((pmSgn‘𝐷)‘(((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))))
84 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (pmSgn‘𝐷) = (pmSgn‘𝐷)
8515, 84, 79psgnco 20643 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) ∧ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷))) → ((pmSgn‘𝐷)‘(((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))) = (((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) · ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))))
862, 77, 78, 85syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmSgn‘𝐷)‘(((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∘ ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))) = (((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) · ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))))
87 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (pmTrsp‘𝐷) = (pmTrsp‘𝐷)
883, 2, 32, 44, 73, 87cycpm2tr 30676 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘2)}))
8932, 44prssd 4753 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → {(𝑢‘0), (𝑢‘2)} ⊆ 𝐷)
90 pr2nelem 9422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘2) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘2)) → {(𝑢‘0), (𝑢‘2)} ≈ 2o)
9132, 44, 73, 90syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → {(𝑢‘0), (𝑢‘2)} ≈ 2o)
92 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (pmTrsp‘𝐷) = ran (pmTrsp‘𝐷)
9387, 92pmtrrn 18507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘2)} ⊆ 𝐷 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘2)} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘2)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
942, 89, 91, 93syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘2)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
9588, 94eqeltrd 2917 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
9615, 92, 84psgnpmtr 18560 . . . . . . . . . . . 12 (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) = -1)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) = -1)
983, 2, 32, 38, 71, 87cycpm2tr 30676 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) = ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘1)}))
9932, 38prssd 4753 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ⊆ 𝐷)
100 pr2nelem 9422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢‘0) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘1) ∈ 𝐷 ∧ (𝑢‘0) ≠ (𝑢‘1)) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ≈ 2o)
10132, 38, 71, 100syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ≈ 2o)
10287, 92pmtrrn 18507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ⊆ 𝐷 ∧ {(𝑢‘0), (𝑢‘1)} ≈ 2o) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
1032, 99, 101, 102syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmTrsp‘𝐷)‘{(𝑢‘0), (𝑢‘1)}) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
10498, 103eqeltrd 2917 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷))
10515, 92, 84psgnpmtr 18560 . . . . . . . . . . . 12 (((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩) ∈ ran (pmTrsp‘𝐷) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)) = -1)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩)) = -1)
10797, 106oveq12d 7169 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) · ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))) = (-1 · -1))
108 neg1mulneg1e1 11842 . . . . . . . . . 10 (-1 · -1) = 1
109107, 108syl6eq 2876 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → (((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘2)”⟩)) · ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘⟨“(𝑢‘0)(𝑢‘1)”⟩))) = 1)
11083, 86, 1093eqtrd 2864 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘𝑢)) = 1)
11115, 79, 84psgnevpmb 20647 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ Fin → (((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘𝑢)) = 1)))
112111biimpar 478 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝐷)) ∧ ((pmSgn‘𝐷)‘((toCyc‘𝐷)‘𝑢)) = 1)) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (pmEven‘𝐷))
1132, 16, 110, 112syl12anc 834 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ (pmEven‘𝐷))
114 cyc3evpm.a . . . . . . 7 𝐴 = (pmEven‘𝐷)
115113, 114syl6eleqr 2928 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ 𝐴)
116115ad4ant13 747 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) ∧ ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = 𝑝) → ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) ∈ 𝐴)
1171, 116eqeltrrd 2918 . . . 4 ((((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) ∧ 𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))) ∧ ((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = 𝑝) → 𝑝𝐴)
118 nfcv 2981 . . . . 5 𝑢(toCyc‘𝐷)
1193, 15, 79tocycf 30674 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ Fin → (toCyc‘𝐷):{𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷}⟶(Base‘(SymGrp‘𝐷)))
120119ffnd 6511 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → (toCyc‘𝐷) Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
121120adantr 481 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) → (toCyc‘𝐷) Fn {𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷})
122 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) → 𝑝𝐶)
123 cyc3evpm.t . . . . . 6 𝐶 = ((toCyc‘𝐷) “ (♯ “ {3}))
124122, 123syl6eleq 2927 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) → 𝑝 ∈ ((toCyc‘𝐷) “ (♯ “ {3})))
125118, 121, 124fvelimad 6728 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) → ∃𝑢 ∈ ({𝑤 ∈ Word 𝐷𝑤:dom 𝑤1-1𝐷} ∩ (♯ “ {3}))((toCyc‘𝐷)‘𝑢) = 𝑝)
126117, 125r19.29a 3293 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐶) → 𝑝𝐴)
127126ex 413 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝑝𝐶𝑝𝐴))
128127ssrdv 3976 1 (𝐷 ∈ Fin → 𝐶𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  {crab 3146  Vcvv 3499  cun 3937  cin 3938  wss 3939  {csn 4563  {cpr 4565  {ctp 4567   class class class wbr 5062  ccnv 5552  dom cdm 5553  ran crn 5554  cima 5556  ccom 5557   Fn wfn 6346  wf 6347  1-1wf1 6348  cfv 6351  (class class class)co 7151  2oc2o 8090  cen 8498  Fincfn 8501  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534  +∞cpnf 10664  -cneg 10863  2c2 11684  3c3 11685  0cn0 11889  ..^cfzo 13026  chash 13683  Word cword 13854  ⟨“cs2 14196  ⟨“cs3 14197  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  SymGrpcsymg 18427  pmTrspcpmtr 18491  pmSgncpsgn 18539  pmEvencevpm 18540  toCycctocyc 30663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-xor 1498  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-ot 4572  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-word 13855  df-lsw 13908  df-concat 13916  df-s1 13943  df-substr 13996  df-pfx 14026  df-splice 14105  df-reverse 14114  df-csh 14144  df-s2 14203  df-s3 14204  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-subg 18208  df-ghm 18288  df-gim 18331  df-oppg 18406  df-symg 18428  df-pmtr 18492  df-psgn 18541  df-evpm 18542  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-cring 19222  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-unit 19314  df-invr 19344  df-dvr 19355  df-drng 19426  df-cnfld 20462  df-tocyc 30664
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  30709
  Copyright terms: Public domain W3C validator