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Theorem cyc3evpm 32296
Description: 3-Cycles are even permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cyc3evpm.t 𝐢 = ((toCycβ€˜π·) β€œ (β—‘β™― β€œ {3}))
cyc3evpm.a 𝐴 = (pmEvenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cyc3evpm (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
Proof of Theorem cyc3evpm
Dummy variables 𝑝 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) ∧ ((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’) = 𝑝) β†’ ((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’) = 𝑝)
2 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
3 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (toCycβ€˜π·) = (toCycβ€˜π·)
4 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3})))
54elin1d 4197 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ 𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
6 elrabi 3676 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} β†’ 𝑒 ∈ Word 𝐷)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ 𝑒 ∈ Word 𝐷)
8 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑒 β†’ 𝑀 = 𝑒)
9 dmeq 5901 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑒 β†’ dom 𝑀 = dom 𝑒)
10 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑒 β†’ 𝐷 = 𝐷)
118, 9, 10f1eq123d 6822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑒 β†’ (𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷 ↔ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷))
1211elrab 3682 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ↔ (𝑒 ∈ Word 𝐷 ∧ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷))
1312simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} β†’ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷)
145, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷)
15 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (SymGrpβ€˜π·) = (SymGrpβ€˜π·)
163, 2, 7, 14, 15cycpmcl 32262 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)))
17 c0ex 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
1817tpid1 4771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ {0, 1, 2}
19 fzo0to3tp 13714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0..^3) = {0, 1, 2}
2018, 19eleqtrri 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ (0..^3)
214elin2d 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ 𝑒 ∈ (β—‘β™― β€œ {3}))
22 hashf 14294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞})
23 ffn 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ β™― Fn V)
24 elpreima 7056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β™― Fn V β†’ (𝑒 ∈ (β—‘β™― β€œ {3}) ↔ (𝑒 ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘’) ∈ {3})))
2522, 23, 24mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 ∈ (β—‘β™― β€œ {3}) ↔ (𝑒 ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘’) ∈ {3}))
2625simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 ∈ (β—‘β™― β€œ {3}) β†’ (β™―β€˜π‘’) ∈ {3})
27 elsni 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β™―β€˜π‘’) ∈ {3} β†’ (β™―β€˜π‘’) = 3)
2821, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ (β™―β€˜π‘’) = 3)
2928oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘’)) = (0..^3))
3020, 29eleqtrrid 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)))
31 wrdsymbcl 14473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ Word 𝐷 ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) β†’ (π‘’β€˜0) ∈ 𝐷)
327, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ (π‘’β€˜0) ∈ 𝐷)
33 1ex 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ V
3433tpid2 4773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ {0, 1, 2}
3534, 19eleqtrri 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ (0..^3)
3635, 29eleqtrrid 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ 1 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)))
37 wrdsymbcl 14473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ Word 𝐷 ∧ 1 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) β†’ (π‘’β€˜1) ∈ 𝐷)
387, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ (π‘’β€˜1) ∈ 𝐷)
39 2ex 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ V
4039tpid3 4776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ {0, 1, 2}
4140, 19eleqtrri 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ (0..^3)
4241, 29eleqtrrid 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ 2 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’)))
43 wrdsymbcl 14473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ Word 𝐷 ∧ 2 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘’))) β†’ (π‘’β€˜2) ∈ 𝐷)
447, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ (π‘’β€˜2) ∈ 𝐷)
4532, 38, 443jca 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((π‘’β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ (π‘’β€˜1) ∈ 𝐷 ∧ (π‘’β€˜2) ∈ 𝐷))
46 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ (π‘’β€˜0) = (π‘’β€˜0))
47 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ (π‘’β€˜1) = (π‘’β€˜1))
48 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ (π‘’β€˜2) = (π‘’β€˜2))
4946, 47, 483jca 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((π‘’β€˜0) = (π‘’β€˜0) ∧ (π‘’β€˜1) = (π‘’β€˜1) ∧ (π‘’β€˜2) = (π‘’β€˜2)))
50 eqwrds3 14908 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ Word 𝐷 ∧ ((π‘’β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ (π‘’β€˜1) ∈ 𝐷 ∧ (π‘’β€˜2) ∈ 𝐷)) β†’ (𝑒 = βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)(π‘’β€˜2)β€βŸ© ↔ ((β™―β€˜π‘’) = 3 ∧ ((π‘’β€˜0) = (π‘’β€˜0) ∧ (π‘’β€˜1) = (π‘’β€˜1) ∧ (π‘’β€˜2) = (π‘’β€˜2)))))
5150biimpar 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒 ∈ Word 𝐷 ∧ ((π‘’β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ (π‘’β€˜1) ∈ 𝐷 ∧ (π‘’β€˜2) ∈ 𝐷)) ∧ ((β™―β€˜π‘’) = 3 ∧ ((π‘’β€˜0) = (π‘’β€˜0) ∧ (π‘’β€˜1) = (π‘’β€˜1) ∧ (π‘’β€˜2) = (π‘’β€˜2)))) β†’ 𝑒 = βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)(π‘’β€˜2)β€βŸ©)
527, 45, 28, 49, 51syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ 𝑒 = βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)(π‘’β€˜2)β€βŸ©)
5352fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’) = ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)(π‘’β€˜2)β€βŸ©))
54 wrddm 14467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 ∈ Word 𝐷 β†’ dom 𝑒 = (0..^(β™―β€˜π‘’)))
557, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ dom 𝑒 = (0..^(β™―β€˜π‘’)))
5655, 29eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ dom 𝑒 = (0..^3))
5756, 19eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ dom 𝑒 = {0, 1, 2})
58 f1eq2 6780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝑒 = {0, 1, 2} β†’ (𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷 ↔ 𝑒:{0, 1, 2}–1-1→𝐷))
5958biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom 𝑒 = {0, 1, 2} ∧ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷) β†’ 𝑒:{0, 1, 2}–1-1→𝐷)
6057, 14, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ 𝑒:{0, 1, 2}–1-1→𝐷)
6117, 33, 393pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
62 0ne1 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 β‰  1
63 0ne2 12415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 β‰  2
64 1ne2 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 β‰  2
6562, 63, 643pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 β‰  1 ∧ 0 β‰  2 ∧ 1 β‰  2)
66 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {0, 1, 2} = {0, 1, 2}
6766f13dfv 7268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 β‰  1 ∧ 0 β‰  2 ∧ 1 β‰  2)) β†’ (𝑒:{0, 1, 2}–1-1→𝐷 ↔ (𝑒:{0, 1, 2}⟢𝐷 ∧ ((π‘’β€˜0) β‰  (π‘’β€˜1) ∧ (π‘’β€˜0) β‰  (π‘’β€˜2) ∧ (π‘’β€˜1) β‰  (π‘’β€˜2)))))
6861, 65, 67mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒:{0, 1, 2}–1-1→𝐷 ↔ (𝑒:{0, 1, 2}⟢𝐷 ∧ ((π‘’β€˜0) β‰  (π‘’β€˜1) ∧ (π‘’β€˜0) β‰  (π‘’β€˜2) ∧ (π‘’β€˜1) β‰  (π‘’β€˜2))))
6968simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒:{0, 1, 2}–1-1→𝐷 β†’ ((π‘’β€˜0) β‰  (π‘’β€˜1) ∧ (π‘’β€˜0) β‰  (π‘’β€˜2) ∧ (π‘’β€˜1) β‰  (π‘’β€˜2)))
7060, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((π‘’β€˜0) β‰  (π‘’β€˜1) ∧ (π‘’β€˜0) β‰  (π‘’β€˜2) ∧ (π‘’β€˜1) β‰  (π‘’β€˜2)))
7170simp1d 1142 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ (π‘’β€˜0) β‰  (π‘’β€˜1))
7270simp3d 1144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ (π‘’β€˜1) β‰  (π‘’β€˜2))
7370simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ (π‘’β€˜0) β‰  (π‘’β€˜2))
7473necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ (π‘’β€˜2) β‰  (π‘’β€˜0))
75 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜(SymGrpβ€˜π·)) = (+gβ€˜(SymGrpβ€˜π·))
763, 15, 2, 32, 38, 44, 71, 72, 74, 75cyc3co2 32286 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)(π‘’β€˜2)β€βŸ©) = (((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©)(+gβ€˜(SymGrpβ€˜π·))((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©)))
773, 2, 32, 44, 73, 15cycpm2cl 32266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)))
783, 2, 32, 38, 71, 15cycpm2cl 32266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)))
79 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·))
8015, 79, 75symgov 19245 . . . . . . . . . . . 12 ((((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)) ∧ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·))) β†’ (((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©)(+gβ€˜(SymGrpβ€˜π·))((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©)) = (((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©) ∘ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©)))
8177, 78, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ (((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©)(+gβ€˜(SymGrpβ€˜π·))((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©)) = (((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©) ∘ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©)))
8253, 76, 813eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’) = (((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©) ∘ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©)))
8382fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’)) = ((pmSgnβ€˜π·)β€˜(((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©) ∘ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©))))
84 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (pmSgnβ€˜π·) = (pmSgnβ€˜π·)
8515, 84, 79psgnco 21127 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)) ∧ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·))) β†’ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜(((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©) ∘ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©))) = (((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©)) Β· ((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©))))
862, 77, 78, 85syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜(((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©) ∘ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©))) = (((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©)) Β· ((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©))))
87 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (pmTrspβ€˜π·) = (pmTrspβ€˜π·)
883, 2, 32, 44, 73, 87cycpm2tr 32265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜2)}))
8932, 44prssd 4824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ {(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜2)} βŠ† 𝐷)
90 enpr2 9993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘’β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ (π‘’β€˜2) ∈ 𝐷 ∧ (π‘’β€˜0) β‰  (π‘’β€˜2)) β†’ {(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜2)} β‰ˆ 2o)
9132, 44, 73, 90syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ {(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜2)} β‰ˆ 2o)
92 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (pmTrspβ€˜π·) = ran (pmTrspβ€˜π·)
9387, 92pmtrrn 19319 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ {(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜2)} βŠ† 𝐷 ∧ {(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜2)} β‰ˆ 2o) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜2)}) ∈ ran (pmTrspβ€˜π·))
942, 89, 91, 93syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜2)}) ∈ ran (pmTrspβ€˜π·))
9588, 94eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©) ∈ ran (pmTrspβ€˜π·))
9615, 92, 84psgnpmtr 19372 . . . . . . . . . . . 12 (((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©) ∈ ran (pmTrspβ€˜π·) β†’ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©)) = -1)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©)) = -1)
983, 2, 32, 38, 71, 87cycpm2tr 32265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©) = ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜1)}))
9932, 38prssd 4824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ {(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜1)} βŠ† 𝐷)
100 enpr2 9993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘’β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ (π‘’β€˜1) ∈ 𝐷 ∧ (π‘’β€˜0) β‰  (π‘’β€˜1)) β†’ {(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜1)} β‰ˆ 2o)
10132, 38, 71, 100syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ {(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜1)} β‰ˆ 2o)
10287, 92pmtrrn 19319 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ Fin ∧ {(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜1)} βŠ† 𝐷 ∧ {(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜1)} β‰ˆ 2o) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜1)}) ∈ ran (pmTrspβ€˜π·))
1032, 99, 101, 102syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((pmTrspβ€˜π·)β€˜{(π‘’β€˜0), (π‘’β€˜1)}) ∈ ran (pmTrspβ€˜π·))
10498, 103eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©) ∈ ran (pmTrspβ€˜π·))
10515, 92, 84psgnpmtr 19372 . . . . . . . . . . . 12 (((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©) ∈ ran (pmTrspβ€˜π·) β†’ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©)) = -1)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©)) = -1)
10797, 106oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ (((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©)) Β· ((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©))) = (-1 Β· -1))
108 neg1mulneg1e1 12421 . . . . . . . . . 10 (-1 Β· -1) = 1
109107, 108eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ (((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜2)β€βŸ©)) Β· ((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜βŸ¨β€œ(π‘’β€˜0)(π‘’β€˜1)β€βŸ©))) = 1)
11083, 86, 1093eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’)) = 1)
11115, 79, 84psgnevpmb 21131 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ Fin β†’ (((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’) ∈ (pmEvenβ€˜π·) ↔ (((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)) ∧ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’)) = 1)))
112111biimpar 478 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)) ∧ ((pmSgnβ€˜π·)β€˜((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’)) = 1)) β†’ ((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’) ∈ (pmEvenβ€˜π·))
1132, 16, 110, 112syl12anc 835 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’) ∈ (pmEvenβ€˜π·))
114 cyc3evpm.a . . . . . . 7 𝐴 = (pmEvenβ€˜π·)
115113, 114eleqtrrdi 2844 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) β†’ ((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’) ∈ 𝐴)
116115ad4ant13 749 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) ∧ ((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’) = 𝑝) β†’ ((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’) ∈ 𝐴)
1171, 116eqeltrrd 2834 . . . 4 ((((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) ∧ 𝑒 ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))) ∧ ((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’) = 𝑝) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
118 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑒(toCycβ€˜π·)
1193, 15, 79tocycf 32263 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ Fin β†’ (toCycβ€˜π·):{𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷}⟢(Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π·)))
120119ffnd 6715 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin β†’ (toCycβ€˜π·) Fn {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
121120adantr 481 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) β†’ (toCycβ€˜π·) Fn {𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷})
122 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) β†’ 𝑝 ∈ 𝐢)
123 cyc3evpm.t . . . . . 6 𝐢 = ((toCycβ€˜π·) β€œ (β—‘β™― β€œ {3}))
124122, 123eleqtrdi 2843 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) β†’ 𝑝 ∈ ((toCycβ€˜π·) β€œ (β—‘β™― β€œ {3})))
125118, 121, 124fvelimad 6956 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ({𝑀 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑀:dom 𝑀–1-1→𝐷} ∩ (β—‘β™― β€œ {3}))((toCycβ€˜π·)β€˜π‘’) = 𝑝)
126117, 125r19.29a 3162 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝐢) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
127126ex 413 . 2 (𝐷 ∈ Fin β†’ (𝑝 ∈ 𝐢 β†’ 𝑝 ∈ 𝐴))
128127ssrdv 3987 1 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629  {ctp 4631   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€“1-1β†’wf1 6537  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  2oc2o 8456   β‰ˆ cen 8932  Fincfn 8935  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241  -cneg 11441  2c2 12263  3c3 12264  β„•0cn0 12468  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460  βŸ¨β€œcs2 14788  βŸ¨β€œcs3 14789  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  SymGrpcsymg 19228  pmTrspcpmtr 19303  pmSgncpsgn 19351  pmEvencevpm 19352  toCycctocyc 32252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-reverse 14705  df-csh 14735  df-s2 14795  df-s3 14796  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-efmnd 18746  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-oppg 19204  df-symg 19229  df-pmtr 19304  df-psgn 19353  df-evpm 19354  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-cnfld 20937  df-tocyc 32253
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  32298
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