Theorem hmphindis 23521

Description: Homeomorphisms preserve topological indiscreteness. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hmphdis.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
hmphindis	⊢ (𝐽 ≃ {∅, 𝐴} → 𝐽 = {∅, 𝑋})

Proof of Theorem hmphindis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4640	. . 3 ⊢ {∅} = {∅, ∅}
2		indislem 22723	. . . . . . 7 ⊢ {∅, ( I ‘𝐴)} = {∅, 𝐴}
3		preq2 4737	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ‘𝐴) = ∅ → {∅, ( I ‘𝐴)} = {∅, ∅})
4	3, 1	eqtr4di 2788	. . . . . . 7 ⊢ (( I ‘𝐴) = ∅ → {∅, ( I ‘𝐴)} = {∅})
5	2, 4	eqtr3id 2784	. . . . . 6 ⊢ (( I ‘𝐴) = ∅ → {∅, 𝐴} = {∅})
6	5	breq2d 5159	. . . . 5 ⊢ (( I ‘𝐴) = ∅ → (𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ↔ 𝐽 ≃ {∅}))
7	6	biimpac 477	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) = ∅) → 𝐽 ≃ {∅})
8		hmph0 23519	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})
9	7, 8	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) = ∅) → 𝐽 = {∅})
10	9	unieqd 4921	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) = ∅) → ∪ 𝐽 = ∪ {∅})
11		hmphdis.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
12		0ex 5306	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
13	12	unisn 4929	. . . . . 6 ⊢ ∪ {∅} = ∅
14	13	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ ∅ = ∪ {∅}
15	10, 11, 14	3eqtr4g 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) = ∅) → 𝑋 = ∅)
16	15	preq2d 4743	. . 3 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) = ∅) → {∅, 𝑋} = {∅, ∅})
17	1, 9, 16	3eqtr4a 2796	. 2 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) = ∅) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
18		hmphen 23509	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ≃ {∅, 𝐴} → 𝐽 ≈ {∅, 𝐴})
19		necom 2992	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ‘𝐴) ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ ( I ‘𝐴))
20		fvex 6903	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘𝐴) ∈ V
21		enpr2 9999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ( I ‘𝐴) ∈ V ∧ ∅ ≠ ( I ‘𝐴)) → {∅, ( I ‘𝐴)} ≈ 2o)
22	12, 20, 21	mp3an12 1449	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≠ ( I ‘𝐴) → {∅, ( I ‘𝐴)} ≈ 2o)
23	19, 22	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (( I ‘𝐴) ≠ ∅ → {∅, ( I ‘𝐴)} ≈ 2o)
24	23	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → {∅, ( I ‘𝐴)} ≈ 2o)
25	2, 24	eqbrtrrid 5183	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → {∅, 𝐴} ≈ 2o)
26		entr 9004	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ≈ {∅, 𝐴} ∧ {∅, 𝐴} ≈ 2o) → 𝐽 ≈ 2o)
27	18, 25, 26	syl2an2r 681	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → 𝐽 ≈ 2o)
28		hmphtop1 23503	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ≃ {∅, 𝐴} → 𝐽 ∈ Top)
29	28	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → 𝐽 ∈ Top)
30	11	toptopon 22639	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
31	29, 30	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
32		en2top 22708	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))
33	31, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))
34	27, 33	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅))
35	34	simpld 493	. 2 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
36	17, 35	pm2.61dane 3027	1 ⊢ (𝐽 ≃ {∅, 𝐴} → 𝐽 = {∅, 𝑋})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  Vcvv 3472  ∅c0 4321  {csn 4627  {cpr 4629  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5147   I cid 5572  ‘cfv 6542  2_oc2o 8462   ≈ cen 8938  Topctop 22615  TopOnctopon 22632   ≃ chmph 23478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-top 22616  df-topon 22633  df-cn 22951  df-hmeo 23479  df-hmph 23480

This theorem is referenced by: (None)