Theorem hmphindis 23991

Description: Homeomorphisms preserve topological indiscreteness. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hmphdis.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
hmphindis	⊢ (𝐽 ≃ {∅, 𝐴} → 𝐽 = {∅, 𝑋})

Proof of Theorem hmphindis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4607	. . 3 ⊢ {∅} = {∅, ∅}
2		indislem 23194	. . . . . . 7 ⊢ {∅, ( I ‘𝐴)} = {∅, 𝐴}
3		preq2 4705	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ‘𝐴) = ∅ → {∅, ( I ‘𝐴)} = {∅, ∅})
4	3, 1	eqtr4di 2819	. . . . . . 7 ⊢ (( I ‘𝐴) = ∅ → {∅, ( I ‘𝐴)} = {∅})
5	2, 4	eqtr3id 2815	. . . . . 6 ⊢ (( I ‘𝐴) = ∅ → {∅, 𝐴} = {∅})
6	5	breq2d 5126	. . . . 5 ⊢ (( I ‘𝐴) = ∅ → (𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ↔ 𝐽 ≃ {∅}))
7	6	biimpac 484	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) = ∅) → 𝐽 ≃ {∅})
8		hmph0 23989	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≃ {∅} ↔ 𝐽 = {∅})
9	7, 8	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) = ∅) → 𝐽 = {∅})
10	9	unieqd 4890	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) = ∅) → ∪ 𝐽 = ∪ {∅})
11		hmphdis.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
12		0ex 5275	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
13	12	unisn 4896	. . . . . 6 ⊢ ∪ {∅} = ∅
14	13	eqcomi 2775	. . . . 5 ⊢ ∅ = ∪ {∅}
15	10, 11, 14	3eqtr4g 2826	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) = ∅) → 𝑋 = ∅)
16	15	preq2d 4711	. . 3 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) = ∅) → {∅, 𝑋} = {∅, ∅})
17	1, 9, 16	3eqtr4a 2827	. 2 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) = ∅) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
18		hmphen 23979	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ≃ {∅, 𝐴} → 𝐽 ≈ {∅, 𝐴})
19		necom 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ‘𝐴) ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ ( I ‘𝐴))
20		fvex 6901	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘𝐴) ∈ V
21		enpr2 10007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ( I ‘𝐴) ∈ V ∧ ∅ ≠ ( I ‘𝐴)) → {∅, ( I ‘𝐴)} ≈ 2o)
22	12, 20, 21	mp3an12 1480	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≠ ( I ‘𝐴) → {∅, ( I ‘𝐴)} ≈ 2o)
23	19, 22	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (( I ‘𝐴) ≠ ∅ → {∅, ( I ‘𝐴)} ≈ 2o)
24	23	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → {∅, ( I ‘𝐴)} ≈ 2o)
25	2, 24	eqbrtrrid 5152	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → {∅, 𝐴} ≈ 2o)
26		entr 9012	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ≈ {∅, 𝐴} ∧ {∅, 𝐴} ≈ 2o) → 𝐽 ≈ 2o)
27	18, 25, 26	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → 𝐽 ≈ 2o)
28		hmphtop1 23973	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ≃ {∅, 𝐴} → 𝐽 ∈ Top)
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → 𝐽 ∈ Top)
30	11	toptopon 23111	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
31	29, 30	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
32		en2top 23179	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))
33	31, 32	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))
34	27, 33	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅))
35	34	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝐽 ≃ {∅, 𝐴} ∧ ( I ‘𝐴) ≠ ∅) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
36	17, 35	pm2.61dane 3048	1 ⊢ (𝐽 ≃ {∅, 𝐴} → 𝐽 = {∅, 𝑋})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458  ∅c0 4289  {csn 4594  {cpr 4596  ∪ cuni 4877   class class class wbr 5114   I cid 5560  ‘cfv 6543  2_oc2o 8456   ≈ cen 8949  Topctop 23087  TopOnctopon 23104   ≃ chmph 23948

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-top 23088  df-topon 23105  df-cn 23421  df-hmeo 23949  df-hmph 23950

This theorem is used by: (None)