MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmphindis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmphindis 23301
Description: Homeomorphisms preserve topological indiscreteness. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmphdis.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
hmphindis (𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋})

Proof of Theorem hmphindis
StepHypRef Expression
1 dfsn2 4642 . . 3 {βˆ…} = {βˆ…, βˆ…}
2 indislem 22503 . . . . . . 7 {βˆ…, ( I β€˜π΄)} = {βˆ…, 𝐴}
3 preq2 4739 . . . . . . . 8 (( I β€˜π΄) = βˆ… β†’ {βˆ…, ( I β€˜π΄)} = {βˆ…, βˆ…})
43, 1eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (( I β€˜π΄) = βˆ… β†’ {βˆ…, ( I β€˜π΄)} = {βˆ…})
52, 4eqtr3id 2787 . . . . . 6 (( I β€˜π΄) = βˆ… β†’ {βˆ…, 𝐴} = {βˆ…})
65breq2d 5161 . . . . 5 (( I β€˜π΄) = βˆ… β†’ (𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} ↔ 𝐽 ≃ {βˆ…}))
76biimpac 480 . . . 4 ((𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} ∧ ( I β€˜π΄) = βˆ…) β†’ 𝐽 ≃ {βˆ…})
8 hmph0 23299 . . . 4 (𝐽 ≃ {βˆ…} ↔ 𝐽 = {βˆ…})
97, 8sylib 217 . . 3 ((𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} ∧ ( I β€˜π΄) = βˆ…) β†’ 𝐽 = {βˆ…})
109unieqd 4923 . . . . 5 ((𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} ∧ ( I β€˜π΄) = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ {βˆ…})
11 hmphdis.1 . . . . 5 𝑋 = βˆͺ 𝐽
12 0ex 5308 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
1312unisn 4931 . . . . . 6 βˆͺ {βˆ…} = βˆ…
1413eqcomi 2742 . . . . 5 βˆ… = βˆͺ {βˆ…}
1510, 11, 143eqtr4g 2798 . . . 4 ((𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} ∧ ( I β€˜π΄) = βˆ…) β†’ 𝑋 = βˆ…)
1615preq2d 4745 . . 3 ((𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} ∧ ( I β€˜π΄) = βˆ…) β†’ {βˆ…, 𝑋} = {βˆ…, βˆ…})
171, 9, 163eqtr4a 2799 . 2 ((𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} ∧ ( I β€˜π΄) = βˆ…) β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋})
18 hmphen 23289 . . . . 5 (𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} β†’ 𝐽 β‰ˆ {βˆ…, 𝐴})
19 necom 2995 . . . . . . . 8 (( I β€˜π΄) β‰  βˆ… ↔ βˆ… β‰  ( I β€˜π΄))
20 fvex 6905 . . . . . . . . 9 ( I β€˜π΄) ∈ V
21 enpr2 9997 . . . . . . . . 9 ((βˆ… ∈ V ∧ ( I β€˜π΄) ∈ V ∧ βˆ… β‰  ( I β€˜π΄)) β†’ {βˆ…, ( I β€˜π΄)} β‰ˆ 2o)
2212, 20, 21mp3an12 1452 . . . . . . . 8 (βˆ… β‰  ( I β€˜π΄) β†’ {βˆ…, ( I β€˜π΄)} β‰ˆ 2o)
2319, 22sylbi 216 . . . . . . 7 (( I β€˜π΄) β‰  βˆ… β†’ {βˆ…, ( I β€˜π΄)} β‰ˆ 2o)
2423adantl 483 . . . . . 6 ((𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} ∧ ( I β€˜π΄) β‰  βˆ…) β†’ {βˆ…, ( I β€˜π΄)} β‰ˆ 2o)
252, 24eqbrtrrid 5185 . . . . 5 ((𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} ∧ ( I β€˜π΄) β‰  βˆ…) β†’ {βˆ…, 𝐴} β‰ˆ 2o)
26 entr 9002 . . . . 5 ((𝐽 β‰ˆ {βˆ…, 𝐴} ∧ {βˆ…, 𝐴} β‰ˆ 2o) β†’ 𝐽 β‰ˆ 2o)
2718, 25, 26syl2an2r 684 . . . 4 ((𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} ∧ ( I β€˜π΄) β‰  βˆ…) β†’ 𝐽 β‰ˆ 2o)
28 hmphtop1 23283 . . . . . . 7 (𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} β†’ 𝐽 ∈ Top)
2928adantr 482 . . . . . 6 ((𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} ∧ ( I β€˜π΄) β‰  βˆ…) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3011toptopon 22419 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3129, 30sylib 217 . . . . 5 ((𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} ∧ ( I β€˜π΄) β‰  βˆ…) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
32 en2top 22488 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 β‰ˆ 2o ↔ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)))
3331, 32syl 17 . . . 4 ((𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} ∧ ( I β€˜π΄) β‰  βˆ…) β†’ (𝐽 β‰ˆ 2o ↔ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)))
3427, 33mpbid 231 . . 3 ((𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} ∧ ( I β€˜π΄) β‰  βˆ…) β†’ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…))
3534simpld 496 . 2 ((𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} ∧ ( I β€˜π΄) β‰  βˆ…) β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋})
3617, 35pm2.61dane 3030 1 (𝐽 ≃ {βˆ…, 𝐴} β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   I cid 5574  β€˜cfv 6544  2oc2o 8460   β‰ˆ cen 8936  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   ≃ chmph 23258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-top 22396  df-topon 22413  df-cn 22731  df-hmeo 23259  df-hmph 23260
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator