MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrprfv3 19322
Description: In a transposition of two given points, all other points are mapped to themselves. (Contributed by AV, 17-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfv3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = 𝑍)

Proof of Theorem pmtrprfv3
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐷𝑉)
2 simp1 1137 . . . . 5 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑋𝐷)
323ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑋𝐷)
4 simp22 1208 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑌𝐷)
53, 4prssd 4826 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
6 enpr2 9997 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
763expia 1122 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → (𝑋𝑌 → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
873adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → (𝑋𝑌 → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
98com12 32 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
1093ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
1110impcom 409 . . . 4 (((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
12113adant1 1131 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
13 simp23 1209 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝐷)
14 pmtrfval.t . . . 4 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
1514pmtrfv 19320 . . 3 (((𝐷𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o) ∧ 𝑍𝐷) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = if(𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑍}), 𝑍))
161, 5, 12, 13, 15syl31anc 1374 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = if(𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑍}), 𝑍))
17 necom 2995 . . . . . . 7 (𝑋𝑍𝑍𝑋)
1817biimpi 215 . . . . . 6 (𝑋𝑍𝑍𝑋)
19183ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑍𝑋)
20193ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝑋)
21 necom 2995 . . . . . . 7 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
2221biimpi 215 . . . . . 6 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
23223ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑍𝑌)
24233ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝑌)
2520, 24nelprd 4660 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
2625iffalsed 4540 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → if(𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑍}), 𝑍) = 𝑍)
2716, 26eqtrd 2773 1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cdif 3946  wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631   cuni 4909   class class class wbr 5149  cfv 6544  2oc2o 8460  cen 8936  pmTrspcpmtr 19309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-1o 8466  df-2o 8467  df-en 8940  df-pmtr 19310
This theorem is referenced by:  pmtr3ncomlem1  19341  psgnfzto1stlem  32259
  Copyright terms: Public domain W3C validator