Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrprfv3 18313
 Description: In a transposition of two given points, all other points are mapped to themselves. (Contributed by AV, 17-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfv3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = 𝑍)

Proof of Theorem pmtrprfv3
StepHypRef Expression
1 simp1 1129 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐷𝑉)
2 simp1 1129 . . . . 5 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑋𝐷)
323ad2ant2 1127 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑋𝐷)
4 simp22 1200 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑌𝐷)
53, 4prssd 4662 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
6 pr2nelem 9276 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
763expia 1114 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → (𝑋𝑌 → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
873adant3 1125 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → (𝑋𝑌 → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
98com12 32 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
1093ad2ant1 1126 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
1110impcom 408 . . . 4 (((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
12113adant1 1123 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
13 simp23 1201 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝐷)
14 pmtrfval.t . . . 4 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
1514pmtrfv 18311 . . 3 (((𝐷𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o) ∧ 𝑍𝐷) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = if(𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑍}), 𝑍))
161, 5, 12, 13, 15syl31anc 1366 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = if(𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑍}), 𝑍))
17 necom 3037 . . . . . . 7 (𝑋𝑍𝑍𝑋)
1817biimpi 217 . . . . . 6 (𝑋𝑍𝑍𝑋)
19183ad2ant2 1127 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑍𝑋)
20193ad2ant3 1128 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝑋)
21 necom 3037 . . . . . . 7 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
2221biimpi 217 . . . . . 6 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
23223ad2ant3 1128 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑍𝑌)
24233ad2ant3 1128 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝑌)
2520, 24nelprd 4501 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
2625iffalsed 4392 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → if(𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑍}), 𝑍) = 𝑍)
2716, 26eqtrd 2831 1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984   ∖ cdif 3856   ⊆ wss 3859  ifcif 4381  {csn 4472  {cpr 4474  ∪ cuni 4745   class class class wbr 4962  ‘cfv 6225  2oc2o 7947   ≈ cen 8354  pmTrspcpmtr 18300 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-om 7437  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pmtr 18301 This theorem is referenced by:  pmtr3ncomlem1  18332  psgnfzto1stlem  30664
 Copyright terms: Public domain W3C validator