MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrprfv3 19472
Description: In a transposition of two given points, all other points are mapped to themselves. (Contributed by AV, 17-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfv3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = 𝑍)

Proof of Theorem pmtrprfv3
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝐷𝑉)
2 simp1 1137 . . . . 5 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → 𝑋𝐷)
323ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑋𝐷)
4 simp22 1208 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑌𝐷)
53, 4prssd 4822 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
6 enpr2 10042 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
763expia 1122 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → (𝑋𝑌 → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
873adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → (𝑋𝑌 → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
98com12 32 . . . . . 6 (𝑋𝑌 → ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
1093ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o))
1110impcom 407 . . . 4 (((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
12113adant1 1131 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2o)
13 simp23 1209 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝐷)
14 pmtrfval.t . . . 4 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
1514pmtrfv 19470 . . 3 (((𝐷𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2o) ∧ 𝑍𝐷) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = if(𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑍}), 𝑍))
161, 5, 12, 13, 15syl31anc 1375 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = if(𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑍}), 𝑍))
17 necom 2994 . . . . . . 7 (𝑋𝑍𝑍𝑋)
1817biimpi 216 . . . . . 6 (𝑋𝑍𝑍𝑋)
19183ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑍𝑋)
20193ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝑋)
21 necom 2994 . . . . . . 7 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
2221biimpi 216 . . . . . 6 (𝑌𝑍𝑍𝑌)
23223ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍) → 𝑍𝑌)
24233ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → 𝑍𝑌)
2520, 24nelprd 4657 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ¬ 𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌})
2625iffalsed 4536 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → if(𝑍 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑍}), 𝑍) = 𝑍)
2716, 26eqtrd 2777 1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑍𝐷) ∧ (𝑋𝑌𝑋𝑍𝑌𝑍)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑍) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628   cuni 4907   class class class wbr 5143  cfv 6561  2oc2o 8500  cen 8982  pmTrspcpmtr 19459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-1o 8506  df-2o 8507  df-en 8986  df-pmtr 19460
This theorem is referenced by:  pmtr3ncomlem1  19491  psgnfzto1stlem  33120
  Copyright terms: Public domain W3C validator