Theorem entrfir 9182

Description: Transitivity of equinumerosity for finite sets, proved without using the Axiom of Power Sets (unlike entr 9009). (Contributed by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
entrfir	⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entrfir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfii 9177	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐵 ∈ Fin)
2	1	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐵 ∈ Fin)
3		entrfi 9181	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)
4	2, 3	syld3an1 1437	1 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111   ≈ cen 8946  Fincfn 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7869  df-1o 8459  df-en 8950  df-fin 8953

This theorem is used by: (None)