Theorem enfii 9226

Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5365. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
enfii	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem enfii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 9016	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
2		df-rex 3071	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥))
3	1, 2	sylbb 219	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥))
4		ensymfib 9224	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
5	4	biimparc 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ≈ 𝐴)
6		19.41v 1949	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) ∧ 𝐵 ≈ 𝐴))
7		simp1 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ω)
8		nnfi 9207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
9		ensymfib 9224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝑥))
10	9	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) → 𝑥 ≈ 𝐵)
11	10	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐵)
12		entrfil 9225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐴)
13	11, 12	syld3an2 1413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐴)
14		ensymfib 9224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝑥))
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝑥))
16	13, 15	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑥)
17	8, 16	syl3an1 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑥)
18	7, 17	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
19	18	3expa 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
20	19	eximi 1835	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
21	6, 20	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
22	3, 5, 21	syl2an2 686	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
23		df-rex 3071	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
24	22, 23	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
25		isfi 9016	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
26	24, 25	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
27	26	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  ωcom 7887   ≈ cen 8982  Fincfn 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-fin 8989

This theorem is referenced by:  enfi  9227  domfi  9229  entrfi  9230  entrfir  9231  domsdomtrfi  9242  f1finf1o  9305  en1eqsnOLD  9309  isfinite2  9334  xpfiOLD  9359  fofinf1o  9372  cnvfiALT  9379  f1dmvrnfibi  9381  cantnfcl  9707  en2eqpr  10047  fzfi  14013  hasheni  14387  fz1isolem  14500  isercolllem2  15702  isercoll  15704  summolem2  15752  zsum  15754  prodmolem2  15971  zprod  15973  bitsf1  16483  simpgnsgd  20120  ovoliunlem1  25537  wlksnfi  29927  eupthfi  30224  eulerpartlemgs2  34382  derangenlem  35176  erdsze2lem2  35209  heicant  37662  sticksstones18  42165  sticksstones19  42166