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Theorem enfii 9226
Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5365. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
enfii ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem enfii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 9016 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
2 df-rex 3071 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥))
31, 2sylbb 219 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥))
4 ensymfib 9224 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
54biimparc 479 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐵𝐴)
6 19.41v 1949 . . . . . 6 (∃𝑥((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ∧ 𝐵𝐴) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ∧ 𝐵𝐴))
7 simp1 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → 𝑥 ∈ ω)
8 nnfi 9207 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
9 ensymfib 9224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥𝐵𝐵𝑥))
109biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥) → 𝑥𝐵)
11103adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → 𝑥𝐵)
12 entrfil 9225 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵𝐵𝐴) → 𝑥𝐴)
1311, 12syld3an2 1413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → 𝑥𝐴)
14 ensymfib 9224 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝐴𝑥))
15143ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → (𝑥𝐴𝐴𝑥))
1613, 15mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → 𝐴𝑥)
178, 16syl3an1 1164 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → 𝐴𝑥)
187, 17jca 511 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
19183expa 1119 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
2019eximi 1835 . . . . . 6 (∃𝑥((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
216, 20sylbir 235 . . . . 5 ((∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
223, 5, 21syl2an2 686 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
23 df-rex 3071 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
2422, 23sylibr 234 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
25 isfi 9016 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
2624, 25sylibr 234 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2726ancoms 458 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wex 1779  wcel 2108  wrex 3070   class class class wbr 5143  ωcom 7887  cen 8982  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-fin 8989
This theorem is referenced by:  enfi  9227  domfi  9229  entrfi  9230  entrfir  9231  domsdomtrfi  9242  f1finf1o  9305  en1eqsnOLD  9309  isfinite2  9334  xpfiOLD  9359  fofinf1o  9372  cnvfiALT  9379  f1dmvrnfibi  9381  cantnfcl  9707  en2eqpr  10047  fzfi  14013  hasheni  14387  fz1isolem  14500  isercolllem2  15702  isercoll  15704  summolem2  15752  zsum  15754  prodmolem2  15971  zprod  15973  bitsf1  16483  simpgnsgd  20120  ovoliunlem1  25537  wlksnfi  29927  eupthfi  30224  eulerpartlemgs2  34382  derangenlem  35176  erdsze2lem2  35209  heicant  37662  sticksstones18  42165  sticksstones19  42166
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