Theorem enfii 8333

Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfii	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem enfii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfi 8332	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
2	1	biimparc 465	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786   ≈ cen 8106  Fincfn 8109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-er 7896  df-en 8110  df-fin 8113

This theorem is referenced by:  domfi  8337  en1eqsn  8346  isfinite2  8374  xpfi  8387  fofinf1o  8397  cnvfi  8404  f1dmvrnfibi  8406  pwfi  8417  cantnfcl  8728  en2eqpr  9030  fzfi  12979  hasheni  13340  fz1isolem  13447  isercolllem2  14604  isercoll  14606  summolem2a  14654  summolem2  14655  zsum  14657  prodmolem2a  14871  prodmolem2  14872  zprod  14874  bitsf1  15376  orbsta2  17954  ovoliunlem1  23490  wlksnfi  27051  eupthfi  27385  eulerpartlemgs2  30782  derangenlem  31491  erdsze2lem2  31524  heicant  33777