Theorem enfii 9184

Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5330. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
enfii	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem enfii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8985	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
2		df-rex 3087	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥))
3	1, 2	sylbb 222	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥))
4		ensymfib 9182	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
5	4	biimparc 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ≈ 𝐴)
6		19.41v 1982	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) ∧ 𝐵 ≈ 𝐴))
7		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ω)
8		nnfi 9166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
9		ensymfib 9182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝑥))
10	9	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) → 𝑥 ≈ 𝐵)
11	10	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐵)
12		entrfil 9183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐴)
13	11, 12	syld3an2 1438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐴)
14		ensymfib 9182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝑥))
15	14	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝑥))
16	13, 15	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑥)
17	8, 16	syl3an1 1181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑥)
18	7, 17	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
19	18	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
20	19	eximi 1868	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
21	6, 20	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
22	3, 5, 21	syl2an2 699	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
23		df-rex 3087	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
24	22, 23	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
25		isfi 8985	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
26	24, 25	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
27	26	ancoms 464	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ωcom 7864   ≈ cen 8953  Fincfn 8956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-om 7865  df-1o 8459  df-en 8957  df-fin 8960

This theorem is used by:  enfi  9185  domfi  9187  entrfi  9188  entrfir  9189  domsdomtrfi  9200  f1finf1o  9247  isfinite2  9272  fofinf1o  9303  cnvfiALT  9310  f1dmvrnfibi  9312  cantnfcl  9650  en2eqpr  10032  fzfi  14058  hasheni  14434  fz1isolem  14548  isercolllem2  15775  isercoll  15777  summolem2  15824  zsum  15826  prodmolem2  16044  zprod  16046  bitsf1  16558  simpgnsgd  20252  ovoliunlem1  25759  wlksnfi  30404  eupthfi  30714  eulerpartlemgs2  34921  derangenlem  35780  erdsze2lem2  35813  heicant  38418  sticksstones18  43044  sticksstones19  43045