Theorem enfii 8420

Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfii	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem enfii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfi 8419	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
2	1	biimparc 472	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4844   ≈ cen 8193  Fincfn 8196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3388  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-br 4845  df-opab 4907  df-id 5221  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-er 7983  df-en 8197  df-fin 8200

This theorem is referenced by:  domfi  8424  en1eqsn  8433  isfinite2  8461  xpfi  8474  fofinf1o  8484  cnvfi  8491  f1dmvrnfibi  8493  pwfi  8504  cantnfcl  8815  en2eqpr  9117  fzfi  13025  hasheni  13387  fz1isolem  13493  isercolllem2  14736  isercoll  14738  summolem2a  14786  summolem2  14787  zsum  14789  prodmolem2a  15000  prodmolem2  15001  zprod  15003  bitsf1  15502  orbsta2  18058  ovoliunlem1  23609  wlksnfi  27186  eupthfi  27548  eulerpartlemgs2  30957  derangenlem  31669  erdsze2lem2  31702  heicant  33932