MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enfii 8724
Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfii ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem enfii
StepHypRef Expression
1 enfi 8723 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
21biimparc 480 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2107   class class class wbr 5063  cen 8495  Fincfn 8498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-er 8279  df-en 8499  df-fin 8502
This theorem is referenced by:  domfi  8728  en1eqsn  8737  isfinite2  8765  xpfi  8778  fofinf1o  8788  cnvfi  8795  f1dmvrnfibi  8797  pwfi  8808  cantnfcl  9119  en2eqpr  9422  fzfi  13330  hasheni  13698  fz1isolem  13809  isercolllem2  15012  isercoll  15014  summolem2  15063  zsum  15065  prodmolem2  15279  zprod  15281  bitsf1  15785  simpgnsgd  19142  ovoliunlem1  24018  wlksnfi  27600  eupthfi  27898  eulerpartlemgs2  31524  derangenlem  32302  erdsze2lem2  32335  heicant  34794
  Copyright terms: Public domain W3C validator