MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enfii 9189
Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5364. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
enfii ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem enfii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8972 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
2 df-rex 3072 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥))
31, 2sylbb 218 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥))
4 ensymfib 9187 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
54biimparc 481 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐵𝐴)
6 19.41v 1954 . . . . . 6 (∃𝑥((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ∧ 𝐵𝐴) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ∧ 𝐵𝐴))
7 simp1 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → 𝑥 ∈ ω)
8 nnfi 9167 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
9 ensymfib 9187 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥𝐵𝐵𝑥))
109biimpar 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥) → 𝑥𝐵)
11103adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → 𝑥𝐵)
12 entrfil 9188 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵𝐵𝐴) → 𝑥𝐴)
1311, 12syld3an2 1412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → 𝑥𝐴)
14 ensymfib 9187 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝐴𝑥))
15143ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → (𝑥𝐴𝐴𝑥))
1613, 15mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → 𝐴𝑥)
178, 16syl3an1 1164 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → 𝐴𝑥)
187, 17jca 513 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
19183expa 1119 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
2019eximi 1838 . . . . . 6 (∃𝑥((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
216, 20sylbir 234 . . . . 5 ((∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
223, 5, 21syl2an2 685 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
23 df-rex 3072 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
2422, 23sylibr 233 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
25 isfi 8972 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
2624, 25sylibr 233 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2726ancoms 460 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wex 1782  wcel 2107  wrex 3071   class class class wbr 5149  ωcom 7855  cen 8936  Fincfn 8939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-en 8940  df-fin 8943
This theorem is referenced by:  enfi  9190  domfi  9192  entrfi  9193  entrfir  9194  domsdomtrfi  9205  f1finf1o  9271  en1eqsnOLD  9275  isfinite2  9301  xpfiOLD  9318  fofinf1o  9327  cnvfiALT  9334  f1dmvrnfibi  9336  pwfiOLD  9347  cantnfcl  9662  en2eqpr  10002  fzfi  13937  hasheni  14308  fz1isolem  14422  isercolllem2  15612  isercoll  15614  summolem2  15662  zsum  15664  prodmolem2  15879  zprod  15881  bitsf1  16387  simpgnsgd  19970  ovoliunlem1  25019  wlksnfi  29161  eupthfi  29458  eulerpartlemgs2  33379  derangenlem  34162  erdsze2lem2  34195  heicant  36523  sticksstones18  40980  sticksstones19  40981
  Copyright terms: Public domain W3C validator