MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enfii 9140
Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5325. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
enfii ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem enfii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8923 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥)
2 df-rex 3075 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ω 𝐵𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥))
31, 2sylbb 218 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥))
4 ensymfib 9138 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐴𝐵))
54biimparc 481 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐵𝐴)
6 19.41v 1954 . . . . . 6 (∃𝑥((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ∧ 𝐵𝐴) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ∧ 𝐵𝐴))
7 simp1 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → 𝑥 ∈ ω)
8 nnfi 9118 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
9 ensymfib 9138 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥𝐵𝐵𝑥))
109biimpar 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥) → 𝑥𝐵)
11103adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → 𝑥𝐵)
12 entrfil 9139 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐵𝐵𝐴) → 𝑥𝐴)
1311, 12syld3an2 1412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → 𝑥𝐴)
14 ensymfib 9138 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝐴𝑥))
15143ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → (𝑥𝐴𝐴𝑥))
1613, 15mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → 𝐴𝑥)
178, 16syl3an1 1164 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → 𝐴𝑥)
187, 17jca 513 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
19183expa 1119 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
2019eximi 1838 . . . . . 6 (∃𝑥((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
216, 20sylbir 234 . . . . 5 ((∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
223, 5, 21syl2an2 685 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
23 df-rex 3075 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥))
2422, 23sylibr 233 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
25 isfi 8923 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
2624, 25sylibr 233 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2726ancoms 460 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wex 1782  wcel 2107  wrex 3074   class class class wbr 5110  ωcom 7807  cen 8887  Fincfn 8890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-om 7808  df-1o 8417  df-en 8891  df-fin 8894
This theorem is referenced by:  enfi  9141  domfi  9143  entrfi  9144  entrfir  9145  domsdomtrfi  9156  f1finf1o  9222  en1eqsnOLD  9226  isfinite2  9252  xpfiOLD  9269  fofinf1o  9278  cnvfiALT  9285  f1dmvrnfibi  9287  pwfiOLD  9298  cantnfcl  9610  en2eqpr  9950  fzfi  13884  hasheni  14255  fz1isolem  14367  isercolllem2  15557  isercoll  15559  summolem2  15608  zsum  15610  prodmolem2  15825  zprod  15827  bitsf1  16333  simpgnsgd  19886  ovoliunlem1  24882  wlksnfi  28894  eupthfi  29191  eulerpartlemgs2  33020  derangenlem  33805  erdsze2lem2  33838  heicant  36142  sticksstones18  40601  sticksstones19  40602
  Copyright terms: Public domain W3C validator