Theorem enfii 9115

Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) Avoid ax-pow 5304. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
enfii	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem enfii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8917	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
2		df-rex 3063	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥))
3	1, 2	sylbb 219	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥))
4		ensymfib 9113	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐵 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
5	4	biimparc 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ≈ 𝐴)
6		19.41v 1951	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) ∧ 𝐵 ≈ 𝐴))
7		simp1 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ω)
8		nnfi 9097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
9		ensymfib 9113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝑥))
10	9	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) → 𝑥 ≈ 𝐵)
11	10	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐵)
12		entrfil 9114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑥 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐴)
13	11, 12	syld3an2 1414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝑥 ≈ 𝐴)
14		ensymfib 9113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝑥))
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≈ 𝑥))
16	13, 15	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑥)
17	8, 16	syl3an1 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝑥)
18	7, 17	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥 ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
19	18	3expa 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
20	19	eximi 1837	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
21	6, 20	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
22	3, 5, 21	syl2an2 687	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
23		df-rex 3063	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑥))
24	22, 23	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
25		isfi 8917	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
26	24, 25	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
27	26	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ωcom 7812   ≈ cen 8885  Fincfn 8888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-om 7813  df-1o 8400  df-en 8889  df-fin 8892

This theorem is referenced by:  enfi  9116  domfi  9118  entrfi  9119  entrfir  9120  domsdomtrfi  9131  f1finf1o  9178  isfinite2  9203  fofinf1o  9237  cnvfiALT  9244  f1dmvrnfibi  9246  cantnfcl  9583  en2eqpr  9924  fzfi  13929  hasheni  14305  fz1isolem  14418  isercolllem2  15623  isercoll  15625  summolem2  15673  zsum  15675  prodmolem2  15895  zprod  15897  bitsf1  16410  simpgnsgd  20072  ovoliunlem1  25483  wlksnfi  29994  eupthfi  30294  eulerpartlemgs2  34544  derangenlem  35373  erdsze2lem2  35406  heicant  37994  sticksstones18  42621  sticksstones19  42622