MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigsbergssiedgw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem konigsbergssiedgw 29197
Description: Each subset of the indexed edges of the Kânigsberg graph 𝐺 is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e 𝐸 = βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ©
konigsberg.g 𝐺 = βŸ¨π‘‰, 𝐸⟩
Assertion
Ref Expression
konigsbergssiedgw ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐡 ∈ Word V ∧ 𝐸 = (𝐴 ++ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2})
Distinct variable group:   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem konigsbergssiedgw
StepHypRef Expression
1 konigsberg.v . . 3 𝑉 = (0...3)
2 konigsberg.e . . 3 𝐸 = βŸ¨β€œ{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}β€βŸ©
3 konigsberg.g . . 3 𝐺 = βŸ¨π‘‰, 𝐸⟩
41, 2, 3konigsbergssiedgwpr 29196 . 2 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐡 ∈ Word V ∧ 𝐸 = (𝐴 ++ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ Word {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2})
5 wrdf 14408 . 2 (𝐴 ∈ Word {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2} β†’ 𝐴:(0..^(β™―β€˜π΄))⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2})
6 prprrab 14373 . . . . 5 {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2} = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2}
7 2re 12228 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
87eqlei2 11267 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘₯) = 2 β†’ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2)
98a1i 11 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) β†’ ((β™―β€˜π‘₯) = 2 β†’ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2))
109ss2rabi 4035 . . . . 5 {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2} βŠ† {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2}
116, 10eqsstrri 3980 . . . 4 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2} βŠ† {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2}
12 fss 6686 . . . 4 ((𝐴:(0..^(β™―β€˜π΄))⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2} ∧ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2} βŠ† {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2}) β†’ 𝐴:(0..^(β™―β€˜π΄))⟢{π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2})
1311, 12mpan2 690 . . 3 (𝐴:(0..^(β™―β€˜π΄))⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2} β†’ 𝐴:(0..^(β™―β€˜π΄))⟢{π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2})
14 iswrdb 14409 . . 3 (𝐴 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} ↔ 𝐴:(0..^(β™―β€˜π΄))⟢{π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2})
1513, 14sylibr 233 . 2 (𝐴:(0..^(β™―β€˜π΄))⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2} β†’ 𝐴 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2})
164, 5, 153syl 18 1 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐡 ∈ Word V ∧ 𝐸 = (𝐴 ++ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3408  Vcvv 3446   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561  {csn 4587  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053   ≀ cle 11191  2c2 12209  3c3 12210  ...cfz 13425  ..^cfzo 13568  β™―chash 14231  Word cword 14403   ++ cconcat 14459  βŸ¨β€œcs7 14736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-hash 14232  df-word 14404  df-concat 14460  df-s1 14485  df-s2 14738  df-s3 14739  df-s4 14740  df-s5 14741  df-s6 14742  df-s7 14743
This theorem is referenced by:  konigsberglem1  29199  konigsberglem2  29200  konigsberglem3  29201
  Copyright terms: Public domain W3C validator