Theorem konigsbergssiedgw 28903

Description: Each subset of the indexed edges of the Königsberg graph 𝐺 is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsbergssiedgw	⊢ ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ∧ 𝐸 = (𝐴 ++ 𝐵)) → 𝐴 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem konigsbergssiedgw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (0...3)
2		konigsberg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
3		konigsberg.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
4	1, 2, 3	konigsbergssiedgwpr 28902	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ∧ 𝐸 = (𝐴 ++ 𝐵)) → 𝐴 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5		wrdf 14323	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
6		prprrab 14288	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
7		2re 12149	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	eqlei2 11188	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2))
10	9	ss2rabi 4022	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
11	6, 10	eqsstrri 3967	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
12		fss 6669	. . . 4 ⊢ ((𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
13	11, 12	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
14		iswrdb 14324	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
15	13, 14	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝐴 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
16	4, 5, 15	3syl 18	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V ∧ 𝐸 = (𝐴 ++ 𝐵)) → 𝐴 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3403  Vcvv 3441   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  ∅c0 4270  𝒫 cpw 4548  {csn 4574  {cpr 4576  ⟨cop 4580   class class class wbr 5093  ⟶wf 6476  ‘cfv 6480  (class class class)co 7338  0cc0 10973  1c1 10974   ≤ cle 11112  2c2 12130  3c3 12131  ...cfz 13341  ..^cfzo 13484  ♯chash 14146  Word cword 14318   ++ cconcat 14374  ⟨“cs7 14659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-oadd 8372  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-dju 9759  df-card 9797  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-n0 12336  df-xnn0 12408  df-z 12422  df-uz 12685  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-hash 14147  df-word 14319  df-concat 14375  df-s1 14401  df-s2 14661  df-s3 14662  df-s4 14663  df-s5 14664  df-s6 14665  df-s7 14666

This theorem is referenced by:  konigsberglem1  28905  konigsberglem2  28906  konigsberglem3  28907