MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgruspgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgruspgr 28946
Description: A simple graph is a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 15-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgruspgr (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)

Proof of Theorem usgruspgr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2726 . . . . 5 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
31, 2isusgr 28921 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
4 2re 12290 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
54eqlei2 11329 . . . . . . 7 ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2)
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2))
76ss2rabi 4069 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
8 f1ss 6787 . . . . 5 (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
97, 8mpan2 688 . . . 4 ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
103, 9biimtrdi 252 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
111, 2isuspgr 28920 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
1210, 11sylibrd 259 . 2 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph))
1312pm2.43i 52 1 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3426  cdif 3940  wss 3943  c0 4317  𝒫 cpw 4597  {csn 4623   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  1-1wf1 6534  cfv 6537  cle 11253  2c2 12271  chash 14295  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  USPGraphcuspgr 28916  USGraphcusgr 28917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-2 12279  df-uspgr 28918  df-usgr 28919
This theorem is referenced by:  usgrumgruspgr  28948  usgruspgrb  28949  usgrupgr  28950  usgrislfuspgr  28952  usgredg2vtxeu  28986  usgredgedg  28995  usgredgleord  28998  vtxdusgrfvedg  29257  usgrn2cycl  29572  wlksnfi  29670  rusgrnumwwlk  29738  rusgrnumwlkg  29740  clwlksndivn  29848  clwlknon2num  30130  numclwlk1lem2  30132
  Copyright terms: Public domain W3C validator