Theorem usgruspgr 28438

Description: A simple graph is a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 15-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgruspgr	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)

Proof of Theorem usgruspgr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	isusgr 28413	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
4		2re 12286	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
5	4	eqlei2 11325	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2))
7	6	ss2rabi 4075	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
8		f1ss 6794	. . . . 5 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
9	7, 8	mpan2 690	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
10	3, 9	syl6bi 253	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
11	1, 2	isuspgr 28412	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
12	10, 11	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph))
13	12	pm2.43i 52	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  –1-1→wf1 6541  ‘cfv 6544   ≤ cle 11249  2c2 12267  ♯chash 14290  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  USPGraphcuspgr 28408  USGraphcusgr 28409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-2 12275  df-uspgr 28410  df-usgr 28411

This theorem is referenced by:  usgrumgruspgr  28440  usgruspgrb  28441  usgrupgr  28442  usgrislfuspgr  28444  usgredg2vtxeu  28478  usgredgedg  28487  usgredgleord  28490  vtxdusgrfvedg  28748  usgrn2cycl  29063  wlksnfi  29161  rusgrnumwwlk  29229  rusgrnumwlkg  29231  clwlksndivn  29339  clwlknon2num  29621  numclwlk1lem2  29623