Theorem usgruspgr 29159

Description: A simple graph is a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 15-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgruspgr	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)

Proof of Theorem usgruspgr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	isusgr 29132	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
4		2re 12314	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
5	4	eqlei2 11346	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2))
7	6	ss2rabi 4052	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
8		f1ss 6779	. . . . 5 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
9	7, 8	mpan2 691	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
10	3, 9	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
11	1, 2	isuspgr 29131	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
12	10, 11	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph))
13	12	pm2.43i 52	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575  {csn 4601   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  –1-1→wf1 6528  ‘cfv 6531   ≤ cle 11270  2c2 12295  ♯chash 14348  Vtxcvtx 28975  iEdgciedg 28976  USPGraphcuspgr 29127  USGraphcusgr 29128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-2 12303  df-uspgr 29129  df-usgr 29130

This theorem is referenced by:  usgrumgruspgr  29161  usgruspgrb  29162  usgrupgr  29164  usgrislfuspgr  29166  usgredg2vtxeu  29200  usgredgedg  29209  usgredgleord  29212  vtxdusgrfvedg  29471  usgrn2cycl  29791  wlksnfi  29889  rusgrnumwwlk  29957  rusgrnumwlkg  29959  clwlksndivn  30067  clwlknon2num  30349  numclwlk1lem2  30351  isubgr3stgr  47987  usgrexmpl12ngrlic  48043