Theorem usgruspgr 29378

Description: A simple graph is a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 15-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgruspgr	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)

Proof of Theorem usgruspgr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	isusgr 29351	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
4		2re 12292	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
5	4	eqlei2 11294	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2))
7	6	ss2rabi 4029	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
8		f1ss 6767	. . . . 5 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
9	7, 8	mpan2 701	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
10	3, 9	biimtrdi 255	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
11	1, 2	isuspgr 29350	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
12	10, 11	sylibrd 261	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph))
13	12	pm2.43i 52	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {crab 3414   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4555  {csn 4582   class class class wbr 5100  dom cdm 5647  –1-1→wf1 6518  ‘cfv 6521   ≤ cle 11217  2c2 12272  ♯chash 14343  Vtxcvtx 29194  iEdgciedg 29195  USPGraphcuspgr 29346  USGraphcusgr 29347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-2 12280  df-uspgr 29348  df-usgr 29349

This theorem is referenced by:  usgrumgruspgr  29380  usgruspgrb  29381  usgrupgr  29383  usgrislfuspgr  29385  usgredg2vtxeu  29419  usgredgedg  29428  usgredgleord  29431  vtxdusgrfvedg  29689  usgrn2cycl  30006  wlksnfi  30104  usgrwwlks2on  30155  wpthswwlks2on  30161  usgr2wspthon  30165  rusgrnumwwlk  30175  rusgrnumwlkg  30177  clwlksndivn  30285  clwlknon2num  30567  numclwlk1lem2  30569  isubgr3stgr  48594  usgrexmpl12ngrlic  48658  gpg5ngric  48747