Theorem gtneii 11326

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 11311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 691	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  ltneii  11327  fztpval  13563  geo2sum  15819  bpoly4  16003  ene1  16153  3dvds  16274  3lcm2e6  16668  resslemOLD  17187  starvndxnbasendx  17249  starvndxnplusgndx  17250  starvndxnmulrndx  17251  scandxnbasendx  17261  scandxnplusgndx  17262  scandxnmulrndx  17263  vscandxnbasendx  17266  vscandxnplusgndx  17267  vscandxnmulrndx  17268  vscandxnscandx  17269  ipndxnbasendx  17277  ipndxnplusgndx  17278  ipndxnmulrndx  17279  tsetndxnbasendx  17301  tsetndxnplusgndx  17302  tsetndxnmulrndx  17303  tsetndxnstarvndx  17304  slotstnscsi  17305  plendxnbasendx  17315  plendxnplusgndx  17316  plendxnmulrndx  17317  plendxnscandx  17318  plendxnvscandx  17319  dsndxnbasendx  17334  dsndxnplusgndx  17335  dsndxnmulrndx  17336  slotsdnscsi  17337  dsndxntsetndx  17338  unifndxnbasendx  17344  unifndxntsetndx  17345  resccoOLD  17781  oppgtsetOLD  19219  symgvalstructOLD  19265  mgpscaOLD  19996  mgptsetOLD  19998  mgpdsOLD  20001  cnfldfunALTOLD  20958  psgnodpmr  21143  matscaOLD  21916  matvscaOLD  21918  tuslemOLD  23772  setsmsdsOLD  23984  tngdsOLD  24165  logbrec  26287  2logb9irr  26300  2logb3irr  26302  log2le1  26455  2lgsoddprmlem3a  26913  2lgsoddprmlem3b  26914  2lgsoddprmlem3c  26915  2lgsoddprmlem3d  26916  slotsinbpsd  27692  slotslnbpsd  27693  lngndxnitvndx  27694  konigsberglem2  29506  ex-dif  29676  ex-in  29678  ex-pss  29681  ex-res  29694  dp20u  32044  dp20h  32045  dp2clq  32047  dp2lt10  32050  dp2lt  32051  dplti  32071  dpexpp1  32074  oppgleOLD  32131  resvvscaOLD  32452  zlmdsOLD  32943  zlmtsetOLD  32945  ballotlemi1  33501  sgnnbi  33544  sgnpbi  33545  signswch  33572  itgexpif  33618  hgt750lemd  33660  hgt750lem  33663  fdc  36613  areaquad  41965  mnringscadOLD  42982  mnringvscadOLD  42984  stirlinglem4  44793  stirlinglem13  44802  stirlinglem14  44803  stirlingr  44806  dirker2re  44808  dirkerdenne0  44809  dirkerre  44811  dirkertrigeqlem1  44814  dirkercncflem2  44820  dirkercncflem4  44822  fourierdlem16  44839  fourierdlem21  44844  fourierdlem22  44845  fourierdlem66  44888  fourierdlem83  44905  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  sqwvfoura  44944  sqwvfourb  44945  fourierswlem  44946  fouriersw  44947  etransclem46  44996  fmtnoprmfac2lem1  46234  zlmodzxzldeplem  47179