Theorem gtneii 11087

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 11072	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 689	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ℝcr 10870   < clt 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014

This theorem is referenced by:  ltneii  11088  fztpval  13318  geo2sum  15585  bpoly4  15769  ene1  15919  3dvds  16040  3lcm2e6  16436  resslemOLD  16952  starvndxnbasendx  17014  starvndxnplusgndx  17015  starvndxnmulrndx  17016  scandxnbasendx  17026  scandxnplusgndx  17027  scandxnmulrndx  17028  vscandxnbasendx  17031  vscandxnplusgndx  17032  vscandxnmulrndx  17033  vscandxnscandx  17034  ipndxnbasendx  17042  ipndxnplusgndx  17043  ipndxnmulrndx  17044  tsetndxnbasendx  17066  tsetndxnplusgndx  17067  tsetndxnmulrndx  17068  tsetndxnstarvndx  17069  slotstnscsi  17070  plendxnbasendx  17080  plendxnplusgndx  17081  plendxnmulrndx  17082  plendxnscandx  17083  plendxnvscandx  17084  dsndxnbasendx  17099  dsndxnplusgndx  17100  dsndxnmulrndx  17101  slotsdnscsi  17102  dsndxntsetndx  17103  unifndxnbasendx  17109  unifndxntsetndx  17110  resccoOLD  17546  oppgtsetOLD  18959  symgvalstructOLD  19005  mgpscaOLD  19729  mgptsetOLD  19731  mgpdsOLD  19734  cnfldfunALTOLD  20611  psgnodpmr  20795  matscaOLD  21563  matvscaOLD  21565  tuslemOLD  23419  setsmsdsOLD  23631  tngdsOLD  23812  logbrec  25932  2logb9irr  25945  2logb3irr  25947  log2le1  26100  2lgsoddprmlem3a  26558  2lgsoddprmlem3b  26559  2lgsoddprmlem3c  26560  2lgsoddprmlem3d  26561  slotsinbpsd  26802  slotslnbpsd  26803  lngndxnitvndx  26804  konigsberglem2  28617  ex-dif  28787  ex-in  28789  ex-pss  28792  ex-res  28805  dp20u  31152  dp20h  31153  dp2clq  31155  dp2lt10  31158  dp2lt  31159  dplti  31179  dpexpp1  31182  oppgleOLD  31239  resvvscaOLD  31537  zlmdsOLD  31913  zlmtsetOLD  31915  ballotlemi1  32469  sgnnbi  32512  sgnpbi  32513  signswch  32540  itgexpif  32586  hgt750lemd  32628  hgt750lem  32631  fdc  35903  areaquad  41047  mnringscadOLD  41841  mnringvscadOLD  41843  stirlinglem4  43618  stirlinglem13  43627  stirlinglem14  43628  stirlingr  43631  dirker2re  43633  dirkerdenne0  43634  dirkerre  43636  dirkertrigeqlem1  43639  dirkercncflem2  43645  dirkercncflem4  43647  fourierdlem16  43664  fourierdlem21  43669  fourierdlem22  43670  fourierdlem66  43713  fourierdlem83  43730  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  sqwvfoura  43769  sqwvfourb  43770  fourierswlem  43771  fouriersw  43772  etransclem46  43821  fmtnoprmfac2lem1  45018  zlmodzxzldeplem  45839