Theorem gtneii 11347

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 11332	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  ℝcr 11128   < clt 11269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274

This theorem is referenced by:  ltneii  11348  fztpval  13603  tpf1ofv2  14516  geo2sum  15889  bpoly4  16075  ene1  16228  3dvds  16350  3lcm2e6  16751  starvndxnbasendx  17318  starvndxnplusgndx  17319  starvndxnmulrndx  17320  scandxnbasendx  17330  scandxnplusgndx  17331  scandxnmulrndx  17332  vscandxnbasendx  17335  vscandxnplusgndx  17336  vscandxnmulrndx  17337  vscandxnscandx  17338  ipndxnbasendx  17346  ipndxnplusgndx  17347  ipndxnmulrndx  17348  tsetndxnbasendx  17370  tsetndxnplusgndx  17371  tsetndxnmulrndx  17372  tsetndxnstarvndx  17373  slotstnscsi  17374  plendxnbasendx  17384  plendxnplusgndx  17385  plendxnmulrndx  17386  plendxnscandx  17387  plendxnvscandx  17388  dsndxnbasendx  17403  dsndxnplusgndx  17404  dsndxnmulrndx  17405  slotsdnscsi  17406  dsndxntsetndx  17407  unifndxnbasendx  17413  unifndxntsetndx  17414  psgnodpmr  21550  logbrec  26744  2logb9irr  26757  2logb3irr  26759  log2le1  26912  2lgsoddprmlem3a  27373  2lgsoddprmlem3b  27374  2lgsoddprmlem3c  27375  2lgsoddprmlem3d  27376  slotsinbpsd  28420  slotslnbpsd  28421  lngndxnitvndx  28422  konigsberglem2  30234  ex-dif  30404  ex-in  30406  ex-pss  30409  ex-res  30422  sgnnbi  32817  sgnpbi  32818  dp20u  32852  dp20h  32853  dp2clq  32855  dp2lt10  32858  dp2lt  32859  dplti  32879  dpexpp1  32882  2sqr3nconstr  33815  ballotlemi1  34535  signswch  34593  itgexpif  34638  hgt750lemd  34680  hgt750lem  34683  fdc  37769  tan3rdpi  42399  asin1half  42400  areaquad  43240  stirlinglem4  46106  stirlinglem13  46115  stirlinglem14  46116  stirlingr  46119  dirker2re  46121  dirkerdenne0  46122  dirkerre  46124  dirkertrigeqlem1  46127  dirkercncflem2  46133  dirkercncflem4  46135  fourierdlem16  46152  fourierdlem21  46157  fourierdlem22  46158  fourierdlem66  46201  fourierdlem83  46218  fourierdlem103  46238  fourierdlem104  46239  sqwvfoura  46257  sqwvfourb  46258  fourierswlem  46259  fouriersw  46260  etransclem46  46309  fmtnoprmfac2lem1  47580  usgrexmpl2nb3  48038  usgrexmpl2nb4  48039  usgrexmpl2nb5  48040  usgrexmpl2trifr  48041  zlmodzxzldeplem  48474