Theorem gtneii 11403

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 11388	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ℝcr 11180   < clt 11324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is used by:  ltneii  11404  fztpval  13700  tpf1ofv2  14623  sgnnbi  15237  sgnpbi  15238  geo2sum  16022  bpoly4  16205  ene1  16358  3dvds  16481  3lcm2e6  16888  starvndxnbasendx  17455  starvndxnplusgndx  17456  starvndxnmulrndx  17457  scandxnbasendx  17467  scandxnplusgndx  17468  scandxnmulrndx  17469  vscandxnbasendx  17472  vscandxnplusgndx  17473  vscandxnmulrndx  17474  vscandxnscandx  17475  ipndxnbasendx  17483  ipndxnplusgndx  17484  ipndxnmulrndx  17485  tsetndxnbasendx  17507  tsetndxnplusgndx  17508  tsetndxnmulrndx  17509  tsetndxnstarvndx  17510  slotstnscsi  17511  plendxnbasendx  17521  plendxnplusgndx  17522  plendxnmulrndx  17523  plendxnscandx  17524  plendxnvscandx  17525  dsndxnbasendx  17540  dsndxnplusgndx  17541  dsndxnmulrndx  17542  slotsdnscsi  17543  dsndxntsetndx  17544  unifndxnbasendx  17550  unifndxntsetndx  17551  psgnodpmr  21876  logbrec  27092  2logb9irr  27105  2logb3irr  27107  log2le1  27260  2lgsoddprmlem3a  27719  2lgsoddprmlem3b  27720  2lgsoddprmlem3c  27721  2lgsoddprmlem3d  27722  slotsinbpsd  28885  slotslnbpsd  28886  lngndxnitvndx  28887  konigsberglem2  30836  ex-dif  31006  ex-in  31008  ex-pss  31011  ex-res  31024  dp20u  33426  dp20h  33427  dp2clq  33429  dp2lt10  33432  dp2lt  33433  dplti  33453  dpexpp1  33456  2sqr3nconstr  34395  cos9thpinconstrlem2  34404  ballotlemi1  35118  signswch  35173  itgexpif  35218  hgt750lemd  35260  hgt750lem  35263  fdc  38647  tan3rdpi  43371  asin1half  43376  areaquad  44176  stirlinglem4  47031  stirlinglem13  47040  stirlinglem14  47041  stirlingr  47044  dirker2re  47046  dirkerdenne0  47047  dirkerre  47049  dirkertrigeqlem1  47052  dirkercncflem2  47058  dirkercncflem4  47060  fourierdlem16  47077  fourierdlem21  47082  fourierdlem22  47083  fourierdlem66  47126  fourierdlem83  47143  fourierdlem103  47163  fourierdlem104  47164  sqwvfoura  47182  sqwvfourb  47183  fourierswlem  47184  fouriersw  47185  etransclem46  47234  numtowerdt  47860  goldratval  47880  fmtnoprmfac2lem1  48595  usgrexmpl2nb3  49076  usgrexmpl2nb4  49077  usgrexmpl2nb5  49078  usgrexmpl2trifr  49079  zlmodzxzldeplem  49554  veronesev4lem  50920  veronesev5lem  50921  veronesev6lem  50922  veronesevrowd  50923