Theorem gtneii 11333

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 11318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 689	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5148  ℝcr 11115   < clt 11255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260

This theorem is referenced by:  ltneii  11334  fztpval  13570  geo2sum  15826  bpoly4  16010  ene1  16160  3dvds  16281  3lcm2e6  16675  resslemOLD  17194  starvndxnbasendx  17256  starvndxnplusgndx  17257  starvndxnmulrndx  17258  scandxnbasendx  17268  scandxnplusgndx  17269  scandxnmulrndx  17270  vscandxnbasendx  17273  vscandxnplusgndx  17274  vscandxnmulrndx  17275  vscandxnscandx  17276  ipndxnbasendx  17284  ipndxnplusgndx  17285  ipndxnmulrndx  17286  tsetndxnbasendx  17308  tsetndxnplusgndx  17309  tsetndxnmulrndx  17310  tsetndxnstarvndx  17311  slotstnscsi  17312  plendxnbasendx  17322  plendxnplusgndx  17323  plendxnmulrndx  17324  plendxnscandx  17325  plendxnvscandx  17326  dsndxnbasendx  17341  dsndxnplusgndx  17342  dsndxnmulrndx  17343  slotsdnscsi  17344  dsndxntsetndx  17345  unifndxnbasendx  17351  unifndxntsetndx  17352  resccoOLD  17788  oppgtsetOLD  19267  symgvalstructOLD  19313  mgpscaOLD  20044  mgptsetOLD  20046  mgpdsOLD  20049  cnfldfunALTOLD  21247  psgnodpmr  21453  matscaOLD  22236  matvscaOLD  22238  tuslemOLD  24092  setsmsdsOLD  24304  tngdsOLD  24485  logbrec  26628  2logb9irr  26641  2logb3irr  26643  log2le1  26796  2lgsoddprmlem3a  27256  2lgsoddprmlem3b  27257  2lgsoddprmlem3c  27258  2lgsoddprmlem3d  27259  slotsinbpsd  28125  slotslnbpsd  28126  lngndxnitvndx  28127  konigsberglem2  29939  ex-dif  30109  ex-in  30111  ex-pss  30114  ex-res  30127  dp20u  32477  dp20h  32478  dp2clq  32480  dp2lt10  32483  dp2lt  32484  dplti  32504  dpexpp1  32507  oppgleOLD  32564  resvvscaOLD  32888  zlmdsOLD  33407  zlmtsetOLD  33409  ballotlemi1  33965  sgnnbi  34008  sgnpbi  34009  signswch  34036  itgexpif  34082  hgt750lemd  34124  hgt750lem  34127  fdc  37077  areaquad  42428  mnringscadOLD  43445  mnringvscadOLD  43447  stirlinglem4  45252  stirlinglem13  45261  stirlinglem14  45262  stirlingr  45265  dirker2re  45267  dirkerdenne0  45268  dirkerre  45270  dirkertrigeqlem1  45273  dirkercncflem2  45279  dirkercncflem4  45281  fourierdlem16  45298  fourierdlem21  45303  fourierdlem22  45304  fourierdlem66  45347  fourierdlem83  45364  fourierdlem103  45384  fourierdlem104  45385  sqwvfoura  45403  sqwvfourb  45404  fourierswlem  45405  fouriersw  45406  etransclem46  45455  fmtnoprmfac2lem1  46693  zlmodzxzldeplem  47341