Theorem gtneii 11293

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 11278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ℝcr 11074   < clt 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  ltneii  11294  fztpval  13554  tpf1ofv2  14470  geo2sum  15846  bpoly4  16032  ene1  16185  3dvds  16308  3lcm2e6  16709  starvndxnbasendx  17274  starvndxnplusgndx  17275  starvndxnmulrndx  17276  scandxnbasendx  17286  scandxnplusgndx  17287  scandxnmulrndx  17288  vscandxnbasendx  17291  vscandxnplusgndx  17292  vscandxnmulrndx  17293  vscandxnscandx  17294  ipndxnbasendx  17302  ipndxnplusgndx  17303  ipndxnmulrndx  17304  tsetndxnbasendx  17326  tsetndxnplusgndx  17327  tsetndxnmulrndx  17328  tsetndxnstarvndx  17329  slotstnscsi  17330  plendxnbasendx  17340  plendxnplusgndx  17341  plendxnmulrndx  17342  plendxnscandx  17343  plendxnvscandx  17344  dsndxnbasendx  17359  dsndxnplusgndx  17360  dsndxnmulrndx  17361  slotsdnscsi  17362  dsndxntsetndx  17363  unifndxnbasendx  17369  unifndxntsetndx  17370  psgnodpmr  21506  logbrec  26699  2logb9irr  26712  2logb3irr  26714  log2le1  26867  2lgsoddprmlem3a  27328  2lgsoddprmlem3b  27329  2lgsoddprmlem3c  27330  2lgsoddprmlem3d  27331  slotsinbpsd  28375  slotslnbpsd  28376  lngndxnitvndx  28377  konigsberglem2  30189  ex-dif  30359  ex-in  30361  ex-pss  30364  ex-res  30377  sgnnbi  32770  sgnpbi  32771  dp20u  32805  dp20h  32806  dp2clq  32808  dp2lt10  32811  dp2lt  32812  dplti  32832  dpexpp1  32835  2sqr3nconstr  33778  cos9thpinconstrlem2  33787  ballotlemi1  34501  signswch  34559  itgexpif  34604  hgt750lemd  34646  hgt750lem  34649  fdc  37746  tan3rdpi  42347  asin1half  42352  areaquad  43212  stirlinglem4  46082  stirlinglem13  46091  stirlinglem14  46092  stirlingr  46095  dirker2re  46097  dirkerdenne0  46098  dirkerre  46100  dirkertrigeqlem1  46103  dirkercncflem2  46109  dirkercncflem4  46111  fourierdlem16  46128  fourierdlem21  46133  fourierdlem22  46134  fourierdlem66  46177  fourierdlem83  46194  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  sqwvfoura  46233  sqwvfourb  46234  fourierswlem  46235  fouriersw  46236  etransclem46  46285  fmtnoprmfac2lem1  47571  usgrexmpl2nb3  48029  usgrexmpl2nb4  48030  usgrexmpl2nb5  48031  usgrexmpl2trifr  48032  zlmodzxzldeplem  48491