Theorem gtneii 10746

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 10731	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 690	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5058  ℝcr 10530   < clt 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674

This theorem is referenced by:  ltneii  10747  fztpval  12963  geo2sum  15223  bpoly4  15407  ene1  15557  3dvds  15674  3lcm2e6  16066  resslem  16551  rescco  17096  oppgtset  18474  symgvalstruct  18519  mgpsca  19240  mgptset  19241  mgpds  19243  cnfldfun  20551  psgnodpmr  20728  matsca  21018  matvsca  21019  tuslem  22870  setsmsds  23080  tngds  23251  logbrec  25354  2logb9irr  25367  2logb3irr  25369  log2le1  25522  2lgsoddprmlem3a  25980  2lgsoddprmlem3b  25981  2lgsoddprmlem3c  25982  2lgsoddprmlem3d  25983  konigsberglem2  28026  ex-dif  28196  ex-in  28198  ex-pss  28201  ex-res  28214  dp20u  30549  dp20h  30550  dp2clq  30552  dp2lt10  30555  dp2lt  30556  dplti  30576  dpexpp1  30579  oppgle  30635  resvvsca  30902  zlmds  31200  zlmtset  31201  ballotlemi1  31755  sgnnbi  31798  sgnpbi  31799  signswch  31826  itgexpif  31872  hgt750lemd  31914  hgt750lem  31917  fdc  35014  areaquad  39816  stirlinglem4  42356  stirlinglem13  42365  stirlinglem14  42366  stirlingr  42369  dirker2re  42371  dirkerdenne0  42372  dirkerre  42374  dirkertrigeqlem1  42377  dirkercncflem2  42383  dirkercncflem4  42385  fourierdlem16  42402  fourierdlem21  42407  fourierdlem22  42408  fourierdlem66  42451  fourierdlem83  42468  fourierdlem103  42488  fourierdlem104  42489  sqwvfoura  42507  sqwvfourb  42508  fourierswlem  42509  fouriersw  42510  etransclem46  42559  fmtnoprmfac2lem1  43722  zlmodzxzldeplem  44547