MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtneii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtneii 11268
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
gtneii 𝐵𝐴

Proof of Theorem gtneii
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 ltneii.2 . 2 𝐴 < 𝐵
3 ltne 11253 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
41, 2, 3mp2an 691 1 𝐵𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5106  cr 11051   < clt 11190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195
This theorem is referenced by:  ltneii  11269  fztpval  13504  geo2sum  15759  bpoly4  15943  ene1  16093  3dvds  16214  3lcm2e6  16608  resslemOLD  17124  starvndxnbasendx  17186  starvndxnplusgndx  17187  starvndxnmulrndx  17188  scandxnbasendx  17198  scandxnplusgndx  17199  scandxnmulrndx  17200  vscandxnbasendx  17203  vscandxnplusgndx  17204  vscandxnmulrndx  17205  vscandxnscandx  17206  ipndxnbasendx  17214  ipndxnplusgndx  17215  ipndxnmulrndx  17216  tsetndxnbasendx  17238  tsetndxnplusgndx  17239  tsetndxnmulrndx  17240  tsetndxnstarvndx  17241  slotstnscsi  17242  plendxnbasendx  17252  plendxnplusgndx  17253  plendxnmulrndx  17254  plendxnscandx  17255  plendxnvscandx  17256  dsndxnbasendx  17271  dsndxnplusgndx  17272  dsndxnmulrndx  17273  slotsdnscsi  17274  dsndxntsetndx  17275  unifndxnbasendx  17281  unifndxntsetndx  17282  resccoOLD  17718  oppgtsetOLD  19134  symgvalstructOLD  19180  mgpscaOLD  19906  mgptsetOLD  19908  mgpdsOLD  19911  cnfldfunALTOLD  20813  psgnodpmr  20997  matscaOLD  21766  matvscaOLD  21768  tuslemOLD  23622  setsmsdsOLD  23834  tngdsOLD  24015  logbrec  26135  2logb9irr  26148  2logb3irr  26150  log2le1  26303  2lgsoddprmlem3a  26761  2lgsoddprmlem3b  26762  2lgsoddprmlem3c  26763  2lgsoddprmlem3d  26764  slotsinbpsd  27386  slotslnbpsd  27387  lngndxnitvndx  27388  konigsberglem2  29200  ex-dif  29370  ex-in  29372  ex-pss  29375  ex-res  29388  dp20u  31737  dp20h  31738  dp2clq  31740  dp2lt10  31743  dp2lt  31744  dplti  31764  dpexpp1  31767  oppgleOLD  31824  resvvscaOLD  32132  zlmdsOLD  32547  zlmtsetOLD  32549  ballotlemi1  33105  sgnnbi  33148  sgnpbi  33149  signswch  33176  itgexpif  33222  hgt750lemd  33264  hgt750lem  33267  fdc  36207  areaquad  41553  mnringscadOLD  42510  mnringvscadOLD  42512  stirlinglem4  44325  stirlinglem13  44334  stirlinglem14  44335  stirlingr  44338  dirker2re  44340  dirkerdenne0  44341  dirkerre  44343  dirkertrigeqlem1  44346  dirkercncflem2  44352  dirkercncflem4  44354  fourierdlem16  44371  fourierdlem21  44376  fourierdlem22  44377  fourierdlem66  44420  fourierdlem83  44437  fourierdlem103  44457  fourierdlem104  44458  sqwvfoura  44476  sqwvfourb  44477  fourierswlem  44478  fouriersw  44479  etransclem46  44528  fmtnoprmfac2lem1  45765  zlmodzxzldeplem  46586
  Copyright terms: Public domain W3C validator