Theorem gtneii 11288

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 11273	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 702	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5097  ℝcr 11065   < clt 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-ltxr 11214

This theorem is referenced by:  ltneii  11289  fztpval  13584  tpf1ofv2  14504  sgnnbi  15107  sgnpbi  15108  geo2sum  15893  bpoly4  16079  ene1  16232  3dvds  16355  3lcm2e6  16757  starvndxnbasendx  17323  starvndxnplusgndx  17324  starvndxnmulrndx  17325  scandxnbasendx  17335  scandxnplusgndx  17336  scandxnmulrndx  17337  vscandxnbasendx  17340  vscandxnplusgndx  17341  vscandxnmulrndx  17342  vscandxnscandx  17343  ipndxnbasendx  17351  ipndxnplusgndx  17352  ipndxnmulrndx  17353  tsetndxnbasendx  17375  tsetndxnplusgndx  17376  tsetndxnmulrndx  17377  tsetndxnstarvndx  17378  slotstnscsi  17379  plendxnbasendx  17389  plendxnplusgndx  17390  plendxnmulrndx  17391  plendxnscandx  17392  plendxnvscandx  17393  dsndxnbasendx  17408  dsndxnplusgndx  17409  dsndxnmulrndx  17410  slotsdnscsi  17411  dsndxntsetndx  17412  unifndxnbasendx  17418  unifndxntsetndx  17419  psgnodpmr  21629  logbrec  26834  2logb9irr  26847  2logb3irr  26849  log2le1  27002  2lgsoddprmlem3a  27461  2lgsoddprmlem3b  27462  2lgsoddprmlem3c  27463  2lgsoddprmlem3d  27464  slotsinbpsd  28597  slotslnbpsd  28598  lngndxnitvndx  28599  konigsberglem2  30411  ex-dif  30581  ex-in  30583  ex-pss  30586  ex-res  30599  dp20u  33015  dp20h  33016  dp2clq  33018  dp2lt10  33021  dp2lt  33022  dplti  33042  dpexpp1  33045  2sqr3nconstr  34038  cos9thpinconstrlem2  34047  ballotlemi1  34760  signswch  34815  itgexpif  34860  hgt750lemd  34902  hgt750lem  34905  fdc  38204  tan3rdpi  42921  asin1half  42926  areaquad  43753  stirlinglem4  46611  stirlinglem13  46620  stirlinglem14  46621  stirlingr  46624  dirker2re  46626  dirkerdenne0  46627  dirkerre  46629  dirkertrigeqlem1  46632  dirkercncflem2  46638  dirkercncflem4  46640  fourierdlem16  46657  fourierdlem21  46662  fourierdlem22  46663  fourierdlem66  46706  fourierdlem83  46723  fourierdlem103  46743  fourierdlem104  46744  sqwvfoura  46762  sqwvfourb  46763  fourierswlem  46764  fouriersw  46765  etransclem46  46814  fmtnoprmfac2lem1  48135  usgrexmpl2nb3  48616  usgrexmpl2nb4  48617  usgrexmpl2nb5  48618  usgrexmpl2trifr  48619  zlmodzxzldeplem  49080