Theorem gtneii 10599

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 10584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 688	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984   class class class wbr 4962  ℝcr 10382   < clt 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-ltxr 10526

This theorem is referenced by:  ltneii  10600  fztpval  12819  geo2sum  15062  bpoly4  15246  ene1  15396  3dvds  15513  3lcm2e6  15901  resslem  16386  rescco  16931  oppgtset  18221  mgpsca  18936  mgptset  18937  mgpds  18939  cnfldfun  20239  psgnodpmr  20416  matsca  20708  matvsca  20709  tuslem  22559  setsmsds  22769  tngds  22940  logbrec  25041  2logb9irr  25054  2logb3irr  25056  log2le1  25210  2lgsoddprmlem3a  25668  2lgsoddprmlem3b  25669  2lgsoddprmlem3c  25670  2lgsoddprmlem3d  25671  konigsberglem2  27722  ex-dif  27894  ex-in  27896  ex-pss  27899  ex-res  27912  dp20u  30238  dp20h  30239  dp2clq  30241  dp2lt10  30244  dp2lt  30245  dplti  30265  dpexpp1  30268  oppgle  30314  resvvsca  30561  zlmds  30822  zlmtset  30823  ballotlemi1  31377  sgnnbi  31420  sgnpbi  31421  signswch  31448  itgexpif  31494  hgt750lemd  31536  hgt750lem  31539  fdc  34552  areaquad  39308  stirlinglem4  41904  stirlinglem13  41913  stirlinglem14  41914  stirlingr  41917  dirker2re  41919  dirkerdenne0  41920  dirkerre  41922  dirkertrigeqlem1  41925  dirkercncflem2  41931  dirkercncflem4  41933  fourierdlem16  41950  fourierdlem21  41955  fourierdlem22  41956  fourierdlem66  41999  fourierdlem83  42016  fourierdlem103  42036  fourierdlem104  42037  sqwvfoura  42055  sqwvfourb  42056  fourierswlem  42057  fouriersw  42058  etransclem46  42107  fmtnoprmfac2lem1  43210  zlmodzxzldeplem  44033