Theorem gtneii 11257

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 11242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 693	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ℝcr 11037   < clt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183

This theorem is referenced by:  ltneii  11258  fztpval  13514  tpf1ofv2  14433  geo2sum  15808  bpoly4  15994  ene1  16147  3dvds  16270  3lcm2e6  16671  starvndxnbasendx  17236  starvndxnplusgndx  17237  starvndxnmulrndx  17238  scandxnbasendx  17248  scandxnplusgndx  17249  scandxnmulrndx  17250  vscandxnbasendx  17253  vscandxnplusgndx  17254  vscandxnmulrndx  17255  vscandxnscandx  17256  ipndxnbasendx  17264  ipndxnplusgndx  17265  ipndxnmulrndx  17266  tsetndxnbasendx  17288  tsetndxnplusgndx  17289  tsetndxnmulrndx  17290  tsetndxnstarvndx  17291  slotstnscsi  17292  plendxnbasendx  17302  plendxnplusgndx  17303  plendxnmulrndx  17304  plendxnscandx  17305  plendxnvscandx  17306  dsndxnbasendx  17321  dsndxnplusgndx  17322  dsndxnmulrndx  17323  slotsdnscsi  17324  dsndxntsetndx  17325  unifndxnbasendx  17331  unifndxntsetndx  17332  psgnodpmr  21557  logbrec  26760  2logb9irr  26773  2logb3irr  26775  log2le1  26928  2lgsoddprmlem3a  27389  2lgsoddprmlem3b  27390  2lgsoddprmlem3c  27391  2lgsoddprmlem3d  27392  slotsinbpsd  28525  slotslnbpsd  28526  lngndxnitvndx  28527  konigsberglem2  30340  ex-dif  30510  ex-in  30512  ex-pss  30515  ex-res  30528  sgnnbi  32929  sgnpbi  32930  dp20u  32969  dp20h  32970  dp2clq  32972  dp2lt10  32975  dp2lt  32976  dplti  32996  dpexpp1  32999  2sqr3nconstr  33958  cos9thpinconstrlem2  33967  ballotlemi1  34680  signswch  34738  itgexpif  34783  hgt750lemd  34825  hgt750lem  34828  fdc  37993  tan3rdpi  42719  asin1half  42724  areaquad  43570  stirlinglem4  46432  stirlinglem13  46441  stirlinglem14  46442  stirlingr  46445  dirker2re  46447  dirkerdenne0  46448  dirkerre  46450  dirkertrigeqlem1  46453  dirkercncflem2  46459  dirkercncflem4  46461  fourierdlem16  46478  fourierdlem21  46483  fourierdlem22  46484  fourierdlem66  46527  fourierdlem83  46544  fourierdlem103  46564  fourierdlem104  46565  sqwvfoura  46583  sqwvfourb  46584  fourierswlem  46585  fouriersw  46586  etransclem46  46635  fmtnoprmfac2lem1  47923  usgrexmpl2nb3  48391  usgrexmpl2nb4  48392  usgrexmpl2nb5  48393  usgrexmpl2trifr  48394  zlmodzxzldeplem  48855