Theorem gtneii 11258

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 11243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 693	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ℝcr 11037   < clt 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184

This theorem is referenced by:  ltneii  11259  fztpval  13540  tpf1ofv2  14460  geo2sum  15838  bpoly4  16024  ene1  16177  3dvds  16300  3lcm2e6  16702  starvndxnbasendx  17267  starvndxnplusgndx  17268  starvndxnmulrndx  17269  scandxnbasendx  17279  scandxnplusgndx  17280  scandxnmulrndx  17281  vscandxnbasendx  17284  vscandxnplusgndx  17285  vscandxnmulrndx  17286  vscandxnscandx  17287  ipndxnbasendx  17295  ipndxnplusgndx  17296  ipndxnmulrndx  17297  tsetndxnbasendx  17319  tsetndxnplusgndx  17320  tsetndxnmulrndx  17321  tsetndxnstarvndx  17322  slotstnscsi  17323  plendxnbasendx  17333  plendxnplusgndx  17334  plendxnmulrndx  17335  plendxnscandx  17336  plendxnvscandx  17337  dsndxnbasendx  17352  dsndxnplusgndx  17353  dsndxnmulrndx  17354  slotsdnscsi  17355  dsndxntsetndx  17356  unifndxnbasendx  17362  unifndxntsetndx  17363  psgnodpmr  21570  logbrec  26746  2logb9irr  26759  2logb3irr  26761  log2le1  26914  2lgsoddprmlem3a  27373  2lgsoddprmlem3b  27374  2lgsoddprmlem3c  27375  2lgsoddprmlem3d  27376  slotsinbpsd  28509  slotslnbpsd  28510  lngndxnitvndx  28511  konigsberglem2  30323  ex-dif  30493  ex-in  30495  ex-pss  30498  ex-res  30511  sgnnbi  32911  sgnpbi  32912  dp20u  32937  dp20h  32938  dp2clq  32940  dp2lt10  32943  dp2lt  32944  dplti  32964  dpexpp1  32967  2sqr3nconstr  33925  cos9thpinconstrlem2  33934  ballotlemi1  34647  signswch  34705  itgexpif  34750  hgt750lemd  34792  hgt750lem  34795  fdc  38066  tan3rdpi  42784  asin1half  42789  areaquad  43644  stirlinglem4  46505  stirlinglem13  46514  stirlinglem14  46515  stirlingr  46518  dirker2re  46520  dirkerdenne0  46521  dirkerre  46523  dirkertrigeqlem1  46526  dirkercncflem2  46532  dirkercncflem4  46534  fourierdlem16  46551  fourierdlem21  46556  fourierdlem22  46557  fourierdlem66  46600  fourierdlem83  46617  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  sqwvfoura  46656  sqwvfourb  46657  fourierswlem  46658  fouriersw  46659  etransclem46  46708  fmtnoprmfac2lem1  48029  usgrexmpl2nb3  48510  usgrexmpl2nb4  48511  usgrexmpl2nb5  48512  usgrexmpl2trifr  48513  zlmodzxzldeplem  48974