Theorem gtneii 11249

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 11234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 693	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ℝcr 11028   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175

This theorem is referenced by:  ltneii  11250  fztpval  13531  tpf1ofv2  14451  geo2sum  15829  bpoly4  16015  ene1  16168  3dvds  16291  3lcm2e6  16693  starvndxnbasendx  17258  starvndxnplusgndx  17259  starvndxnmulrndx  17260  scandxnbasendx  17270  scandxnplusgndx  17271  scandxnmulrndx  17272  vscandxnbasendx  17275  vscandxnplusgndx  17276  vscandxnmulrndx  17277  vscandxnscandx  17278  ipndxnbasendx  17286  ipndxnplusgndx  17287  ipndxnmulrndx  17288  tsetndxnbasendx  17310  tsetndxnplusgndx  17311  tsetndxnmulrndx  17312  tsetndxnstarvndx  17313  slotstnscsi  17314  plendxnbasendx  17324  plendxnplusgndx  17325  plendxnmulrndx  17326  plendxnscandx  17327  plendxnvscandx  17328  dsndxnbasendx  17343  dsndxnplusgndx  17344  dsndxnmulrndx  17345  slotsdnscsi  17346  dsndxntsetndx  17347  unifndxnbasendx  17353  unifndxntsetndx  17354  psgnodpmr  21580  logbrec  26759  2logb9irr  26772  2logb3irr  26774  log2le1  26927  2lgsoddprmlem3a  27387  2lgsoddprmlem3b  27388  2lgsoddprmlem3c  27389  2lgsoddprmlem3d  27390  slotsinbpsd  28523  slotslnbpsd  28524  lngndxnitvndx  28525  konigsberglem2  30338  ex-dif  30508  ex-in  30510  ex-pss  30513  ex-res  30526  sgnnbi  32926  sgnpbi  32927  dp20u  32952  dp20h  32953  dp2clq  32955  dp2lt10  32958  dp2lt  32959  dplti  32979  dpexpp1  32982  2sqr3nconstr  33941  cos9thpinconstrlem2  33950  ballotlemi1  34663  signswch  34721  itgexpif  34766  hgt750lemd  34808  hgt750lem  34811  fdc  38080  tan3rdpi  42798  asin1half  42803  areaquad  43662  stirlinglem4  46523  stirlinglem13  46532  stirlinglem14  46533  stirlingr  46536  dirker2re  46538  dirkerdenne0  46539  dirkerre  46541  dirkertrigeqlem1  46544  dirkercncflem2  46550  dirkercncflem4  46552  fourierdlem16  46569  fourierdlem21  46574  fourierdlem22  46575  fourierdlem66  46618  fourierdlem83  46635  fourierdlem103  46655  fourierdlem104  46656  sqwvfoura  46674  sqwvfourb  46675  fourierswlem  46676  fouriersw  46677  etransclem46  46726  fmtnoprmfac2lem1  48041  usgrexmpl2nb3  48522  usgrexmpl2nb4  48523  usgrexmpl2nb5  48524  usgrexmpl2trifr  48525  zlmodzxzldeplem  48986