Theorem gtneii 11246

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 11231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  ℝcr 11027   < clt 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  ltneii  11247  fztpval  13507  tpf1ofv2  14423  geo2sum  15798  bpoly4  15984  ene1  16137  3dvds  16260  3lcm2e6  16661  starvndxnbasendx  17226  starvndxnplusgndx  17227  starvndxnmulrndx  17228  scandxnbasendx  17238  scandxnplusgndx  17239  scandxnmulrndx  17240  vscandxnbasendx  17243  vscandxnplusgndx  17244  vscandxnmulrndx  17245  vscandxnscandx  17246  ipndxnbasendx  17254  ipndxnplusgndx  17255  ipndxnmulrndx  17256  tsetndxnbasendx  17278  tsetndxnplusgndx  17279  tsetndxnmulrndx  17280  tsetndxnstarvndx  17281  slotstnscsi  17282  plendxnbasendx  17292  plendxnplusgndx  17293  plendxnmulrndx  17294  plendxnscandx  17295  plendxnvscandx  17296  dsndxnbasendx  17311  dsndxnplusgndx  17312  dsndxnmulrndx  17313  slotsdnscsi  17314  dsndxntsetndx  17315  unifndxnbasendx  17321  unifndxntsetndx  17322  psgnodpmr  21515  logbrec  26708  2logb9irr  26721  2logb3irr  26723  log2le1  26876  2lgsoddprmlem3a  27337  2lgsoddprmlem3b  27338  2lgsoddprmlem3c  27339  2lgsoddprmlem3d  27340  slotsinbpsd  28404  slotslnbpsd  28405  lngndxnitvndx  28406  konigsberglem2  30215  ex-dif  30385  ex-in  30387  ex-pss  30390  ex-res  30403  sgnnbi  32796  sgnpbi  32797  dp20u  32831  dp20h  32832  dp2clq  32834  dp2lt10  32837  dp2lt  32838  dplti  32858  dpexpp1  32861  2sqr3nconstr  33750  cos9thpinconstrlem2  33759  ballotlemi1  34473  signswch  34531  itgexpif  34576  hgt750lemd  34618  hgt750lem  34621  fdc  37727  tan3rdpi  42328  asin1half  42333  areaquad  43192  stirlinglem4  46062  stirlinglem13  46071  stirlinglem14  46072  stirlingr  46075  dirker2re  46077  dirkerdenne0  46078  dirkerre  46080  dirkertrigeqlem1  46083  dirkercncflem2  46089  dirkercncflem4  46091  fourierdlem16  46108  fourierdlem21  46113  fourierdlem22  46114  fourierdlem66  46157  fourierdlem83  46174  fourierdlem103  46194  fourierdlem104  46195  sqwvfoura  46213  sqwvfourb  46214  fourierswlem  46215  fouriersw  46216  etransclem46  46265  fmtnoprmfac2lem1  47554  usgrexmpl2nb3  48022  usgrexmpl2nb4  48023  usgrexmpl2nb5  48024  usgrexmpl2trifr  48025  zlmodzxzldeplem  48487