Theorem gtneii 11286

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 11271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ℝcr 11067   < clt 11208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213

This theorem is referenced by:  ltneii  11287  fztpval  13547  tpf1ofv2  14463  geo2sum  15839  bpoly4  16025  ene1  16178  3dvds  16301  3lcm2e6  16702  starvndxnbasendx  17267  starvndxnplusgndx  17268  starvndxnmulrndx  17269  scandxnbasendx  17279  scandxnplusgndx  17280  scandxnmulrndx  17281  vscandxnbasendx  17284  vscandxnplusgndx  17285  vscandxnmulrndx  17286  vscandxnscandx  17287  ipndxnbasendx  17295  ipndxnplusgndx  17296  ipndxnmulrndx  17297  tsetndxnbasendx  17319  tsetndxnplusgndx  17320  tsetndxnmulrndx  17321  tsetndxnstarvndx  17322  slotstnscsi  17323  plendxnbasendx  17333  plendxnplusgndx  17334  plendxnmulrndx  17335  plendxnscandx  17336  plendxnvscandx  17337  dsndxnbasendx  17352  dsndxnplusgndx  17353  dsndxnmulrndx  17354  slotsdnscsi  17355  dsndxntsetndx  17356  unifndxnbasendx  17362  unifndxntsetndx  17363  psgnodpmr  21499  logbrec  26692  2logb9irr  26705  2logb3irr  26707  log2le1  26860  2lgsoddprmlem3a  27321  2lgsoddprmlem3b  27322  2lgsoddprmlem3c  27323  2lgsoddprmlem3d  27324  slotsinbpsd  28368  slotslnbpsd  28369  lngndxnitvndx  28370  konigsberglem2  30182  ex-dif  30352  ex-in  30354  ex-pss  30357  ex-res  30370  sgnnbi  32763  sgnpbi  32764  dp20u  32798  dp20h  32799  dp2clq  32801  dp2lt10  32804  dp2lt  32805  dplti  32825  dpexpp1  32828  2sqr3nconstr  33771  cos9thpinconstrlem2  33780  ballotlemi1  34494  signswch  34552  itgexpif  34597  hgt750lemd  34639  hgt750lem  34642  fdc  37739  tan3rdpi  42340  asin1half  42345  areaquad  43205  stirlinglem4  46075  stirlinglem13  46084  stirlinglem14  46085  stirlingr  46088  dirker2re  46090  dirkerdenne0  46091  dirkerre  46093  dirkertrigeqlem1  46096  dirkercncflem2  46102  dirkercncflem4  46104  fourierdlem16  46121  fourierdlem21  46126  fourierdlem22  46127  fourierdlem66  46170  fourierdlem83  46187  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  sqwvfoura  46226  sqwvfourb  46227  fourierswlem  46228  fouriersw  46229  etransclem46  46278  fmtnoprmfac2lem1  47567  usgrexmpl2nb3  48025  usgrexmpl2nb4  48026  usgrexmpl2nb5  48027  usgrexmpl2trifr  48028  zlmodzxzldeplem  48487