Theorem gtneii 11247

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 11232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 693	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ℝcr 11026   < clt 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  ltneii  11248  fztpval  13529  tpf1ofv2  14449  geo2sum  15827  bpoly4  16013  ene1  16166  3dvds  16289  3lcm2e6  16691  starvndxnbasendx  17256  starvndxnplusgndx  17257  starvndxnmulrndx  17258  scandxnbasendx  17268  scandxnplusgndx  17269  scandxnmulrndx  17270  vscandxnbasendx  17273  vscandxnplusgndx  17274  vscandxnmulrndx  17275  vscandxnscandx  17276  ipndxnbasendx  17284  ipndxnplusgndx  17285  ipndxnmulrndx  17286  tsetndxnbasendx  17308  tsetndxnplusgndx  17309  tsetndxnmulrndx  17310  tsetndxnstarvndx  17311  slotstnscsi  17312  plendxnbasendx  17322  plendxnplusgndx  17323  plendxnmulrndx  17324  plendxnscandx  17325  plendxnvscandx  17326  dsndxnbasendx  17341  dsndxnplusgndx  17342  dsndxnmulrndx  17343  slotsdnscsi  17344  dsndxntsetndx  17345  unifndxnbasendx  17351  unifndxntsetndx  17352  psgnodpmr  21578  logbrec  26763  2logb9irr  26776  2logb3irr  26778  log2le1  26931  2lgsoddprmlem3a  27392  2lgsoddprmlem3b  27393  2lgsoddprmlem3c  27394  2lgsoddprmlem3d  27395  slotsinbpsd  28528  slotslnbpsd  28529  lngndxnitvndx  28530  konigsberglem2  30343  ex-dif  30513  ex-in  30515  ex-pss  30518  ex-res  30531  sgnnbi  32931  sgnpbi  32932  dp20u  32957  dp20h  32958  dp2clq  32960  dp2lt10  32963  dp2lt  32964  dplti  32984  dpexpp1  32987  2sqr3nconstr  33946  cos9thpinconstrlem2  33955  ballotlemi1  34668  signswch  34726  itgexpif  34771  hgt750lemd  34813  hgt750lem  34816  fdc  38077  tan3rdpi  42795  asin1half  42800  areaquad  43659  stirlinglem4  46520  stirlinglem13  46529  stirlinglem14  46530  stirlingr  46533  dirker2re  46535  dirkerdenne0  46536  dirkerre  46538  dirkertrigeqlem1  46541  dirkercncflem2  46547  dirkercncflem4  46549  fourierdlem16  46566  fourierdlem21  46571  fourierdlem22  46572  fourierdlem66  46615  fourierdlem83  46632  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  sqwvfoura  46671  sqwvfourb  46672  fourierswlem  46673  fouriersw  46674  etransclem46  46723  fmtnoprmfac2lem1  48026  usgrexmpl2nb3  48507  usgrexmpl2nb4  48508  usgrexmpl2nb5  48509  usgrexmpl2trifr  48510  zlmodzxzldeplem  48971