MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrd0 14419
Description: The empty set is a word (the empty word, frequently denoted ε in this context). This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
wrd0 ∅ ∈ Word 𝑆

Proof of Theorem wrd0
StepHypRef Expression
1 f0 6720 . 2 ∅:∅⟶𝑆
2 iswrddm0 14418 . 2 (∅:∅⟶𝑆 → ∅ ∈ Word 𝑆)
31, 2ax-mp 5 1 ∅ ∈ Word 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  c0 4280  wf 6489  Word cword 14394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-word 14395
This theorem is referenced by:  0wrd0  14420  lsw0g  14446  ccatlid  14466  ccatrid  14467  ccatidid  14470  swrdcl  14525  swrdwrdsymb  14542  pfxcl  14557  rev0  14644  cshwcl  14678  gsumwspan  18648  frmdmnd  18661  frmd0  18662  frmdsssubm  18663  frmdup1  18666  psgnunilem2  19268  psgn0fv0  19284  psgnsn  19293  psgnprfval1  19295  efginvrel2  19500  efgredleme  19516  efgcpbllemb  19528  efgcpbl2  19530  frgp0  19533  frgpnabllem1  19642  pgpfaclem3  19853  0ewlk  28944  0wlk  28946  konigsberglem1  29082  konigsberglem2  29083  konigsberglem3  29084  cyc3genpmlem  31883  cyc3genpm  31884  signsvf0  33061  mrsub0  33979  elmrsubrn  33983  upwordnul  45051
  Copyright terms: Public domain W3C validator