Theorem 0csh0 14765

Description: Cyclically shifting an empty set/word always results in the empty word/set. (Contributed by AV, 25-Oct-2018.) (Revised by AV, 17-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0csh0	⊢ (∅ cyclShift 𝑁) = ∅

Proof of Theorem 0csh0

Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csh 14761	. . . 4 ⊢ cyclShift = (𝑤 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}, 𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤))))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → cyclShift = (𝑤 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}, 𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤)))))))
3		iftrue 4497	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤))))) = ∅)
4	3	ad2antrl 728	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑤 = ∅ ∧ 𝑛 = 𝑁)) → if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤))))) = ∅)
5		0nn0 12464	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		f0 6744	. . . . . . 7 ⊢ ∅:∅⟶V
7		ffn 6691	. . . . . . . 8 ⊢ (∅:∅⟶V → ∅ Fn ∅)
8		fzo0 13651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^0) = ∅
9	8	eqcomi 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ = (0..^0)
10	9	fneq2i 6619	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ Fn (0..^0))
11	7, 10	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (∅:∅⟶V → ∅ Fn (0..^0))
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∅ Fn (0..^0)
13		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
14		oveq2 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 0 → (0..^𝑙) = (0..^0))
15	14	fneq2d 6615	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 0 → (∅ Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^0)))
16	15	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 = 0) → (∅ Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^0)))
17	13, 16	rspcedv 3584	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (∅ Fn (0..^0) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)))
18	5, 12, 17	mp2 9	. . . . 5 ⊢ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)
19		0ex 5265	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
20		fneq1 6612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓 Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^𝑙)))
21	20	rexbidv 3158	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)))
22	19, 21	elab 3649	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)} ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙))
23	18, 22	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)})
25		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
26	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∅ ∈ V)
27	2, 4, 24, 25, 26	ovmpod 7544	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∅ cyclShift 𝑁) = ∅)
28		cshnz 14764	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℤ → (∅ cyclShift 𝑁) = ∅)
29	27, 28	pm2.61i 182	1 ⊢ (∅ cyclShift 𝑁) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2708  ∃wrex 3054  Vcvv 3450  ∅c0 4299  ifcif 4491  ⟨cop 4598   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  0cc0 11075  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ..^cfzo 13622   mod cmo 13838  ♯chash 14302   ++ cconcat 14542   substr csubstr 14612   prefix cpfx 14642   cyclShift ccsh 14760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-csh 14761

This theorem is referenced by:  cshw0  14766  cshwmodn  14767  cshwn  14769  cshwlen  14771  repswcshw  14784