Theorem 0csh0 14841

Description: Cyclically shifting an empty set/word always results in the empty word/set. (Contributed by AV, 25-Oct-2018.) (Revised by AV, 17-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0csh0	⊢ (∅ cyclShift 𝑁) = ∅

Proof of Theorem 0csh0

Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csh 14837	. . . 4 ⊢ cyclShift = (𝑤 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}, 𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤))))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → cyclShift = (𝑤 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}, 𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤)))))))
3		iftrue 4554	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤))))) = ∅)
4	3	ad2antrl 727	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑤 = ∅ ∧ 𝑛 = 𝑁)) → if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤))))) = ∅)
5		0nn0 12568	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		f0 6802	. . . . . . 7 ⊢ ∅:∅⟶V
7		ffn 6747	. . . . . . . 8 ⊢ (∅:∅⟶V → ∅ Fn ∅)
8		fzo0 13740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^0) = ∅
9	8	eqcomi 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ = (0..^0)
10	9	fneq2i 6677	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ Fn (0..^0))
11	7, 10	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (∅:∅⟶V → ∅ Fn (0..^0))
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∅ Fn (0..^0)
13		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
14		oveq2 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 0 → (0..^𝑙) = (0..^0))
15	14	fneq2d 6673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 0 → (∅ Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^0)))
16	15	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 = 0) → (∅ Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^0)))
17	13, 16	rspcedv 3628	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (∅ Fn (0..^0) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)))
18	5, 12, 17	mp2 9	. . . . 5 ⊢ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)
19		0ex 5325	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
20		fneq1 6670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓 Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^𝑙)))
21	20	rexbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)))
22	19, 21	elab 3694	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)} ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙))
23	18, 22	mpbir 231	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)})
25		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
26	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∅ ∈ V)
27	2, 4, 24, 25, 26	ovmpod 7602	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∅ cyclShift 𝑁) = ∅)
28		cshnz 14840	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℤ → (∅ cyclShift 𝑁) = ∅)
29	27, 28	pm2.61i 182	1 ⊢ (∅ cyclShift 𝑁) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∃wrex 3076  Vcvv 3488  ∅c0 4352  ifcif 4548  ⟨cop 4654   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  0cc0 11184  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ..^cfzo 13711   mod cmo 13920  ♯chash 14379   ++ cconcat 14618   substr csubstr 14688   prefix cpfx 14718   cyclShift ccsh 14836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-csh 14837

This theorem is referenced by:  cshw0  14842  cshwmodn  14843  cshwn  14845  cshwlen  14847  repswcshw  14860