Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0csh0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0csh0 14147
 Description: Cyclically shifting an empty set/word always results in the empty word/set. (Contributed by AV, 25-Oct-2018.) (Revised by AV, 17-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
0csh0 (∅ cyclShift 𝑁) = ∅

Proof of Theorem 0csh0
Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-csh 14143 . . . 4 cyclShift = (𝑤 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}, 𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤))))))
21a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → cyclShift = (𝑤 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}, 𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤)))))))
3 iftrue 4471 . . . 4 (𝑤 = ∅ → if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤))))) = ∅)
43ad2antrl 726 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑤 = ∅ ∧ 𝑛 = 𝑁)) → if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤))))) = ∅)
5 0nn0 11904 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
6 f0 6553 . . . . . . 7 ∅:∅⟶V
7 ffn 6507 . . . . . . . 8 (∅:∅⟶V → ∅ Fn ∅)
8 fzo0 13053 . . . . . . . . . 10 (0..^0) = ∅
98eqcomi 2828 . . . . . . . . 9 ∅ = (0..^0)
109fneq2i 6444 . . . . . . . 8 (∅ Fn ∅ ↔ ∅ Fn (0..^0))
117, 10sylib 220 . . . . . . 7 (∅:∅⟶V → ∅ Fn (0..^0))
126, 11ax-mp 5 . . . . . 6 ∅ Fn (0..^0)
13 id 22 . . . . . . 7 (0 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
14 oveq2 7156 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 0 → (0..^𝑙) = (0..^0))
1514fneq2d 6440 . . . . . . . 8 (𝑙 = 0 → (∅ Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^0)))
1615adantl 484 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℕ0𝑙 = 0) → (∅ Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^0)))
1713, 16rspcedv 3614 . . . . . 6 (0 ∈ ℕ0 → (∅ Fn (0..^0) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)))
185, 12, 17mp2 9 . . . . 5 𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)
19 0ex 5202 . . . . . 6 ∅ ∈ V
20 fneq1 6437 . . . . . . 7 (𝑓 = ∅ → (𝑓 Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^𝑙)))
2120rexbidv 3295 . . . . . 6 (𝑓 = ∅ → (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)))
2219, 21elab 3665 . . . . 5 (∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)} ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙))
2318, 22mpbir 233 . . . 4 ∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}
2423a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)})
25 id 22 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
2619a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ∅ ∈ V)
272, 4, 24, 25, 26ovmpod 7294 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (∅ cyclShift 𝑁) = ∅)
28 cshnz 14146 . 2 𝑁 ∈ ℤ → (∅ cyclShift 𝑁) = ∅)
2927, 28pm2.61i 184 1 (∅ cyclShift 𝑁) = ∅
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  {cab 2797  ∃wrex 3137  Vcvv 3493  ∅c0 4289  ifcif 4465  ⟨cop 4565   Fn wfn 6343  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ∈ cmpo 7150  0cc0 10529  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ..^cfzo 13025   mod cmo 13229  ♯chash 13682   ++ cconcat 13914   substr csubstr 13994   prefix cpfx 14024   cyclShift ccsh 14142 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-csh 14143 This theorem is referenced by:  cshw0  14148  cshwmodn  14149  cshwn  14151  cshwlen  14153  repswcshw  14166
 Copyright terms: Public domain W3C validator