Theorem 0csh0 14832

Description: Cyclically shifting an empty set/word always results in the empty word/set. (Contributed by AV, 25-Oct-2018.) (Revised by AV, 17-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0csh0	⊢ (∅ cyclShift 𝑁) = ∅

Proof of Theorem 0csh0

Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csh 14828	. . . 4 ⊢ cyclShift = (𝑤 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}, 𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤))))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → cyclShift = (𝑤 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}, 𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤)))))))
3		iftrue 4494	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤))))) = ∅)
4	3	ad2antrl 740	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑤 = ∅ ∧ 𝑛 = 𝑁)) → if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤))))) = ∅)
5		0nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		f0 6761	. . . . . . 7 ⊢ ∅:∅⟶V
7		ffn 6707	. . . . . . . 8 ⊢ (∅:∅⟶V → ∅ Fn ∅)
8		fzo0 13714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^0) = ∅
9	8	eqcomi 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ = (0..^0)
10	9	fneq2i 6635	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ Fn (0..^0))
11	7, 10	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (∅:∅⟶V → ∅ Fn (0..^0))
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∅ Fn (0..^0)
13		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
14		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 0 → (0..^𝑙) = (0..^0))
15	14	fneq2d 6631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 0 → (∅ Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^0)))
16	15	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 = 0) → (∅ Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^0)))
17	13, 16	rspcedv 3575	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (∅ Fn (0..^0) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)))
18	5, 12, 17	mp2 9	. . . . 5 ⊢ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)
19		0ex 5271	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
20		fneq1 6628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓 Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^𝑙)))
21	20	rexbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)))
22	19, 21	elab 3639	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)} ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙))
23	18, 22	mpbir 234	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)})
25		id 23	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
26	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∅ ∈ V)
27	2, 4, 24, 25, 26	ovmpod 7564	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∅ cyclShift 𝑁) = ∅)
28		cshnz 14831	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℤ → (∅ cyclShift 𝑁) = ∅)
29	27, 28	pm2.61i 184	1 ⊢ (∅ cyclShift 𝑁) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∃wrex 3089  Vcvv 3455  ∅c0 4287  ifcif 4488  ⟨cop 4596   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  0cc0 11101  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ..^cfzo 13684   mod cmo 13904  ♯chash 14368   ++ cconcat 14609   substr csubstr 14680   prefix cpfx 14710   cyclShift ccsh 14827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-csh 14828

This theorem is referenced by:  cshw0  14833  cshwmodn  14834  cshwn  14836  cshwlen  14838  repswcshw  14851