Theorem 0csh0 14747

Description: Cyclically shifting an empty set/word always results in the empty word/set. (Contributed by AV, 25-Oct-2018.) (Revised by AV, 17-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
0csh0	⊢ (∅ cyclShift 𝑁) = ∅

Proof of Theorem 0csh0

Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-csh 14743	. . . 4 ⊢ cyclShift = (𝑤 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}, 𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤))))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → cyclShift = (𝑤 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}, 𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤)))))))
3		iftrue 4461	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤))))) = ∅)
4	3	ad2antrl 734	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑤 = ∅ ∧ 𝑛 = 𝑁)) → if(𝑤 = ∅, ∅, ((𝑤 substr ⟨(𝑛 mod (♯‘𝑤)), (♯‘𝑤)⟩) ++ (𝑤 prefix (𝑛 mod (♯‘𝑤))))) = ∅)
5		0nn0 12444	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6		f0 6709	. . . . . . 7 ⊢ ∅:∅⟶V
7		ffn 6656	. . . . . . . 8 ⊢ (∅:∅⟶V → ∅ Fn ∅)
8		fzo0 13630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^0) = ∅
9	8	eqcomi 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ = (0..^0)
10	9	fneq2i 6584	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ Fn (0..^0))
11	7, 10	sylib 219	. . . . . . 7 ⊢ (∅:∅⟶V → ∅ Fn (0..^0))
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∅ Fn (0..^0)
13		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
14		oveq2 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 0 → (0..^𝑙) = (0..^0))
15	14	fneq2d 6580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 0 → (∅ Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^0)))
16	15	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 = 0) → (∅ Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^0)))
17	13, 16	rspcedv 3553	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (∅ Fn (0..^0) → ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)))
18	5, 12, 17	mp2 9	. . . . 5 ⊢ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)
19		0ex 5230	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
20		fneq1 6577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓 Fn (0..^𝑙) ↔ ∅ Fn (0..^𝑙)))
21	20	rexbidv 3163	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ∅ → (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙)))
22	19, 21	elab 3617	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)} ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 ∅ Fn (0..^𝑙))
23	18, 22	mpbir 232	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)}
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∅ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑓 Fn (0..^𝑙)})
25		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
26	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∅ ∈ V)
27	2, 4, 24, 25, 26	ovmpod 7509	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∅ cyclShift 𝑁) = ∅)
28		cshnz 14746	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℤ → (∅ cyclShift 𝑁) = ∅)
29	27, 28	pm2.61i 183	1 ⊢ (∅ cyclShift 𝑁) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2717  ∃wrex 3063  Vcvv 3431  ∅c0 4262  ifcif 4455  ⟨cop 4562   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  0cc0 11030  ℕ₀cn0 12429  ℤcz 12516  ..^cfzo 13600   mod cmo 13820  ♯chash 14284   ++ cconcat 14524   substr csubstr 14595   prefix cpfx 14625   cyclShift ccsh 14742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-csh 14743

This theorem is referenced by:  cshw0  14748  cshwmodn  14749  cshwn  14751  cshwlen  14753  repswcshw  14766