Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvlelem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvlelem3 45299
Description: This is the contradiction proven in step (d) in the proof of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvlelem3.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
hoidmvlelem3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvlelem3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
hoidmvlelem3.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ))
hoidmvlelem3.w π‘Š = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
hoidmvlelem3.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘ŠβŸΆβ„)
hoidmvlelem3.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘ŠβŸΆβ„)
hoidmvlelem3.lt ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
hoidmvlelem3.f 𝐹 = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)
hoidmvlelem3.c (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
hoidmvlelem3.j 𝐽 = (𝑗 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
hoidmvlelem3.d (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
hoidmvlelem3.k 𝐾 = (𝑗 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
hoidmvlelem3.r (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
hoidmvlelem3.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))))
hoidmvlelem3.g 𝐺 = ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ))
hoidmvlelem3.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
hoidmvlelem3.u π‘ˆ = {𝑧 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)) ∣ (𝐺 Β· (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + 𝐸) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))))))}
hoidmvlelem3.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
hoidmvlelem3.sb (πœ‘ β†’ 𝑆 < (π΅β€˜π‘))
hoidmvlelem3.p 𝑃 = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)))
hoidmvlelem3.i (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
hoidmvlelem3.i2 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘Š ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
hoidmvlelem3.o 𝑂 = (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ↦ (π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆)))
Assertion
Ref Expression
hoidmvlelem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑆 < 𝑒)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝐴,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑗,π‘˜   𝑧,𝐴,β„Ž,𝑗   𝐡,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝐡,𝑐,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝐡,𝑓,𝑔   𝑒,𝐡,β„Ž,𝑗   𝑧,𝐡   𝐢,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝐢,𝑐   𝑒,𝐢   𝑧,𝐢   𝐷,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝐷,𝑐   𝑒,𝐷   𝑧,𝐷   𝐸,π‘Ž,𝑏,β„Ž,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝐸,𝑐   𝑧,𝐸   𝑗,𝐹   𝐺,π‘Ž,𝑏,β„Ž,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝐺,𝑐   𝑧,𝐺   𝐻,π‘Ž,𝑏,𝑗,π‘˜   𝑧,𝐻   𝐽,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑔,𝐽   𝐾,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝐿,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑒,𝐿,𝑓,𝑔   𝑧,𝐿   𝑗,𝑂,π‘˜   𝑃,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑃,𝑐   𝑆,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑐   𝑒,𝑆   𝑧,𝑆   𝑒,π‘ˆ   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘₯   π‘Š,𝑐   𝑧,π‘Š   π‘Œ,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘Œ,𝑐   𝑒,π‘Œ,𝑓,𝑔   𝑍,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑍,𝑐   𝑒,𝑍   𝑧,𝑍   πœ‘,π‘Ž,𝑏,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑐
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑒,𝑒,𝑓,𝑔)   𝐴(𝑦,𝑒,𝑐)   𝐡(𝑒)   𝐢(𝑒,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑒,𝑓,𝑔)   𝑃(𝑧,𝑒,𝑒,𝑓,𝑔)   𝑆(𝑒,𝑓,𝑔)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐸(𝑒,𝑒,𝑓,𝑔,𝑗)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑒,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘˜,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐺(𝑒,𝑒,𝑓,𝑔,𝑗)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑒,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑐)   𝐽(𝑦,𝑧,𝑒,𝑒,𝑓,𝑐)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑒,𝑒,𝑓,𝑔,𝑐)   𝐿(𝑦,𝑒,𝑐)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑒,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ž,𝑏,𝑐)   π‘Š(𝑦,𝑒,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝑋(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑒,𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏,𝑐)   π‘Œ(𝑧,𝑒)   𝑍(𝑒,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem hoidmvlelem3
Dummy variables 𝑖 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 12219 . . . . 5 1 ∈ β„•
21a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ 1 ∈ β„•)
3 0le0 12309 . . . . . 6 0 ≀ 0
43a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ 0 ≀ 0)
5 hoidmvlelem3.g . . . . . . . 8 𝐺 = ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ))
65a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ 𝐺 = ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)))
7 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (π‘Œ = βˆ… β†’ (πΏβ€˜π‘Œ) = (πΏβ€˜βˆ…))
8 reseq2 5974 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ = βˆ… β†’ (𝐴 β†Ύ π‘Œ) = (𝐴 β†Ύ βˆ…))
9 res0 5983 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ = βˆ… β†’ (𝐴 β†Ύ βˆ…) = βˆ…)
118, 10eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (π‘Œ = βˆ… β†’ (𝐴 β†Ύ π‘Œ) = βˆ…)
12 reseq2 5974 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ = βˆ… β†’ (𝐡 β†Ύ π‘Œ) = (𝐡 β†Ύ βˆ…))
13 res0 5983 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ = βˆ… β†’ (𝐡 β†Ύ βˆ…) = βˆ…)
1512, 14eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (π‘Œ = βˆ… β†’ (𝐡 β†Ύ π‘Œ) = βˆ…)
167, 11, 15oveq123d 7426 . . . . . . . 8 (π‘Œ = βˆ… β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) = (βˆ…(πΏβ€˜βˆ…)βˆ…))
1716adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) = (βˆ…(πΏβ€˜βˆ…)βˆ…))
18 hoidmvlelem3.l . . . . . . . 8 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
19 f0 6769 . . . . . . . . 9 βˆ…:βˆ…βŸΆβ„
2019a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ βˆ…:βˆ…βŸΆβ„)
2118, 20, 20hoidmv0val 45285 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ (βˆ…(πΏβ€˜βˆ…)βˆ…) = 0)
226, 17, 213eqtrd 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ 𝐺 = 0)
23 nfcvd 2904 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Ⅎ𝑗(π‘ƒβ€˜1))
24 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘—πœ‘
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = 1) β†’ 𝑗 = 1)
2625fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜1))
27 1red 11211 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
28 rge0ssre 13429 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ πœ‘)
301a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
311elexi 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
32 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 1 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↔ 1 ∈ β„•))
3332anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 1 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ↔ (πœ‘ ∧ 1 ∈ β„•)))
34 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜1))
3534eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 1 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (0[,)+∞)))
3633, 35imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 1 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((πœ‘ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (0[,)+∞))))
37 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„•)
38 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)) ∈ V)
39 hoidmvlelem3.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑃 = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)))
4039fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ β„• ∧ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)) ∈ V) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)))
4137, 38, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)))
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)))
43 hoidmvlelem3.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
44 hoidmvlelem3.w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 π‘Š = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ π‘Š = (π‘Œ βˆͺ {𝑍}))
46 hoidmvlelem3.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
47 hoidmvlelem3.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ))
4847eldifad 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
49 snssi 4810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑍 ∈ 𝑋 β†’ {𝑍} βŠ† 𝑋)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ {𝑍} βŠ† 𝑋)
5146, 50unssd 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) βŠ† 𝑋)
5245, 51eqsstrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† 𝑋)
5343, 52ssfid 9263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Fin)
54 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π‘Œ βŠ† (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
5544eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) = π‘Š
5654, 55sseqtri 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π‘Œ βŠ† π‘Š
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† π‘Š)
5853, 57ssfid 9263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Fin)
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ π‘Œ ∈ Fin)
60 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) = ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ))
6160adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) = ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ))
62 hoidmvlelem3.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
6362ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š))
64 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πΆβ€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š) β†’ (πΆβ€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
6654, 44sseqtrri 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 π‘Œ βŠ† π‘Š
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ π‘Œ βŠ† π‘Š)
6865, 67fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβ„)
69 reex 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℝ ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ℝ ∈ V)
7153, 57ssexd 5323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ π‘Œ ∈ V)
7370, 72elmapd 8830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ) ↔ ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβ„))
7468, 73mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
7661, 75eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
77 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Β¬ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) = 𝐹)
7877adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) = 𝐹)
79 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 0 ∈ ℝ)
80 hoidmvlelem3.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐹 = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)
8179, 80fmptd 7110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆβ„)
8269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
8382, 58elmapd 8830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m π‘Œ) ↔ 𝐹:π‘ŒβŸΆβ„))
8481, 83mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
8584ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
8678, 85eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
8776, 86pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
88 hoidmvlelem3.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐽 = (𝑗 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
8987, 88fmptd 7110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐽:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Œ))
9089ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π½β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
91 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π½β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ) β†’ (π½β€˜π‘—):π‘ŒβŸΆβ„)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π½β€˜π‘—):π‘ŒβŸΆβ„)
93 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) = ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ))
9493adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) = ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ))
95 hoidmvlelem3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
9695ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š))
97 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π·β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š) β†’ (π·β€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
9998, 67fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβ„)
10070, 72elmapd 8830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ) ↔ ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβ„))
10199, 100mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
10394, 102eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
104 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Β¬ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) = 𝐹)
105104adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) = 𝐹)
106105, 85eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
107103, 106pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
108 hoidmvlelem3.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (𝑗 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
109107, 108fmptd 7110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Œ))
110109ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
111 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΎβ€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ) β†’ (πΎβ€˜π‘—):π‘ŒβŸΆβ„)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘—):π‘ŒβŸΆβ„)
11318, 59, 92, 112hoidmvcl 45284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)) ∈ (0[,)+∞))
11442, 113eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞))
11531, 36, 114vtocl 3549 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (0[,)+∞))
11629, 30, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (0[,)+∞))
11728, 116sselid 3979 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ ℝ)
118117recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ β„‚)
11923, 24, 26, 27, 118sumsnd 43695 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ {1} (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜1))
120119adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ Σ𝑗 ∈ {1} (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜1))
121 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 1 β†’ (π½β€˜π‘—) = (π½β€˜1))
122 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 1 β†’ (πΎβ€˜π‘—) = (πΎβ€˜1))
123121, 122oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 1 β†’ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)) = ((π½β€˜1)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜1)))
124 ovex 7438 . . . . . . . . . . . 12 ((π½β€˜1)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜1)) ∈ V
125123, 39, 124fvmpt 6995 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ β„• β†’ (π‘ƒβ€˜1) = ((π½β€˜1)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜1)))
1261, 125ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (π‘ƒβ€˜1) = ((π½β€˜1)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜1))
127126a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ (π‘ƒβ€˜1) = ((π½β€˜1)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜1)))
1287oveqd 7422 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ = βˆ… β†’ ((π½β€˜1)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜1)) = ((π½β€˜1)(πΏβ€˜βˆ…)(πΎβ€˜1)))
129128adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((π½β€˜1)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜1)) = ((π½β€˜1)(πΏβ€˜βˆ…)(πΎβ€˜1)))
130121feq1d 6699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 1 β†’ ((π½β€˜π‘—):π‘ŒβŸΆβ„ ↔ (π½β€˜1):π‘ŒβŸΆβ„))
13133, 130imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 1 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π½β€˜π‘—):π‘ŒβŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (π½β€˜1):π‘ŒβŸΆβ„)))
13268adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβ„)
13361feq1d 6699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ (if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹):π‘ŒβŸΆβ„ ↔ ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβ„))
134132, 133mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹):π‘ŒβŸΆβ„)
13581ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆβ„)
13678feq1d 6699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ (if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹):π‘ŒβŸΆβ„ ↔ 𝐹:π‘ŒβŸΆβ„))
137135, 136mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹):π‘ŒβŸΆβ„)
138134, 137pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹):π‘ŒβŸΆβ„)
139 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
140 fvex 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πΆβ€˜π‘—) ∈ V
141140resex 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ) ∈ V
14261, 141eqeltrdi 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) ∈ V)
14384elexd 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
144143adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐹 ∈ V)
145144adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ 𝐹 ∈ V)
14678, 145eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) ∈ V)
147142, 146pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) ∈ V)
14888fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ β„• ∧ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) ∈ V) β†’ (π½β€˜π‘—) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
149139, 147, 148syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π½β€˜π‘—) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
150149feq1d 6699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π½β€˜π‘—):π‘ŒβŸΆβ„ ↔ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹):π‘ŒβŸΆβ„))
151138, 150mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π½β€˜π‘—):π‘ŒβŸΆβ„)
15231, 131, 151vtocl 3549 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (π½β€˜1):π‘ŒβŸΆβ„)
15329, 30, 152syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π½β€˜1):π‘ŒβŸΆβ„)
154153adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ (π½β€˜1):π‘ŒβŸΆβ„)
155 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Œ = βˆ… β†’ π‘Œ = βˆ…)
156155eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Œ = βˆ… β†’ βˆ… = π‘Œ)
157156feq2d 6700 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ = βˆ… β†’ ((π½β€˜1):βˆ…βŸΆβ„ ↔ (π½β€˜1):π‘ŒβŸΆβ„))
158157adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((π½β€˜1):βˆ…βŸΆβ„ ↔ (π½β€˜1):π‘ŒβŸΆβ„))
159154, 158mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ (π½β€˜1):βˆ…βŸΆβ„)
160122feq1d 6699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 1 β†’ ((πΎβ€˜π‘—):π‘ŒβŸΆβ„ ↔ (πΎβ€˜1):π‘ŒβŸΆβ„))
16133, 160imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 1 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘—):π‘ŒβŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜1):π‘ŒβŸΆβ„)))
16231, 161, 112vtocl 3549 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜1):π‘ŒβŸΆβ„)
16329, 30, 162syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜1):π‘ŒβŸΆβ„)
164163adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ (πΎβ€˜1):π‘ŒβŸΆβ„)
165156feq2d 6700 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ = βˆ… β†’ ((πΎβ€˜1):βˆ…βŸΆβ„ ↔ (πΎβ€˜1):π‘ŒβŸΆβ„))
166165adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((πΎβ€˜1):βˆ…βŸΆβ„ ↔ (πΎβ€˜1):π‘ŒβŸΆβ„))
167164, 166mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ (πΎβ€˜1):βˆ…βŸΆβ„)
16818, 159, 167hoidmv0val 45285 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((π½β€˜1)(πΏβ€˜βˆ…)(πΎβ€˜1)) = 0)
169129, 168eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((π½β€˜1)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜1)) = 0)
170120, 127, 1693eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ Σ𝑗 ∈ {1} (π‘ƒβ€˜π‘—) = 0)
171170oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ {1} (π‘ƒβ€˜π‘—)) = ((1 + 𝐸) Β· 0))
172 hoidmvlelem3.e . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
173172rpred 13012 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
17427, 173readdcld 11239 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 + 𝐸) ∈ ℝ)
175174recnd 11238 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 + 𝐸) ∈ β„‚)
176175mul01d 11409 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1 + 𝐸) Β· 0) = 0)
177176adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((1 + 𝐸) Β· 0) = 0)
178 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ 0 = 0)
179171, 177, 1783eqtrd 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ {1} (π‘ƒβ€˜π‘—)) = 0)
18022, 179breq12d 5160 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ (𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ {1} (π‘ƒβ€˜π‘—)) ↔ 0 ≀ 0))
1814, 180mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ {1} (π‘ƒβ€˜π‘—)))
182 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (π‘š = 1 β†’ (1...π‘š) = (1...1))
1831nnzi 12582 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„€
184 fzsn 13539 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ β„€ β†’ (1...1) = {1})
185183, 184ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1...1) = {1}
186185a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘š = 1 β†’ (1...1) = {1})
187182, 186eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (π‘š = 1 β†’ (1...π‘š) = {1})
188187sumeq1d 15643 . . . . . . 7 (π‘š = 1 β†’ Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—) = Σ𝑗 ∈ {1} (π‘ƒβ€˜π‘—))
189188oveq2d 7421 . . . . . 6 (π‘š = 1 β†’ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) = ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ {1} (π‘ƒβ€˜π‘—)))
190189breq2d 5159 . . . . 5 (π‘š = 1 β†’ (𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) ↔ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ {1} (π‘ƒβ€˜π‘—))))
191190rspcev 3612 . . . 4 ((1 ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ {1} (π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)))
1922, 181, 191syl2anc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)))
193 simpl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ = βˆ…) β†’ πœ‘)
194 neqne 2948 . . . . 5 (Β¬ π‘Œ = βˆ… β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
195194adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ = βˆ…) β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
196 nfv 1917 . . . . . 6 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…)
197183a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ 1 ∈ β„€)
198 nnuz 12861 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
199114adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞))
200 hoidmvlelem3.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘ŠβŸΆβ„)
20166a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† π‘Š)
202200, 201fssresd 6755 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβ„)
203 hoidmvlelem3.b . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘ŠβŸΆβ„)
204203, 201fssresd 6755 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβ„)
20518, 58, 202, 204hoidmvcl 45284 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ∈ (0[,)+∞))
20628, 205sselid 3979 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ∈ ℝ)
2075, 206eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ℝ)
208 0red 11213 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
209 1rp 12974 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
210209a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
211210, 172jca 512 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+))
212 rpaddcl 12992 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) β†’ (1 + 𝐸) ∈ ℝ+)
213211, 212syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 + 𝐸) ∈ ℝ+)
214 rpgt0 12982 . . . . . . . . . 10 ((1 + 𝐸) ∈ ℝ+ β†’ 0 < (1 + 𝐸))
215213, 214syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (1 + 𝐸))
216208, 215gtned 11345 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 + 𝐸) β‰  0)
217207, 174, 216redivcld 12038 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 / (1 + 𝐸)) ∈ ℝ)
218217adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 / (1 + 𝐸)) ∈ ℝ)
219217ltpnfd 13097 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < +∞)
220219adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞) β†’ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < +∞)
221 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞)
222221eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞ β†’ +∞ = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))))
223222adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞) β†’ +∞ = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))))
224220, 223breqtrd 5173 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞) β†’ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))))
225224adantlr 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞) β†’ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))))
226 simpl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞) β†’ (πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…))
227 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞) β†’ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞)
228 nnex 12214 . . . . . . . . . . . 12 β„• ∈ V
229228a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞) β†’ β„• ∈ V)
230 icossicc 13409 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
231230, 114sselid 3979 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ (0[,]+∞))
232 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—)) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))
233231, 232fmptd 7110 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—)):β„•βŸΆ(0[,]+∞))
234233adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞) β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—)):β„•βŸΆ(0[,]+∞))
235229, 234sge0repnf 45088 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞) β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) ∈ ℝ ↔ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞))
236227, 235mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
237236adantlr 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
238218adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) ∈ ℝ) β†’ (𝐺 / (1 + 𝐸)) ∈ ℝ)
239207adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) ∈ ℝ) β†’ 𝐺 ∈ ℝ)
240239adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) ∈ ℝ) β†’ 𝐺 ∈ ℝ)
241 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) ∈ ℝ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) ∈ ℝ)
24227, 172ltaddrpd 13045 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 < (1 + 𝐸))
243242adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ 1 < (1 + 𝐸))
24458adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ Fin)
245 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
246202adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβ„)
247204adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (𝐡 β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβ„)
24818, 244, 245, 246, 247hoidmvn0val 45286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) = βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜(((𝐴 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜)[,)((𝐡 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))))
2495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 = ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)))
250 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ π‘Œ β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
251 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ π‘Œ β†’ ((𝐡 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
252250, 251oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ π‘Œ β†’ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜)[,)((𝐡 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
253252fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ π‘Œ β†’ (volβ€˜(((𝐴 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜)[,)((𝐡 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
254253adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (volβ€˜(((𝐴 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜)[,)((𝐡 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
255200adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴:π‘ŠβŸΆβ„)
256 elun1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ π‘Œ β†’ π‘˜ ∈ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}))
257256, 44eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ π‘Œ β†’ π‘˜ ∈ π‘Š)
258257adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ ∈ π‘Š)
259255, 258ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
260203adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡:π‘ŠβŸΆβ„)
261260, 258ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
262 volico 44685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = if((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0))
263259, 261, 262syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = if((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0))
264 hoidmvlelem3.lt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
265258, 264syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
266265iftrued 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ if((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜), ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)), 0) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
267254, 263, 2663eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (volβ€˜(((𝐴 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜)[,)((𝐡 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
268267prodeq2dv 15863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜(((𝐴 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜)[,)((𝐡 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
269268eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜(((𝐴 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜)[,)((𝐡 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))))
270269adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜(((𝐴 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜)[,)((𝐡 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))))
271248, 249, 2703eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 = βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
272 difrp 13008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) ↔ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ+))
273259, 261, 272syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜) ↔ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ+))
274265, 273mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ+)
27558, 274fprodrpcl 15896 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ+)
276275adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ+)
277271, 276eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 ∈ ℝ+)
278213adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (1 + 𝐸) ∈ ℝ+)
279277, 278ltdivgt1 44052 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (1 < (1 + 𝐸) ↔ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < 𝐺))
280243, 279mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < 𝐺)
281280adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) ∈ ℝ) β†’ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < 𝐺)
282 hoidmvlelem3.i2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘Š ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
283282adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘Š ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
284 fvexd 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ V)
285 hoidmvlelem3.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
286285elexd 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
287284, 286ifcld 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) ∈ V)
288287ralrimivw 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) ∈ V)
289288adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) ∈ V)
290 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆)) = (π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))
291290fnmpt 6687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆)) Fn π‘Š)
292289, 291syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ (π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆)) Fn π‘Š)
293 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
294 mptexg 7219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘Š ∈ Fin β†’ (π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆)) ∈ V)
29553, 294syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆)) ∈ V)
296295adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ (π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆)) ∈ V)
297 hoidmvlelem3.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑂 = (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ↦ (π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆)))
298297fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∧ (π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆)) ∈ V) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) = (π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆)))
299293, 296, 298syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) = (π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆)))
300299fneq1d 6639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯) Fn π‘Š ↔ (π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆)) Fn π‘Š))
301292, 300mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) Fn π‘Š)
302 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 β„²π‘˜πœ‘
303 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 β„²π‘˜π‘₯
304 nfixp1 8908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 β„²π‘˜Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
305303, 304nfel 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 β„²π‘˜ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
306302, 305nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
307299fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))β€˜π‘˜))
308307adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))β€˜π‘˜))
309 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ π‘˜ ∈ π‘Š)
310287adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) ∈ V)
311290fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘˜ ∈ π‘Š ∧ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))
312309, 310, 311syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ ((π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))
313312adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ ((π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))
314308, 313eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))
315 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ ∈ π‘Œ β†’ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) = (π‘₯β€˜π‘˜))
316315adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) = (π‘₯β€˜π‘˜))
317 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 π‘₯ ∈ V
318317elixp 8894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ↔ (π‘₯ Fn π‘Œ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Œ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
319318simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Œ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
320319adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Œ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
321 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ ∈ π‘Œ)
322 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((βˆ€π‘˜ ∈ π‘Œ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
323320, 321, 322syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
324323ad4ant24 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
325316, 324eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
326 snidg 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑍 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ) β†’ 𝑍 ∈ {𝑍})
32747, 326syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ {𝑍})
328 elun2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑍 ∈ {𝑍} β†’ 𝑍 ∈ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}))
329327, 328syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}))
33055a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) = π‘Š)
331329, 330eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘Š)
332200, 331ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘) ∈ ℝ)
333332rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘) ∈ ℝ*)
334203, 331ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π‘) ∈ ℝ)
335334rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π‘) ∈ ℝ*)
336 iccssxr 13403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)) βŠ† ℝ*
337 hoidmvlelem3.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 π‘ˆ = {𝑧 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)) ∣ (𝐺 Β· (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + 𝐸) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))))))}
338 ssrab2 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 {𝑧 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)) ∣ (𝐺 Β· (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + 𝐸) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))))))} βŠ† ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘))
339337, 338eqsstri 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 π‘ˆ βŠ† ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘))
340339, 285sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)))
341336, 340sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
342 iccgelb 13376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π΄β€˜π‘) ∈ ℝ* ∧ (π΅β€˜π‘) ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘))) β†’ (π΄β€˜π‘) ≀ 𝑆)
343333, 335, 340, 342syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘) ≀ 𝑆)
344 hoidmvlelem3.sb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ 𝑆 < (π΅β€˜π‘))
345333, 335, 341, 343, 344elicod 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))
346345ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))
347 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (Β¬ π‘˜ ∈ π‘Œ β†’ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) = 𝑆)
348347adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) = 𝑆)
34944eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘˜ ∈ π‘Š ↔ π‘˜ ∈ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}))
350349biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘˜ ∈ π‘Š β†’ π‘˜ ∈ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}))
351350adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘˜ ∈ π‘Š ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ ∈ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}))
352 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘˜ ∈ π‘Š ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ π‘Œ)
353 elunnel1 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘˜ ∈ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ ∈ {𝑍})
354351, 352, 353syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π‘˜ ∈ π‘Š ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ ∈ {𝑍})
355 elsni 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘˜ ∈ {𝑍} β†’ π‘˜ = 𝑍)
356354, 355syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((π‘˜ ∈ π‘Š ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ = 𝑍)
357 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘))
358 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘))
359357, 358oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘˜ = 𝑍 β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))
360356, 359syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((π‘˜ ∈ π‘Š ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))
361360adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))
362348, 361eleq12d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ↔ 𝑆 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))))
363346, 362mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
364363adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
365325, 364pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
366314, 365eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
367366ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ (π‘˜ ∈ π‘Š β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
368306, 367ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
369301, 368jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯) Fn π‘Š ∧ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
370 fvex 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ V
371370elixp 8894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ↔ ((π‘‚β€˜π‘₯) Fn π‘Š ∧ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
372369, 371sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
373283, 372sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
374 eliun 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘‚β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
375373, 374sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
376 ixpfn 8893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) β†’ π‘₯ Fn π‘Œ)
377376adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ π‘₯ Fn π‘Œ)
378377ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ π‘₯ Fn π‘Œ)
379 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ β„•
380306, 379nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•)
381 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 β„²π‘˜(π‘‚β€˜π‘₯)
382 nfixp1 8908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 β„²π‘˜Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
383381, 382nfel 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 β„²π‘˜(π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
384380, 383nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
3853073adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))β€˜π‘˜))
386287adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) ∈ V)
387258, 386, 311syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))
3883873adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))
3893153ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) = (π‘₯β€˜π‘˜))
390385, 388, 3893eqtrrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) = ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜))
391390ad5ant125 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) = ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜))
392 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
393370elixp 8894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ ((π‘‚β€˜π‘₯) Fn π‘Š ∧ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
394392, 393sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯) Fn π‘Š ∧ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
395394simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
396257adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ ∈ π‘Š)
397 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ π‘Š) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
398395, 396, 397syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
399398adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
400391, 399eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
40129ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ πœ‘)
40237ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
403299fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘) = ((π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))β€˜π‘))
404 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆)) = (π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆)))
405 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (π‘˜ ∈ π‘Œ ↔ 𝑍 ∈ π‘Œ))
406 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) = (π‘₯β€˜π‘))
407405, 406ifbieq1d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘˜ = 𝑍 β†’ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) = if(𝑍 ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘), 𝑆))
408407adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝑍) β†’ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆) = if(𝑍 ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘), 𝑆))
409 fvexd 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (πœ‘ β†’ (π‘₯β€˜π‘) ∈ V)
410409, 286ifcld 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (πœ‘ β†’ if(𝑍 ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘), 𝑆) ∈ V)
411404, 408, 331, 410fvmptd 7002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))β€˜π‘) = if(𝑍 ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘), 𝑆))
412411adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ ((π‘˜ ∈ π‘Š ↦ if(π‘˜ ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘˜), 𝑆))β€˜π‘) = if(𝑍 ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘), 𝑆))
41347eldifbd 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑍 ∈ π‘Œ)
414413iffalsed 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ‘ β†’ if(𝑍 ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘), 𝑆) = 𝑆)
415414adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ if(𝑍 ∈ π‘Œ, (π‘₯β€˜π‘), 𝑆) = 𝑆)
416403, 412, 4153eqtrrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ 𝑆 = ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘))
417416ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ 𝑆 = ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘))
418401, 331syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ 𝑍 ∈ π‘Š)
419393simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
420419adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
421 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘˜ = 𝑍 β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘))
422 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘˜ = 𝑍 β†’ ((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘))
423 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘˜ = 𝑍 β†’ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))
424422, 423oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)))
425421, 424eleq12d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘) ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))))
426425rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑍 ∈ π‘Š ∧ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Š ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘) ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)))
427418, 420, 426syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯)β€˜π‘) ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)))
428417, 427eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)))
4291493adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ (π½β€˜π‘—) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
430603ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) = ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ))
431429, 430eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ (π½β€˜π‘—) = ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ))
432431fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ ((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = (((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))
433401, 402, 428, 432syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ ((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = (((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))
434433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = (((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))
435 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ ∈ π‘Œ β†’ (((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))
436435adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))
437434, 436eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))
438107elexd 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) ∈ V)
439108fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑗 ∈ β„• ∧ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) ∈ V) β†’ (πΎβ€˜π‘—) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
440139, 438, 439syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘—) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
4414403adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ (πΎβ€˜π‘—) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
442933ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) = ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ))
443441, 442eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ (πΎβ€˜π‘—) = ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ))
444443fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) β†’ ((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) = (((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))
445401, 402, 428, 444syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ ((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) = (((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))
446445adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) = (((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))
447 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ ∈ π‘Œ β†’ (((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜) = ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
448447adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜) = ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
449446, 448eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
450437, 449oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
451450eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
452400, 451eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
453452ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ (π‘˜ ∈ π‘Œ β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
454384, 453ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Œ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
455378, 454jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ (π‘₯ Fn π‘Œ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Œ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
456317elixp 8894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ (π‘₯ Fn π‘Œ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ π‘Œ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
457455, 456sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
458457ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
459458reximdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Š (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
460375, 459mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
461 eliun 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
462460, 461sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
463462ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ X π‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
464 dfss3 3969 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ X π‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
465463, 464sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
466 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (ℝ ↑m π‘Œ) ∈ V)
467228a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
468466, 467elmapd 8830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•) ↔ 𝐾:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Œ)))
469109, 468mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•))
470466, 467elmapd 8830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•) ↔ 𝐽:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Œ)))
47189, 470mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•))
47282, 71elmapd 8830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((𝐡 β†Ύ π‘Œ) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ) ↔ (𝐡 β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβ„))
473204, 472mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐡 β†Ύ π‘Œ) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
47482, 71elmapd 8830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ) ↔ (𝐴 β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβ„))
475202, 474mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐴 β†Ύ π‘Œ) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ))
476 hoidmvlelem3.i . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
477 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑒 = (𝐴 β†Ύ π‘Œ) β†’ (π‘’β€˜π‘˜) = ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))
478477adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑒 = (𝐴 β†Ύ π‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘’β€˜π‘˜) = ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))
479250adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑒 = (𝐴 β†Ύ π‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
480478, 479eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑒 = (𝐴 β†Ύ π‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘’β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
481480oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑒 = (𝐴 β†Ύ π‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)))
482481ixpeq2dva 8902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 = (𝐴 β†Ύ π‘Œ) β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)))
483482sseq1d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 = (𝐴 β†Ύ π‘Œ) β†’ (Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
484 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 = (𝐴 β†Ύ π‘Œ) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) = ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓))
485484breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 = (𝐴 β†Ύ π‘Œ) β†’ ((𝑒(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))) ↔ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
486483, 485imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 = (𝐴 β†Ύ π‘Œ) β†’ ((Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
487486ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = (𝐴 β†Ύ π‘Œ) β†’ (βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))) ↔ βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
488487ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = (𝐴 β†Ύ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
489488ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = (𝐴 β†Ύ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
490489rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 β†Ύ π‘Œ) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))))) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
491475, 476, 490syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
492 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = (𝐡 β†Ύ π‘Œ) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = ((𝐡 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))
493492adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓 = (𝐡 β†Ύ π‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = ((𝐡 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜))
494251adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓 = (𝐡 β†Ύ π‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐡 β†Ύ π‘Œ)β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
495493, 494eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓 = (𝐡 β†Ύ π‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
496495oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑓 = (𝐡 β†Ύ π‘Œ) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
497496ixpeq2dva 8902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = (𝐡 β†Ύ π‘Œ) β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
498497sseq1d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = (𝐡 β†Ύ π‘Œ) β†’ (Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
499 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = (𝐡 β†Ύ π‘Œ) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) = ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)))
500499breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = (𝐡 β†Ύ π‘Œ) β†’ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))) ↔ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
501498, 500imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝐡 β†Ύ π‘Œ) β†’ ((Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
502501ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝐡 β†Ύ π‘Œ) β†’ (βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))) ↔ βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
503502ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝐡 β†Ύ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
504503rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐡 β†Ύ π‘Œ) ∈ (ℝ ↑m π‘Œ) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m π‘Œ)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))))) β†’ βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
505473, 491, 504syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
506 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔 = 𝐽 β†’ (π‘”β€˜π‘—) = (π½β€˜π‘—))
507506fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 = 𝐽 β†’ ((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
508507oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔 = 𝐽 β†’ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
509508ixpeq2dv 8903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 = 𝐽 β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
510509iuneq2d 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = 𝐽 β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
511510sseq2d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 = 𝐽 β†’ (Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
512506oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔 = 𝐽 β†’ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)) = ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))
513512mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 = 𝐽 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))
514513fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑔 = 𝐽 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))))
515514breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 = 𝐽 β†’ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))) ↔ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
516511, 515imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = 𝐽 β†’ ((Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
517516ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = 𝐽 β†’ (βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))) ↔ βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
518517rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))))) β†’ βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
519471, 505, 518syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))))
520 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (β„Ž = 𝐾 β†’ (β„Žβ€˜π‘—) = (πΎβ€˜π‘—))
521520fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (β„Ž = 𝐾 β†’ ((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))
522521oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β„Ž = 𝐾 β†’ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
523522ixpeq2dv 8903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„Ž = 𝐾 β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
524523iuneq2d 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž = 𝐾 β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
525524sseq2d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž = 𝐾 β†’ (Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
526520oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β„Ž = 𝐾 β†’ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)) = ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)))
527526mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„Ž = 𝐾 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—))))
528527fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž = 𝐾 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)))))
529528breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž = 𝐾 β†’ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))) ↔ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—))))))
530525, 529imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž = 𝐾 β†’ ((Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)))))))
531530rspcva 3610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•) ∧ βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m π‘Œ) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(β„Žβ€˜π‘—)))))) β†’ (Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—))))))
532469, 519, 531syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Xπ‘˜ ∈ π‘Œ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘Œ (((π½β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((πΎβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—))))))
533465, 532mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)))))
534 idd 24 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)))) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—))))))
535533, 534mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)))))
536535adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)))))
53741adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)))
538537mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—)) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—))))
539538fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)))))
540249, 539breq12d 5160 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) ↔ ((𝐴 β†Ύ π‘Œ)(πΏβ€˜π‘Œ)(𝐡 β†Ύ π‘Œ)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—))))))
541536, 540mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))))
542541adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) ∈ ℝ) β†’ 𝐺 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))))
543238, 240, 241, 281, 542ltletrd 11370 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) ∈ ℝ) β†’ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))))
544226, 237, 543syl2anc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))) = +∞) β†’ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))))
545225, 544pm2.61dan 811 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘ƒβ€˜π‘—))))
546196, 197, 198, 199, 218, 545sge0uzfsumgt 45146 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• (𝐺 / (1 + 𝐸)) < Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))
547217adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ (𝐺 / (1 + 𝐸)) ∈ ℝ)
548 fzfid 13934 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1...π‘š) ∈ Fin)
549 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...π‘š)) β†’ πœ‘)
550 elfznn 13526 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...π‘š) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
551550adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
55228, 114sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
553549, 551, 552syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (1...π‘š)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
554548, 553fsumrecl 15676 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
555554adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
556 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))
557547, 555, 556ltled 11358 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ (𝐺 / (1 + 𝐸)) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))
558207adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ 𝐺 ∈ ℝ)
559213adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ (1 + 𝐸) ∈ ℝ+)
560558, 555, 559ledivmuld 13065 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ ((𝐺 / (1 + 𝐸)) ≀ Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))))
561557, 560mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐺 / (1 + 𝐸)) < Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)))
562561ex 413 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐺 / (1 + 𝐸)) < Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))))
563562adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝐺 / (1 + 𝐸)) < Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))))
564563adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝐺 / (1 + 𝐸)) < Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))))
565564reximdva 3168 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„• (𝐺 / (1 + 𝐸)) < Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))))
566546, 565mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)))
567193, 195, 566syl2anc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘Œ = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)))
568192, 567pm2.61dan 811 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)))
569433ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
570463ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
571473ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ 𝑍 ∈ (𝑋 βˆ– π‘Œ))
5722003ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ 𝐴:π‘ŠβŸΆβ„)
5732033ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ 𝐡:π‘ŠβŸΆβ„)
574623ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
575 eqid 2732 . . . . 5 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)
576 eqid 2732 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))
577953ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
578 eqid 2732 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))
579 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (πΆβ€˜π‘–) = (πΆβ€˜π‘—))
580 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π·β€˜π‘–) = (π·β€˜π‘—))
581579, 580oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)) = ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))
582581cbvmptv 5260 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))
583582fveq2i 6891 . . . . . . 7 (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—))))
584 hoidmvlelem3.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
585583, 584eqeltrid 2837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
5865853ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘–)))) ∈ ℝ)
587 hoidmvlelem3.h . . . . . 6 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))))
588 eleq1w 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 ∈ π‘Œ ↔ 𝑖 ∈ π‘Œ))
589 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜π‘–))
590589breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯))
591590, 589ifbieq1d 4551 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 β†’ if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯) = if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯))
592588, 589, 591ifbieq12d 4555 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 β†’ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)) = if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘–), if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯)))
593592cbvmptv 5260 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯))) = (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘–), if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯)))
594593mpteq2i 5252 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))) = (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘–), if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯))))
595594mpteq2i 5252 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘–), if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯)))))
596587, 595eqtri 2760 . . . . 5 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑖 ∈ π‘Š ↦ if(𝑖 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘–), if((π‘β€˜π‘–) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘–), π‘₯)))))
5971723ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
598 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 β†’ (πΆβ€˜π‘—) = (πΆβ€˜π‘–))
599 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π·β€˜π‘—) = (π·β€˜π‘–))
600599fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—)) = ((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘–)))
601598, 600oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))) = ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘–))))
602601cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—)))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘–))))
603602fveq2i 6891 . . . . . . . . 9 (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))))) = (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘–)))))
604603oveq2i 7416 . . . . . . . 8 ((1 + 𝐸) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—)))))) = ((1 + 𝐸) Β· (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘–))))))
605604breq2i 5155 . . . . . . 7 ((𝐺 Β· (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + 𝐸) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—)))))) ↔ (𝐺 Β· (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + 𝐸) Β· (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘–)))))))
606605rabbii 3438 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)) ∣ (𝐺 Β· (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + 𝐸) Β· (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘—))))))} = {𝑧 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)) ∣ (𝐺 Β· (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + 𝐸) Β· (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘–))))))}
607337, 606eqtri 2760 . . . . 5 π‘ˆ = {𝑧 ∈ ((π΄β€˜π‘)[,](π΅β€˜π‘)) ∣ (𝐺 Β· (𝑧 βˆ’ (π΄β€˜π‘))) ≀ ((1 + 𝐸) Β· (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘§)β€˜(π·β€˜π‘–))))))}
6082853ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
6093443ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ 𝑆 < (π΅β€˜π‘))
610 eqid 2732 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„• ↦ (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)))
611 simp2 1137 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ π‘š ∈ β„•)
612 id 22 . . . . . . . 8 (𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)))
613 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
614613cbvsumv 15638 . . . . . . . . . 10 Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—) = Σ𝑖 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘–)
615614oveq2i 7416 . . . . . . . . 9 ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) = ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑖 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘–))
616615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) = ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑖 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘–)))
617612, 616breqtrd 5173 . . . . . . 7 (𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑖 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘–)))
6186173ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑖 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘–)))
619 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ πœ‘)
620 elfznn 13526 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...π‘š) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
621620adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
622 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↔ 𝑖 ∈ β„•))
623 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π½β€˜π‘—) = (π½β€˜π‘–))
624 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 β†’ (πΎβ€˜π‘—) = (πΎβ€˜π‘–))
625623, 624oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)) = ((π½β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘–)))
626613, 625eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘—) = ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘–) = ((π½β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘–))))
627622, 626imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((𝑗 ∈ β„• β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = ((π½β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘—))) ↔ (𝑖 ∈ β„• β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = ((π½β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘–)))))
628627, 41chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ β„• β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = ((π½β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘–)))
629628adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = ((π½β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘–)))
630622anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•)))
631598fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘) = ((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘))
632599fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘) = ((π·β€˜π‘–)β€˜π‘))
633631, 632oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑖 β†’ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)) = (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)))
634633eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)) ↔ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘))))
635598reseq1d 5978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ) = ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ))
636634, 635ifbieq1d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
637623, 636eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π½β€˜π‘—) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) ↔ (π½β€˜π‘–) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹)))
638630, 637imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π½β€˜π‘—) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π½β€˜π‘–) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))))
639638, 149chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π½β€˜π‘–) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
640599reseq1d 5978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ) = ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ))
641634, 640ifbieq1d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
642624, 641eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((πΎβ€˜π‘—) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹) ↔ (πΎβ€˜π‘–) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹)))
643630, 642imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑖 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘—) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘—) β†Ύ π‘Œ), 𝐹)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘–) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))))
644643, 440chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜π‘–) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
645639, 644oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((π½β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)(πΎβ€˜π‘–)) = (if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹)(πΏβ€˜π‘Œ)if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹)))
646629, 645eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹)(πΏβ€˜π‘Œ)if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹)))
647 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
648 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)) ∈ V)
649610fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ β„• ∧ (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)) ∈ V) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)))β€˜π‘–) = (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)))
650647, 648, 649syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)))β€˜π‘–) = (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)))
651 fvex 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πΆβ€˜π‘–) ∈ V
652651resex 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ) ∈ V
653652a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ) ∈ V)
65480, 143eqeltrrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0) ∈ V)
655653, 654ifcld 4573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)) ∈ V)
656655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)) ∈ V)
657576fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ β„• ∧ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)) ∈ V) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))
658647, 656, 657syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))
65980eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0) = 𝐹
660 ifeq2 4532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0) = 𝐹 β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
661659, 660ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹)
662661a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
663658, 662eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
664 fvex 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π·β€˜π‘–) ∈ V
665664resex 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ) ∈ V
666665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ) ∈ V)
667666, 654ifcld 4573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)) ∈ V)
668667adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)) ∈ V)
669578fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ β„• ∧ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)) ∈ V) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))
670647, 668, 669syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))
671 biid 260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)) ↔ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)))
672671, 659ifbieq2i 4552 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹)
673672a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
674670, 673eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–) = if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹))
675663, 674oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)) = (if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹)(πΏβ€˜π‘Œ)if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹)))
676650, 675eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((𝑖 ∈ β„• ↦ (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)))β€˜π‘–) = (if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹)(πΏβ€˜π‘Œ)if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), 𝐹)))
677646, 676eqtr4d 2775 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ β„• ↦ (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)))β€˜π‘–))
678619, 621, 677syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ β„• ↦ (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)))β€˜π‘–))
6796783ad2antl1 1185 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) ∧ 𝑖 ∈ (1...π‘š)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ β„• ↦ (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)))β€˜π‘–))
680679sumeq2dv 15645 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ (1...π‘š)((𝑖 ∈ β„• ↦ (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)))β€˜π‘–))
681680oveq2d 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑖 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘–)) = ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑖 ∈ (1...π‘š)((𝑖 ∈ β„• ↦ (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)))β€˜π‘–)))
682618, 681breqtrd 5173 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑖 ∈ (1...π‘š)((𝑖 ∈ β„• ↦ (((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((πΆβ€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘Œ)((𝑖 ∈ β„• ↦ if(𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)), ((π·β€˜π‘–) β†Ύ π‘Œ), (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 0)))β€˜π‘–)))β€˜π‘–)))
683 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑗 = β„Ž β†’ (π·β€˜π‘—) = (π·β€˜β„Ž))
684683fveq1d 6890 . . . . . . 7 (𝑗 = β„Ž β†’ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘) = ((π·β€˜β„Ž)β€˜π‘))
685684cbvmptv 5260 . . . . . 6 (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ (1...π‘š) ∣ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘))} ↦ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)) = (β„Ž ∈ {𝑖 ∈ (1...π‘š) ∣ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘))} ↦ ((π·β€˜β„Ž)β€˜π‘))
686685rneqi 5934 . . . . 5 ran (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ (1...π‘š) ∣ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘))} ↦ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)) = ran (β„Ž ∈ {𝑖 ∈ (1...π‘š) ∣ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘))} ↦ ((π·β€˜β„Ž)β€˜π‘))
687 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑖 β†’ (πΆβ€˜β„Ž) = (πΆβ€˜π‘–))
688687fveq1d 6890 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = 𝑖 β†’ ((πΆβ€˜β„Ž)β€˜π‘) = ((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘))
689 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = 𝑖 β†’ (π·β€˜β„Ž) = (π·β€˜π‘–))
690689fveq1d 6890 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = 𝑖 β†’ ((π·β€˜β„Ž)β€˜π‘) = ((π·β€˜π‘–)β€˜π‘))
691688, 690oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = 𝑖 β†’ (((πΆβ€˜β„Ž)β€˜π‘)[,)((π·β€˜β„Ž)β€˜π‘)) = (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘)))
692691eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 (β„Ž = 𝑖 β†’ (𝑆 ∈ (((πΆβ€˜β„Ž)β€˜π‘)[,)((π·β€˜β„Ž)β€˜π‘)) ↔ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘))))
693692cbvrabv 3442 . . . . . . . 8 {β„Ž ∈ (1...π‘š) ∣ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜β„Ž)β€˜π‘)[,)((π·β€˜β„Ž)β€˜π‘))} = {𝑖 ∈ (1...π‘š) ∣ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘))}
694693mpteq1i 5243 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ (1...π‘š) ∣ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜β„Ž)β€˜π‘)[,)((π·β€˜β„Ž)β€˜π‘))} ↦ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)) = (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ (1...π‘š) ∣ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘))} ↦ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))
695694rneqi 5934 . . . . . 6 ran (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ (1...π‘š) ∣ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜β„Ž)β€˜π‘)[,)((π·β€˜β„Ž)β€˜π‘))} ↦ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)) = ran (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ (1...π‘š) ∣ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘))} ↦ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))
696695uneq2i 4159 . . . . 5 ({(π΅β€˜π‘)} βˆͺ ran (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ (1...π‘š) ∣ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜β„Ž)β€˜π‘)[,)((π·β€˜β„Ž)β€˜π‘))} ↦ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))) = ({(π΅β€˜π‘)} βˆͺ ran (𝑗 ∈ {𝑖 ∈ (1...π‘š) ∣ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜π‘–)β€˜π‘)[,)((π·β€˜π‘–)β€˜π‘))} ↦ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘)))
697 eqid 2732 . . . . 5 inf(({(π΅β€˜π‘)} βˆͺ ran (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ (1...π‘š) ∣ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜β„Ž)β€˜π‘)[,)((π·β€˜β„Ž)β€˜π‘))} ↦ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))), ℝ, < ) = inf(({(π΅β€˜π‘)} βˆͺ ran (𝑗 ∈ {β„Ž ∈ (1...π‘š) ∣ 𝑆 ∈ (((πΆβ€˜β„Ž)β€˜π‘)[,)((π·β€˜β„Ž)β€˜π‘))} ↦ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘))), ℝ, < )
69818, 569, 570, 571, 44, 572, 573, 574, 575, 576, 577, 578, 586, 596, 5, 597, 607, 608, 609, 610, 611, 682, 686, 696, 697hoidmvlelem2 45298 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„• ∧ 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑆 < 𝑒)
6996983exp 1119 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• β†’ (𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑆 < 𝑒)))
700699rexlimdv 3153 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝐺 ≀ ((1 + 𝐸) Β· Σ𝑗 ∈ (1...π‘š)(π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑆 < 𝑒))
701568, 700mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ 𝑆 < 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ↑m cmap 8816  Xcixp 8887  Fincfn 8935  infcinf 9432  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„€cz 12554  β„+crp 12970  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  ...cfz 13480  Ξ£csu 15628  βˆcprod 15845  volcvol 24971  Ξ£^csumge0 45064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-prod 15846  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cmp 22882  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-sumge0 45065
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem4  45300
  Copyright terms: Public domain W3C validator