Theorem setc2ohom 18148

Description: (SetCat‘2_o) is a category (provable from setccat 18138 and 2oex 8461) that does not have pairwise disjoint hom-sets, proved by this theorem combined with setc2obas 18147. Notably, the empty set ∅ is simultaneously an object (setc2obas 18147), an identity morphism from ∅ to ∅ (setcid 18139 or thincid 50090), and a non-identity morphism from ∅ to 1_o. See cat1lem 18149 and cat1 18150 for a more general statement. This category is also thin (setc2othin 50124), and therefore is "equivalent" to a preorder (actually a partial order). See prsthinc 50122 for more details on the "equivalence". (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setc2ohom.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
setc2ohom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setc2ohom	⊢ ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))

Proof of Theorem setc2ohom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6757	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		setc2ohom.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
3		2oex 8461	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
5		setc2ohom.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		0ex 5269	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	prid1 4730	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
8		df2o3 8457	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
9	7, 8	eleqtrri 2868	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ 2o)
11	2, 4, 5, 10, 10	elsetchom 18134	. . . 4 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅))
12	11	mptru 1574	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅)
13	1, 12	mpbir 234	. 2 ⊢ ∅ ∈ (∅𝐻∅)
14		f0 6757	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶1o
15		1oex 8459	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
16	15	prid2 4731	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
17	16, 8	eleqtrri 2868	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ 2o
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1o ∈ 2o)
19	2, 4, 5, 10, 18	elsetchom 18134	. . . 4 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o))
20	19	mptru 1574	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o)
21	14, 20	mpbir 234	. 2 ⊢ ∅ ∈ (∅𝐻1o)
22	13, 21	elini 4160	1 ⊢ ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1567  ⊤wtru 1568   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∩ cin 3912  ∅c0 4294  {cpr 4593  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  1_oc1o 8442  2_oc2o 8443  Hom chom 17317  SetCatcsetc 18128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-hom 17330  df-cco 17331  df-setc 18129

This theorem is referenced by: (None)