Theorem setc2ohom 18185

Description: (SetCat‘2_o) is a category (provable from setccat 18175 and 2oex 8468) that does not have pairwise disjoint hom-sets, proved by this theorem combined with setc2obas 18184. Notably, the empty set ∅ is simultaneously an object (setc2obas 18184), an identity morphism from ∅ to ∅ (setcid 18176 or thincid 50359), and a non-identity morphism from ∅ to 1_o. See cat1lem 18186 and cat1 18187 for a more general statement. This category is also thin (setc2othin 50393), and therefore is "equivalent" to a preorder (actually a partial order). See prsthinc 50391 for more details on the "equivalence". (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setc2ohom.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
setc2ohom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setc2ohom	⊢ ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))

Proof of Theorem setc2ohom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6757	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		setc2ohom.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
3		2oex 8468	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
5		setc2ohom.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		0ex 5264	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	prid1 4723	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
8		df2o3 8464	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
9	7, 8	eleqtrri 2859	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ 2o)
11	2, 4, 5, 10, 10	elsetchom 18171	. . . 4 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅))
12	11	mptru 1577	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅)
13	1, 12	mpbir 234	. 2 ⊢ ∅ ∈ (∅𝐻∅)
14		f0 6757	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶1o
15		1oelpr 8467	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
16	15, 8	eleqtrri 2859	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ 2o
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1o ∈ 2o)
18	2, 4, 5, 10, 17	elsetchom 18171	. . . 4 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o))
19	18	mptru 1577	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o)
20	14, 19	mpbir 234	. 2 ⊢ ∅ ∈ (∅𝐻1o)
21	13, 20	elini 4145	1 ⊢ ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {cpr 4586  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  1_oc1o 8449  2_oc2o 8450  Hom chom 17354  SetCatcsetc 18165

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-hom 17367  df-cco 17368  df-setc 18166

This theorem is used by: (None)