Theorem setc2ohom 18320

Description: (SetCat‘2_o) is a category (provable from setccat 18310 and 2oex 8526) that does not have pairwise disjoint hom-sets, proved by this theorem combined with setc2obas 18319. Notably, the empty set ∅ is simultaneously an object (setc2obas 18319), an identity morphism from ∅ to ∅ (setcid 18311 or thincid 50898), and a non-identity morphism from ∅ to 1_o. See cat1lem 18321 and cat1 18322 for a more general statement. This category is also thin (setc2othin 50932), and therefore is "equivalent" to a preorder (actually a partial order). See prsthinc 50930 for more details on the "equivalence". (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setc2ohom.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
setc2ohom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setc2ohom	⊢ ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))

Proof of Theorem setc2ohom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6793	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		setc2ohom.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
3		2oex 8526	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
5		setc2ohom.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		0ex 5267	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	prid1 4725	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
8		df2o3 8522	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
9	7, 8	eleqtrri 2863	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ 2o)
11	2, 4, 5, 10, 10	elsetchom 18306	. . . 4 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅))
12	11	mptru 1577	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅)
13	1, 12	mpbir 234	. 2 ⊢ ∅ ∈ (∅𝐻∅)
14		f0 6793	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶1o
15		1oelpr 8525	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
16	15, 8	eleqtrri 2863	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ 2o
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1o ∈ 2o)
18	2, 4, 5, 10, 17	elsetchom 18306	. . . 4 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o))
19	18	mptru 1577	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o)
20	14, 19	mpbir 234	. 2 ⊢ ∅ ∈ (∅𝐻1o)
21	13, 20	elini 4099	1 ⊢ ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  {cpr 4590  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1_oc1o 8507  2_oc2o 8508  Hom chom 17483  SetCatcsetc 18300

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-hom 17497  df-cco 17498  df-setc 18301

This theorem is used by: (None)