Theorem setc2ohom 18279

Description: (SetCat‘2_o) is a category (provable from setccat 18269 and 2oex 8496) that does not have pairwise disjoint hom-sets, proved by this theorem combined with setc2obas 18278. Notably, the empty set ∅ is simultaneously an object (setc2obas 18278), an identity morphism from ∅ to ∅ (setcid 18270 or thincid 50703), and a non-identity morphism from ∅ to 1_o. See cat1lem 18280 and cat1 18281 for a more general statement. This category is also thin (setc2othin 50737), and therefore is "equivalent" to a preorder (actually a partial order). See prsthinc 50735 for more details on the "equivalence". (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setc2ohom.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
setc2ohom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setc2ohom	⊢ ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))

Proof of Theorem setc2ohom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6768	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		setc2ohom.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
3		2oex 8496	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
5		setc2ohom.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		0ex 5260	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	prid1 4719	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
8		df2o3 8492	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
9	7, 8	eleqtrri 2859	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ 2o)
11	2, 4, 5, 10, 10	elsetchom 18265	. . . 4 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅))
12	11	mptru 1576	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅)
13	1, 12	mpbir 234	. 2 ⊢ ∅ ∈ (∅𝐻∅)
14		f0 6768	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶1o
15		1oelpr 8495	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
16	15, 8	eleqtrri 2859	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ 2o
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1o ∈ 2o)
18	2, 4, 5, 10, 17	elsetchom 18265	. . . 4 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o))
19	18	mptru 1576	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o)
20	14, 19	mpbir 234	. 2 ⊢ ∅ ∈ (∅𝐻1o)
21	13, 20	elini 4095	1 ⊢ ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  {cpr 4586  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  1_oc1o 8477  2_oc2o 8478  Hom chom 17448  SetCatcsetc 18259

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-hom 17461  df-cco 17462  df-setc 18260

This theorem is used by: (None)