Theorem setc2ohom 18083

Description: (SetCat‘2_o) is a category (provable from setccat 18073 and 2oex 8496) that does not have pairwise disjoint hom-sets, proved by this theorem combined with setc2obas 18082. Notably, the empty set ∅ is simultaneously an object (setc2obas 18082), an identity morphism from ∅ to ∅ (setcid 18074 or thincid 48151), and a non-identity morphism from ∅ to 1_o. See cat1lem 18084 and cat1 18085 for a more general statement. This category is also thin (setc2othin 48174), and therefore is "equivalent" to a preorder (actually a partial order). See prsthinc 48172 for more details on the "equivalence". (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setc2ohom.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
setc2ohom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setc2ohom	⊢ ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))

Proof of Theorem setc2ohom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6773	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		setc2ohom.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
3		2oex 8496	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
5		setc2ohom.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		0ex 5302	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	prid1 4762	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
8		df2o3 8493	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
9	7, 8	eleqtrri 2824	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ 2o)
11	2, 4, 5, 10, 10	elsetchom 18069	. . . 4 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅))
12	11	mptru 1540	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅)
13	1, 12	mpbir 230	. 2 ⊢ ∅ ∈ (∅𝐻∅)
14		f0 6773	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶1o
15		1oex 8495	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
16	15	prid2 4763	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
17	16, 8	eleqtrri 2824	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ 2o
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1o ∈ 2o)
19	2, 4, 5, 10, 18	elsetchom 18069	. . . 4 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o))
20	19	mptru 1540	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o)
21	14, 20	mpbir 230	. 2 ⊢ ∅ ∈ (∅𝐻1o)
22	13, 21	elini 4187	1 ⊢ ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∩ cin 3938  ∅c0 4318  {cpr 4626  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  1_oc1o 8478  2_oc2o 8479  Hom chom 17243  SetCatcsetc 18063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-hom 17256  df-cco 17257  df-setc 18064

This theorem is referenced by: (None)