Theorem setc2ohom 17810

Description: (SetCat‘2_o) is a category (provable from setccat 17800 and 2oex 8308) that does not have pairwise disjoint hom-sets, proved by this theorem combined with setc2obas 17809. Notably, the empty set ∅ is simultaneously an object (setc2obas 17809) , an identity morphism from ∅ to ∅ (setcid 17801 or thincid 46314) , and a non-identity morphism from ∅ to 1_o. See cat1lem 17811 and cat1 17812 for a more general statement. This category is also thin (setc2othin 46337), and therefore is "equivalent" to a preorder (actually a partial order). See prsthinc 46335 for more details on the "equivalence". (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setc2ohom.c	⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
setc2ohom.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
setc2ohom	⊢ ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))

Proof of Theorem setc2ohom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6655	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		setc2ohom.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (SetCat‘2o)
3		2oex 8308	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
5		setc2ohom.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6		0ex 5231	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	prid1 4698	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
8		df2o3 8305	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
9	7, 8	eleqtrri 2838	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ 2o)
11	2, 4, 5, 10, 10	elsetchom 17796	. . . 4 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅))
12	11	mptru 1546	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅)
13	1, 12	mpbir 230	. 2 ⊢ ∅ ∈ (∅𝐻∅)
14		f0 6655	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶1o
15		1oex 8307	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
16	15	prid2 4699	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
17	16, 8	eleqtrri 2838	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ 2o
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1o ∈ 2o)
19	2, 4, 5, 10, 18	elsetchom 17796	. . . 4 ⊢ (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o))
20	19	mptru 1546	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o)
21	14, 20	mpbir 230	. 2 ⊢ ∅ ∈ (∅𝐻1o)
22	13, 21	elini 4127	1 ⊢ ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∩ cin 3886  ∅c0 4256  {cpr 4563  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1_oc1o 8290  2_oc2o 8291  Hom chom 16973  SetCatcsetc 17790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-hom 16986  df-cco 16987  df-setc 17791

This theorem is referenced by: (None)