MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setc2ohom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setc2ohom 18077
Description: (SetCat‘2o) is a category (provable from setccat 18067 and 2oex 8491) that does not have pairwise disjoint hom-sets, proved by this theorem combined with setc2obas 18076. Notably, the empty set is simultaneously an object (setc2obas 18076), an identity morphism from to (setcid 18068 or thincid 48033), and a non-identity morphism from to 1o. See cat1lem 18078 and cat1 18079 for a more general statement. This category is also thin (setc2othin 48056), and therefore is "equivalent" to a preorder (actually a partial order). See prsthinc 48054 for more details on the "equivalence". (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
setc2ohom.c 𝐶 = (SetCat‘2o)
setc2ohom.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
setc2ohom ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))

Proof of Theorem setc2ohom
StepHypRef Expression
1 f0 6772 . . 3 ∅:∅⟶∅
2 setc2ohom.c . . . . 5 𝐶 = (SetCat‘2o)
3 2oex 8491 . . . . . 6 2o ∈ V
43a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 2o ∈ V)
5 setc2ohom.h . . . . 5 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6 0ex 5301 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
76prid1 4762 . . . . . . 7 ∅ ∈ {∅, 1o}
8 df2o3 8488 . . . . . . 7 2o = {∅, 1o}
97, 8eleqtrri 2828 . . . . . 6 ∅ ∈ 2o
109a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ∅ ∈ 2o)
112, 4, 5, 10, 10elsetchom 18063 . . . 4 (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅))
1211mptru 1541 . . 3 (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅)
131, 12mpbir 230 . 2 ∅ ∈ (∅𝐻∅)
14 f0 6772 . . 3 ∅:∅⟶1o
15 1oex 8490 . . . . . . . 8 1o ∈ V
1615prid2 4763 . . . . . . 7 1o ∈ {∅, 1o}
1716, 8eleqtrri 2828 . . . . . 6 1o ∈ 2o
1817a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1o ∈ 2o)
192, 4, 5, 10, 18elsetchom 18063 . . . 4 (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o))
2019mptru 1541 . . 3 (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o)
2114, 20mpbir 230 . 2 ∅ ∈ (∅𝐻1o)
2213, 21elini 4189 1 ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1534  wtru 1535  wcel 2099  Vcvv 3470  cin 3944  c0 4318  {cpr 4626  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  1oc1o 8473  2oc2o 8474  Hom chom 17237  SetCatcsetc 18057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-hom 17250  df-cco 17251  df-setc 18058
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator