MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setc2ohom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setc2ohom 18149
Description: (SetCat‘2o) is a category (provable from setccat 18139 and 2oex 8516) that does not have pairwise disjoint hom-sets, proved by this theorem combined with setc2obas 18148. Notably, the empty set is simultaneously an object (setc2obas 18148), an identity morphism from to (setcid 18140 or thincid 48833), and a non-identity morphism from to 1o. See cat1lem 18150 and cat1 18151 for a more general statement. This category is also thin (setc2othin 48857), and therefore is "equivalent" to a preorder (actually a partial order). See prsthinc 48855 for more details on the "equivalence". (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
setc2ohom.c 𝐶 = (SetCat‘2o)
setc2ohom.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
setc2ohom ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))

Proof of Theorem setc2ohom
StepHypRef Expression
1 f0 6790 . . 3 ∅:∅⟶∅
2 setc2ohom.c . . . . 5 𝐶 = (SetCat‘2o)
3 2oex 8516 . . . . . 6 2o ∈ V
43a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 2o ∈ V)
5 setc2ohom.h . . . . 5 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
6 0ex 5313 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
76prid1 4767 . . . . . . 7 ∅ ∈ {∅, 1o}
8 df2o3 8513 . . . . . . 7 2o = {∅, 1o}
97, 8eleqtrri 2838 . . . . . 6 ∅ ∈ 2o
109a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ∅ ∈ 2o)
112, 4, 5, 10, 10elsetchom 18135 . . . 4 (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅))
1211mptru 1544 . . 3 (∅ ∈ (∅𝐻∅) ↔ ∅:∅⟶∅)
131, 12mpbir 231 . 2 ∅ ∈ (∅𝐻∅)
14 f0 6790 . . 3 ∅:∅⟶1o
15 1oex 8515 . . . . . . . 8 1o ∈ V
1615prid2 4768 . . . . . . 7 1o ∈ {∅, 1o}
1716, 8eleqtrri 2838 . . . . . 6 1o ∈ 2o
1817a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1o ∈ 2o)
192, 4, 5, 10, 18elsetchom 18135 . . . 4 (⊤ → (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o))
2019mptru 1544 . . 3 (∅ ∈ (∅𝐻1o) ↔ ∅:∅⟶1o)
2114, 20mpbir 231 . 2 ∅ ∈ (∅𝐻1o)
2213, 21elini 4209 1 ∅ ∈ ((∅𝐻∅) ∩ (∅𝐻1o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962  c0 4339  {cpr 4633  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  1oc1o 8498  2oc2o 8499  Hom chom 17309  SetCatcsetc 18129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-hom 17322  df-cco 17323  df-setc 18130
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator