Theorem gsum0 18879

Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsum0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsum0	⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0

Proof of Theorem gsum0

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑜 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		gsum0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
6		0ex 5260	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ∅ ∈ V)
8		f0 6764	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
10	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9	gsumval1 18878	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
11		df-gsum 17619	. . . . 5 ⊢ Σg = (𝑤 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ ⦋{𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑤)((𝑥(+g‘𝑤)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑤)𝑥) = 𝑦)} / 𝑜⦌if(ran 𝑓 ⊆ 𝑜, (0g‘𝑤), if(dom 𝑓 ∈ ran ..., (℩𝑥∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(dom 𝑓 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚((+g‘𝑤), 𝑓)‘𝑛))), (℩𝑥∃𝑔[(◡𝑓 “ (V ∖ 𝑜)) / 𝑦](𝑔:(1...(♯‘𝑦))–1-1-onto→𝑦 ∧ 𝑥 = (seq1((+g‘𝑤), (𝑓 ∘ 𝑔))‘(♯‘𝑦)))))))
12	11	reldmmpo 7555	. . . 4 ⊢ Rel dom Σg
13	12	ovprc1 7460	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = ∅)
14		fvprc 6878	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (0g‘𝐺) = ∅)
15	2, 14	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 0 = ∅)
16	13, 15	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
17	10, 16	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450  [wsbc 3738  ⦋csb 3846   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  ifcif 4481  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   “ cima 5653   ∘ ccom 5654  ℩cio 6492  ⟶wf 6535  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1c1 11205  ℤ_≥cuz 12969  ...cfz 13643  seqcseq 14148  ♯chash 14478  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  0_gc0g 17616   Σ_g cgsu 17617

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-seq 14149  df-gsum 17619

This theorem is used by:  gsumwsubmcl  19039  gsumccat  19043  gsumwmhm  19047  gsumwspan  19048  frmdgsum  19064  frmdup1  19066  mulgnn0gsum  19296  gsumwrev  19586  gsmsymgrfix  19648  gsmsymgreq  19652  psgnunilem2  19715  psgn0fv0  19731  psgnsn  19740  psgnprfval1  19742  gsumconst  20154  gsumle  20365  gsumfsum  21746  mplmonmul  22351  mplcoe1  22352  mplcoe5  22355  coe1fzgsumd  22628  evl1gsumd  22681  mdet0pr  22913  madugsum  22964  matunitlindflem1  23000  tmdgsum  24420  xrge0gsumle  25159  xrge0tsms  25160  jensen  27322  suppgsumssiun  33680  xrge0tsmsd  33681  gsumwun  33684  cyc3genpmlem  33759  gsumvsca1  33834  gsumvsca2  33835  elrgspnlem2  33851  elrgspnlem4  33853  domnprodn0  33886  domnprodeq0  33887  unitprodclb  33991  rprmdvdsprod  34113  1arithidom  34116  1arithufdlem3  34125  1arithufdlem4  34126  dfufd2lem  34128  deg1prod  34162  ply1coedeg  34168  psrgsum  34227  psrmonmul  34229  psrmonprod  34231  vieta  34259  zarcmplem  34560  esumnul  34727  esumsnf  34743  sitg0  35025  mrsub0  36368  evl1gprodd  43261  idomnnzgmulnz  43277  deg1gprod  43284  lincval0  49621