MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum0 18603
Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gsum0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsum0 (𝐺 Σg ∅) = 0

Proof of Theorem gsum0
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑜 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 gsum0.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2733 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2733 . . 3 {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
6 0ex 5308 . . . 4 ∅ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅ ∈ V)
8 f0 6773 . . . 4 ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
98a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)})
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9gsumval1 18602 . 2 (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
11 df-gsum 17388 . . . . 5 Σg = (𝑤 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑤)((𝑥(+g𝑤)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑤)𝑥) = 𝑦)} / 𝑜if(ran 𝑓𝑜, (0g𝑤), if(dom 𝑓 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(dom 𝑓 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚((+g𝑤), 𝑓)‘𝑛))), (℩𝑥𝑔[(𝑓 “ (V ∖ 𝑜)) / 𝑦](𝑔:(1...(♯‘𝑦))–1-1-onto𝑦𝑥 = (seq1((+g𝑤), (𝑓𝑔))‘(♯‘𝑦)))))))
1211reldmmpo 7543 . . . 4 Rel dom Σg
1312ovprc1 7448 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = ∅)
14 fvprc 6884 . . . 4 𝐺 ∈ V → (0g𝐺) = ∅)
152, 14eqtrid 2785 . . 3 𝐺 ∈ V → 0 = ∅)
1613, 15eqtr4d 2776 . 2 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
1710, 16pm2.61i 182 1 (𝐺 Σg ∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  [wsbc 3778  csb 3894  cdif 3946  wss 3949  c0 4323  ifcif 4529  ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678  cima 5680  ccom 5681  cio 6494  wf 6540  1-1-ontowf1o 6543  cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111  cuz 12822  ...cfz 13484  seqcseq 13966  chash 14290  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385   Σg cgsu 17386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seq 13967  df-gsum 17388
This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  18718  gsumccat  18722  gsumwmhm  18726  gsumwspan  18727  frmdgsum  18743  frmdup1  18745  mulgnn0gsum  18960  gsumwrev  19233  gsmsymgrfix  19296  gsmsymgreq  19300  psgnunilem2  19363  psgn0fv0  19379  psgnsn  19388  psgnprfval1  19390  gsumconst  19802  gsumfsum  21012  mplmonmul  21591  mplcoe1  21592  mplcoe5  21595  coe1fzgsumd  21826  evl1gsumd  21876  mdet0pr  22094  madugsum  22145  tmdgsum  23599  xrge0gsumle  24349  xrge0tsms  24350  jensen  26493  xrge0tsmsd  32209  gsumle  32242  cyc3genpmlem  32310  gsumvsca1  32371  gsumvsca2  32372  zarcmplem  32861  esumnul  33046  esumsnf  33062  sitg0  33345  mrsub0  34507  matunitlindflem1  36484  lincval0  47096
  Copyright terms: Public domain W3C validator