Theorem gsum0 18587

Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsum0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsum0	⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0

Proof of Theorem gsum0

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑜 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		gsum0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
6		0ex 5257	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ∅ ∈ V)
8		f0 6723	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
10	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9	gsumval1 18586	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
11		df-gsum 17381	. . . . 5 ⊢ Σg = (𝑤 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ ⦋{𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑤)((𝑥(+g‘𝑤)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑤)𝑥) = 𝑦)} / 𝑜⦌if(ran 𝑓 ⊆ 𝑜, (0g‘𝑤), if(dom 𝑓 ∈ ran ..., (℩𝑥∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(dom 𝑓 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚((+g‘𝑤), 𝑓)‘𝑛))), (℩𝑥∃𝑔[(◡𝑓 “ (V ∖ 𝑜)) / 𝑦](𝑔:(1...(♯‘𝑦))–1-1-onto→𝑦 ∧ 𝑥 = (seq1((+g‘𝑤), (𝑓 ∘ 𝑔))‘(♯‘𝑦)))))))
12	11	reldmmpo 7503	. . . 4 ⊢ Rel dom Σg
13	12	ovprc1 7408	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = ∅)
14		fvprc 6832	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (0g‘𝐺) = ∅)
15	2, 14	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 0 = ∅)
16	13, 15	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
17	10, 16	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3402  Vcvv 3444  [wsbc 3750  ⦋csb 3859   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ifcif 4484  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634   ∘ ccom 5635  ℩cio 6450  ⟶wf 6495  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1c1 11045  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  seqcseq 13942  ♯chash 14271  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17378   Σ_g cgsu 17379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-seq 13943  df-gsum 17381

This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  18740  gsumccat  18744  gsumwmhm  18748  gsumwspan  18749  frmdgsum  18765  frmdup1  18767  mulgnn0gsum  18988  gsumwrev  19274  gsmsymgrfix  19334  gsmsymgreq  19338  psgnunilem2  19401  psgn0fv0  19417  psgnsn  19426  psgnprfval1  19428  gsumconst  19840  gsumfsum  21327  mplmonmul  21919  mplcoe1  21920  mplcoe5  21923  coe1fzgsumd  22167  evl1gsumd  22220  mdet0pr  22455  madugsum  22506  tmdgsum  23958  xrge0gsumle  24698  xrge0tsms  24699  jensen  26875  xrge0tsmsd  32975  gsumwun  32978  gsumle  33011  cyc3genpmlem  33081  gsumvsca1  33152  gsumvsca2  33153  elrgspnlem2  33167  elrgspnlem4  33169  domnprodn0  33199  unitprodclb  33333  rprmdvdsprod  33478  1arithidom  33481  1arithufdlem3  33490  1arithufdlem4  33491  dfufd2lem  33493  zarcmplem  33844  esumnul  34011  esumsnf  34027  sitg0  34310  mrsub0  35476  matunitlindflem1  37583  evl1gprodd  42078  idomnnzgmulnz  42094  deg1gprod  42101  lincval0  48377