Theorem gsum0 17721

Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsum0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsum0	⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0

Proof of Theorem gsum0

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑜 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2797	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		gsum0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2797	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqid 2797	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
6		0ex 5109	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ∅ ∈ V)
8		f0 6435	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
10	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9	gsumval1 17720	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
11		df-gsum 16549	. . . . 5 ⊢ Σg = (𝑤 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ ⦋{𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑤)((𝑥(+g‘𝑤)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑤)𝑥) = 𝑦)} / 𝑜⦌if(ran 𝑓 ⊆ 𝑜, (0g‘𝑤), if(dom 𝑓 ∈ ran ..., (℩𝑥∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(dom 𝑓 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚((+g‘𝑤), 𝑓)‘𝑛))), (℩𝑥∃𝑔[(◡𝑓 “ (V ∖ 𝑜)) / 𝑦](𝑔:(1...(♯‘𝑦))–1-1-onto→𝑦 ∧ 𝑥 = (seq1((+g‘𝑤), (𝑓 ∘ 𝑔))‘(♯‘𝑦)))))))
12	11	reldmmpo 7148	. . . 4 ⊢ Rel dom Σg
13	12	ovprc1 7061	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = ∅)
14		fvprc 6538	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (0g‘𝐺) = ∅)
15	2, 14	syl5eq 2845	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 0 = ∅)
16	13, 15	eqtr4d 2836	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
17	10, 16	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1525  ∃wex 1765   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  ∃wrex 3108  {crab 3111  Vcvv 3440  [wsbc 3711  ⦋csb 3817   ∖ cdif 3862   ⊆ wss 3865  ∅c0 4217  ifcif 4387  ^◡ccnv 5449  dom cdm 5450  ran crn 5451   “ cima 5453   ∘ ccom 5454  ℩cio 6194  ⟶wf 6228  –1-1-onto→wf1o 6231  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  1c1 10391  ℤ_≥cuz 12097  ...cfz 12746  seqcseq 13223  ♯chash 13544  Basecbs 16316  +_gcplusg 16398  0_gc0g 16546   Σ_g cgsu 16547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-seq 13224  df-gsum 16549

This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  17818  gsumccat  17821  gsumwmhm  17825  gsumwspan  17826  frmdgsum  17842  frmdup1  17844  gsumwrev  18239  gsmsymgrfix  18291  gsmsymgreq  18295  psgnunilem2  18358  psgn0fv0  18374  psgnsn  18383  psgnprfval1  18385  gsumconst  18778  mplmonmul  19936  mplcoe1  19937  mplcoe5  19940  coe1fzgsumd  20157  evl1gsumd  20206  gsumfsum  20298  mdet0pr  20889  madugsum  20940  tmdgsum  22391  xrge0gsumle  23128  xrge0tsms  23129  jensen  25252  cyc3genpmlem  30427  gsumle  30490  gsumvsca1  30493  gsumvsca2  30494  xrge0tsmsd  30499  esumnul  30920  esumsnf  30936  sitg0  31217  mrsub0  32373  matunitlindflem1  34440  lincval0  43972