Theorem gsum0 18709

Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsum0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsum0	⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0

Proof of Theorem gsum0

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑜 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		gsum0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
6		0ex 5254	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ∅ ∈ V)
8		f0 6740	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
10	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9	gsumval1 18708	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
11		df-gsum 17462	. . . . 5 ⊢ Σg = (𝑤 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ ⦋{𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑤)((𝑥(+g‘𝑤)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑤)𝑥) = 𝑦)} / 𝑜⦌if(ran 𝑓 ⊆ 𝑜, (0g‘𝑤), if(dom 𝑓 ∈ ran ..., (℩𝑥∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(dom 𝑓 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚((+g‘𝑤), 𝑓)‘𝑛))), (℩𝑥∃𝑔[(◡𝑓 “ (V ∖ 𝑜)) / 𝑦](𝑔:(1...(♯‘𝑦))–1-1-onto→𝑦 ∧ 𝑥 = (seq1((+g‘𝑤), (𝑓 ∘ 𝑔))‘(♯‘𝑦)))))))
12	11	reldmmpo 7525	. . . 4 ⊢ Rel dom Σg
13	12	ovprc1 7430	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = ∅)
14		fvprc 6854	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (0g‘𝐺) = ∅)
15	2, 14	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 0 = ∅)
16	13, 15	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
17	10, 16	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  {crab 3413  Vcvv 3453  [wsbc 3742  ⦋csb 3850   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ifcif 4477  ^◡ccnv 5642  dom cdm 5643  ran crn 5644   “ cima 5646   ∘ ccom 5647  ℩cio 6470  ⟶wf 6512  –1-1-onto→wf1o 6515  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  1c1 11068  ℤ_≥cuz 12833  ...cfz 13506  seqcseq 14008  ♯chash 14337  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277  0_gc0g 17459   Σ_g cgsu 17460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-seq 14009  df-gsum 17462

This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  18862  gsumccat  18866  gsumwmhm  18870  gsumwspan  18871  frmdgsum  18887  frmdup1  18889  mulgnn0gsum  19113  gsumwrev  19397  gsmsymgrfix  19459  gsmsymgreq  19463  psgnunilem2  19526  psgn0fv0  19542  psgnsn  19551  psgnprfval1  19553  gsumconst  19965  gsumle  20176  gsumfsum  21474  mplmonmul  22077  mplcoe1  22078  mplcoe5  22081  coe1fzgsumd  22355  evl1gsumd  22408  mdet0pr  22640  madugsum  22691  tmdgsum  24143  xrge0gsumle  24882  xrge0tsms  24883  jensen  27041  suppgsumssiun  33213  xrge0tsmsd  33214  gsumwun  33217  cyc3genpmlem  33292  gsumvsca1  33367  gsumvsca2  33368  elrgspnlem2  33385  elrgspnlem4  33387  domnprodn0  33420  domnprodeq0  33421  unitprodclb  33536  rprmdvdsprod  33691  1arithidom  33694  1arithufdlem3  33703  1arithufdlem4  33704  dfufd2lem  33706  deg1prod  33740  ply1coedeg  33746  psrgsum  33806  psrmonmul  33808  psrmonprod  33810  vieta  33838  zarcmplem  34139  esumnul  34306  esumsnf  34322  sitg0  34604  mrsub0  35827  matunitlindflem1  38076  evl1gprodd  42695  idomnnzgmulnz  42711  deg1gprod  42718  lincval0  48998