MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum0 18709
Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gsum0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsum0 (𝐺 Σg ∅) = 0

Proof of Theorem gsum0
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑜 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 gsum0.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2734 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2734 . . 3 {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
6 0ex 5312 . . . 4 ∅ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅ ∈ V)
8 f0 6789 . . . 4 ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
98a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)})
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9gsumval1 18708 . 2 (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
11 df-gsum 17488 . . . . 5 Σg = (𝑤 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑤)((𝑥(+g𝑤)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑤)𝑥) = 𝑦)} / 𝑜if(ran 𝑓𝑜, (0g𝑤), if(dom 𝑓 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(dom 𝑓 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚((+g𝑤), 𝑓)‘𝑛))), (℩𝑥𝑔[(𝑓 “ (V ∖ 𝑜)) / 𝑦](𝑔:(1...(♯‘𝑦))–1-1-onto𝑦𝑥 = (seq1((+g𝑤), (𝑓𝑔))‘(♯‘𝑦)))))))
1211reldmmpo 7566 . . . 4 Rel dom Σg
1312ovprc1 7469 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = ∅)
14 fvprc 6898 . . . 4 𝐺 ∈ V → (0g𝐺) = ∅)
152, 14eqtrid 2786 . . 3 𝐺 ∈ V → 0 = ∅)
1613, 15eqtr4d 2777 . 2 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
1710, 16pm2.61i 182 1 (𝐺 Σg ∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  [wsbc 3790  csb 3907  cdif 3959  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530  ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689  cima 5691  ccom 5692  cio 6513  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  1c1 11153  cuz 12875  ...cfz 13543  seqcseq 14038  chash 14365  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-seq 14039  df-gsum 17488
This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  18862  gsumccat  18866  gsumwmhm  18870  gsumwspan  18871  frmdgsum  18887  frmdup1  18889  mulgnn0gsum  19110  gsumwrev  19399  gsmsymgrfix  19460  gsmsymgreq  19464  psgnunilem2  19527  psgn0fv0  19543  psgnsn  19552  psgnprfval1  19554  gsumconst  19966  gsumfsum  21469  mplmonmul  22071  mplcoe1  22072  mplcoe5  22075  coe1fzgsumd  22323  evl1gsumd  22376  mdet0pr  22613  madugsum  22664  tmdgsum  24118  xrge0gsumle  24868  xrge0tsms  24869  jensen  27046  xrge0tsmsd  33047  gsumwun  33050  gsumle  33083  cyc3genpmlem  33153  gsumvsca1  33214  gsumvsca2  33215  elrgspnlem2  33232  elrgspnlem4  33234  domnprodn0  33261  unitprodclb  33396  rprmdvdsprod  33541  1arithidom  33544  1arithufdlem3  33553  1arithufdlem4  33554  dfufd2lem  33556  zarcmplem  33841  esumnul  34028  esumsnf  34044  sitg0  34327  mrsub0  35500  matunitlindflem1  37602  evl1gprodd  42098  idomnnzgmulnz  42114  deg1gprod  42121  lincval0  48260
  Copyright terms: Public domain W3C validator