MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum0 18697
Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
gsum0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsum0 (𝐺 Σg ∅) = 0

Proof of Theorem gsum0
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑜 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 gsum0.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2737 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 eqid 2737 . . 3 {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
6 0ex 5307 . . . 4 ∅ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅ ∈ V)
8 f0 6789 . . . 4 ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)}
98a1i 11 . . 3 (𝐺 ∈ V → ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = 𝑦)})
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9gsumval1 18696 . 2 (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
11 df-gsum 17487 . . . . 5 Σg = (𝑤 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑤)((𝑥(+g𝑤)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g𝑤)𝑥) = 𝑦)} / 𝑜if(ran 𝑓𝑜, (0g𝑤), if(dom 𝑓 ∈ ran ..., (℩𝑥𝑚𝑛 ∈ (ℤ𝑚)(dom 𝑓 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚((+g𝑤), 𝑓)‘𝑛))), (℩𝑥𝑔[(𝑓 “ (V ∖ 𝑜)) / 𝑦](𝑔:(1...(♯‘𝑦))–1-1-onto𝑦𝑥 = (seq1((+g𝑤), (𝑓𝑔))‘(♯‘𝑦)))))))
1211reldmmpo 7567 . . . 4 Rel dom Σg
1312ovprc1 7470 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = ∅)
14 fvprc 6898 . . . 4 𝐺 ∈ V → (0g𝐺) = ∅)
152, 14eqtrid 2789 . . 3 𝐺 ∈ V → 0 = ∅)
1613, 15eqtr4d 2780 . 2 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
1710, 16pm2.61i 182 1 (𝐺 Σg ∅) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  [wsbc 3788  csb 3899  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688  ccom 5689  cio 6512  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042  chash 14369  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seq 14043  df-gsum 17487
This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  18850  gsumccat  18854  gsumwmhm  18858  gsumwspan  18859  frmdgsum  18875  frmdup1  18877  mulgnn0gsum  19098  gsumwrev  19385  gsmsymgrfix  19446  gsmsymgreq  19450  psgnunilem2  19513  psgn0fv0  19529  psgnsn  19538  psgnprfval1  19540  gsumconst  19952  gsumfsum  21452  mplmonmul  22054  mplcoe1  22055  mplcoe5  22058  coe1fzgsumd  22308  evl1gsumd  22361  mdet0pr  22598  madugsum  22649  tmdgsum  24103  xrge0gsumle  24855  xrge0tsms  24856  jensen  27032  xrge0tsmsd  33065  gsumwun  33068  gsumle  33101  cyc3genpmlem  33171  gsumvsca1  33232  gsumvsca2  33233  elrgspnlem2  33247  elrgspnlem4  33249  domnprodn0  33279  unitprodclb  33417  rprmdvdsprod  33562  1arithidom  33565  1arithufdlem3  33574  1arithufdlem4  33575  dfufd2lem  33577  zarcmplem  33880  esumnul  34049  esumsnf  34065  sitg0  34348  mrsub0  35521  matunitlindflem1  37623  evl1gprodd  42118  idomnnzgmulnz  42134  deg1gprod  42141  lincval0  48332
  Copyright terms: Public domain W3C validator