Theorem gsum0 18652

Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsum0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsum0	⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0

Proof of Theorem gsum0

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑜 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		gsum0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
6		0ex 5242	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ∅ ∈ V)
8		f0 6721	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
10	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9	gsumval1 18651	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
11		df-gsum 17405	. . . . 5 ⊢ Σg = (𝑤 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ ⦋{𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑤)((𝑥(+g‘𝑤)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑤)𝑥) = 𝑦)} / 𝑜⦌if(ran 𝑓 ⊆ 𝑜, (0g‘𝑤), if(dom 𝑓 ∈ ran ..., (℩𝑥∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(dom 𝑓 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚((+g‘𝑤), 𝑓)‘𝑛))), (℩𝑥∃𝑔[(◡𝑓 “ (V ∖ 𝑜)) / 𝑦](𝑔:(1...(♯‘𝑦))–1-1-onto→𝑦 ∧ 𝑥 = (seq1((+g‘𝑤), (𝑓 ∘ 𝑔))‘(♯‘𝑦)))))))
12	11	reldmmpo 7501	. . . 4 ⊢ Rel dom Σg
13	12	ovprc1 7406	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = ∅)
14		fvprc 6832	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (0g‘𝐺) = ∅)
15	2, 14	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 0 = ∅)
16	13, 15	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
17	10, 16	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {crab 3389  Vcvv 3429  [wsbc 3728  ⦋csb 3837   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ifcif 4466  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634   ∘ ccom 5635  ℩cio 6452  ⟶wf 6494  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461  seqcseq 13963  ♯chash 14292  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-seq 13964  df-gsum 17405

This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  18805  gsumccat  18809  gsumwmhm  18813  gsumwspan  18814  frmdgsum  18830  frmdup1  18832  mulgnn0gsum  19056  gsumwrev  19341  gsmsymgrfix  19403  gsmsymgreq  19407  psgnunilem2  19470  psgn0fv0  19486  psgnsn  19495  psgnprfval1  19497  gsumconst  19909  gsumle  20120  gsumfsum  21414  mplmonmul  22014  mplcoe1  22015  mplcoe5  22018  coe1fzgsumd  22269  evl1gsumd  22322  mdet0pr  22557  madugsum  22608  tmdgsum  24060  xrge0gsumle  24799  xrge0tsms  24800  jensen  26952  suppgsumssiun  33133  xrge0tsmsd  33134  gsumwun  33137  cyc3genpmlem  33212  gsumvsca1  33287  gsumvsca2  33288  elrgspnlem2  33304  elrgspnlem4  33306  domnprodn0  33336  domnprodeq0  33337  unitprodclb  33449  rprmdvdsprod  33594  1arithidom  33597  1arithufdlem3  33606  1arithufdlem4  33607  dfufd2lem  33609  deg1prod  33643  ply1coedeg  33649  psrgsum  33692  psrmonmul  33694  psrmonprod  33696  vieta  33724  zarcmplem  34025  esumnul  34192  esumsnf  34208  sitg0  34490  mrsub0  35698  matunitlindflem1  37937  evl1gprodd  42556  idomnnzgmulnz  42572  deg1gprod  42579  lincval0  48891