Theorem gsum0 18577

Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsum0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsum0	⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0

Proof of Theorem gsum0

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑜 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		gsum0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
6		0ex 5249	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ∅ ∈ V)
8		f0 6709	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
10	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9	gsumval1 18576	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
11		df-gsum 17365	. . . . 5 ⊢ Σg = (𝑤 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ ⦋{𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑤)((𝑥(+g‘𝑤)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑤)𝑥) = 𝑦)} / 𝑜⦌if(ran 𝑓 ⊆ 𝑜, (0g‘𝑤), if(dom 𝑓 ∈ ran ..., (℩𝑥∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(dom 𝑓 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚((+g‘𝑤), 𝑓)‘𝑛))), (℩𝑥∃𝑔[(◡𝑓 “ (V ∖ 𝑜)) / 𝑦](𝑔:(1...(♯‘𝑦))–1-1-onto→𝑦 ∧ 𝑥 = (seq1((+g‘𝑤), (𝑓 ∘ 𝑔))‘(♯‘𝑦)))))))
12	11	reldmmpo 7487	. . . 4 ⊢ Rel dom Σg
13	12	ovprc1 7392	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = ∅)
14		fvprc 6818	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (0g‘𝐺) = ∅)
15	2, 14	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 0 = ∅)
16	13, 15	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
17	10, 16	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3396  Vcvv 3438  [wsbc 3744  ⦋csb 3853   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ifcif 4478  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623  ran crn 5624   “ cima 5626   ∘ ccom 5627  ℩cio 6440  ⟶wf 6482  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1c1 11029  ℤ_≥cuz 12754  ...cfz 13429  seqcseq 13927  ♯chash 14256  Basecbs 17139  +_gcplusg 17180  0_gc0g 17362   Σ_g cgsu 17363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-seq 13928  df-gsum 17365

This theorem is referenced by:  gsumwsubmcl  18730  gsumccat  18734  gsumwmhm  18738  gsumwspan  18739  frmdgsum  18755  frmdup1  18757  mulgnn0gsum  18978  gsumwrev  19264  gsmsymgrfix  19326  gsmsymgreq  19330  psgnunilem2  19393  psgn0fv0  19409  psgnsn  19418  psgnprfval1  19420  gsumconst  19832  gsumle  20043  gsumfsum  21360  mplmonmul  21960  mplcoe1  21961  mplcoe5  21964  coe1fzgsumd  22208  evl1gsumd  22261  mdet0pr  22496  madugsum  22547  tmdgsum  23999  xrge0gsumle  24739  xrge0tsms  24740  jensen  26916  xrge0tsmsd  33034  gsumwun  33037  cyc3genpmlem  33112  gsumvsca1  33187  gsumvsca2  33188  elrgspnlem2  33202  elrgspnlem4  33204  domnprodn0  33234  unitprodclb  33345  rprmdvdsprod  33490  1arithidom  33493  1arithufdlem3  33502  1arithufdlem4  33503  dfufd2lem  33505  zarcmplem  33867  esumnul  34034  esumsnf  34050  sitg0  34333  mrsub0  35508  matunitlindflem1  37615  evl1gprodd  42110  idomnnzgmulnz  42126  deg1gprod  42133  lincval0  48420