Theorem gsum0 18866

Description: Value of the empty group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsum0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsum0	⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0

Proof of Theorem gsum0

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑚 𝑛 𝑜 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		gsum0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)} = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
6		0ex 5261	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ∅ ∈ V)
8		f0 6761	. . . 4 ⊢ ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)}
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → ∅:∅⟶{𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑦)})
10	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9	gsumval1 18865	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
11		df-gsum 17606	. . . . 5 ⊢ Σg = (𝑤 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ ⦋{𝑥 ∈ (Base‘𝑤) ∣ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑤)((𝑥(+g‘𝑤)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑤)𝑥) = 𝑦)} / 𝑜⦌if(ran 𝑓 ⊆ 𝑜, (0g‘𝑤), if(dom 𝑓 ∈ ran ..., (℩𝑥∃𝑚∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)(dom 𝑓 = (𝑚...𝑛) ∧ 𝑥 = (seq𝑚((+g‘𝑤), 𝑓)‘𝑛))), (℩𝑥∃𝑔[(◡𝑓 “ (V ∖ 𝑜)) / 𝑦](𝑔:(1...(♯‘𝑦))–1-1-onto→𝑦 ∧ 𝑥 = (seq1((+g‘𝑤), (𝑓 ∘ 𝑔))‘(♯‘𝑦)))))))
12	11	reldmmpo 7552	. . . 4 ⊢ Rel dom Σg
13	12	ovprc1 7457	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = ∅)
14		fvprc 6875	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (0g‘𝐺) = ∅)
15	2, 14	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 0 = ∅)
16	13, 15	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 Σg ∅) = 0 )
17	10, 16	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = 0

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451  [wsbc 3739  ⦋csb 3847   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   “ cima 5654   ∘ ccom 5655  ℩cio 6491  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  1c1 11194  ℤ_≥cuz 12958  ...cfz 13632  seqcseq 14137  ♯chash 14467  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-seq 14138  df-gsum 17606

This theorem is used by:  gsumwsubmcl  19026  gsumccat  19030  gsumwmhm  19034  gsumwspan  19035  frmdgsum  19051  frmdup1  19053  mulgnn0gsum  19283  gsumwrev  19573  gsmsymgrfix  19635  gsmsymgreq  19639  psgnunilem2  19702  psgn0fv0  19718  psgnsn  19727  psgnprfval1  19729  gsumconst  20141  gsumle  20352  gsumfsum  21733  mplmonmul  22338  mplcoe1  22339  mplcoe5  22342  coe1fzgsumd  22615  evl1gsumd  22668  mdet0pr  22900  madugsum  22951  matunitlindflem1  22987  tmdgsum  24407  xrge0gsumle  25146  xrge0tsms  25147  jensen  27309  suppgsumssiun  33626  xrge0tsmsd  33627  gsumwun  33630  cyc3genpmlem  33705  gsumvsca1  33780  gsumvsca2  33781  elrgspnlem2  33797  elrgspnlem4  33799  domnprodn0  33832  domnprodeq0  33833  unitprodclb  33937  rprmdvdsprod  34059  1arithidom  34062  1arithufdlem3  34071  1arithufdlem4  34072  dfufd2lem  34074  deg1prod  34108  ply1coedeg  34114  psrgsum  34173  psrmonmul  34175  psrmonprod  34177  vieta  34205  zarcmplem  34506  esumnul  34673  esumsnf  34689  sitg0  34971  mrsub0  36260  evl1gprodd  43147  idomnnzgmulnz  43163  deg1gprod  43170  lincval0  49496