MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cat1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cat1lem 18046
Description: The category of sets in a "universe" containing the empty set and another set does not have pairwise disjoint hom-sets as required in Axiom CAT 1 in [Lang] p. 53. Lemma for cat1 18047. (Contributed by Zhi Wang, 15-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cat1lem.1 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
cat1lem.2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
cat1lem.3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
cat1lem.4 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
cat1lem.5 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ π‘ˆ)
cat1lem.6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
cat1lem.7 (πœ‘ β†’ βˆ… β‰  π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
cat1lem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐻𝑦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐡,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐻,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝐢(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   π‘Œ(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cat1lem
StepHypRef Expression
1 cat1lem.5 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ π‘ˆ)
2 cat1lem.1 . . . . 5 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
3 cat1lem.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
42, 3setcbas 18028 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΆ))
5 cat1lem.3 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
64, 5eqtr4di 2791 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = 𝐡)
71, 6eleqtrd 2836 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝐡)
8 cat1lem.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
98, 6eleqtrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
10 f0 6773 . . . . 5 βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…
11 cat1lem.4 . . . . . 6 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
122, 3, 11, 1, 1elsetchom 18031 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (βˆ…π»βˆ…) ↔ βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…))
1310, 12mpbiri 258 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (βˆ…π»βˆ…))
14 f0 6773 . . . . 5 βˆ…:βˆ…βŸΆπ‘Œ
152, 3, 11, 1, 8elsetchom 18031 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (βˆ…π»π‘Œ) ↔ βˆ…:βˆ…βŸΆπ‘Œ))
1614, 15mpbiri 258 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (βˆ…π»π‘Œ))
17 inelcm 4465 . . . 4 ((βˆ… ∈ (βˆ…π»βˆ…) ∧ βˆ… ∈ (βˆ…π»π‘Œ)) β†’ ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘Œ)) β‰  βˆ…)
1813, 16, 17syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘Œ)) β‰  βˆ…)
19 cat1lem.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ… β‰  π‘Œ)
2019neneqd 2946 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ… = π‘Œ)
2120intnand 490 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = π‘Œ))
22 oveq1 7416 . . . . . . 7 (𝑧 = βˆ… β†’ (𝑧𝐻𝑀) = (βˆ…π»π‘€))
2322ineq2d 4213 . . . . . 6 (𝑧 = βˆ… β†’ ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) = ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘€)))
2423neeq1d 3001 . . . . 5 (𝑧 = βˆ… β†’ (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ↔ ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘€)) β‰  βˆ…))
25 eqeq2 2745 . . . . . . 7 (𝑧 = βˆ… β†’ (βˆ… = 𝑧 ↔ βˆ… = βˆ…))
2625anbi1d 631 . . . . . 6 (𝑧 = βˆ… β†’ ((βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀) ↔ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = 𝑀)))
2726notbid 318 . . . . 5 (𝑧 = βˆ… β†’ (Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀) ↔ Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = 𝑀)))
2824, 27anbi12d 632 . . . 4 (𝑧 = βˆ… β†’ ((((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀)) ↔ (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘€)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = 𝑀))))
29 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Œ β†’ (βˆ…π»π‘€) = (βˆ…π»π‘Œ))
3029ineq2d 4213 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘€)) = ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘Œ)))
3130neeq1d 3001 . . . . 5 (𝑀 = π‘Œ β†’ (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘€)) β‰  βˆ… ↔ ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘Œ)) β‰  βˆ…))
32 eqeq2 2745 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Œ β†’ (βˆ… = 𝑀 ↔ βˆ… = π‘Œ))
3332anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = 𝑀) ↔ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = π‘Œ)))
3433notbid 318 . . . . 5 (𝑀 = π‘Œ β†’ (Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = 𝑀) ↔ Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = π‘Œ)))
3531, 34anbi12d 632 . . . 4 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘€)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = 𝑀)) ↔ (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘Œ)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = π‘Œ))))
3628, 35rspc2ev 3625 . . 3 ((βˆ… ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘Œ)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = π‘Œ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀)))
377, 9, 18, 21, 36syl112anc 1375 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀)))
38 oveq1 7416 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (βˆ…π»π‘¦))
3938ineq1d 4212 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘₯𝐻𝑦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) = ((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)))
4039neeq1d 3001 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (((π‘₯𝐻𝑦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ↔ ((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ…))
41 eqeq1 2737 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ = 𝑧 ↔ βˆ… = 𝑧))
4241anbi1d 631 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀) ↔ (βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)))
4342notbid 318 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Β¬ (π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀) ↔ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)))
4440, 43anbi12d 632 . . . 4 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((((π‘₯𝐻𝑦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)) ↔ (((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀))))
45442rexbidv 3220 . . 3 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐻𝑦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀))))
46 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑦 = βˆ… β†’ (βˆ…π»π‘¦) = (βˆ…π»βˆ…))
4746ineq1d 4212 . . . . . 6 (𝑦 = βˆ… β†’ ((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) = ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)))
4847neeq1d 3001 . . . . 5 (𝑦 = βˆ… β†’ (((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ↔ ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ…))
49 eqeq1 2737 . . . . . . 7 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑦 = 𝑀 ↔ βˆ… = 𝑀))
5049anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑦 = βˆ… β†’ ((βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀) ↔ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀)))
5150notbid 318 . . . . 5 (𝑦 = βˆ… β†’ (Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀) ↔ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀)))
5248, 51anbi12d 632 . . . 4 (𝑦 = βˆ… β†’ ((((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)) ↔ (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀))))
53522rexbidv 3220 . . 3 (𝑦 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀))))
5445, 53rspc2ev 3625 . 2 ((βˆ… ∈ 𝐡 ∧ βˆ… ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐻𝑦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)))
557, 7, 37, 54syl3anc 1372 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐻𝑦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948  βˆ…c0 4323  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Hom chom 17208  SetCatcsetc 18025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-hom 17221  df-cco 17222  df-setc 18026
This theorem is referenced by:  cat1  18047
  Copyright terms: Public domain W3C validator