MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cat1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cat1lem 18048
Description: The category of sets in a "universe" containing the empty set and another set does not have pairwise disjoint hom-sets as required in Axiom CAT 1 in [Lang] p. 53. Lemma for cat1 18049. (Contributed by Zhi Wang, 15-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cat1lem.1 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
cat1lem.2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
cat1lem.3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
cat1lem.4 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
cat1lem.5 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ π‘ˆ)
cat1lem.6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
cat1lem.7 (πœ‘ β†’ βˆ… β‰  π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
cat1lem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐻𝑦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐡,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐻,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝐢(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀)   π‘Œ(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cat1lem
StepHypRef Expression
1 cat1lem.5 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ π‘ˆ)
2 cat1lem.1 . . . . 5 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
3 cat1lem.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
42, 3setcbas 18030 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΆ))
5 cat1lem.3 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
64, 5eqtr4di 2790 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = 𝐡)
71, 6eleqtrd 2835 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝐡)
8 cat1lem.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
98, 6eleqtrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
10 f0 6772 . . . . 5 βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…
11 cat1lem.4 . . . . . 6 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
122, 3, 11, 1, 1elsetchom 18033 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (βˆ…π»βˆ…) ↔ βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…))
1310, 12mpbiri 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (βˆ…π»βˆ…))
14 f0 6772 . . . . 5 βˆ…:βˆ…βŸΆπ‘Œ
152, 3, 11, 1, 8elsetchom 18033 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ (βˆ…π»π‘Œ) ↔ βˆ…:βˆ…βŸΆπ‘Œ))
1614, 15mpbiri 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (βˆ…π»π‘Œ))
17 inelcm 4464 . . . 4 ((βˆ… ∈ (βˆ…π»βˆ…) ∧ βˆ… ∈ (βˆ…π»π‘Œ)) β†’ ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘Œ)) β‰  βˆ…)
1813, 16, 17syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘Œ)) β‰  βˆ…)
19 cat1lem.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ… β‰  π‘Œ)
2019neneqd 2945 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ… = π‘Œ)
2120intnand 489 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = π‘Œ))
22 oveq1 7418 . . . . . . 7 (𝑧 = βˆ… β†’ (𝑧𝐻𝑀) = (βˆ…π»π‘€))
2322ineq2d 4212 . . . . . 6 (𝑧 = βˆ… β†’ ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) = ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘€)))
2423neeq1d 3000 . . . . 5 (𝑧 = βˆ… β†’ (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ↔ ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘€)) β‰  βˆ…))
25 eqeq2 2744 . . . . . . 7 (𝑧 = βˆ… β†’ (βˆ… = 𝑧 ↔ βˆ… = βˆ…))
2625anbi1d 630 . . . . . 6 (𝑧 = βˆ… β†’ ((βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀) ↔ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = 𝑀)))
2726notbid 317 . . . . 5 (𝑧 = βˆ… β†’ (Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀) ↔ Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = 𝑀)))
2824, 27anbi12d 631 . . . 4 (𝑧 = βˆ… β†’ ((((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀)) ↔ (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘€)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = 𝑀))))
29 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Œ β†’ (βˆ…π»π‘€) = (βˆ…π»π‘Œ))
3029ineq2d 4212 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘€)) = ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘Œ)))
3130neeq1d 3000 . . . . 5 (𝑀 = π‘Œ β†’ (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘€)) β‰  βˆ… ↔ ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘Œ)) β‰  βˆ…))
32 eqeq2 2744 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Œ β†’ (βˆ… = 𝑀 ↔ βˆ… = π‘Œ))
3332anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = 𝑀) ↔ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = π‘Œ)))
3433notbid 317 . . . . 5 (𝑀 = π‘Œ β†’ (Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = 𝑀) ↔ Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = π‘Œ)))
3531, 34anbi12d 631 . . . 4 (𝑀 = π‘Œ β†’ ((((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘€)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = 𝑀)) ↔ (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘Œ)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = π‘Œ))))
3628, 35rspc2ev 3624 . . 3 ((βˆ… ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (βˆ…π»π‘Œ)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = βˆ… ∧ βˆ… = π‘Œ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀)))
377, 9, 18, 21, 36syl112anc 1374 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀)))
38 oveq1 7418 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (βˆ…π»π‘¦))
3938ineq1d 4211 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘₯𝐻𝑦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) = ((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)))
4039neeq1d 3000 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (((π‘₯𝐻𝑦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ↔ ((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ…))
41 eqeq1 2736 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ = 𝑧 ↔ βˆ… = 𝑧))
4241anbi1d 630 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀) ↔ (βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)))
4342notbid 317 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Β¬ (π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀) ↔ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)))
4440, 43anbi12d 631 . . . 4 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((((π‘₯𝐻𝑦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)) ↔ (((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀))))
45442rexbidv 3219 . . 3 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐻𝑦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀))))
46 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑦 = βˆ… β†’ (βˆ…π»π‘¦) = (βˆ…π»βˆ…))
4746ineq1d 4211 . . . . . 6 (𝑦 = βˆ… β†’ ((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) = ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)))
4847neeq1d 3000 . . . . 5 (𝑦 = βˆ… β†’ (((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ↔ ((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ…))
49 eqeq1 2736 . . . . . . 7 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑦 = 𝑀 ↔ βˆ… = 𝑀))
5049anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑦 = βˆ… β†’ ((βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀) ↔ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀)))
5150notbid 317 . . . . 5 (𝑦 = βˆ… β†’ (Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀) ↔ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀)))
5248, 51anbi12d 631 . . . 4 (𝑦 = βˆ… β†’ ((((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)) ↔ (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀))))
53522rexbidv 3219 . . 3 (𝑦 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ…π»π‘¦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀))))
5445, 53rspc2ev 3624 . 2 ((βˆ… ∈ 𝐡 ∧ βˆ… ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((βˆ…π»βˆ…) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (βˆ… = 𝑧 ∧ βˆ… = 𝑀))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐻𝑦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)))
557, 7, 37, 54syl3anc 1371 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐻𝑦) ∩ (𝑧𝐻𝑀)) β‰  βˆ… ∧ Β¬ (π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  Hom chom 17210  SetCatcsetc 18027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-hom 17223  df-cco 17224  df-setc 18028
This theorem is referenced by:  cat1  18049
  Copyright terms: Public domain W3C validator