Theorem inf3lem7 9656

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9657 for detailed description. In the proof, we invoke the Axiom of Replacement in the form of f1dmex 7963. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lem7	⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → ω ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
2		inf3lem.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3		inf3lem.3	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		inf3lem.4	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	1, 2, 3, 4	inf3lem6 9655	. 2 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → 𝐹:ω–1-1→𝒫 𝑥)
6		vpwex 5357	. 2 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
7		f1dmex 7963	. 2 ⊢ ((𝐹:ω–1-1→𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ V) → ω ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 586	1 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → ω ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  {crab 3419  Vcvv 3463   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  ∪ cuni 4887   ↦ cmpt 5205   ↾ cres 5667  –1-1→wf1 6538  ωcom 7869  reccrdg 8431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-reg 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432

This theorem is referenced by:  inf3  9657  infeq5  9659