MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lem7 9578
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9579 for detailed description. In the proof, we invoke the Axiom of Replacement in the form of f1dmex 7893. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem7 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ω ∈ V)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem7
StepHypRef Expression
1 inf3lem.1 . . 3 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
2 inf3lem.2 . . 3 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3 inf3lem.3 . . 3 𝐴 ∈ V
4 inf3lem.4 . . 3 𝐵 ∈ V
51, 2, 3, 4inf3lem6 9577 . 2 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → 𝐹:ω–1-1→𝒫 𝑥)
6 vpwex 5336 . 2 𝒫 𝑥 ∈ V
7 f1dmex 7893 . 2 ((𝐹:ω–1-1→𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ V) → ω ∈ V)
85, 6, 7sylancl 587 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ω ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  {crab 3406  Vcvv 3447  cin 3913  wss 3914  c0 4286  𝒫 cpw 4564   cuni 4869  cmpt 5192  cres 5639  1-1wf1 6497  ωcom 7806  reccrdg 8359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-reg 9536
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360
This theorem is referenced by:  inf3  9579  infeq5  9581
  Copyright terms: Public domain W3C validator