Theorem oiexg 9488

Description: The order isomorphism on a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oiexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem oiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oicl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2	1	ordtype 9485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
3		isof1o 7298	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴)
4		f1of1 6799	. . . 4 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴)
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴)
6		f1f 6756	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐴)
7		f1dmex 7935	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom 𝐹 ∈ V)
8		fex 7200	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
9	6, 7, 8	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
10	9	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 → 𝐹 ∈ V))
11	5, 10	syl5 34	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V))
12	1	oi0 9481	. . 3 ⊢ (¬ (𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 = ∅)
13		0ex 5262	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
14	12, 13	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ (¬ (𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
15	11, 14	pm2.61d1 180	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ∅c0 4296   E cep 5537   Se wse 5589   We wwe 5590  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  –1-1→wf1 6508  –1-1-onto→wf1o 6510   Isom wiso 6512  OrdIsocoi 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-oi 9463

This theorem is referenced by:  oion  9489  oien  9491  cantnfval  9621  wemapwe  9650  finnisoeu  10066  cofsmo  10222