MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oiexg 9065
Description: The order isomorphism on a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oiexg (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem oiexg
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . . . 5 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
21ordtype 9062 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
3 isof1o 7083 . . . 4 (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴)
4 f1of1 6611 . . . 4 (𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴𝐹:dom 𝐹1-1𝐴)
52, 3, 43syl 18 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹1-1𝐴)
6 f1f 6568 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐹:dom 𝐹𝐴)
7 f1dmex 7676 . . . . 5 ((𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐴𝑉) → dom 𝐹 ∈ V)
8 fex 6993 . . . . 5 ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
96, 7, 8syl2an2r 685 . . . 4 ((𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
109expcom 417 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐹 ∈ V))
115, 10syl5 34 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V))
121oi0 9058 . . 3 (¬ (𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 = ∅)
13 0ex 5172 . . 3 ∅ ∈ V
1412, 13eqeltrdi 2841 . 2 (¬ (𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
1511, 14pm2.61d1 183 1 (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  Vcvv 3397  c0 4209   E cep 5429   Se wse 5476   We wwe 5477  dom cdm 5519  wf 6329  1-1wf1 6330  1-1-ontowf1o 6332   Isom wiso 6334  OrdIsocoi 9039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pr 5293  ax-un 7473
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-oi 9040
This theorem is referenced by:  oion  9066  oien  9068  cantnfval  9197  wemapwe  9226  finnisoeu  9606  cofsmo  9762
  Copyright terms: Public domain W3C validator