MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oiexg 9479
Description: The order isomorphism on a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oiexg (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem oiexg
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . . . 5 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
21ordtype 9476 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
3 isof1o 7272 . . . 4 (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴)
4 f1of1 6787 . . . 4 (𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴𝐹:dom 𝐹1-1𝐴)
52, 3, 43syl 18 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹1-1𝐴)
6 f1f 6742 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐹:dom 𝐹𝐴)
7 f1dmex 7893 . . . . 5 ((𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐴𝑉) → dom 𝐹 ∈ V)
8 fex 7180 . . . . 5 ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
96, 7, 8syl2an2r 684 . . . 4 ((𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
109expcom 415 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐹 ∈ V))
115, 10syl5 34 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V))
121oi0 9472 . . 3 (¬ (𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 = ∅)
13 0ex 5268 . . 3 ∅ ∈ V
1412, 13eqeltrdi 2842 . 2 (¬ (𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
1511, 14pm2.61d1 180 1 (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  c0 4286   E cep 5540   Se wse 5590   We wwe 5591  dom cdm 5637  wf 6496  1-1wf1 6497  1-1-ontowf1o 6499   Isom wiso 6501  OrdIsocoi 9453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-oi 9454
This theorem is referenced by:  oion  9480  oien  9482  cantnfval  9612  wemapwe  9641  finnisoeu  10057  cofsmo  10213
  Copyright terms: Public domain W3C validator