MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oiexg 9571
Description: The order isomorphism on a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oiexg (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem oiexg
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . . . 5 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
21ordtype 9568 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
3 isof1o 7327 . . . 4 (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴)
4 f1of1 6834 . . . 4 (𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴𝐹:dom 𝐹1-1𝐴)
52, 3, 43syl 18 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹1-1𝐴)
6 f1f 6790 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐹:dom 𝐹𝐴)
7 f1dmex 7962 . . . . 5 ((𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐴𝑉) → dom 𝐹 ∈ V)
8 fex 7235 . . . . 5 ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
96, 7, 8syl2an2r 683 . . . 4 ((𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
109expcom 412 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐹 ∈ V))
115, 10syl5 34 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V))
121oi0 9564 . . 3 (¬ (𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 = ∅)
13 0ex 5304 . . 3 ∅ ∈ V
1412, 13eqeltrdi 2834 . 2 (¬ (𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
1511, 14pm2.61d1 180 1 (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  c0 4322   E cep 5577   Se wse 5627   We wwe 5628  dom cdm 5674  wf 6542  1-1wf1 6543  1-1-ontowf1o 6545   Isom wiso 6547  OrdIsocoi 9545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-oi 9546
This theorem is referenced by:  oion  9572  oien  9574  cantnfval  9704  wemapwe  9733  finnisoeu  10149  cofsmo  10303
  Copyright terms: Public domain W3C validator