Theorem oiexg 9452

Description: The order isomorphism on a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oiexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem oiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oicl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2	1	ordtype 9449	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
3		isof1o 7279	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴)
4		f1of1 6781	. . . 4 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴)
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴)
6		f1f 6738	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐴)
7		f1dmex 7911	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom 𝐹 ∈ V)
8		fex 7182	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
9	6, 7, 8	syl2an2r 686	. . . 4 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
10	9	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 → 𝐹 ∈ V))
11	5, 10	syl5 34	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V))
12	1	oi0 9445	. . 3 ⊢ (¬ (𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 = ∅)
13		0ex 5254	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
14	12, 13	eqeltrdi 2845	. 2 ⊢ (¬ (𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
15	11, 14	pm2.61d1 180	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287   E cep 5531   Se wse 5583   We wwe 5584  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  –1-1→wf1 6497  –1-1-onto→wf1o 6499   Isom wiso 6501  OrdIsocoi 9426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-oi 9427

This theorem is referenced by:  oion  9453  oien  9455  cantnfval  9589  wemapwe  9618  finnisoeu  10035  cofsmo  10191