MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oiexg 8673
Description: The order isomorphism on a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oiexg (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem oiexg
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . . . 5 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
21ordtype 8670 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
3 isof1o 6791 . . . 4 (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴)
4 f1of1 6346 . . . 4 (𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴𝐹:dom 𝐹1-1𝐴)
52, 3, 43syl 18 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹1-1𝐴)
6 f1dmex 7360 . . . . 5 ((𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐴𝑉) → dom 𝐹 ∈ V)
7 f1f 6310 . . . . . 6 (𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐹:dom 𝐹𝐴)
8 fex 6708 . . . . . 6 ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
97, 8sylan 571 . . . . 5 ((𝐹:dom 𝐹1-1𝐴 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
106, 9syldan 581 . . . 4 ((𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
1110expcom 400 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐹 ∈ V))
125, 11syl5 34 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V))
131oi0 8666 . . 3 (¬ (𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 = ∅)
14 0ex 4978 . . 3 ∅ ∈ V
1513, 14syl6eqel 2889 . 2 (¬ (𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
1612, 15pm2.61d1 172 1 (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2155  Vcvv 3387  c0 4110   E cep 5217   Se wse 5262   We wwe 5263  dom cdm 5305  wf 6091  1-1wf1 6092  1-1-ontowf1o 6094   Isom wiso 6096  OrdIsocoi 8647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-se 5265  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-isom 6104  df-riota 6829  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-oi 8648
This theorem is referenced by:  oion  8674  oien  8676  cantnfval  8806  wemapwe  8835  finnisoeu  9213  cofsmo  9370
  Copyright terms: Public domain W3C validator