Theorem oiexg 9556

Description: The order isomorphism on a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oiexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem oiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oicl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2	1	ordtype 9553	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
3		isof1o 7354	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹⟶1-1onto𝐴)
4		f1of1 6845	. . . 4 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶1-1onto𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶1-1𝐴)
5	2, 3, 4	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹⟶1-1𝐴)
6		f1f 6800	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶1-1𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐴)
7		f1dmex 7993	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶1-1𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom 𝐹 ∈ V)
8		fex 7255	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
9	6, 7, 8	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶1-1𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
10	9	expcom 419	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:dom 𝐹⟶1-1𝐴 → 𝐹 ∈ V))
11	5, 10	syl5 35	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V))
12	1	oi0 9549	. . 3 ⊢ (¬ (𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 = ∅)
13		0ex 5264	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
14	12, 13	eqeltrdi 2872	. 2 ⊢ (¬ (𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
15	11, 14	pm2.61d1 182	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281   E cep 5554   Se wse 5606   We wwe 5607  dom cdm 5655  ⟶wf 6554  ⟶1-1wf1 6555  ⟶1-1ontowf1o 6557   Isom wiso 6559  OrdIsocoi 9530

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-oi 9531

This theorem is used by:  oion  9557  oien  9559  cantnfval  9696  wemapwe  9725  finnisoeu  10219  cofsmo  10374