MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oiexg 8993
Description: The order isomorphism on a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oiexg (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem oiexg
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . . . 5 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
21ordtype 8990 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
3 isof1o 7070 . . . 4 (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴)
4 f1of1 6613 . . . 4 (𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴𝐹:dom 𝐹1-1𝐴)
52, 3, 43syl 18 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹1-1𝐴)
6 f1f 6574 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐹:dom 𝐹𝐴)
7 f1dmex 7654 . . . . 5 ((𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐴𝑉) → dom 𝐹 ∈ V)
8 fex 6986 . . . . 5 ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
96, 7, 8syl2an2r 681 . . . 4 ((𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
109expcom 414 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐹:dom 𝐹1-1𝐴𝐹 ∈ V))
115, 10syl5 34 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V))
121oi0 8986 . . 3 (¬ (𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 = ∅)
13 0ex 5208 . . 3 ∅ ∈ V
1412, 13syl6eqel 2926 . 2 (¬ (𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
1511, 14pm2.61d1 181 1 (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3500  c0 4295   E cep 5463   Se wse 5511   We wwe 5512  dom cdm 5554  wf 6350  1-1wf1 6351  1-1-ontowf1o 6353   Isom wiso 6355  OrdIsocoi 8967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-oi 8968
This theorem is referenced by:  oion  8994  oien  8996  cantnfval  9125  wemapwe  9154  finnisoeu  9533  cofsmo  9685
  Copyright terms: Public domain W3C validator