Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnneiima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnneiima 47549
Description: Given a continuous function, the preimage of a neighborhood is a neighborhood. To be precise, the preimage of a neighborhood of a subset 𝑇 of the codomain of a continuous function is a neighborhood of any subset of the preimage of 𝑇. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cnneiima.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cnneiima.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π‘‡))
cnneiima.3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑇))
Assertion
Ref Expression
cnneiima (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑁) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†))

Proof of Theorem cnneiima
StepHypRef Expression
1 cnneiima.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑇))
2 cnneiima.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
4 eqid 2733 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
53, 4cnf 22750 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
62, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
76ffund 6722 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
8 cnneiima.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π‘‡))
9 cntop2 22745 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
102, 9syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
114neiss2 22605 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π‘‡)) β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐾)
1210, 8, 11syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐾)
134neii1 22610 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π‘‡)) β†’ 𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐾)
1410, 8, 13syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐾)
154neiint 22608 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐾 ∧ 𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (𝑁 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π‘‡) ↔ 𝑇 βŠ† ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘)))
1610, 12, 14, 15syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ ((neiβ€˜πΎ)β€˜π‘‡) ↔ 𝑇 βŠ† ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘)))
178, 16mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘))
18 sspreima 7070 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑇 βŠ† ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑇) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘)))
197, 17, 18syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑇) βŠ† (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘)))
201, 19sstrd 3993 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘)))
214cnntri 22775 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘)) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑁)))
222, 14, 21syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘)) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑁)))
2320, 22sstrd 3993 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑁)))
24 cntop1 22744 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
252, 24syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
26 sspreima 7070 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑇 βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑇) βŠ† (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝐾))
277, 12, 26syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑇) βŠ† (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝐾))
28 fimacnv 6740 . . . . . 6 (𝐹:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 β†’ (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝐾) = βˆͺ 𝐽)
296, 28syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝐾) = βˆͺ 𝐽)
3027, 29sseqtrd 4023 . . . 4 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑇) βŠ† βˆͺ 𝐽)
311, 30sstrd 3993 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
32 sspreima 7070 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ 𝑁 βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑁) βŠ† (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝐾))
337, 14, 32syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑁) βŠ† (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝐾))
3433, 29sseqtrd 4023 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑁) βŠ† βˆͺ 𝐽)
353neiint 22608 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑁) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑁) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ 𝑆 βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑁))))
3625, 31, 34, 35syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑁) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ 𝑆 βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑁))))
3723, 36mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑁) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Topctop 22395  intcnt 22521  neicnei 22601   Cn ccn 22728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-top 22396  df-topon 22413  df-ntr 22524  df-nei 22602  df-cn 22731
This theorem is referenced by:  sepfsepc  47560
  Copyright terms: Public domain W3C validator