Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvtan Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvtan 36527
Description: Derivative of tangent. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
dvtan (β„‚ D tan) = (π‘₯ ∈ dom tan ↦ ((cosβ€˜π‘₯)↑-2))
Proof of Theorem dvtan
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-tan 16012 . . . 4 tan = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ ((sinβ€˜π‘₯) / (cosβ€˜π‘₯)))
2 cnvimass 6078 . . . . . . . . 9 (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† dom cos
3 cosf 16065 . . . . . . . . . 10 cos:β„‚βŸΆβ„‚
43fdmi 6727 . . . . . . . . 9 dom cos = β„‚
52, 4sseqtri 4018 . . . . . . . 8 (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† β„‚
65sseli 3978 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
76sincld 16070 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
86coscld 16071 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9 ffn 6715 . . . . . . . 8 (cos:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ cos Fn β„‚)
10 elpreima 7057 . . . . . . . 8 (cos Fn β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))))
113, 9, 10mp2b 10 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0})))
12 eldifsni 4793 . . . . . . . 8 ((cosβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (cosβ€˜π‘₯) β‰  0)
1312adantl 483 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (cosβ€˜π‘₯) β‰  0)
1411, 13sylbi 216 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (cosβ€˜π‘₯) β‰  0)
157, 8, 14divrecd 11990 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((sinβ€˜π‘₯) / (cosβ€˜π‘₯)) = ((sinβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))))
1615mpteq2ia 5251 . . . 4 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ ((sinβ€˜π‘₯) / (cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ ((sinβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))))
171, 16eqtri 2761 . . 3 tan = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ ((sinβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))))
1817oveq2i 7417 . 2 (β„‚ D tan) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ ((sinβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯)))))
19 cnelprrecn 11200 . . . . 5 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
2019a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
21 difss 4131 . . . . . . . . 9 (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚
22 imass2 6099 . . . . . . . . 9 ((β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚ β†’ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† (β—‘cos β€œ β„‚))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† (β—‘cos β€œ β„‚)
24 fimacnv 6737 . . . . . . . . 9 (cos:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ (β—‘cos β€œ β„‚) = β„‚)
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8 (β—‘cos β€œ β„‚) = β„‚
2623, 25sseqtri 4018 . . . . . . 7 (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† β„‚
2726sseli 3978 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2827sincld 16070 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2928adantl 483 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
308adantl 483 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
31 sincl 16066 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3231adantl 483 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
33 coscl 16067 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3433adantl 483 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
35 dvsin 25491 . . . . . 6 (β„‚ D sin) = cos
36 sinf 16064 . . . . . . . . 9 sin:β„‚βŸΆβ„‚
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ sin:β„‚βŸΆβ„‚)
3837feqmptd 6958 . . . . . . 7 (⊀ β†’ sin = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯)))
3938oveq2d 7422 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β„‚ D sin) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯))))
403a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ cos:β„‚βŸΆβ„‚)
4140feqmptd 6958 . . . . . 6 (⊀ β†’ cos = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯)))
4235, 39, 413eqtr3a 2797 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯)))
4326a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† β„‚)
44 eqid 2733 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4544cnfldtopon 24291 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
4645toponrestid 22415 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
47 dvtanlem 36526 . . . . . 6 (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4847a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4920, 32, 34, 42, 43, 46, 44, 48dvmptres 25472 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (sinβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (cosβ€˜π‘₯)))
508, 14reccld 11980 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (1 / (cosβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
5150adantl 483 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (1 / (cosβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
52 ovexd 7441 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) ∈ V)
5311simprbi 498 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
5453adantl 483 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
5529negcld 11555 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ -(sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
56 eldifi 4126 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
57 eldifsni 4793 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ 𝑦 β‰  0)
5856, 57reccld 11980 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (1 / 𝑦) ∈ β„‚)
5958adantl 483 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (1 / 𝑦) ∈ β„‚)
60 negex 11455 . . . . . 6 -(1 / (𝑦↑2)) ∈ V
6160a1i 11 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ -(1 / (𝑦↑2)) ∈ V)
6232negcld 11555 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -(sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6341oveq2d 7422 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β„‚ D cos) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯))))
64 dvcos 25492 . . . . . . 7 (β„‚ D cos) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯))
6563, 64eqtr3di 2788 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯)))
6620, 34, 62, 65, 43, 46, 44, 48dvmptres 25472 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ -(sinβ€˜π‘₯)))
67 ax-1cn 11165 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
68 dvrec 25464 . . . . . 6 (1 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ -(1 / (𝑦↑2))))
6967, 68mp1i 13 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ -(1 / (𝑦↑2))))
70 oveq2 7414 . . . . 5 (𝑦 = (cosβ€˜π‘₯) β†’ (1 / 𝑦) = (1 / (cosβ€˜π‘₯)))
71 oveq1 7413 . . . . . . 7 (𝑦 = (cosβ€˜π‘₯) β†’ (𝑦↑2) = ((cosβ€˜π‘₯)↑2))
7271oveq2d 7422 . . . . . 6 (𝑦 = (cosβ€˜π‘₯) β†’ (1 / (𝑦↑2)) = (1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
7372negeqd 11451 . . . . 5 (𝑦 = (cosβ€˜π‘₯) β†’ -(1 / (𝑦↑2)) = -(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
7420, 20, 54, 55, 59, 61, 66, 69, 70, 73dvmptco 25481 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (1 / (cosβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯))))
7520, 29, 30, 49, 51, 52, 74dvmptmul 25470 . . 3 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ ((sinβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))))
7675mptru 1549 . 2 (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ ((sinβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯))))
77 ovex 7439 . . . . 5 ((sinβ€˜π‘₯) / (cosβ€˜π‘₯)) ∈ V
7877, 1dmmpti 6692 . . . 4 dom tan = (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))
7978eqcomi 2742 . . 3 (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) = dom tan
808sqcld 14106 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((cosβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
817sqcld 14106 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
82 sqne0 14085 . . . . . . . . 9 ((cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) β‰  0 ↔ (cosβ€˜π‘₯) β‰  0))
838, 82syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) β‰  0 ↔ (cosβ€˜π‘₯) β‰  0))
8414, 83mpbird 257 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((cosβ€˜π‘₯)↑2) β‰  0)
8580, 81, 80, 84divdird 12025 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((((cosβ€˜π‘₯)↑2) + ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = ((((cosβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) + (((sinβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2))))
8680, 81addcomd 11413 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) + ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) = (((sinβ€˜π‘₯)↑2) + ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
87 sincossq 16116 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) + ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = 1)
886, 87syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) + ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = 1)
8986, 88eqtrd 2773 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) + ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) = 1)
9089oveq1d 7421 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((((cosβ€˜π‘₯)↑2) + ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = (1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
9185, 90eqtr3d 2775 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((((cosβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) + (((sinβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2))) = (1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
928, 14recidd 11982 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) = 1)
9380, 84dividd 11985 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = 1)
9492, 93eqtr4d 2776 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) = (((cosβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
957, 7, 80, 84div23d 12024 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((sinβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜π‘₯)) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = (((sinβ€˜π‘₯) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
967sqvald 14105 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2) = ((sinβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
9796oveq1d 7421 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = (((sinβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜π‘₯)) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
9880, 84reccld 11980 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) ∈ β„‚)
9998, 7mul2negd 11666 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) = ((1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
1007, 80, 84divrec2d 11991 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((sinβ€˜π‘₯) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = ((1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
10199, 100eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) = ((sinβ€˜π‘₯) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
102101oveq1d 7421 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯)) = (((sinβ€˜π‘₯) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
10395, 97, 1023eqtr4rd 2784 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯)) = (((sinβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
10494, 103oveq12d 7424 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯))) = ((((cosβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) + (((sinβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2))))
105 2nn0 12486 . . . . . 6 2 ∈ β„•0
106 expneg 14032 . . . . . 6 (((cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ ((cosβ€˜π‘₯)↑-2) = (1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
1078, 105, 106sylancl 587 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((cosβ€˜π‘₯)↑-2) = (1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
10891, 104, 1073eqtr4d 2783 . . . 4 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯))) = ((cosβ€˜π‘₯)↑-2))
109108rgen 3064 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))(((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯))) = ((cosβ€˜π‘₯)↑-2)
110 mpteq12 5240 . . 3 (((β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) = dom tan ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))(((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯))) = ((cosβ€˜π‘₯)↑-2)) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ dom tan ↦ ((cosβ€˜π‘₯)↑-2)))
11179, 109, 110mp2an 691 . 2 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ dom tan ↦ ((cosβ€˜π‘₯)↑-2))
11218, 76, 1113eqtri 2765 1 (β„‚ D tan) = (π‘₯ ∈ dom tan ↦ ((cosβ€˜π‘₯)↑-2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676   β€œ cima 5679   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112  -cneg 11442   / cdiv 11868  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β†‘cexp 14024  sincsin 16004  cosccos 16005  tanctan 16006  TopOpenctopn 17364  β„‚fldccnfld 20937   D cdv 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-tan 16012  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-t1 22810  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator