Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvtan Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvtan 37002
Description: Derivative of tangent. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
dvtan (β„‚ D tan) = (π‘₯ ∈ dom tan ↦ ((cosβ€˜π‘₯)↑-2))
Proof of Theorem dvtan
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-tan 16022 . . . 4 tan = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ ((sinβ€˜π‘₯) / (cosβ€˜π‘₯)))
2 cnvimass 6080 . . . . . . . . 9 (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† dom cos
3 cosf 16075 . . . . . . . . . 10 cos:β„‚βŸΆβ„‚
43fdmi 6729 . . . . . . . . 9 dom cos = β„‚
52, 4sseqtri 4018 . . . . . . . 8 (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† β„‚
65sseli 3978 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
76sincld 16080 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
86coscld 16081 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9 ffn 6717 . . . . . . . 8 (cos:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ cos Fn β„‚)
10 elpreima 7059 . . . . . . . 8 (cos Fn β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))))
113, 9, 10mp2b 10 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0})))
12 eldifsni 4793 . . . . . . . 8 ((cosβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (cosβ€˜π‘₯) β‰  0)
1312adantl 481 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (cosβ€˜π‘₯) β‰  0)
1411, 13sylbi 216 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (cosβ€˜π‘₯) β‰  0)
157, 8, 14divrecd 12000 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((sinβ€˜π‘₯) / (cosβ€˜π‘₯)) = ((sinβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))))
1615mpteq2ia 5251 . . . 4 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ ((sinβ€˜π‘₯) / (cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ ((sinβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))))
171, 16eqtri 2759 . . 3 tan = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ ((sinβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))))
1817oveq2i 7423 . 2 (β„‚ D tan) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ ((sinβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯)))))
19 cnelprrecn 11209 . . . . 5 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
2019a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
21 difss 4131 . . . . . . . . 9 (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚
22 imass2 6101 . . . . . . . . 9 ((β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚ β†’ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† (β—‘cos β€œ β„‚))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† (β—‘cos β€œ β„‚)
24 fimacnv 6739 . . . . . . . . 9 (cos:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ (β—‘cos β€œ β„‚) = β„‚)
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8 (β—‘cos β€œ β„‚) = β„‚
2623, 25sseqtri 4018 . . . . . . 7 (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† β„‚
2726sseli 3978 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2827sincld 16080 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2928adantl 481 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
308adantl 481 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
31 sincl 16076 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3231adantl 481 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
33 coscl 16077 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3433adantl 481 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
35 dvsin 25834 . . . . . 6 (β„‚ D sin) = cos
36 sinf 16074 . . . . . . . . 9 sin:β„‚βŸΆβ„‚
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ sin:β„‚βŸΆβ„‚)
3837feqmptd 6960 . . . . . . 7 (⊀ β†’ sin = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯)))
3938oveq2d 7428 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β„‚ D sin) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯))))
403a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ cos:β„‚βŸΆβ„‚)
4140feqmptd 6960 . . . . . 6 (⊀ β†’ cos = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯)))
4235, 39, 413eqtr3a 2795 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯)))
4326a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† β„‚)
44 eqid 2731 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4544cnfldtopon 24619 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
4645toponrestid 22743 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
47 dvtanlem 37001 . . . . . 6 (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4847a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4920, 32, 34, 42, 43, 46, 44, 48dvmptres 25815 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (sinβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (cosβ€˜π‘₯)))
508, 14reccld 11990 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (1 / (cosβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
5150adantl 481 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (1 / (cosβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
52 ovexd 7447 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) ∈ V)
5311simprbi 496 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
5453adantl 481 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
5529negcld 11565 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ -(sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
56 eldifi 4126 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
57 eldifsni 4793 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ 𝑦 β‰  0)
5856, 57reccld 11990 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (1 / 𝑦) ∈ β„‚)
5958adantl 481 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (1 / 𝑦) ∈ β„‚)
60 negex 11465 . . . . . 6 -(1 / (𝑦↑2)) ∈ V
6160a1i 11 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ -(1 / (𝑦↑2)) ∈ V)
6232negcld 11565 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -(sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6341oveq2d 7428 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β„‚ D cos) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯))))
64 dvcos 25835 . . . . . . 7 (β„‚ D cos) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯))
6563, 64eqtr3di 2786 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(sinβ€˜π‘₯)))
6620, 34, 62, 65, 43, 46, 44, 48dvmptres 25815 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ -(sinβ€˜π‘₯)))
67 ax-1cn 11174 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
68 dvrec 25807 . . . . . 6 (1 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ -(1 / (𝑦↑2))))
6967, 68mp1i 13 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (1 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ -(1 / (𝑦↑2))))
70 oveq2 7420 . . . . 5 (𝑦 = (cosβ€˜π‘₯) β†’ (1 / 𝑦) = (1 / (cosβ€˜π‘₯)))
71 oveq1 7419 . . . . . . 7 (𝑦 = (cosβ€˜π‘₯) β†’ (𝑦↑2) = ((cosβ€˜π‘₯)↑2))
7271oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝑦 = (cosβ€˜π‘₯) β†’ (1 / (𝑦↑2)) = (1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
7372negeqd 11461 . . . . 5 (𝑦 = (cosβ€˜π‘₯) β†’ -(1 / (𝑦↑2)) = -(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
7420, 20, 54, 55, 59, 61, 66, 69, 70, 73dvmptco 25824 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (1 / (cosβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯))))
7520, 29, 30, 49, 51, 52, 74dvmptmul 25813 . . 3 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ ((sinβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))))
7675mptru 1547 . 2 (β„‚ D (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ ((sinβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯))))
77 ovex 7445 . . . . 5 ((sinβ€˜π‘₯) / (cosβ€˜π‘₯)) ∈ V
7877, 1dmmpti 6694 . . . 4 dom tan = (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))
7978eqcomi 2740 . . 3 (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) = dom tan
808sqcld 14116 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((cosβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
817sqcld 14116 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
82 sqne0 14095 . . . . . . . . 9 ((cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) β‰  0 ↔ (cosβ€˜π‘₯) β‰  0))
838, 82syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) β‰  0 ↔ (cosβ€˜π‘₯) β‰  0))
8414, 83mpbird 257 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((cosβ€˜π‘₯)↑2) β‰  0)
8580, 81, 80, 84divdird 12035 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((((cosβ€˜π‘₯)↑2) + ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = ((((cosβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) + (((sinβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2))))
8680, 81addcomd 11423 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) + ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) = (((sinβ€˜π‘₯)↑2) + ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
87 sincossq 16126 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) + ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = 1)
886, 87syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) + ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = 1)
8986, 88eqtrd 2771 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) + ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) = 1)
9089oveq1d 7427 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((((cosβ€˜π‘₯)↑2) + ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = (1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
9185, 90eqtr3d 2773 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((((cosβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) + (((sinβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2))) = (1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
928, 14recidd 11992 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) = 1)
9380, 84dividd 11995 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = 1)
9492, 93eqtr4d 2774 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) = (((cosβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
957, 7, 80, 84div23d 12034 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((sinβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜π‘₯)) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = (((sinβ€˜π‘₯) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
967sqvald 14115 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2) = ((sinβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
9796oveq1d 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = (((sinβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜π‘₯)) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
9880, 84reccld 11990 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) ∈ β„‚)
9998, 7mul2negd 11676 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) = ((1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
1007, 80, 84divrec2d 12001 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((sinβ€˜π‘₯) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = ((1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
10199, 100eqtr4d 2774 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) = ((sinβ€˜π‘₯) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
102101oveq1d 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯)) = (((sinβ€˜π‘₯) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
10395, 97, 1023eqtr4rd 2782 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯)) = (((sinβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
10494, 103oveq12d 7430 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯))) = ((((cosβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) + (((sinβ€˜π‘₯)↑2) / ((cosβ€˜π‘₯)↑2))))
105 2nn0 12496 . . . . . 6 2 ∈ β„•0
106 expneg 14042 . . . . . 6 (((cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ ((cosβ€˜π‘₯)↑-2) = (1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
1078, 105, 106sylancl 585 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((cosβ€˜π‘₯)↑-2) = (1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)))
10891, 104, 1073eqtr4d 2781 . . . 4 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯))) = ((cosβ€˜π‘₯)↑-2))
109108rgen 3062 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))(((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯))) = ((cosβ€˜π‘₯)↑-2)
110 mpteq12 5240 . . 3 (((β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) = dom tan ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0}))(((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯))) = ((cosβ€˜π‘₯)↑-2)) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ dom tan ↦ ((cosβ€˜π‘₯)↑-2)))
11179, 109, 110mp2an 689 . 2 (π‘₯ ∈ (β—‘cos β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ↦ (((cosβ€˜π‘₯) Β· (1 / (cosβ€˜π‘₯))) + ((-(1 / ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) Β· -(sinβ€˜π‘₯)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ dom tan ↦ ((cosβ€˜π‘₯)↑-2))
11218, 76, 1113eqtri 2763 1 (β„‚ D tan) = (π‘₯ ∈ dom tan ↦ ((cosβ€˜π‘₯)↑-2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  βŠ€wtru 1541   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114  β„cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   Β· cmul 11121  -cneg 11452   / cdiv 11878  2c2 12274  β„•0cn0 12479  β†‘cexp 14034  sincsin 16014  cosccos 16015  tanctan 16016  TopOpenctopn 17374  β„‚fldccnfld 21233   D cdv 25712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-tan 16022  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-fbas 21230  df-fg 21231  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-cld 22843  df-ntr 22844  df-cls 22845  df-nei 22922  df-lp 22960  df-perf 22961  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-t1 23138  df-haus 23139  df-tx 23386  df-hmeo 23579  df-fil 23670  df-fm 23762  df-flim 23763  df-flf 23764  df-xms 24146  df-ms 24147  df-tms 24148  df-cncf 24718  df-limc 25715  df-dv 25716
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator