MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ismbf 25145
Description: The predicate "𝐹 is a measurable function". A function is measurable iff the preimages of all open intervals are measurable sets in the sense of ismbl 25043. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbf (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐴
Proof of Theorem ismbf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 25143 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
2 fdm 6727 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
32eleq1d 2819 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
41, 3imbitrid 243 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
5 ioomax 13399 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
6 ioorebas 13428 . . . . 5 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
75, 6eqeltrri 2831 . . . 4 ℝ ∈ ran (,)
8 imaeq2 6056 . . . . . 6 (π‘₯ = ℝ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ ℝ))
98eleq1d 2819 . . . . 5 (π‘₯ = ℝ β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol))
109rspcv 3609 . . . 4 (ℝ ∈ ran (,) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol))
117, 10ax-mp 5 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol)
12 fimacnv 6740 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = 𝐴)
1312eleq1d 2819 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
1411, 13imbitrid 243 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
15 ismbf1 25141 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
16 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1716adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1817rered 15171 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
1918mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2017recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
21 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
2221feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
23 ref 15059 . . . . . . . . . . . . . 14 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ β„œ:β„‚βŸΆβ„)
2524feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ β„œ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„œβ€˜π‘¦)))
26 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (β„œβ€˜π‘¦) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
2720, 22, 25, 26fmptco 7127 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„œ ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
2819, 27, 223eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 = (β„œ ∘ 𝐹))
2928cnveqd 5876 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ◑𝐹 = β—‘(β„œ ∘ 𝐹))
3029imaeq1d 6059 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯))
3130eleq1d 2819 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
32 imf 15060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„‘:β„‚βŸΆβ„
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ β„‘:β„‚βŸΆβ„)
3433feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ β„‘ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„‘β€˜π‘¦)))
35 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3620, 22, 34, 35fmptco 7127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
3717reim0d 15172 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = 0)
3837mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 0))
3936, 38eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 0))
40 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 0)
4139, 40eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) = (𝐴 Γ— {0}))
4241cnveqd 5876 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) = β—‘(𝐴 Γ— {0}))
4342imaeq1d 6059 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) = (β—‘(𝐴 Γ— {0}) β€œ π‘₯))
44 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
45 0re 11216 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
46 mbfconstlem 25144 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {0}) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
4744, 45, 46sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {0}) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
4843, 47eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
4948biantrud 533 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
5031, 49bitrd 279 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
5150ralbidv 3178 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
52 ax-resscn 11167 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
53 fss 6735 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5452, 53mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
55 mblss 25048 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
56 cnex 11191 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
57 reex 11201 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
58 elpm2r 8839 . . . . . . . 8 (((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
5956, 57, 58mpanl12 701 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
6054, 55, 59syl2an 597 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
6160biantrurd 534 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))))
6251, 61bitrd 279 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))))
6315, 62bitr4id 290 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
6463ex 414 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐴 ∈ dom vol β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
654, 14, 64pm5.21ndd 381 1 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  (,)cioo 13324  β„œcre 15044  β„‘cim 15045  volcvol 24980  MblFncmbf 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136
This theorem is referenced by:  ismbfcn  25146  mbfima  25147  mbfid  25152  ismbfd  25156  mbfeqalem2  25159  mbfres2  25162  mbfimaopnlem  25172  i1fd  25198  elmbfmvol2  33266  cnambfre  36536
  Copyright terms: Public domain W3C validator