MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbf 24992
Description: The predicate "𝐹 is a measurable function". A function is measurable iff the preimages of all open intervals are measurable sets in the sense of ismbl 24890. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbf (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ismbf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 24990 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2 fdm 6677 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
32eleq1d 2822 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
41, 3imbitrid 243 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn → 𝐴 ∈ dom vol))
5 ioomax 13339 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
6 ioorebas 13368 . . . . 5 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
75, 6eqeltrri 2835 . . . 4 ℝ ∈ ran (,)
8 imaeq2 6009 . . . . . 6 (𝑥 = ℝ → (𝐹𝑥) = (𝐹 “ ℝ))
98eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑥 = ℝ → ((𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
109rspcv 3577 . . . 4 (ℝ ∈ ran (,) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
117, 10ax-mp 5 . . 3 (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
12 fimacnv 6690 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
1312eleq1d 2822 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → ((𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
1411, 13imbitrid 243 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol))
15 ismbf1 24988 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
16 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1716adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1817rered 15109 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
1918mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
2017recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
21 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2221feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
23 ref 14997 . . . . . . . . . . . . . 14 ℜ:ℂ⟶ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
2524feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
26 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘(𝐹𝑥)))
2720, 22, 25, 26fmptco 7075 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))))
2819, 27, 223eqtr4rd 2787 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (ℜ ∘ 𝐹))
2928cnveqd 5831 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (ℜ ∘ 𝐹))
3029imaeq1d 6012 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝑥) = ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥))
3130eleq1d 2822 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
32 imf 14998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℑ:ℂ⟶ℝ
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
3433feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
35 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘(𝐹𝑥)))
3620, 22, 34, 35fmptco 7075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))))
3717reim0d 15110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐹𝑥)) = 0)
3837mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ 0))
3936, 38eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ 0))
40 fconstmpt 5694 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 × {0}) = (𝑥𝐴 ↦ 0)
4139, 40eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝐴 × {0}))
4241cnveqd 5831 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝐴 × {0}))
4342imaeq1d 6012 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = ((𝐴 × {0}) “ 𝑥))
44 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
45 0re 11157 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
46 mbfconstlem 24991 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4744, 45, 46sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4843, 47eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4948biantrud 532 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
5031, 49bitrd 278 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
5150ralbidv 3174 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
52 ax-resscn 11108 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
53 fss 6685 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5452, 53mpan2 689 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
55 mblss 24895 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
56 cnex 11132 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
57 reex 11142 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
58 elpm2r 8783 . . . . . . . 8 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5956, 57, 58mpanl12 700 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6054, 55, 59syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6160biantrurd 533 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
6251, 61bitrd 278 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
6315, 62bitr4id 289 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
6463ex 413 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol)))
654, 14, 64pm5.21ndd 380 1 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cima 5636  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  pm cpm 8766  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  (,)cioo 13264  cre 14982  cim 14983  volcvol 24827  MblFncmbf 24978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983
This theorem is referenced by:  ismbfcn  24993  mbfima  24994  mbfid  24999  ismbfd  25003  mbfeqalem2  25006  mbfres2  25009  mbfimaopnlem  25019  i1fd  25045  elmbfmvol2  32867  cnambfre  36126
  Copyright terms: Public domain W3C validator