MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbf 25008
Description: The predicate "𝐹 is a measurable function". A function is measurable iff the preimages of all open intervals are measurable sets in the sense of ismbl 24906. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbf (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐴

Proof of Theorem ismbf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 25006 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
2 fdm 6682 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
32eleq1d 2823 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
41, 3imbitrid 243 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
5 ioomax 13346 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
6 ioorebas 13375 . . . . 5 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
75, 6eqeltrri 2835 . . . 4 ℝ ∈ ran (,)
8 imaeq2 6014 . . . . . 6 (π‘₯ = ℝ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ ℝ))
98eleq1d 2823 . . . . 5 (π‘₯ = ℝ β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol))
109rspcv 3580 . . . 4 (ℝ ∈ ran (,) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol))
117, 10ax-mp 5 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol)
12 fimacnv 6695 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = 𝐴)
1312eleq1d 2823 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
1411, 13imbitrid 243 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
15 ismbf1 25004 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
16 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1716adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1817rered 15116 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
1918mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2017recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
21 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
2221feqmptd 6915 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
23 ref 15004 . . . . . . . . . . . . . 14 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ β„œ:β„‚βŸΆβ„)
2524feqmptd 6915 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ β„œ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„œβ€˜π‘¦)))
26 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (β„œβ€˜π‘¦) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
2720, 22, 25, 26fmptco 7080 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„œ ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
2819, 27, 223eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 = (β„œ ∘ 𝐹))
2928cnveqd 5836 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ◑𝐹 = β—‘(β„œ ∘ 𝐹))
3029imaeq1d 6017 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯))
3130eleq1d 2823 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
32 imf 15005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„‘:β„‚βŸΆβ„
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ β„‘:β„‚βŸΆβ„)
3433feqmptd 6915 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ β„‘ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„‘β€˜π‘¦)))
35 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3620, 22, 34, 35fmptco 7080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
3717reim0d 15117 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = 0)
3837mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 0))
3936, 38eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 0))
40 fconstmpt 5699 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 0)
4139, 40eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) = (𝐴 Γ— {0}))
4241cnveqd 5836 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) = β—‘(𝐴 Γ— {0}))
4342imaeq1d 6017 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) = (β—‘(𝐴 Γ— {0}) β€œ π‘₯))
44 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
45 0re 11164 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
46 mbfconstlem 25007 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {0}) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
4744, 45, 46sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {0}) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
4843, 47eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
4948biantrud 533 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
5031, 49bitrd 279 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
5150ralbidv 3175 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
52 ax-resscn 11115 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
53 fss 6690 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5452, 53mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
55 mblss 24911 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
56 cnex 11139 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
57 reex 11149 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
58 elpm2r 8790 . . . . . . . 8 (((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
5956, 57, 58mpanl12 701 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
6054, 55, 59syl2an 597 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
6160biantrurd 534 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))))
6251, 61bitrd 279 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))))
6315, 62bitr4id 290 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
6463ex 414 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐴 ∈ dom vol β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
654, 14, 64pm5.21ndd 381 1 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑pm cpm 8773  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  (,)cioo 13271  β„œcre 14989  β„‘cim 14990  volcvol 24843  MblFncmbf 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999
This theorem is referenced by:  ismbfcn  25009  mbfima  25010  mbfid  25015  ismbfd  25019  mbfeqalem2  25022  mbfres2  25025  mbfimaopnlem  25035  i1fd  25061  elmbfmvol2  32907  cnambfre  36155
  Copyright terms: Public domain W3C validator