Theorem ismbf 25663

Description: The predicate "𝐹 is a measurable function". A function is measurable iff the preimages of all open intervals are measurable sets in the sense of ismbl 25561. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ismbf	⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ismbf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfdm 25661	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2		fdm 6745	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
3	2	eleq1d 2826	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
4	1, 3	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn → 𝐴 ∈ dom vol))
5		ioomax 13462	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
6		ioorebas 13491	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
7	5, 6	eqeltrri 2838	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
8		imaeq2 6074	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ℝ → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ ℝ))
9	8	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ℝ → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
10	9	rspcv 3618	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ ran (,) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
11	7, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
12		fimacnv 6758	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
13	12	eleq1d 2826	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → ((◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
14	11, 13	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol))
15		ismbf1 25659	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
16		ffvelcdm 7101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	rered 15263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
19	18	mpteq2dva 5242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
20	17	recnd 11289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
21		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
22	21	feqmptd 6977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
23		ref 15151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
25	24	feqmptd 6977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
26		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))
27	20, 22, 25, 26	fmptco 7149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
28	19, 27, 22	3eqtr4rd 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (ℜ ∘ 𝐹))
29	28	cnveqd 5886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ◡𝐹 = ◡(ℜ ∘ 𝐹))
30	29	imaeq1d 6077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥))
31	30	eleq1d 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
32		imf 15152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
34	33	feqmptd 6977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
35		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))
36	20, 22, 34, 35	fmptco 7149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
37	17	reim0d 15264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) = 0)
38	37	mpteq2dva 5242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))
39	36, 38	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))
40		fconstmpt 5747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0)
41	39, 40	eqtr4di 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝐴 × {0}))
42	41	cnveqd 5886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ◡(ℑ ∘ 𝐹) = ◡(𝐴 × {0}))
43	42	imaeq1d 6077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(𝐴 × {0}) “ 𝑥))
44		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
45		0re 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
46		mbfconstlem 25662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
47	44, 45, 46	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
48	43, 47	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
49	48	biantrud 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
50	31, 49	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
51	50	ralbidv 3178	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
52		ax-resscn 11212	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
53		fss 6752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
54	52, 53	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
55		mblss 25566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
56		cnex 11236	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
57		reex 11246	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
58		elpm2r 8885	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
59	56, 57, 58	mpanl12 702	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
60	54, 55, 59	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
61	60	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
62	51, 61	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
63	15, 62	bitr4id 290	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
64	63	ex 412	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)))
65	4, 14, 64	pm5.21ndd 379	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  {csn 4626   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686   “ cima 5688   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_pm cpm 8867  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  (,)cioo 13387  ℜcre 15136  ℑcim 15137  volcvol 25498  MblFncmbf 25649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654

This theorem is referenced by:  ismbfcn  25664  mbfima  25665  mbfid  25670  ismbfd  25674  mbfeqalem2  25677  mbfres2  25680  mbfimaopnlem  25690  i1fd  25716  elmbfmvol2  34269  cnambfre  37675