Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbf 23836
 Description: The predicate "𝐹 is a measurable function". A function is measurable iff the preimages of all open intervals are measurable sets in the sense of ismbl 23734. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbf (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ismbf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 23834 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2 fdm 6301 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
32eleq1d 2844 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
41, 3syl5ib 236 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn → 𝐴 ∈ dom vol))
5 ioomax 12564 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
6 ioorebas 12592 . . . . 5 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
75, 6eqeltrri 2856 . . . 4 ℝ ∈ ran (,)
8 imaeq2 5718 . . . . . 6 (𝑥 = ℝ → (𝐹𝑥) = (𝐹 “ ℝ))
98eleq1d 2844 . . . . 5 (𝑥 = ℝ → ((𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
109rspcv 3507 . . . 4 (ℝ ∈ ran (,) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
117, 10ax-mp 5 . . 3 (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
12 fimacnv 6613 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
1312eleq1d 2844 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → ((𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
1411, 13syl5ib 236 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol))
15 ffvelrn 6623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1615adantlr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1716rered 14375 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
1817mpteq2dva 4981 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
1916recnd 10407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
20 simpl 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2120feqmptd 6511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
22 ref 14263 . . . . . . . . . . . . . 14 ℜ:ℂ⟶ℝ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
2423feqmptd 6511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
25 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘(𝐹𝑥)))
2619, 21, 24, 25fmptco 6663 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))))
2718, 26, 213eqtr4rd 2825 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (ℜ ∘ 𝐹))
2827cnveqd 5545 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (ℜ ∘ 𝐹))
2928imaeq1d 5721 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝑥) = ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥))
3029eleq1d 2844 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
31 imf 14264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℑ:ℂ⟶ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
3332feqmptd 6511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
34 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘(𝐹𝑥)))
3519, 21, 33, 34fmptco 6663 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))))
3616reim0d 14376 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐹𝑥)) = 0)
3736mpteq2dva 4981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ 0))
3835, 37eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ 0))
39 fconstmpt 5413 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 × {0}) = (𝑥𝐴 ↦ 0)
4038, 39syl6eqr 2832 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝐴 × {0}))
4140cnveqd 5545 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝐴 × {0}))
4241imaeq1d 5721 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = ((𝐴 × {0}) “ 𝑥))
43 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
44 0re 10380 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
45 mbfconstlem 23835 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4643, 44, 45sylancl 580 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4742, 46eqeltrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4847biantrud 527 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
4930, 48bitrd 271 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
5049ralbidv 3168 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
51 ax-resscn 10331 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
52 fss 6306 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5351, 52mpan2 681 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
54 mblss 23739 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
55 cnex 10355 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
56 reex 10365 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
57 elpm2r 8160 . . . . . . . 8 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5855, 56, 57mpanl12 692 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5953, 54, 58syl2an 589 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6059biantrurd 528 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
6150, 60bitrd 271 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
62 ismbf1 23832 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
6361, 62syl6rbbr 282 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
6463ex 403 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol)))
654, 14, 64pm5.21ndd 371 1 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792  {csn 4398   ↦ cmpt 4967   × cxp 5355  ◡ccnv 5356  dom cdm 5357  ran crn 5358   “ cima 5360   ∘ ccom 5361  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ↑pm cpm 8143  ℂcc 10272  ℝcr 10273  0cc0 10274  +∞cpnf 10410  -∞cmnf 10411  (,)cioo 12491  ℜcre 14248  ℑcim 14249  volcvol 23671  MblFncmbf 23822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xadd 12262  df-ioo 12495  df-ico 12497  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631  df-sum 14829  df-xmet 20139  df-met 20140  df-ovol 23672  df-vol 23673  df-mbf 23827 This theorem is referenced by:  ismbfcn  23837  mbfima  23838  mbfid  23843  ismbfd  23847  mbfeqalem2  23850  mbfres2  23853  mbfimaopnlem  23863  i1fd  23889  elmbfmvol2  30931  cnambfre  34088
 Copyright terms: Public domain W3C validator