MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ismbf 25136
Description: The predicate "𝐹 is a measurable function". A function is measurable iff the preimages of all open intervals are measurable sets in the sense of ismbl 25034. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbf (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐴
Proof of Theorem ismbf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 25134 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
2 fdm 6723 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
32eleq1d 2818 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
41, 3imbitrid 243 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
5 ioomax 13395 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
6 ioorebas 13424 . . . . 5 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
75, 6eqeltrri 2830 . . . 4 ℝ ∈ ran (,)
8 imaeq2 6053 . . . . . 6 (π‘₯ = ℝ β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ ℝ))
98eleq1d 2818 . . . . 5 (π‘₯ = ℝ β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol))
109rspcv 3608 . . . 4 (ℝ ∈ ran (,) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol))
117, 10ax-mp 5 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol)
12 fimacnv 6736 . . . 4 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = 𝐴)
1312eleq1d 2818 . . 3 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
1411, 13imbitrid 243 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
15 ismbf1 25132 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
16 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1716adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1817rered 15167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))
1918mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2017recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
21 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
2221feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
23 ref 15055 . . . . . . . . . . . . . 14 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ β„œ:β„‚βŸΆβ„)
2524feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ β„œ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„œβ€˜π‘¦)))
26 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (β„œβ€˜π‘¦) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
2720, 22, 25, 26fmptco 7123 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„œ ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
2819, 27, 223eqtr4rd 2783 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 = (β„œ ∘ 𝐹))
2928cnveqd 5873 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ◑𝐹 = β—‘(β„œ ∘ 𝐹))
3029imaeq1d 6056 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯))
3130eleq1d 2818 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
32 imf 15056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„‘:β„‚βŸΆβ„
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ β„‘:β„‚βŸΆβ„)
3433feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ β„‘ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„‘β€˜π‘¦)))
35 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3620, 22, 34, 35fmptco 7123 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
3717reim0d 15168 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = 0)
3837mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 0))
3936, 38eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 0))
40 fconstmpt 5736 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 0)
4139, 40eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) = (𝐴 Γ— {0}))
4241cnveqd 5873 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) = β—‘(𝐴 Γ— {0}))
4342imaeq1d 6056 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) = (β—‘(𝐴 Γ— {0}) β€œ π‘₯))
44 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
45 0re 11212 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
46 mbfconstlem 25135 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {0}) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
4744, 45, 46sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(𝐴 Γ— {0}) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
4843, 47eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
4948biantrud 532 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
5031, 49bitrd 278 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
5150ralbidv 3177 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
52 ax-resscn 11163 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
53 fss 6731 . . . . . . . 8 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5452, 53mpan2 689 . . . . . . 7 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
55 mblss 25039 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
56 cnex 11187 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
57 reex 11197 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
58 elpm2r 8835 . . . . . . . 8 (((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
5956, 57, 58mpanl12 700 . . . . . . 7 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
6054, 55, 59syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
6160biantrurd 533 . . . . 5 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))))
6251, 61bitrd 278 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))))
6315, 62bitr4id 289 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
6463ex 413 . 2 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐴 ∈ dom vol β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
654, 14, 64pm5.21ndd 380 1 (𝐹:π΄βŸΆβ„ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑pm cpm 8817  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  (,)cioo 13320  β„œcre 15040  β„‘cim 15041  volcvol 24971  MblFncmbf 25122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127
This theorem is referenced by:  ismbfcn  25137  mbfima  25138  mbfid  25143  ismbfd  25147  mbfeqalem2  25150  mbfres2  25153  mbfimaopnlem  25163  i1fd  25189  elmbfmvol2  33254  cnambfre  36524
  Copyright terms: Public domain W3C validator