MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismbf 25676
Description: The predicate "𝐹 is a measurable function". A function is measurable iff the preimages of all open intervals are measurable sets in the sense of ismbl 25574. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbf (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ismbf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 25674 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2 fdm 6745 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
32eleq1d 2823 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
41, 3imbitrid 244 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn → 𝐴 ∈ dom vol))
5 ioomax 13458 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
6 ioorebas 13487 . . . . 5 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
75, 6eqeltrri 2835 . . . 4 ℝ ∈ ran (,)
8 imaeq2 6075 . . . . . 6 (𝑥 = ℝ → (𝐹𝑥) = (𝐹 “ ℝ))
98eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑥 = ℝ → ((𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
109rspcv 3617 . . . 4 (ℝ ∈ ran (,) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
117, 10ax-mp 5 . . 3 (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol → (𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
12 fimacnv 6758 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
1312eleq1d 2823 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → ((𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
1411, 13imbitrid 244 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol))
15 ismbf1 25672 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
16 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1716adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1817rered 15259 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
1918mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
2017recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
21 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2221feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
23 ref 15147 . . . . . . . . . . . . . 14 ℜ:ℂ⟶ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
2524feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
26 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘(𝐹𝑥)))
2720, 22, 25, 26fmptco 7148 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))))
2819, 27, 223eqtr4rd 2785 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (ℜ ∘ 𝐹))
2928cnveqd 5888 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (ℜ ∘ 𝐹))
3029imaeq1d 6078 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹𝑥) = ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥))
3130eleq1d 2823 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
32 imf 15148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℑ:ℂ⟶ℝ
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
3433feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
35 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘(𝐹𝑥)))
3620, 22, 34, 35fmptco 7148 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))))
3717reim0d 15260 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐹𝑥)) = 0)
3837mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐴 ↦ 0))
3936, 38eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ 0))
40 fconstmpt 5750 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 × {0}) = (𝑥𝐴 ↦ 0)
4139, 40eqtr4di 2792 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝐴 × {0}))
4241cnveqd 5888 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝐴 × {0}))
4342imaeq1d 6078 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = ((𝐴 × {0}) “ 𝑥))
44 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
45 0re 11260 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
46 mbfconstlem 25675 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4744, 45, 46sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4843, 47eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4948biantrud 531 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
5031, 49bitrd 279 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
5150ralbidv 3175 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
52 ax-resscn 11209 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
53 fss 6752 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5452, 53mpan2 691 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
55 mblss 25579 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
56 cnex 11233 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
57 reex 11243 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
58 elpm2r 8883 . . . . . . . 8 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5956, 57, 58mpanl12 702 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6054, 55, 59syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6160biantrurd 532 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
6251, 61bitrd 279 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
6315, 62bitr4id 290 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
6463ex 412 . 2 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol)))
654, 14, 64pm5.21ndd 379 1 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  wss 3962  {csn 4630  cmpt 5230   × cxp 5686  ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689  cima 5691  ccom 5692  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  pm cpm 8865  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  (,)cioo 13383  cre 15132  cim 15133  volcvol 25511  MblFncmbf 25662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xadd 13152  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-xmet 21374  df-met 21375  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667
This theorem is referenced by:  ismbfcn  25677  mbfima  25678  mbfid  25683  ismbfd  25687  mbfeqalem2  25690  mbfres2  25693  mbfimaopnlem  25703  i1fd  25729  elmbfmvol2  34248  cnambfre  37654
  Copyright terms: Public domain W3C validator