Theorem ismbf 25557

Description: The predicate "𝐹 is a measurable function". A function is measurable iff the preimages of all open intervals are measurable sets in the sense of ismbl 25455. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ismbf	⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ismbf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfdm 25555	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2		fdm 6660	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
3	2	eleq1d 2816	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
4	1, 3	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn → 𝐴 ∈ dom vol))
5		ioomax 13322	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
6		ioorebas 13351	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
7	5, 6	eqeltrri 2828	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
8		imaeq2 6005	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ℝ → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ ℝ))
9	8	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ℝ → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
10	9	rspcv 3573	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ ran (,) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
11	7, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
12		fimacnv 6673	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
13	12	eleq1d 2816	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → ((◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
14	11, 13	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol))
15		ismbf1 25553	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
16		ffvelcdm 7014	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	rered 15131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
19	18	mpteq2dva 5184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
20	17	recnd 11140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
21		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
22	21	feqmptd 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
23		ref 15019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
25	24	feqmptd 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
26		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))
27	20, 22, 25, 26	fmptco 7062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
28	19, 27, 22	3eqtr4rd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (ℜ ∘ 𝐹))
29	28	cnveqd 5815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ◡𝐹 = ◡(ℜ ∘ 𝐹))
30	29	imaeq1d 6008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥))
31	30	eleq1d 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
32		imf 15020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
34	33	feqmptd 6890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
35		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))
36	20, 22, 34, 35	fmptco 7062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
37	17	reim0d 15132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) = 0)
38	37	mpteq2dva 5184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))
39	36, 38	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))
40		fconstmpt 5678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0)
41	39, 40	eqtr4di 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝐴 × {0}))
42	41	cnveqd 5815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ◡(ℑ ∘ 𝐹) = ◡(𝐴 × {0}))
43	42	imaeq1d 6008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(𝐴 × {0}) “ 𝑥))
44		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
45		0re 11114	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
46		mbfconstlem 25556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
47	44, 45, 46	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
48	43, 47	eqeltrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
49	48	biantrud 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
50	31, 49	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
51	50	ralbidv 3155	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
52		ax-resscn 11063	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
53		fss 6667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
54	52, 53	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
55		mblss 25460	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
56		cnex 11087	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
57		reex 11097	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
58		elpm2r 8769	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
59	56, 57, 58	mpanl12 702	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
60	54, 55, 59	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
61	60	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
62	51, 61	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
63	15, 62	bitr4id 290	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
64	63	ex 412	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)))
65	4, 14, 64	pm5.21ndd 379	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  {csn 4576   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614  ^◡ccnv 5615  dom cdm 5616  ran crn 5617   “ cima 5619   ∘ ccom 5620  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_pm cpm 8751  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  +∞cpnf 11143  -∞cmnf 11144  (,)cioo 13245  ℜcre 15004  ℑcim 15005  volcvol 25392  MblFncmbf 25543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xadd 13012  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-xmet 21285  df-met 21286  df-ovol 25393  df-vol 25394  df-mbf 25548

This theorem is referenced by:  ismbfcn  25558  mbfima  25559  mbfid  25564  ismbfd  25568  mbfeqalem2  25571  mbfres2  25574  mbfimaopnlem  25584  i1fd  25610  elmbfmvol2  34278  cnambfre  37714