Theorem ismbf 24697

Description: The predicate "𝐹 is a measurable function". A function is measurable iff the preimages of all open intervals are measurable sets in the sense of ismbl 24595. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ismbf	⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ismbf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfdm 24695	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2		fdm 6593	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
3	2	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
4	1, 3	syl5ib 243	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn → 𝐴 ∈ dom vol))
5		ioomax 13083	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
6		ioorebas 13112	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
7	5, 6	eqeltrri 2836	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
8		imaeq2 5954	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ℝ → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ ℝ))
9	8	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ℝ → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
10	9	rspcv 3547	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ ran (,) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
11	7, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
12		fimacnv 6606	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
13	12	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → ((◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
14	11, 13	syl5ib 243	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol))
15		ismbf1 24693	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
16		ffvelrn 6941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	rered 14863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
19	18	mpteq2dva 5170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
20	17	recnd 10934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
21		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
22	21	feqmptd 6819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
23		ref 14751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
25	24	feqmptd 6819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
26		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))
27	20, 22, 25, 26	fmptco 6983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
28	19, 27, 22	3eqtr4rd 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (ℜ ∘ 𝐹))
29	28	cnveqd 5773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ◡𝐹 = ◡(ℜ ∘ 𝐹))
30	29	imaeq1d 5957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥))
31	30	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
32		imf 14752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
34	33	feqmptd 6819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
35		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))
36	20, 22, 34, 35	fmptco 6983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
37	17	reim0d 14864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) = 0)
38	37	mpteq2dva 5170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))
39	36, 38	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))
40		fconstmpt 5640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0)
41	39, 40	eqtr4di 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝐴 × {0}))
42	41	cnveqd 5773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ◡(ℑ ∘ 𝐹) = ◡(𝐴 × {0}))
43	42	imaeq1d 5957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(𝐴 × {0}) “ 𝑥))
44		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
45		0re 10908	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
46		mbfconstlem 24696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
47	44, 45, 46	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
48	43, 47	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
49	48	biantrud 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
50	31, 49	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
51	50	ralbidv 3120	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
52		ax-resscn 10859	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
53		fss 6601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
54	52, 53	mpan2 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
55		mblss 24600	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
56		cnex 10883	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
57		reex 10893	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
58		elpm2r 8591	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
59	56, 57, 58	mpanl12 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
60	54, 55, 59	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
61	60	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
62	51, 61	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
63	15, 62	bitr4id 289	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
64	63	ex 412	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)))
65	4, 14, 64	pm5.21ndd 380	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580  ran crn 5581   “ cima 5583   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_pm cpm 8574  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  -∞cmnf 10938  (,)cioo 13008  ℜcre 14736  ℑcim 14737  volcvol 24532  MblFncmbf 24683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-xmet 20503  df-met 20504  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688

This theorem is referenced by:  ismbfcn  24698  mbfima  24699  mbfid  24704  ismbfd  24708  mbfeqalem2  24711  mbfres2  24714  mbfimaopnlem  24724  i1fd  24750  elmbfmvol2  32134  cnambfre  35752