Theorem ismbf 25597

Description: The predicate "𝐹 is a measurable function". A function is measurable iff the preimages of all open intervals are measurable sets in the sense of ismbl 25495. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ismbf	⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Proof of Theorem ismbf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfdm 25595	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
2		fdm 6679	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
3	2	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (dom 𝐹 ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
4	1, 3	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn → 𝐴 ∈ dom vol))
5		ioomax 13350	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
6		ioorebas 13379	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
7	5, 6	eqeltrri 2834	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
8		imaeq2 6023	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ℝ → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ ℝ))
9	8	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ℝ → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
10	9	rspcv 3574	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ ran (,) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol))
11	7, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol)
12		fimacnv 6692	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐴)
13	12	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → ((◡𝐹 “ ℝ) ∈ dom vol ↔ 𝐴 ∈ dom vol))
14	11, 13	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol → 𝐴 ∈ dom vol))
15		ismbf1 25593	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
16		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	rered 15159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
19	18	mpteq2dva 5193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
20	17	recnd 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
21		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
22	21	feqmptd 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
23		ref 15047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ:ℂ⟶ℝ)
25	24	feqmptd 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
26		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))
27	20, 22, 25, 26	fmptco 7084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℜ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
28	19, 27, 22	3eqtr4rd 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 = (ℜ ∘ 𝐹))
29	28	cnveqd 5832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ◡𝐹 = ◡(ℜ ∘ 𝐹))
30	29	imaeq1d 6026	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥))
31	30	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
32		imf 15048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ:ℂ⟶ℝ)
34	33	feqmptd 6910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
35		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))
36	20, 22, 34, 35	fmptco 7084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
37	17	reim0d 15160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) = 0)
38	37	mpteq2dva 5193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))
39	36, 38	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0))
40		fconstmpt 5694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 0)
41	39, 40	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (ℑ ∘ 𝐹) = (𝐴 × {0}))
42	41	cnveqd 5832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ◡(ℑ ∘ 𝐹) = ◡(𝐴 × {0}))
43	42	imaeq1d 6026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(𝐴 × {0}) “ 𝑥))
44		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐴 ∈ dom vol)
45		0re 11146	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
46		mbfconstlem 25596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℝ) → (◡(𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
47	44, 45, 46	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(𝐴 × {0}) “ 𝑥) ∈ dom vol)
48	43, 47	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
49	48	biantrud 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
50	31, 49	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
51	50	ralbidv 3161	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
52		ax-resscn 11095	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
53		fss 6686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
54	52, 53	mpan2 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
55		mblss 25500	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
56		cnex 11119	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
57		reex 11129	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
58		elpm2r 8794	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
59	56, 57, 58	mpanl12 703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
60	54, 55, 59	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
61	60	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
62	51, 61	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))))
63	15, 62	bitr4id 290	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))
64	63	ex 412	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐴 ∈ dom vol → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol)))
65	4, 14, 64	pm5.21ndd 379	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(◡𝐹 “ 𝑥) ∈ dom vol))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  {csn 4582   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632  ran crn 5633   “ cima 5635   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_pm cpm 8776  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  -∞cmnf 11176  (,)cioo 13273  ℜcre 15032  ℑcim 15033  volcvol 25432  MblFncmbf 25583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xadd 13039  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-xmet 21314  df-met 21315  df-ovol 25433  df-vol 25434  df-mbf 25588

This theorem is referenced by:  ismbfcn  25598  mbfima  25599  mbfid  25604  ismbfd  25608  mbfeqalem2  25611  mbfres2  25614  mbfimaopnlem  25624  i1fd  25650  elmbfmvol2  34444  cnambfre  37916